Kutovi trokuta uvijek su. Znanstvena elektronička knjižnica

Teorema. Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je dva izravna kutka.

Uzmite neku vrstu trokuta AVS (sl. 208). Označavaju svoje unutarnje kutove brojevima 1, 2 i 3. Dopustite da to dokažemo

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °.

Izrežite kroz neki vrh trokuta, na primjer, u, izravni mn paralelno s AU.

Na vrhu smo dobili tri kuta: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihova količina je raspoređena kut, stoga je jednako 180 °:

≈4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °.

Ali ∠4 \u003d ∠1 je unutarnji prolaz temeljnih kutova s \u200b\u200bparalelnim izravnim MN-om i zvučnicima i av.

∠5 \u003d №3 je unutarnji dio temeljnih kutova s \u200b\u200bparalelnim izravnim MN-om i zvučnicima i južnim suncem.

Dakle, ∠4 i ∠5 mogu se zamijeniti s jednakim ≈1 i ∠3.

Prema tome,: 1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °. Teorem se dokazuje.

2. svojstvo vanjskog kuta trokuta.

Zapravo, u ABC trokutu (sl. 209) ∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3, ali i ∠VD, vanjski kut ovog trokuta, ne u susjedstvu 1 i ∠2, također je 180 ° - ∠3.

Na ovaj način:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠Bd \u003d 180 ° - ∠3.

Prema tome, ∠1 + ∠2 \u003d ∠bd.

Izvedena imovina vanjskog kuta trokuta pojašnjava sadržaj prethodno dokazanog teorema na vanjskom kutu trokuta, u kojem se tvrdi samo da je vanjski kut trokuta veći od svakog unutarnjeg kuta trokuta, a ne s njim; Sada je utvrđeno da je vanjski kut jednak zbroju unutarnjih kutova, a ne s njim.

3. vlasništvo pravokutnog trokuta s kutom od 30 °.

Pretpostavimo da je u pravokutnom trokutu kuta kuta B jednak 30 ° (Sl. 210). Tada će drugi od oštar kut biti 60 °.

Dokazujemo da su zvučnici govornika jednaki pola hipotenuse av. Nastavit ćemo Catat s zvučnicima za vrh izravnog kuta C i odgoditi segment cm jednak segmentu AU. Točka m za povezivanje s točkom V. Rezultirajući trokut WMM je jednak DR trokutu. Vidimo da je svaki kut AVM trokuta jednak 60 °, dakle, ovaj trokut je jednakostraničan.

Zvučnici govornika su jednaki pola ujutro, a budući da je jednaka ab, onda će zvučnici biti jednaki pola hipotenus av.

Ciljevi i ciljevi:

Obrazovanje:

• ponoviti i sažeti znanje trokuta;
• dokazati teoremu o zbroju kutova trokuta;
• praktično biti uvjeren ispravom tekstom teorema;
• naučite primijeniti znanje stečeno pri rješavanju zadataka.

Razvijanje:

• razviti geometrijsko razmišljanje, interes za subjekt, kognitivne i kreativne aktivnosti studenata, matematički govor, sposobnost samostalnog dobivanja znanja.

Obrazovanje:

• razviti osobne kvalitete Učenici, kao što su svrhovitost, upornost, točnost, sposobnost rada u timu.

Oprema: Multimedijski projektor, trokuti obojenog papira, CMC "Live Matematika", računalo, zaslon.

Pripremna faza: Učitelj daje zadatku učenika da se pripremi povijesni certifikat Na teoremu "zbroj kutova trokuta".

Vrsta lekcije: Proučavanje novog materijala.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

Pozdrav. Psihološki stav učenika na posao.

Ii. Vježbati

S geometrijskom figurom "trokut" smo se susreli na prethodnim lekcijama. Ponovimo ono što znamo o trokutu?

Učenici rade u skupinama. Oni su dobili priliku komunicirati jedni s drugima, svaki samostalno graditi proces znanja.

