¿Cuál es la suma de los ángulos? ¿Cuál es la suma de los ángulos del polígono convexo?

El triángulo es un polígono que tiene tres lados (tres ángulos). La mayoría de las veces, las partes se denotan por letras pequeñas correspondientes a letras mayúsculasque denotan vértices opuestos. En este artículo, nos familiarizaremos con los tipos de estos. figuras geometricasTeorema que determina lo que la suma de las esquinas del triángulo es igual.

Tipos de esquinas

Los siguientes tipos de polígonos con tres vértices se distinguen:

escritura aguda, en la que todas las esquinas son agudas;
rectangular, que tiene un ángulo recto, con sus formulaciones, se llaman categorías, y el lado, que se coloca opuesto a la esquina directa, se llama hipotenusa;
estúpido cuando uno;
un isósceles, en el que dos lados son iguales, y se llaman lado, y la tercera, la base del triángulo;
igualmente, tener los tres de lado igual.

Propiedades

Asignar las propiedades principales que son características de cada tipo de triángulo:

por el contrario, la mayoría de los lados son siempre un ángulo más grande, y viceversa;
opuesto al mismo tamaño de las partes son Ángulos iguales, y viceversa;
cualquier triángulo tiene dos esquinas afiladas;
Ángulo externo más en comparación con cualquier ángulo interno, no relacionado con él;
la cantidad de cualquiera de los dos ángulos es siempre inferior a 180 grados;
el ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos que no están entrelazados con ella.

Teorema en la suma de las esquinas del triángulo.

El teorema argumenta que si agrega todos los ángulos de una forma geométrica determinada, que se encuentra en el plano euclidiano, entonces su cantidad será de 180 grados. Intentemos probar este teorema.

Tengamos un triángulo arbitrario con los vértices de la CMN.

A través del vértice, la CN llevará (todavía llamada Direct Euclidea Direct). Observe el punto y, por lo tanto, el punto K y A se encuentran desde diferentes lados de la línea recta. Obtenemos ángulos iguales de AMN y KNM, que, como internos, se encuentran en el más cercano y están formados por el MN secuencial, junto con Direct CN y MA, que son paralelos. De esto se desprende que la suma de las esquinas del triángulo ubicada en los vértices de My H es igual al tamaño del ángulo de la CMA. Los tres ángulos constituyen la cantidad que es igual a la cantidad de ángulos CMA y MCN. Dado que estos ángulos son internos de un solo lado en relación con el CN \u200b\u200bdirecto paralelo y MA con un CM secuencial, su cantidad es de 180 grados. El teorema está probado.

Corolario

De lo anterior, el teorema sigue la siguiente consecuencia: cualquier triángulo tiene dos esquinas afiladas. Para probarlo, suponga que esta figura geométrica tiene solo un ángulo afilado. También se puede asumir que ninguna de las esquinas es aguda. En este caso, debe haber al menos dos ángulos, cuya magnitud es igual o más de 90 grados. Pero entonces la suma de los ángulos será mayor a 180 grados. Y esto no puede ser, porque de acuerdo con el teorema, la suma de las esquinas del triángulo es de 180 °, no más ni menos. Eso es lo que fue necesario probar.

Propiedad de esquinas externas

¿Cuál es la suma de las esquinas del triángulo, que son externas? La respuesta a esta pregunta se puede obtener aplicando una de dos maneras. La primera es que es necesario encontrar la cantidad de las esquinas que se toman en cada vértice, es decir, tres ángulos. El segundo implica que necesita encontrar la suma de las seis esquinas en las cimas. Para empezar, nos ocuparemos de la primera opción. Por lo tanto, el triángulo contiene seis esquinas externas, con cada vértice dos.

Cada par tiene ángulos iguales, ya que son verticales:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Además, se sabe que el ángulo externo en el triángulo es igual a la suma de los dos internos, que no se entrelazan con él. Por eso,

∟1 \u003d ∟A + ∟С, ∟2 \u003d ∟A + ∟V, ∟3 \u003d ∟В + ∟С.

Resulta que la cantidad de ángulos externos que se toman por uno por un vértice será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟A + ∟С + ∟A + ∟V + ∟V + ∟С \u003d 2 x (∟A + ∟V + ∟С).

