Cómo demostrar que la igualdad no es una identidad. Identidad

Profesor: Afonasova Irina Olegovna

Asunto: álgebra

Grado: Grado 7

Tipo de lección: aprendiendo material nuevo

Tema: Prueba de identidad

Objetivos de la lección:

1. Repetir definiciones de identidad y expresiones idénticamente iguales, transformación de identidad de expresiones.
2. Formación de la habilidad de elegir un método para probar identidades mediante el método de transformación idéntica de expresiones.
3. Sacar un tema cultura de la comunicación estudiantes.

Durante las clases

1 ... Etapa organizativa de la lección

Antes del comienzo de la lección, los estudiantes de la clase se dividen en seis grupos de estudio composición mixta.

Profesor : Hola chicos, sugiero sala de estudio convertir por un tiempo enlaboratorio de investigación, y tu y yo en científicos-maestros en ciencias matemáticas.

Pero todo científico que se respete a sí mismo resuelve constantemente algún problema muy importante, por lo que, en primer lugar, tenemos que averiguar: ¿en qué problema vamos a trabajar hoy?

2. Determinación del tema de la lección.

Para hacer esto, considere las expresiones 2x + y y 2x. Encontremos los valores de las expresiones en x = 1 e y = 2.

Profesor b ofrece ir a la pizarra estudiante y resolver este problema, así comoformular una conclusión: para x = 1 e y = 2, las expresiones toman valores iguales (4).

Profesor: Sin embargo, puede especificar dichos valores de las variables xey, en los que los valores de estas expresiones no son iguales. Por ejemplo, x = 3, y = 4.

Estudiante parado en la pizarra lo comprueba.

Profesor: Considere ahora las expresiones 3 (x + y) y 3x + 3y. Encuentra los valores de las expresiones en x = 5 e y = 4.

Estudiante, parado en la pizarra: resuelve un problema, formula una conclusión.

Profesor: Ya sea por cualquier valor valores variables de estas expresiones son iguales? Si es así, ¿por qué?

Estudiante respuestas. (Respuesta: Sí, por la propiedad de distribución de la multiplicación).

El profesor pide a la clase que recuerde el nombre de tales expresiones, el nombre de su igualdad.

Después de eso, diapositiva 1.

Seguido por el maestro pregunta: "¿Cuál es el tema de la lección de hoy?"

Profesor : Hoy estaremos trabajando en Prueba de Identidades.

Se registra el tema de la lección: "Prueba de identidades" ( Diapositiva 2)

Profesor : Bien, ahora vamos a comprobarnos. Los iguales aparecerán en la pantalla, si esta igualdad es una identidad, le sugiero que levante la mano. ( Diapositiva 3)

1. - (a - b) = - a + b (sí)
2. a (b + c) = ab - ac (no)
3. a - (b + c) = a - b + c(No)
4. (a + b) - c = a - c + b(Sí)
5. - (a + b) = - a - b (sí)

3. Determinación del propósito de la lección.

Profesor : Bueno, ahora es el momento de convertirnos de teóricos en científicos prácticos, pero para ello necesitamos aprender qué usarprobar identidad, y aquí no podemos prescindir literatura cientifica, encontraremos la respuesta a esta pregunta en la página 18 de su libro de texto. Los estudiantes encuentran la respuesta en el libro de texto:"Para demostrar que cierta igualdad es una identidad, utilice transformaciones idénticas de expresiones".... Los participantes de los otros grupos muestran acuerdo o desacuerdo con señales especiales, que se mencionaron anteriormente. ( Diapositiva 4)

Profesor : Bien hecho, pero ahora surge la siguiente pregunta, ¿qué esconversión de identidad de expresiones?