Što se dogodilo? Svaka skupina izražava svoje prijedloge, učitelj ih piše na odboru. Rasprava o rezultatima se provodi:

Slika 1

Iii. Formulirali smo zadatak lekcije

Dakle, o trokutu znamo dosta. Ali ne sve. Svaki od vas na stolu ima trokut i transport. Što mislite, kakav zadatak možemo formulirati?

Učenici formuliraju zadatak lekcije - pronaći zbroj uglova trokuta.

Iv. Objašnjenje novog materijala

Praktičan(doprinosi aktualizaciji znanja i vještina samostalnog znanja). Pogledajte mjerenja kutova koristeći prijevoz i pronađite ih. Rezultati zapisa u prijenosno računalo (čuti primljene odgovore). Otkrili smo da se količina kutaka svima ispostavilo da se razlikuje (može se pokazati, jer netočno stavi prijevoz, ležerno izvedeno brojanje, itd.).

Izvedite trčanje na točkastim linijama i saznajte što je još jednak zbroju kutova trokuta:

ali)
Slika 2.

b
Slika 3.

u)
Slika 4.

d)
Slika 5.

e)
Slika 6.

Nakon obavljanja praktičnog rada, studenti formuliraju odgovor: zbroj uglova trokuta jednaka je stupnju proširenog kuta, odnosno 180 °.

Učitelj: U matematici praktični rad To omogućuje samo za određenu izjavu, ali treba dokazati. Odobravanje, čija je pravda uspostavljena dokazima, naziva se teorem. Koji teorem možemo formulirati i dokazati?

Zjenice: Zbroj kutova trokuta je 180 stupnjeva.

Povijesna referenca:Imovina uglova trokuta osnovana je u drevnom Egiptu. Dokaz, postavljen u suvremenim udžbenicima, sadržan je u komentarima vezanja na "početak" euclidea. Granica tvrdi da je ovaj dokaz (sl. 8) otvoren od strane Pitagorejca (5 V. BC. E.). Prva knjiga "Početak" Euclid određuje još jedan dokaz teorema na zbroj kutova trokuta, koji je lako razumjeti uz pomoć crteža (sl. 7):

Slika 7.

Slika 8.

Crteži su označeni na zaslonu kroz projektor.

Učitelj predlaže dokazati teoremu uz pomoć crteža.

Tada se dokaz provodi pomoću UMC-a "Live Mathematics", Učitelj na računalu projektira dokaz teorema.

Teorem na zbroju kutova trokuta: "Zbroj uglova trokuta je 180 °"

Slika 9.

Dokaz:

ali)

Slika 10.

b

Slika 11.

u)

Slika 12.

Studenti u bilježnici čine kratak zapis o dokazu o teoremu:

Teorema: Zbroj uglova trokuta je 180 °.

Slika 13.

Dano:Δ abs

Dokazati A + B + C \u003d 180 °.

Dokaz:

Ono što je potrebno dokazati.

V. PUSS. minuta

Vi. Objašnjenje novog materijala (nastavak)

Posljedica teorema na zbroj kutova trokuta je izveden samostalno, to pridonosi razvoju sposobnosti da formulira vlastitu točku gledišta, izraziti i raspravljati:

U bilo kojem trokutu ili svi uglovi su oštri ili dva oštrija kuta, a treći glupi ili izravni.

Ako je u trokutu sve kutove oštre, onda se zove otter.

Ako je jedan od kutova trokuta glup, onda se zove glup.

Ako je jedan od kutova trokuta ravan, onda se zove pravokutan.

Teorema na zbroju kutova trokuta omogućuje vam da klasificirate trokute ne samo na bočnim stranama, već iu uglovima. (Tijekom uvođenja vrsta trokuta, stol je ispunjen studentima)

stol 1

Vrsta trokuta	Isokraci	Jednakostraničan	Svestran
Pravokutan
Glup
Akroza

VII. Pričvršćivanje materijala ispitanog.

1. Rješavanje zadataka usmeno:

(Crteži su označeni na zaslonu kroz projektor)

(Dopuniti)

Vizualna geometrija ocjena 7. Podrška Sažetak broj 4 Zbroj uglova trokuta.