Teniendo en cuenta el hecho de que la cantidad de ángulos es igual a 180 grados, se puede argumentar que ∟a + ∟v + ∟c \u003d 180 °. Esto significa que ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Si se usa la segunda opción, la suma de seis esquinas será, respectivamente, más de dos veces. Es decir, la suma de las esquinas externas del triángulo será:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Triángulo rectángulo

¿Cuál es la suma de los ángulos del triángulo rectangular, que son agudos? La respuesta a esta pregunta, de nuevo, sigue del teorema, que afirma que las esquinas en el triángulo en la cantidad son de 180 grados. Y nuestra declaración suena (propiedad), así que: en triángulo rectangular Las esquinas afiladas en la cantidad da 90 grados. Probamos su veracidad.

Danos un triángulo de KMN, cuyo ∟n \u003d 90 °. Es necesario probar que ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Entonces, de acuerdo con el teorema en la suma de los ángulos de ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °. En nuestra condición se dice que ∟n \u003d 90 °. Así que resulta, ∟k + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Es decir, ∟k + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Eso es lo que debemos probar.

Además de las propiedades anteriores del triángulo rectangular, puede agregarse a lo siguiente:

los ángulos que se encuentran contra los catéteres son afilados;
la hipotenusa triangular es más que cualquiera de los catéteres;
la cantidad de catets es más hipotenusa;
el catat del triángulo, que se encuentra frente al ángulo de 30 grados, es el doble de hipotenuses, es decir, es igual a su mitad.

Como otra propiedad de esta forma geométrica, puede seleccionar el teorema de Pitágora. Afirma que en un triángulo con un ángulo de 90 grados (rectangular), la suma de los cuadrados de los catéticos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

La suma de los ángulos de un triángulo elevado.

Anteriormente, dijimos que el polígono con tres vértices que contenían dos lados iguales se llama igualmente. Esta propiedad de esta forma geométrica es conocida: los ángulos en su base son iguales. Lo demostramos.

Tome el triángulo de KMN, que es igualmente disgusto, el libro es su fundación.

Tenemos que probar que ∟k \u003d ∟ Entonces, digamos que MA es el bisecedor de nuestro triángulo de KMN. El triángulo de la ICA, teniendo en cuenta el primer signo de igualdad, es igual al triángulo del MNA. A saber, según la condición, se le da a que KM \u003d NM, MA es un partido común, ∟1 \u003d ∟2, ya que MA es Bisector. Usando el hecho de la igualdad de estos dos triángulos, se puede argumentar que ∟k \u003d ∟. Entonces, el teorema está probado.

Pero estamos interesados \u200b\u200ben cuál es la suma de las esquinas del triángulo (es un equilibrado). Desde en este sentido, no tiene sus propias características, será rechazada del teorema discutido anteriormente. Es decir, podemos argumentar que ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, o 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (desde ∟k \u003d ∟n). No demostraremos esta propiedad porque el teorema en la suma de las esquinas del triángulo se ha demostrado anteriormente.

Además de las propiedades de las esquinas del triángulo, también hay alegaciones tan importantes:

que se omitió para la base, es simultáneamente mediana, ángulo bisector, que es entre las partes iguales, así como su base;
las medianas (bisector, alturas), que se han llevado a cabo a los lados de una forma geométrica, son iguales.

Triángulo equilátero

También se llama correcto, este es el triángulo que todas las partes son iguales. Y por lo tanto los ángulos también son iguales. Cada uno de ellos es de 60 grados. Probamos esta propiedad.

Supongamos que tenemos un triángulo KMN. Sabemos que KM \u003d NM \u003d KN. Y esto significa que, según la propiedad de los ángulos, ubicada en la base en un triángulo equilibrado, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Dado que según el teorema, la suma de las esquinas del triángulo es ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, luego 3 x ∟k \u003d 180 ° o ∟k \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟n \u003d 60 °. Por lo tanto, la aprobación está probada.

Como se puede ver en la prueba anterior sobre la base del teorema, la suma de los ángulos como la suma de los ángulos de cualquier otro triángulo es de 180 grados. Para demostrar que este teorema será necesario.

Todavía hay tales propiedades características de un triángulo equilátero:

la mediana, el bisector, la altura en una figura tan geométrica coincide, y su longitud se calcula como (y x √3): 2;
si describe alrededor de este círculo de polígonos, su radio será igual a (y x √3): 3;
para ingresar un círculo en un triángulo equilátero, su radio será (a x √3): 6;
el área de esta forma geométrica se calcula mediante la fórmula: (A2 x √3): 4.