"La sustitución de una expresión por otra, idénticamente igual a ella, se denomina transformación idéntica de la expresión"(el maestro invita a uno de los miembros de cualquier grupo a responder esta pregunta) ( Diapositiva 5)

Profesor : Entonces, ¿cuál es el propósito de la lección? Los estudiantes nombran uno de los objetivos: aprender a probar identidades utilizando transformaciones idénticas de expresiones.

4. Revelar un método para probar identidades mediante el método de transformación idéntica de expresiones.

Maestro: Ahora ya estamos "maduros" para trabajo practico y te pido que pongas tu atención en tarjeta ... Asignación: "Demuestra la identidad", cada grupo de científicos recibió un ejemplo, que deberán resolver por su cuenta, si surgen dificultades, las tarjetas de consultores vendrán al rescate.

Cartas de misión

Tarjeta 1

Tarjeta 2

Tarjeta 3

Tarjeta 4

Tarjeta 5

Tarjeta 6

Ahora tenemos que proteger nuestro trabajo. (Presentación del trabajo terminado en la pizarra, miembros del grupo dispuestos están hablando)

Profesor : Genial, y ahora es el momento, queridos colegas, para resumir, ¿qué debemos hacer para demostrar que la igualdad es una identidad? Respuestas estimadas de los estudiantes: ( Diapositiva 6)

1. Escribir lado izquierdo igualdad, transfórmala y asegúrate de que sea igual a la correcta.
   o
2. Escribe el lado derecho de la igualdad, transfórmalo y asegúrate de que sea igual al izquierdo.
   o
3. Transforme los lados izquierdo y derecho de la igualdad y asegúrese de que sean iguales a la misma expresión.

Profesor : ¿Qué conclusión se puede sacar en el caso de que no se cumpla todo lo que acabamos de decir? Respuesta estimada de los estudiantes:La igualdad no será una identidad.

5. Resumiendo la lección.

¿Pudimos lograr nuestro objetivo? ….

Profesor : Para que los conocimientos adquiridos sean sólidos, continuaremos este trabajo en casa:Tarea(Diapositiva 7):

No. 691 (a), 692 (a), 715 (a), tarea creativa (opcional): * Hacer 3 igualdades que serán una identidad (ilustrar cada método de prueba).

Profesor : Y ahora es el momento de la creatividad: en el poema que ves, inserta las palabras que faltan ( Diapositiva 8):

Hay todo tipo de igualdad, hermanos,
Y todo el mundo, por supuesto, lo sabe.
Sí - con variables, sí - (numérico),
Muy, muy complejo (simple),
Pero hay una clase especial entre las igualdades,
Ahora dirigiremos nuestra historia sobre él.
(Identidad) esto se llama igualdad.
Pero aún tenemos que demostrarlo.
Para esto solo necesitamos tomar
Y la igualdad es (transformar)
No es difícil, claro, lo averiguaremos
¿Qué parte tendremos que cambiar?
O tal vez los dos tengamos que cambiar
Por igualdad, la forma no es difícil (de entender)
¡Hurra! Logramos aplicar nuestro conocimiento,
Conversión de igualdad completada.
Y audazmente ya decimos la respuesta:
Entonces esto es una identidad, ¡o no lo es!

Maestra: ¡Gracias por la lección!

Avance:

Cartas de misión

Leyendas de diapositivas:

Definición de identidad: La identidad es una igualdad verdadera para cualquier valor válido de sus variables. Definición de expresiones idénticamente iguales: dos expresiones, cuyos valores correspondientes son iguales para cualquier valor de las variables, se denominan idénticamente iguales.

Prueba de identidad

Ejemplos de identidades: - (a - b) = - a + b a (b + c) = ab - ac a - (b + c) = a - b + c (a + b) - c = a - c + b - (a + b) = - a - b

¿Qué se debe utilizar para probar la identidad? Para probar que cierta igualdad es una identidad, o, como dicen de otra manera, para probar la identidad, utilice transformaciones idénticas de expresiones.

Transformación idéntica de una expresión Reemplazar una expresión por otra, idénticamente igual a ella, se denomina transformación idéntica de una expresión.

