Określ rangę przykładowej macierzy. Znajdź rangę macierzy: metody i przykłady

W tym artykule omówione zostanie takie pojęcie jak ranga macierzy oraz niezbędne pojęcia dodatkowe. Podamy przykłady i dowody na znalezienie rangi macierzy, a także powiemy, co to jest macierz minor i dlaczego jest tak ważna.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mała macierz

Aby zrozumieć, czym jest rząd macierzy, konieczne jest zrozumienie takiego pojęcia, jak minor macierzy.

Definicja 1

Mniejszyk-macierz rzędu jest wyznacznikiem macierzy kwadratowej rzędu k × k, która składa się z elementów macierzy A znajdujących się w wybranych k-wierszach i k-kolumnach, przy zachowaniu położenia elementów macierzy A.

Mówiąc najprościej, jeśli w macierzy A usuwamy (pk) wiersze i (nk) kolumny, a ich pozostałe elementy są zestawiane, zachowując układ elementów macierzy A, to wyznacznikiem macierzy wynikowej jest drugorzędny porządek k macierzy A.

Z przykładu wynika, że ​​podrzędne pierwszego rzędu macierzy A są elementami samej macierzy.

Istnieje kilka przykładów nieletnich drugorzędnych. Wybierzmy dwa wiersze i dwie kolumny. Na przykład 1. i 2. wiersz, 3. i 4. kolumna.

Przy takim wyborze elementów drugorzędny element drugorzędny będzie wynosił - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Kolejny drugorzędny drugorzędny macierzy A to 0 0 1 1 = 0

Podajmy ilustrację konstrukcji drugorzędowych drugorzędnych macierzy A:

Drugorzędny stopień trzeciego rzędu uzyskuje się usuwając trzecią kolumnę macierzy A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 -0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustracja, w jaki sposób otrzymuje się drugorzędny trzeci rząd macierzy A:

Dla danej macierzy nie ma małoletnich wyższych niż III rzędu, ponieważ

k ≤ m ja n (p, n) = m ja n (3, 4) = 3

Ile elementów drugorzędnych rzędu k ma macierz A rzędu p × n?

Liczbę nieletnich oblicza się według następującego wzoru:

C p k × C n k, gdzie e e C p k = p! k! (p - k)! i C n k = n! k! (n-k)! - liczba kombinacji odpowiednio od p do k, od n do k.

Po ustaleniu, jakie są minory macierzy A, możemy przystąpić do wyznaczania rangi macierzy A.

Ranga macierzowa: metody znajdowania

Ranga macierzy - najwyższy rząd macierzy inny niż zero.

Notacja 1

stopień (A), Rg (A), Rang (A).

Z definicji rzędu macierzy i drobnego macierzy staje się jasne, że rząd macierzy zerowej wynosi zero, a rząd macierzy niezerowej jest niezerowy.

Znajdowanie rangi macierzy z definicji

Wyliczanie małoletnich - metoda oparta na wyznaczeniu rangi macierzy.

Algorytm działania poprzez liczenie nieletnich :

Konieczne jest znalezienie rangi macierzy A rzędu P× n... Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy element, to ranga macierzy jest co najmniej równa jeden ( odkąd jest molem pierwszego rzędu, który nie jest zerem).

Następnie następuje wyliczenie nieletnich drugorzędnych. Jeśli wszystkie drugorzędne dzieci drugorzędne są równe zeru, to ranga jest równa jeden. Jeżeli istnieje co najmniej jedna niezerowa drugorzędna drugiego rzędu, należy przejść do wyliczenia drugorzędnych drugorzędnych trzeciego rzędu, a rząd macierzy w tym przypadku będzie równy co najmniej dwóm.

Podobnie postąpimy z rangą trzeciego rzędu: jeśli wszystkie mniejsze w macierzy są równe zero, to rang będzie równy dwóm. Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy mniejszy trzeci rzędu, to ranga macierzy wynosi co najmniej trzy. I tak dalej, przez analogię.

Przykład 2

Znajdź rangę macierzy:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Ponieważ macierz jest niezerowa, jej ranga jest co najmniej równa jeden.

Drugorzędny drugorzędny - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 jest niezerowe. Stąd wynika, że ​​rząd macierzy A wynosi co najmniej dwa.

Iterujemy po nieletnich trzeciego rzędu: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 sztuk.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (-7) - 1 × (-4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (-7) - 1 × (-4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minory trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy jest równa dwa.

Odpowiedź : Ranga (A) = 2.

Znalezienie rangi macierzy metodą graniczących nieletnich

Metoda Border Minor - metoda, która pozwala uzyskać wynik przy mniejszej ilości pracy obliczeniowej.

W obliczu nieletniego - podrzędna M ok (k + 1) -ty rząd macierzy A, który graniczy z podrzędną M rzędu k macierzy A, jeśli macierz odpowiadająca podrzędnej M ok "zawiera" macierz odpowiadającą moll M.