Triángulo estúpido

Según la definición, una de sus esquinas está entre 90 a 180 grados. Pero considerando el hecho de que el otro ángulo de esta forma geométrica es afilada, se puede concluir que no exceden los 90 grados. En consecuencia, el teorema en la suma de las esquinas del triángulo funciona al calcular la cantidad de las esquinas en el triángulo estúpido. Resulta que podemos afirmar con seguridad, confiando en el teorema mencionado anteriormente que la suma de los ángulos del triángulo estúpido es de 180 grados. Nuevamente, este teorema no necesita re-evidencia.

Evidencia

Permitir A B C " - Triángulo arbitrario. Pasemos por la parte superior B. directamente, paralelo directo C.A. (Este directo se llama euclidea directa). Nota en su punto D. para que los puntos UNA. y D. acostado en diferentes lados de la recta ANTES DE CRISTO..Feo DBC. y ACB. igual a los armarios internos que se encuentran, formados por la venta ANTES DE CRISTO. con recto paralelo C.A. y Bd.. Por lo tanto, la suma de las esquinas del triángulo en los vértices. B. y DE igual a la esquina ABD.Tales cada tres ángulos de triángulo son iguales a la suma de las esquinas. ABD. y BAC.. Dado que estos ángulos son internos unilaterales para paralelos C.A. y Bd. bajo sech Ab, Su cantidad es de 180 °. El teorema está probado.

Corolario

Desde el teorema se deduce que cualquier triángulo tiene dos ángulos afilados. De hecho, aplicar una prueba de ninguna otra, suponga que el triángulo tiene solo un ángulo afilado o no hay esquinas afiladas en absoluto. Luego, este triángulo tiene al menos dos ángulos, cada uno de los cuales no es inferior a 90 °. La suma de estos ángulos no es inferior a 180 °. Y esto no es posible, ya que la suma de todas las esquinas del triángulo es de 180 °. Q.E.D.

Generalización en la teoría simplex.

Donde -gol entre los I y J son los bordes de la simplicidad.

Notas

En la esfera, la suma de las esquinas del triángulo siempre supera los 180 °, la diferencia se llama exceso esférico y es proporcional al área del triángulo.
En el plano Lobachevsky, la suma de los ángulos del triángulo es siempre inferior a 180 °. La diferencia también es proporcional al área del triángulo.

ver también

Fundación Wikimedia. 2010.

Mira lo que es "teorema en la suma de las esquinas de los angles de Triangle" en otros diccionarios:

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- (Murió entre 275 y 270 aC. E.) Matemático griego antiguo. Sin embargo, la información sobre la hora y el lugar de su nacimiento no se les conocía, se sabe que la euclidea vivió en Alejandría y el florecimiento de su actividad cae en el momento del reinado en Egipto Ptolemya i ... ... Gran enciclopédico diccionario

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La suma de los ángulos internos del triángulo es de 180 0. Este es uno de los ejes fundamentales de la geometría del eucluro. Es esta geometría la que estudia a los escolares. La geometría está determinada por la ciencia que estudia las formas espaciales del mundo real.

¿Qué llevó a los antiguos griegos para desarrollar la geometría? La necesidad de medir campos, prados: secciones de la superficie de la Tierra. Al mismo tiempo, los antiguos griegos tomaron que la superficie de la tierra es horizontal, plana. Teniendo en cuenta este supuesto, se crearon los axiomas de eucluro, incluida la suma de las esquinas internas del triángulo en 180 0.

Bajo el Axioma significa una disposición que no requiere evidencia. ¿Cómo necesitas entender? Se expresa por un deseo que se adapte al hombre, y además está confirmado por ilustraciones. Pero todo lo que no es probado, la ficción, lo que no es en realidad.

Tomando superficie del suelo Horizontal, los griegos antiguos aceptaron automáticamente la forma de la tierra plana, pero es diferente, esférica. No hay aviones horizontales y líneas rectas en la naturaleza, porque la gravedad giras el espacio. Líneas rectas y planos horizontales están disponibles solo en el cerebro humano.

Por lo tanto, la geometría del eucluro, explicando las formas espaciales del mundo ficticio, es un simulacromo: una copia que no tiene el original.