Para demostrar que la igualdad es una identidad, es necesario: Escribir el lado izquierdo de la igualdad, transformarlo y asegurarse de que sea igual al lado derecho. o Escribe el lado derecho de la igualdad, transfórmalo y asegúrate de que sea igual al lado izquierdo. o Convierta ambos lados de la igualdad a su vez y asegúrese de que sean iguales a la misma expresión.

Tarea: No. 691 (a), No. 692 (a), No. 694, Hacer 3 iguales, que será una identidad. *

Hay todo tipo de igualdad, hermanos, y todos, por supuesto, lo saben. Hay - con variables, hay - ... Muy, muy complejo .... Pero hay una clase especial entre las igualdades. Contaremos nuestra historia al respecto ahora. ... esto se llama igualdad, pero aún tenemos que demostrarlo. Para hacer esto, solo tenemos que tomar Y la igualdad es…. Por supuesto, será fácil para nosotros averiguar qué parte tendremos que cambiar, o tal vez tendremos que cambiar ambos, no es difícil para la igualdad de las especies ... ¡Viva! Fue posible aplicar nuestros conocimientos Transformación de igualdad completa. Y ya decimos con valentía la respuesta: ¿Entonces esto es identidad, o todavía no lo es?

En el proceso de aprendizaje, los estudiantes deben desarrollar las habilidades para demostrar identidades de las siguientes maneras.

Si necesita demostrar que A = B, entonces puede

1. demuestre que A - B = O,

2. para demostrar que A / B = 1,

3.convertir A en B,

4.convertir B a tipo A,

5.convierta A y B al mismo tipo C.

Las propiedades de las operaciones aritméticas se utilizan como base sobre la que se construyen las pruebas de identidades. A veces, en la demostración se utilizan conceptos y métodos geométricos. Las demostraciones geométricas no solo son instructivas e ilustrativas, sino que también contribuyen al fortalecimiento de las conexiones entre sujetos.

Las pruebas de identidad se pueden dividir en tres tipos dependiendo de qué tan bien satisfagan los requisitos de rigor:

a) Razonamiento incompletamente riguroso, requiriendo el uso del método de inducción matemática para darles un rigor completo. Estas demostraciones se utilizan para derivar la regla de acción con polinomios, propiedades de grados con exponentes naturales. Por ejemplo,

a c a p = (a a a a) (a a a a) = a a a a a = a a c

k veces p veces k + p veces

b) Razonamiento completamente riguroso basado en las propiedades básicas de las operaciones aritméticas y sin utilizar otras propiedades del sistema numérico. El área principal de aplicación de tales pruebas son las identidades de multiplicación abreviadas. Muchas de las afirmaciones expresadas por las fórmulas de multiplicación abreviadas se pueden ilustrar geométricamente.

Ejemplo Por la identidad el maestro puede sugerir la siguiente ilustración:

c) Razonamiento completamente riguroso utilizando las condiciones para la resolubilidad de ecuaciones de la forma (x) = a, donde es la función elemental en estudio. Tales demostraciones son típicas para la derivación de propiedades de un grado con un exponente racional y una función logarítmica. Por ejemplo, al probar la propiedad de la raíz aritmética

(1)

nos apoyaremos en la reformulación de la definición de la aritmética raíz cuadrada: para números no negativos xey, la igualdad y =
y

y 2 = x son equivalentes, por lo tanto (1) es equivalente a (
) 2 = (
) 2 (2). De donde se sigue, y en = (
) 2 (
) 2 = una c.

El método de prueba, que se usó aquí, se usa con bastante poca frecuencia, sin embargo, debe enfatizarse que la idea principal de la prueba es comparar dos operaciones (o funciones), directa e inversa, que encontrarán aplicación. ya en la escuela secundaria.