Veliki francuski znanstvenik XVIII stoljeća Blaise pascal U djetinjstvu, volio se zabrljati geometrijske figure, Bio je upoznat s prijevozom i znao kako izmjeriti uglove. Mladi je istraživač primijetio da su svi trokuti zbroj tri kuta, isti je 180 °. - Kako to dokazati? - Misao Pascal. "Uostalom, nemoguće je provjeriti količinu kutova u svim trokutima - njihovom beskonačnom setu." Zatim je odrezao škare dva ugla trokuta i pričvršćena ih u treći kut. Pokazalo je detaljan kut, koji je poznato kao da je 180 °. Bio je to njegovo prvo otkriće. Daljnje sudbine Dječak je već bio unaprijed određeni.

U ovoj niti upoznat ćete se s pet znakova jednakosti pravokutnih trokuta i, možda, s najpopularnijem imovinom pravokutnog trokuta s kutom od 30 °. Zvuči ovako: korijenje, ležeći na kut od 30 °, jednak je polovici hipotenuze. Dijeljenje ravnolanstrane visine trokuta odmah dobivamo dokaz ove imovine.

TEOREMA. Zbroj uglova trokuta je 180 °. Da biste dokazali, provedite izravnu, paralelnu bazu kroz vrh. Tamni kutovi su jednaki i sivi kutovi su jednaki kao cross-line ispod paralelnih ravnih linija. Dark kut, sivi kut i kut na vrhu obliku detaljan kut, njihov iznos je 180 °. Iz teorema slijedi da su kutovi jednakostraničnog trokuta jednako 60 ° i da je zbroj oštrih kutaka pravokutnog trokuta 90 °.

Vanjski kut Trokut se naziva kut uz kut trokuta. Stoga se ponekad kutovi trokuta nazivaju unutarnjim kutovima.

Teorem na vanjskom trokutu, Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dviju unutarnje, ne susjedne s njom. Doista, vanjski kut i dva unutarnja, a ne u susjedstvu, nadopunjuju kut rezanja na 180 °. Iz teorema slijedi da je vanjski kut više od bilo kojeg unutarnjeg, a ne povezan s njom.

Teorem o odnosu stranaka i uglovima trokuta, U trokutu, protiv većine stranaka veći kut, i protiv većeg kuta leži najveću stranu. Stoga slijedi: 1) Rolls manje hipotenuse. 2) okomite manje nagnute.

Udaljenost od točke do izravnog , Budući da je okomita manja od bilo kakvog nagnutog, provedenog iz iste točke, njegova duljina se uzima preko udaljenosti od točke do usmjeravanja.

Nejednakost trokuta , Duljina bilo koje strane trokuta je manja od zbroja druge dvije strane, tj. ali< b + с , b.< а + с , iz< а + b. . Posljedica, Duljina otpada je veća od segmenta koji povezuje njezine ciljeve.

Znakovi jednakosti
Pravokutni trokuti

U dvije kategorije, Ako su dvije kategorije jednog pravokutnog trokuta jednake dvije kategorije drugog trokuta, tada su takve trokute jednake.

Na katetu i susjednom akutnom kutu, Ako su role i susjedni akutni kut jednog pravokutnog trokuta jednaki kašetu i oštriju kutku drugog trokuta u blizini njega, tada su takvi trokuti jednaki.

Na katetu i suprotnom akutnom kutku, Ako su role i suprotni kut jednog pravokutnog trokuta jednako jednaki katetu i suprotnom akutnom kutku drugog trokuta, tada su takve trokuti jednaki.

O hipotenuse i akutnom kutku, Ako je hipotenuza i akutni kut jednog pravokutnog trokuta odnosno jednaki hipotenusu i akutni kut drugog trokuta, tada su takve trokuti jednaki.

Dokaz ovih znakova odmah se svede na jedan od znakova jednakosti trokuta.

Na katetu i hipotenusu, Ako je katat i hipotemen u jednom pravokutnom trokutu jednak kateleni i hipoknuusu drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Dokaz. Izrađujemo trokute jednake običajima. Dobivamo nepopravljiv trokut. Njegova visina provedena od vrha bit će medijana. Tada su trokuti jednaki drugim brodovima, a trokuti su jednaki tri strane.