Uno de los axiomas de Euclide afirma que la suma de las esquinas internas del triángulo es de 180 0. De hecho, en el espacio real, o en la superficie esférica de la Tierra, la suma de los ángulos internos del triángulo es siempre mayor que 180 0.

Discutimos así. Cualquier meridiano en el globo se interseca con un ecuador en un ángulo de 90 0. Para obtener un triángulo, necesitas alejarte del meridiano a otro meridiano. La suma de las esquinas del triángulo entre los meridianos y el lado del ecuador será de 180 0. Pero todavía habrá una esquina del polo. Como resultado, la suma de todos los ángulos será más de 180 0.

Si las partes se cruzan en un ángulo de 90 0, entonces la suma de los ángulos internos de tal triángulo será de 270 0. Dos meridianos, intersectando con el ecuador en un ángulo recto en este triángulo, serán paralelos entre sí, y en el polo, la intervención entre sí en un ángulo de 90 0, será perpendicular. Resulta que dos líneas paralelas en el mismo plano no solo se intersecan, sino que puedo ser perpendicular en el polo.

Por supuesto, los lados de tal triángulo no serán líneas rectas, sino por convexo, repitiendo la forma esférica del globo. Pero, solo un mundo real del espacio.

La geometría del espacio real, teniendo en cuenta su curvatura a mediados del siglo XIX. Desarrolló un matemático alemán B. Riman (1820-1866). Pero no hablan escolares.

Entonces, geometría de Euclidova, tomando la forma de la tierra plana con una superficie horizontal, que no es realmente no, es un simular. Nootik - geometría Riemann, que tiene en cuenta la curvatura del espacio. La suma de las esquinas internas del triángulo en ella es mayor que 180 0.

INVESTIGAR

EN EL TEMA:

"¿Siempre es la suma de los ángulos del triángulo igual a 180˚?"

Realizado:

Clase de estudiante 7B

MBOU INZEN SS №2

g. Inza, Región de Ulyanovsk

Malyshev Jan.

consejero científico:

Bolshakova lyudmila yuryevna

TABLA DE CONTENIDO

Introducción ................................................. ...................... ..3

La parte principal ............................................... .... 4

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Conclusión ................................................... ..... ..12.

Introducción

Este año comencé a aprender un nuevo artículo-geometría. Esta ciencia estudia las propiedades de las formas geométricas. En una de las lecciones, estudiamos el teorema sobre la suma de las esquinas del triángulo. Y con la ayuda de la prueba, concluimos: la suma de las esquinas del triángulo es de 180˚.

Pensé, ¿hay tales triángulos que tienen la cantidad de esquinas no serán 180˚?

Entonces me puseOBJETIVO :

¿Para saber cuándo la suma de los ángulos del triángulo no es igual a 180˚?

Poner lo siguienteTAREAS :

Familiarizarse con la historia de la geometría;

Familiarizarse con la geometría euclidiana, romana, lobachevsky;

Demuestre la forma experimental de que la suma de los ángulos del triángulo puede no ser igual a 180˚.

PARTE PRINCIPAL

La geometría surgió y se desarrolló en relación con las necesidades. actividades prácticas hombre. Durante la construcción de incluso las estructuras más primitivas, es necesario calcular la cantidad de material que irá a la construcción, calculará las distancias entre puntos en el espacio y las esquinas entre los planos. El desarrollo del comercio y la navegación requirió las habilidades para navegar el tiempo y el espacio.

Para el desarrollo de la geometría hizo muchos científicos. Antigua Grecia. La primera evidencia de hechos geométricos se asocia con el nombre.FEEZ MILETSKY.

Una de las escuelas más famosas fue pitagórica, nombrada después de su fundador, el autor de la evidencia de muchos teoremas,Pitagora.

Geometría, que se estudia en la escuela, llamada Euclidee, nombradaEuclida - Científico griego antiguo.

Euclid vivió en Alejandría. Escribió el famoso libro "principiante". La secuencia y la severidad hicieron este producto con una fuente de conocimiento geométrico en muchos países de todo el mundo durante más de dos milenios. Hasta hace poco, casi todos los libros de texto de la escuela eran en gran medida similares al "comienzo".

