La base de un paralelepípedo recto es un rombo con diagonales. Figuras geometricas

o (equivalentemente) un poliedro con seis caras de paralelogramo. Hexágono.

Los paralelogramos que forman el paralelepípedo son facetas de este paralelepípedo, los lados de estos paralelogramos son bordes de un paralelepípedo, y los vértices de los paralelogramos son picos paralelepípedo... Para un paralelepípedo, cada cara es paralelogramo.

Como regla, cualesquiera 2 caras opuestas se distinguen y se denominan las bases del paralelepípedo, y las caras restantes son caras laterales del paralelepípedo... Los bordes de la caja que no pertenecen a las bases son costillas laterales.

2 caras de una caja que tienen un borde común son relacionada, y aquellos que no tienen bordes comunes - opuesto.

El segmento que conecta 2 vértices que no pertenecen a la 1ra cara es por la diagonal del paralelepípedo.

Las longitudes de los bordes de un paralelepípedo rectangular que no son paralelas son dimensiones lineares (mediciones) de un paralelepípedo. Un paralelepípedo rectangular tiene 3 dimensiones lineales.

Tipos de paralelepípedo.

Hay varios tipos de paralelepípedos:

Directo es un paralelepípedo con una arista perpendicular al plano de la base.

Paralelepípedo rectangular, en el que las 3 dimensiones son de igual magnitud, es cubo... Cada una de las caras del cubo es igual cuadrícula .

Paralelepípedo arbitrario. Volumen y proporción en paralelepípedo oblicuo se definen principalmente mediante álgebra vectorial. El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de 3 vectores, que están determinados por los 3 lados del paralelepípedo (que se originan en un vértice). La razón entre las longitudes de los lados del paralelepípedo y los ángulos entre ellos muestra el enunciado de que el determinante de Gram de estos 3 vectores es igual al cuadrado de su producto mixto.

Propiedades de la caja.

• El paralelepípedo es simétrico alrededor de la mitad de su diagonal.
• Cualquier segmento con extremos que pertenezcan a la superficie del paralelepípedo y que pase por el medio de su diagonal es dividido por éste en dos partes iguales. Todas las diagonales del paralelepípedo se cruzan en el primer punto y se dividen en dos partes iguales.
• Las caras opuestas de la caja son paralelas y de igual tamaño.
• El cuadrado de la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es

En esta lección, todos podrán estudiar el tema "Paralelepípedo rectangular". Al comienzo de la lección, repetiremos lo que es un paralelepípedo arbitrario y recto, recordaremos las propiedades de sus caras opuestas y diagonales de un paralelepípedo. Luego consideraremos qué es un paralelepípedo rectangular y discutiremos sus principales propiedades.

Tema: Perpendicularidad de líneas y planos

Lección: Paralelepípedo rectangular

Una superficie formada por dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 y cuatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se llama paralelepípedo(Figura 1).

Arroz. 1 paralelepípedo

Es decir: tenemos dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 (base), se encuentran en planos paralelos de modo que los bordes laterales AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 son paralelos. Por lo tanto, una superficie compuesta de paralelogramos se llama paralelepípedo.

Por lo tanto, la superficie de un paralelepípedo es la suma de todos los paralelogramos que forman el paralelepípedo.

1. Las caras opuestas de la caja son paralelas e iguales.

(las formas son iguales, es decir, se pueden combinar mediante superposición)

Por ejemplo:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguales por definición),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ya que AA 1 B 1 B y DD 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ya que AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo).

2. Las diagonales del paralelepípedo se cruzan en un punto y se reducen a la mitad en este punto.

Las diagonales del paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzan en un punto O, y cada diagonal se divide por este punto por la mitad (Fig. 2).

Arroz. 2 Las diagonales del paralelepípedo se intersecan y se dividen a la mitad por el punto de intersección.

3. Hay tres cuádruples de bordes paralelepípedos iguales y paralelos: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definición. Un paralelepípedo se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.