TEOREMA na imovini kategorije leže na kut od 30 °, Korijen, ležeći na kut od 30 °, pola je hipothenus. Dokazuje cjelovitost trokuta na jednakostraniku.

Teorem na svojstvima kutnog kuta, Bilo koja točka kutne bisen je jednaka bokovima. Ako je točka jednaka sa strane kuta, onda leži na bisertu kuta. Dokazano je u održavanju dvije okomito na strane kuta i razmatranje pravokutnih trokuta.

Druga prekrasna točka , Bisektori trokuta presijecaju se u jednom trenutku.

Udaljenost između paralela ravno. TEOREMA, Sve točke svake od dvije paralelne linije nalaze se na jednakoj udaljenosti od druge linije. Teorem bi trebao odrediti udaljenost između paralela.

Definicija, Udaljenost između dva paralelna ravna je udaljenost od bilo koje točke jednog od paralela izravno na drugu ravnu liniju.

Detaljni teoremi dokaza

Ovo je referentni sažetak broj 4 u geometriji u 7. razredu. Odaberite daljnje radnje:

Trokut . Akutni, glupi i pravokutni trokut.

Kateti i hipoteze. Jednak i jednakostraničan trokut.

Zbroj kutova trokuta.

Vanjski kut trokuta. Znakovi jednakosti trokuta.

Prekrasne linije i točke u trokutu: visine, posrednici,

bisectrix, medijane. okomita, ortocentra,

središte gravitacije, središte opisanog kruga, središte upisanog kruga.

Pitagorin poučak. Omjer aspekta u proizvoljnom Fallu.

Trokut - Ovo je poligon s tri strane (ili tri ugla). Strane trokuta ukazuju na mala slova koja odgovaraju velika slovaoznačava suprotne vrhove.

Ako su sve tri kutove oštre (Sl.20), onda ovo akutni trokut , Ako je jedan od kutova izravno(C, sl.21), to je desni trokut; Strankea, B.zove se stvaranje ravnog kuta katetinski; strana C.Nasuprot ravnom kutu, nazvan hipotenuza, Ako je jedan kutovi glupi (B, sl.22), to je glupi trokut.


ABC trokut (Sl.23) - isokraci, ako a dva Njegove su stranke jednake (a.= c.); Te se jednake stranke nazivaju strana, treća strana se zove baza Trokut. TrokutABC (Sl.24) - jednakostraničan, ako a sve Njegove su stranke jednake (a. = b. = c. ). Općenito ( a. ≠ b. ≠ c.) imati skalenski trokut .

Glavna svojstva trokuta. U bilo kojem trokutu:

1. Protiv većine je protiv većine i obrnuto.

2. Protiv jednakih stranaka leže jednaki kutovi, i obrnuto.

Konkretno, svi kutovi u jednakostraničan Trokut je jednak.

3. Zbroj kutova trokuta je jednak 180 º .

Od posljednja dva nekretnine slijedi da svaki kut u jednakostraniku

Trokut je 60. º.

4. nastavljaju jednu od strana trokuta (AC, Sl.25), primati vanjski

BCD kut . Vanjski kut trokuta jednak je zbroj unutarnjih kutova,

ne odnosi se na to : BCD \u003d A + B.

5. Bilo koji strana trokuta je manja od sume drugih dva i više

Njihova razlika (a. < b. + c., a. > b. – c.;b. < a. + c., b. > a. – c.;c. < a. + b.,c. > a. – b.).

Znakovi jednakosti trokuta.

Trokuti su jednaki ako su jednako jednaki:

A. ) Dvije strane i kut između njih;

B. ) Dva ugla i strana u blizini njih;

c) tri strane.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta.

Dva pravokutan Trokut je jednak ako je zadovoljen jedan od sljedećih uvjeta:

1) jednaka njihovim katetetima;

2) katat i hipotemen jedan trokut jednaki su katetetu i hipotenuzu drugog;

3) hipotenuse i akutni kut jednog trokuta jednaki su hipotenuze i akutnog kutka drugog;

4) katat i susjedni oštri kut jednog trokuta jednaki su katetu i susjedni akutni kutak drugog;

5) Catat i suprotni oštri kut jednog trokuta jednako su katetu i suprotan akutni kutak drugog.