Cadena tecnológica para la formación de algoritmos y técnicas

transformaciones idénticas de expresiones en la escuela básica

Asignación de conferencia

Después de analizar los libros de texto escolares, confeccionar una tabla de igualdades idénticas indicando el conjunto sobre el que se realiza.

Ejemplo
, М 1 - aquellos x para los que f (x) tiene sentido.

Prueba de identidad. Hay muchos conceptos en matemáticas. Uno de ellos es la identidad.

• Una identidad es una igualdad que se aplica a todos los valores de las variables que se incluyen en ella.

Ya conocemos algunas de las identidades. Por ejemplo, todas las fórmulas de multiplicación abreviadas son identidades.

Demuestra identidad- esto significa establecer que para cualquier valor admisible de la variable su lado izquierdo es igual al lado derecho.

En álgebra, hay varios diferentes caminos prueba de identidad.

Métodos para probar identidades

• lado izquierdo de la identidad. Si al final obtenemos el lado derecho, entonces la identidad se considera probada.
• Realizar transformaciones equivalentes el lado derecho de la identidad. Si al final obtenemos el lado izquierdo, entonces la identidad se considera probada.
• Realizar transformaciones equivalentes lados izquierdo y derecho de la identidad. Si, como resultado, obtenemos el mismo resultado, entonces la identidad se considera probada.
• Reste el lado izquierdo del lado derecho de la identidad.
• El lado derecho se resta del lado izquierdo de la identidad. Realizamos transformaciones equivalentes sobre la diferencia. Y si al final obtenemos cero, entonces la identidad se considera probada.

También debe recordarse que la identidad es válida solo para los valores admisibles de las variables.

Como puede ver, hay muchas formas. El método a elegir en este caso particular depende de la identidad que necesita demostrar. A medida que demuestre varias identidades, obtendrá experiencia al elegir un método de prueba.

Veamos algunos ejemplos sencillos.

Ejemplo 1.

Demuestre la identidad x * (a + b) + a * (b-x) = b * (a + x).

Solución.

Dado que hay una pequeña expresión en el lado derecho, intentemos transformar el lado izquierdo de la igualdad.

• x * (a + b) + a * (b-x) = x * a + x * b + a * b - a * x.

Presentamos términos similares y sacamos el factor común del corchete.

• x * a + x * b + a * b - a * x = x * b + a * b = b * (a + x).

Conseguimos que el lado izquierdo, después de las transformaciones, se convirtió en el mismo que el lado derecho. Por tanto, esta igualdad es una identidad.

Ejemplo 2.

Demuestre la identidad a ^ 2 + 7 * a + 10 = (a + 5) * (a + 2).

Solución.

V este ejemplo tu puedes hacer de la siguiente manera... Expandamos los corchetes en el lado derecho de la igualdad.

• (a + 5) * (a + 2) = (a ^ 2) + 5 * a + 2 * a + 10 = a ^ 2 + 7 * a + 10.

Vemos que después de las transformaciones, el lado derecho de la igualdad se convirtió en el mismo que el lado izquierdo de la igualdad. Por tanto, esta igualdad es una identidad.

Objetivo de aprendizaje:

repita las definiciones de la ecuación, identidad;

aprender a distinguir entre los conceptos de ecuación e identidad;

identificar formas de probar identidades;

repita los métodos de reducir un monomio a la forma estándar, agregando polinomios, multiplicando un monomio por un polinomio al probar identidades.

Objetivo de desarrollo:

Desarrollar el habla matemática alfabetizada de los estudiantes (enriquecer y complicar vocabulario cuando se utilizan términos matemáticos especiales),

desarrollar el pensamiento: la capacidad de comparar, analizar, establecer analogías, predecir, sacar conclusiones (al elegir métodos para probar identidades);

Desarrollar la competencia educativa y cognitiva de los estudiantes.

Propósito educativo:

desarrollar la capacidad de trabajar en grupo, coordinar sus actividades con otros participantes en el proceso educativo;

Fomentar la tolerancia.