Deje que el borde lateral AA 1 sea perpendicular a la base (Fig. 3). Esto significa que la recta AA 1 es perpendicular a las rectas AD y AB, que se encuentran en el plano de la base. Esto significa que los rectángulos se encuentran en las caras laterales. Los paralelogramos arbitrarios se encuentran en las bases. Denote, ∠BAD = φ, el ángulo φ puede ser cualquiera.

Arroz. 3 paralelepípedo recto

Entonces, un paralelepípedo recto es un paralelepípedo en el que los bordes laterales son perpendiculares a las bases del paralelepípedo.

Definición. El paralelepípedo se llama rectangular, si sus costillas laterales son perpendiculares a la base. Las bases son rectángulos.

Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rectangular (Fig.4), si:

1. AA 1 ⊥ ABCD (borde lateral perpendicular al plano de la base, es decir, un paralelepípedo recto).

2. ∠BAD = 90 °, es decir, hay un rectángulo en la base.

Arroz. 4 paralelepípedo rectangular

Un paralelepípedo rectangular tiene todas las propiedades de un paralelepípedo arbitrario. Pero hay propiedades adicionales que se derivan de la definición de caja.

Entonces, paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a la base. La base del paralelepípedo rectangular es un rectángulo..

1. En un paralelepípedo rectangular, las seis caras son rectángulos.

ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 - rectángulos por definición.

2. Las costillas laterales son perpendiculares a la base.... Esto significa que todas las caras laterales de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.

3. Todas las esquinas diedras de un paralelepípedo rectangular son rectas.

Considere, por ejemplo, el ángulo diedro de un paralelepípedo rectangular con una arista AB, es decir, el ángulo diedro entre los planos ABB 1 y ABC.

AB es una arista, el punto A 1 se encuentra en un plano, en el plano ABB 1, y el punto D en otro, en el plano A 1 B 1 C 1 D 1. Entonces, el ángulo diedro considerado también se puede denotar de la siguiente manera: ∠A 1 ABD.

Tome el punto A en el borde AB. AA 1 - perpendicular a la arista AB en el plano ABB-1, AD perpendicular a la arista AB en el plano ABC. Por tanto, ∠А 1 АD es el ángulo lineal del ángulo diedro dado. ∠А 1 АD = 90 °, lo que significa que el ángulo diedro en el borde AB es de 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

Se demuestra de manera similar que todos los ángulos diedros de un paralelepípedo rectangular son rectos.

Cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma cuadrados de sus tres dimensiones.

Nota. Las longitudes de los tres bordes que salen de un vértice del rectángulo son las dimensiones del paralelepípedo rectangular. A veces se les llama largo, ancho, alto.

Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo rectangular (Fig. 5).

Probar: .

Arroz. 5 paralelepípedo rectangular

Prueba:

La recta CC 1 es perpendicular al plano ABC y, por tanto, a la recta AC. Esto significa que el triángulo CC 1 A es rectangular. Por el teorema de Pitágoras:

Considerar triángulo rectángulo A B C. Por el teorema de Pitágoras:

Pero BC y AD son lados opuestos del rectángulo. Por lo tanto, BC = AD. Luego:

Como , pero , luego. Dado que CC 1 = AA 1, entonces lo que se requería para probar.

Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales.

Designemos las medidas del paralelepípedo ABC como a, b, c (ver Fig.6), luego AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un paralelepípedo se llama prisma cuadrangular, en cuyas bases hay paralelogramos. La altura de un paralelepípedo es la distancia entre los planos de sus bases. En la figura, la altura se muestra mediante la línea ... Hay dos tipos de paralelepípedos: rectos y oblicuos. Por lo general, un tutor de matemáticas primero da las definiciones apropiadas para el prisma y luego las transfiere a un cuadro. Haremos lo mismo.