Prekrasne linije i točke u trokutu.

Visina trokutokomita,spušteno iz bilo kojeg vrha na suprotnom smjeru ( ili njezin nastavak). Ova se strana zovebazu trokuta . Tri visine trokuta uvijek se sijekuu jednom trenutku, nazvan ortocentratrokut. Ortocenter akutnog koronalnog trokuta (točkaO. , Sl.26) nalazi se unutar trokuta iortocentre stupagol trokut (točkaO. , Sl.27) – vani; Ortlocentre pravokutnog trokuta podudara se s vrhom izravnog kuta.

Srednji - ovo je odjeljak povezivanje bilo kojeg vrha trokuta od sredine suprotne strane. Tri trokuta (AD, BE, CF, Sl.28) presjeći se u jednoj točki O. uvijek leži unutar trokutai biti to centar gravitacije. Ova točka dijeli svaki medijan u odnosu na 2: 1, računajući od vrha.

Bisektor - ovo je izrezati bitrovekut od vrha do točke prijeći s suprotnom strani. Tri bisenski trokuta (Oglas, cf, Sl.29) presjeći se u jednoj točki Uvijek ležim unutar trokutai to je centar upisano u krug (pogledajte odjeljak "In-raspoređenii opisani poligoni ").

Bisectrix dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranama ; Na primjer, na Sl.29AE: CE \u003d AB: prije Krista.

Općinska okomita - Ovo je okomita od prosjeka Rezane točke (strane). Tri medijana okomita trokuta (KO, MO, NO, Sl.30 ) presjeći se u jednom trenutku, što jest centar opisani krug (Točke k, m, n - Srednje strane trokuta Abc).

U akutnom trokutu, ova točka leži unutar trokuta; u glupoj - vani; u pravokutnom - u sredini hipotenuze. Ortointer, centar gravitacije, središte opisanog i centra uključen krug uhvatiti samo u jednakostraničnom trokutu.

Pitagorin poučak. U pravokutnoj duljini trokutahipotenusi su jednaki zbroju kvadrata čarolija kateha.

Dokaz o pitagorejskoj teoremi očigledno slijedi sa Sl.31. Razmotrite pravokutni trokutABC s Catetie a, B.i hipotenuse C..

Izgradimo kvadrat AKMB. Koristeći hipotenuseAb osim. Zatimnastavite stranu pravokutnog trokutaAbc dakle, da biste dobili kvadrat CDEF. čija je strana jednakaa + b.Sada je jasno da je kvadrat trgaCDEF je jednak ( a + B.) 2 , S druge strane, ovo područje je jednako sumikvadrat Četiri pravokutnog trokuta i kvadratni AKMB, to jest

c. 2 + 4 (ab / 2) = c. 2 + 2 ab,

stoga

c. 2 + 2 ab= (a + B.) 2 ,

i na kraju imamo:

c. 2 = A. 2 + B. 2 .

Omjer slike u proizvoljnom trokutu.

Općenito, (za proizvoljni trokut) imamo:

c. 2 = A. 2 + B. 2 – 2ab· cos. C,

gdje C. - kut između stranakaa. i b. .

\u003e\u003e Geometrija: zbroj uglova trokuta. Pune lekcije

Tematska lekcija: Zbroj kutova trokuta.

Ciljevi Lekcija:

• Konsolidacija i provjera znanja studenata na temu: "Zbroj uglova trokuta";
• Dokaz o svojstvima uglova trokuta;
• Primjena ovog objekta pri rješavanju najjednostavnijih zadataka;
• Korištenje povijesnog materijala za razvoj kognitivna aktivnost učenici;
• Stavljajući vještinu točnosti pri izgradnji crteža.

Zadaci Lekcija:

• Provjerite vještinu učenika za rješavanje problema.

Plan učenja:

1. Trokut;
2. Teorem na zbroju kutova trokuta;
3. Primjer zadataka.

Trokut.