Tipo de lección: aplicación compleja del conocimiento.

Pasos de la lección: preparatoria, aplicación de conocimientos, resultado.

La frontera del conocimiento - la ignorancia:

puede aplicar operaciones de convertir un monomio en una forma estándar;

suma de polinomios, multiplicación de un polinomio por un polinomio.

Distinguir entre los conceptos de ecuación e identidad;

realizar la prueba de identidades;

elegir y aplicar racionalmente métodos para probar identidades.

Trabajo frontal

Verbal

Visual

Aplicación de conocimientos (asegurando la asimilación de nuevos conocimientos y métodos de acción al nivel de aplicación en una situación educativa modificada)

Basado en las transformaciones del lado izquierdo y derecho de este

igualdad matemática, identificar formas de probar identidades;

Revelar un camino racional a partir de los propuestos y elaborar la selección de una solución racional para una determinada condición de identidades.

Trabajo en equipo

Trabajo independiente

Búsqueda

Práctico

Resultado (análisis y evaluación del éxito de la consecución de la meta)

Resumir el trabajo en la lección realizando un trabajo individual, donde se propone elegir una identidad entre las igualdades presentadas y probarla en cualquiera de las formas propuestas (preferiblemente racional);

Luego, los estudiantes hacen una autoevaluación de su trabajo en la lección de acuerdo con los criterios especificados (desde el comienzo de la lección).

Frontal

Verbal

Resumen de la lección (brevemente):

1. Etapa (preparatoria)

Considere la notación matemática: (trabajo frontal)

Los estudiantes de séptimo grado tienden a pensar en esto como una ecuación y, al resolverlo, obtienen ecuación lineal de la forma: 0 x = 0, válido para cualquier x.

Luego, el maestro muestra el trabajo de otra clase y los niños se enfrentan a una contradicción: en el trabajo de otra clase, los estudiantes demuestran que esto es una identidad.

Conclusión: Debe prestarse atención al hecho de que una misma igualdad puede considerarse como una identidad y como una ecuación. Depende de las condiciones para el trabajo dado: si se requiere establecer en qué valor de la variable tiene lugar la igualdad, entonces este- la ecuacion. Y si se requiere demostrar que la igualdad es válida para cualquier valor de las variables:identidad.

2. Etapa (aplicación)

Revelando formas de probar identidades: (trabajo en equipo)

La expresión está escrita:

Tarea practica en grupos para identificar formas de probar identidades:

Seguir las reglas para trabajar en grupo (están impresas en los carteles que exhibe el profesor en los lugares de trabajo de los alumnos)

En un papel Whatman, en un trabajo conjunto, realizar algunas transformaciones según una determinada tecnología indicada en la asignación al grupo y demostrar que la expresión dada no depende de los valores de las variables, lo que significa que es una identidad;

Dar una explicación del trabajo realizado y concluir: ¿qué es este método prueba de identidad;

Tarea para el grupo 1:

Mueve el lado derecho de la igualdad hacia la izquierda. Demuestre que la expresión dada no depende del valor de las variables.

Tarea para el grupo 2:

Convierte el lado izquierdo de la igualdad. Demuestre que es igual a la correcta, lo que significa que esta expresión no depende de los valores de las variables.

Tarea para el grupo 3:

Convierta los lados izquierdo y derecho de la igualdad al mismo tiempo. Demuestre que esta igualdad no depende del valor de las variables.

Al considerar el trabajo realizado por los chicos para probar la identidad, es conveniente plasmar los resultados de los métodos utilizados en forma de diagramas en hojas de papel separadas, con un indicador numérico, para que posteriormente estos diagramas puedan ser utilizados. no solo en esta, sino también en otras lecciones de álgebra.

3. Etapa (resumen)

a) Identidades para elegir una solución racional: (trabajo frontal)

5)