Permítanme recordarles que un prisma se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases, si no hay perpendicularidad, el prisma se llama inclinado. Esta terminología también la hereda el paralelepípedo. Un paralelepípedo recto no es más que una especie de prisma recto, cuyo borde lateral coincide con la altura. Se mantienen las definiciones de conceptos tales como cara, borde y vértice, que son comunes a toda la familia de poliedros. Aparece el concepto de lados opuestos. Un paralelepípedo tiene 3 pares de caras opuestas, 8 vértices y 12 aristas.

La diagonal de un paralelepípedo (diagonal de un prisma) es un segmento que conecta dos vértices de un poliedro y no se encuentra en ninguna de sus caras.

Sección diagonal: una sección de un paralelepípedo que pasa por su diagonal y la diagonal de su base.

Propiedades del cuadro oblicuo:
1) Todas sus caras son paralelogramos y las caras opuestas son paralelogramos iguales.
2)Las diagonales del paralelepípedo se cruzan en un punto y se dividen por la mitad en este punto.
3)Cada paralelepípedo consta de seis pirámides triangulares de igual volumen. Para mostrárselos al alumno, el tutor de matemáticas debe cortar la mitad de su sección diagonal del paralelepedo y dividirlo por separado en 3 pirámides. Sus bases deben estar en diferentes caras del paralelepípedo original. Un tutor de matemáticas encontrará una aplicación de esta propiedad en geometría analítica. Se utiliza para generar el volumen de una pirámide a través de un producto mixto de vectores.

Fórmulas de volumen para un paralelepípedo:
1), donde es el área de la base, h es la altura.
2) El volumen del paralelepípedo es igual al producto del área de la sección transversal por el borde lateral.
Tutor de matemáticas: Como sabes, la fórmula es común para todos los prismas, y si el tutor ya lo ha probado, no tiene sentido repetir lo mismo para un paralelepípedo. Sin embargo, cuando se trabaja con un alumno de nivel intermedio (la fórmula no sirve para uno débil), es recomendable que el profesor actúe exactamente al revés. Deje el prisma solo y realice una prueba ordenada para el paralelepípedo.
3), donde está el volumen de una de las seis pirámides triangulares de las que consta el paralelepípedo.
4) Si, entonces

El área de la superficie lateral de un paralelepípedo es la suma de las áreas de todas sus caras:
La superficie completa de un paralelepípedo es la suma de las áreas de todas sus caras, es decir, el área + dos áreas de la base :.

Sobre el trabajo de un tutor con un paralelepípedo inclinado:
Un tutor de matemáticas no suele resolver problemas en un paralelepípedo oblicuo. La probabilidad de que aparezcan en el Examen del Estado Unificado es bastante pequeña y la didáctica es obscenamente pobre. Un problema más o menos decente en el volumen de un paralelepípedo inclinado provoca serios problemas asociados con la determinación de la ubicación del punto H, la base de su altura. En este caso, se le puede recomendar al tutor de matemáticas que corte el paralelepípedo a una de sus seis pirámides (que se discuten en la propiedad número 3), trate de encontrar su volumen y lo multiplique por 6.

Si el borde lateral del paralelepípedo tiene ángulos iguales con los lados de la base, entonces H se encuentra en la bisectriz del ángulo A de la base ABCD. Y si, por ejemplo, ABCD es un rombo, entonces

Tareas del tutor de matemáticas:
1) Los bordes del paralelepípedo son nervaduras iguales con un lado de 2 cm y un ángulo agudo. Calcula el volumen de un paralelepípedo.
2) En un paralelepípedo inclinado, el borde lateral mide 5 cm. La sección perpendicular a él es un cuadrilátero con diagonales mutuamente perpendiculares con longitudes de 6 cm y 8 cm Calcula el volumen del paralelepípedo.
3) En un paralelepípedo oblicuo se sabe que, y en ABCD es un rombo con un lado de 2 cm y un ángulo. Determina el volumen de la caja.

Tutor de matemáticas, Alexander Kolpakov