Datoteka: O.gif trokut- najjednostavniji poligon koji ima 3 vrhova (uglovi) i 3 strane; Dio aviona, ograničen s tri točke i tri segmenta, priključite ove točke.
Tri točke prostora koja ne leže na jednoj ravnoj liniji odgovara jednoj i samo jednoj ravnini.
Bilo koji poligon može se podijeliti na trokute - ovaj se proces naziva tričarka.
Postoji dio matematike, u potpunosti posvećen proučavanju obrazaca trokuta - Trigonometrija.

Teorem na zbroju kutova trokuta.

Datoteka: T.Gif Teorem na zbroju kutova trokuta je klasična teorem euklidska geometrija, tvrdi da je kut kutova trokuta je 180 °.

Dokaz" :

Neka se dobije δ abc. Provodimo kroz Vertex B izravno, paralelno (AC) i bilješku na toj točki d tako da točke a i d leže na različitim stranama od izravnog prije Krista. Zatim kut (DBC) i kut (ACB) su jednaki kao unutarnji bliže pod paralelnim izravnim BD i AC i drugi (BC). Tada je zbroj trokutnih kutova na vrhovima B i C jednaka kutu (ABD). No, kut (ABD) i kut (BAC) na vrhu ABC trokuta su unutarnji jednontirani s paralelnim izravnim BD i AC i drugi (AB), a njihov iznos je 180 °. Prema tome, zbroj kutova trokuta je 180 °. Teorem se dokazuje.

Posljedice.

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva ugla trokuta, koji nisu povezani s njim.

Dokaz:

Neka se dobije δ abc. Točka d leži na ravnoj liniji AC tako da je između C i D. Tada je loše vanjsko do ugla trokuta na vrhu A i + loše \u003d 180 °. Ali A + B + C \u003d 180 °, i, dakle, B + C \u003d 180 ° - A. Stoga je loš \u003d B + C. Istraživanje se dokaže.

Posljedice.

Vanjski kut trokuta je veći od bilo kojeg trokutnog kuta, a ne povezan s njom.

Zadatak.

Vanjski kut trokuta naziva se kut, uz mali kut ovog trokuta. Dokazati da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dva ugla trokuta, koji nisu povezani s njim.
(Sl. 1)

Odluka:

Pustite Δ abs ∠das - vanjski (sl. 1). Zatim ∠das \u003d 180 ° -∠VAS (po svojstvima susjednih kutova), teoremom na zbroju kutova trokuta ∠V + ∠ ∠ ∠S \u003d 180 ° -∠vas. Iz tih jednakosti dobivamo ∠das \u003d ∠V + ∠

Zanimljiva činjenica:

Zbroj uglova trokuta " :

U geometriji Lobachevsky, zbroj uglova trokuta uvijek je manji od 180. U geometriji euklida, uvijek je jednaka 180. U geometriji Riemanna, zbroj uglova trokuta uvijek je veći od 180.

Iz povijesti matematike:

Euclidean (III B BRZ) U radu "početka" dovodi do takve definicije: "paralelno suštinu izravnog, koja su u istoj ravnini i, nastavi se na obje strane, ne sastaju se jedni s drugima".
Posidochi (i b bh) "Dvije ravne linije koje leže u istom ravnini jedni od drugih"
Drevni grčki znanstvenik Papp (III B BC) uveo je simbol paralelnog izravnog znaka \u003d. Naknadno engleski ekonomist Ricardo (1720-1823) Ovaj se simbol koristi kao znak jednakosti.
Samo u XVIII. Stoljeću počeo je koristiti simbol paralelizma izravnog znaka ||.
Ni trenutak ne ne prekida živahni odnos između generacija, svaki dan smo asimilirali iskustvo koje ste dobili naši preci. Stari Grci na temelju opažanja i praktičnog iskustva donijeli su zaključke, izrazili hipoteze, a zatim na sastancima znanstvenika - simpozija (doslovno "blagdana") - te hipoteze pokušale su opravdati i dokazati. U to vrijeme, odobrenje je bilo: "Istina je rođena u sporu."

Pitanja:

1. Što je trokut?
2. Što je teorem o zbroju kutova trokuta?
3. Koji je vanjski kut trokuta?