Pero en el siglo XIX se mostró que los axiomas de euclideas no son universales y son correctos en ninguna circunstancia. Los principales descubrimientos del sistema geométrico en el que los axiomas de euclide no son correctos, fueron hechos por Georg Riemann y Nikolai Lobachevsky. Están hablando de cómo se trata de los creadores de la geometría no infantil.

Y aquí, confiando en las enseñanzas de Euclid, Riemann y Lobachevsky, intentemos responder a la pregunta: ¿la cantidad de ángulos del triángulo siempre 180˚?

Experimentos

Considere un triángulo desde el punto de vista de la geometría.Euclidea.

Para hacer esto, toma un triángulo.

Llene sus esquinas con colores rojos, verdes y azules.

Pasaremos una línea recta. Este es un ángulo detallado, es 180 ˚.

Retire las esquinas de nuestro triángulo y colóquelas en la esquina desplegada. Vemos que la suma de tres ángulos es de 180˚.

Una de las etapas del desarrollo de la geometría fue la geometría elíptica.Riemann. Un caso especial de esta geometría elíptica es la geometría en la esfera. En la geometría de Riemann, la suma de las esquinas del triángulo es mayor que 180˚.

Entonces, esta es la esfera.

Dentro de esta esfera, un triángulo está formado por meridianos y el ecuador. Toma este triángulo, pinta sus esquinas.

Cortarlos y aplicar a la línea. Vemos que la suma de tres ángulos es mayor que 180˚.

En geometríaLobachevsky La suma de las esquinas del triángulo es inferior a 180˚.

Esta geometría se considera en la superficie de la paraboloide hiperbólica (esta es una superficie cóncava que se asemeja a una silla de montar).

Se pueden encontrar ejemplos de paraboloides en la arquitectura.

E incluso los chips de "pringle", la muestra paraboloide.

Compruebe la suma de las esquinas en el modelo del paraboloide hiperbólico.

Se forma un triángulo en la superficie.

Tome este triángulo, guarda sus esquinas, córtelas y colóquelas en línea recta. Ahora vemos que la suma de tres ángulos es inferior a 180˚.

PRODUCCIÓN

Por lo tanto, demostramos que la suma de las esquinas del triángulo no siempre es igual a 180˚.

Puede ser más, y menos.

Conclusión

En conclusión, quiero decir que fue interesante trabajar sobre este tema. Aprendí muchas cosas nuevas para mí y, en el futuro, estaría feliz de aprender esta interesante geometría.

FUENTES DE INFORMACIÓN

ru.wikipedia.org.

e-osnova.ru.

vestishki.ru.

yun.moluch.ru.

Evidencia:

Dan Triangle ABC.
A través del vértice B pasaremos directamente DK paralelo a la base AC.
\\ Ángulo cbk \u003d \\ ángulo c como interno más cercano debajo del paralelo DK y AC, y el BC de seguridad.
\\ Ángulo DBA \u003d \\ ángulo un interno más cercano debajo del DK \\ Parallel AC y el AB de aseguramiento. Ángulo de dbk desplegado e igual
\\ Angle dbk \u003d \\ angle dba + \\ angle b + \\ anle cbk
Dado que el ángulo detallado es de 180 ^ \\ Circ, un \\ ángulo cbk \u003d \\ anle c y \\ angle dba \u003d \\ angle a, yo obtengo 180 ^ \\ circunscrito \u003d \\ ángulo A + \\ ángulo B + \\ Ángle C.

El teorema está probado

Las consecuencias del teorema en la suma de las esquinas del triángulo:

La suma de las esquinas afiladas del triángulo rectangular es igual a 90 °.
En un triángulo rectangular equilibriado, cada ángulo afilado es igual 45 °.
En el triángulo equilátero, cada ángulo es igual. 60 °.
En cualquier triángulo, ya sea que todas las esquinas sean afiladas, o dos ángulos son afilados, y el tercero es estúpido o recto.
El ángulo exterior del triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos, no relacionados con él.

Teorema en el triángulo externo.

El ángulo externo del triángulo es igual a la suma de los dos ángulos de triángulo restantes, no adyacentes a este ángulo exterior.

Evidencia:

Dan Triangle ABC, donde la ALD es un ángulo externo.
\\ Angle bac + \\ angle abc + \\ angle bca \u003d 180 ^ 0
De la esquina igual \\ Angle bcd + \\ angle bca \u003d 180 ^ 0
Recibir \\ Angle bcd \u003d \\ angle bac + \\ angle abc.