Mówiąc najprościej, macierz, która odpowiada graniczącemu mniejszemu M, jest otrzymywana z macierzy odpowiadającej graniczącemu mniejszemu Mok poprzez usunięcie elementów jednego wiersza i jednej kolumny.

Przykład 3

Znajdź rangę macierzy:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Aby znaleźć rangę, bierzemy drugorzędną drugorzędną М = 2 - 1 4 1

Wypisujemy wszystkich nieletnich z pogranicza:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Dla uzasadnienia metody graniczenia nieletnich przedstawiamy twierdzenie, którego sformułowanie nie wymaga podstawy dowodowej.

Twierdzenie 1

Jeżeli wszystkie drobne graniczące z mniejszym k-tego rzędu macierzy A rzędu p przez n są równe zeru, to wszystkie drobne rzędu (k + 1) macierzy A są równe zeru.

Algorytm działań :

Aby znaleźć rangę macierzy, nie trzeba iterować wszystkich drugorzędnych, wystarczy spojrzeć na sąsiednie.

Jeżeli graniczące nieletnie są równe zero, to ranga macierzy wynosi zero. Jeśli istnieje co najmniej jeden nieletni, który nie jest równy zero, wówczas bierzemy pod uwagę nieletnich graniczących.

Jeśli wszystkie są zerowe, to ranga (A) wynosi dwa. Jeśli istnieje co najmniej jeden nieletni graniczący z wartością niezerową, wówczas przystępujemy do rozważania jego graniczących nieletnich. I tak dalej w podobny sposób.

Przykład 4

Znajdź rangę macierzy metodą graniczących nieletnich

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Jak rozwiązać?

Ponieważ element a 11 macierzy A nie jest równy zero, bierzemy małą 1-go rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego graniczącego nieletniego:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Znaleźliśmy graniczący drugorzędny drugorzędny nierówny zero 2 0 4 1.

Przejdźmy do graniczących nieletnich - (jest (4 - 2) × (5 - 2) = 6 sztuk).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odpowiedź : Ranga (A) = 2.

Znajdowanie rzędu macierzy metodą Gaussa (przy użyciu przekształceń elementarnych)

Pamiętajmy, czym są transformacje elementarne.

Przekształcenia elementarne:

• zmieniając kolejność wierszy (kolumn) macierzy;
• mnożąc wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną niezerową liczbę k;

przez dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny) elementów, które odpowiadają innemu wierszowi (kolumnie) macierzy, które są pomnożone przez dowolną liczbę k.

Definicja 5

Znajdowanie rzędu macierzy metodą Gaussa - metoda oparta na teorii równoważności macierzy: jeśli macierz B otrzymuje się z macierzy A za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych, to Ranga (A) = Ranga (B).

Ważność tego stwierdzenia wynika z definicji macierzy:

• w przypadku permutacji wierszy lub kolumn macierzy jej wyznacznik zmienia znak. Jeśli jest równy zero, to pozostaje równy zero podczas przestawiania wierszy lub kolumn;
• w przypadku pomnożenia wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę k, która nie jest równa zeru, wyznacznik macierzy wynikowej jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej, która jest mnożona przez k;

w przypadku dodania do elementów pewnego wiersza lub kolumny macierzy odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny, które są pomnożone przez liczbę k, nie zmienia jej wyznacznika.

Istota metody elementarnych przekształceń : sprowadzić macierz, której rząd należy znaleźć, do trapezu za pomocą przekształceń elementarnych.

Po co?

Ranga tego rodzaju macierzy jest dość łatwa do odnalezienia. Jest równa liczbie wierszy zawierających co najmniej jeden niezerowy element. A ponieważ ranga nie zmienia się podczas przekształceń elementarnych, będzie to ranga macierzy.

Zilustrujmy ten proces:

• dla macierzy prostokątnych A rzędu p przez n, których liczba wierszy jest większa od liczby kolumn:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, Ranga (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, Ranga (A) = k

• dla macierzy prostokątnych A rzędu p przez n, których liczba wierszy jest mniejsza niż liczba kolumn:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• dla macierzy kwadratowych A rzędu n przez n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Ranga (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, Ranga (A) = k, k< n

Przykład 5

Znajdź rząd macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Jak rozwiązać?

Ponieważ element a 11 jest niezerowy, konieczne jest pomnożenie elementów pierwszego rzędu macierzy A przez 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Dodaj do elementów drugiego rzędu odpowiednie elementy pierwszego rzędu, które są pomnożone przez (-3). Do elementów trzeciej linii dodaj elementy pierwszej linii, które są pomnożone przez (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) jest niezerowy, więc mnożymy elementy drugiego rzędu macierzy A przez A (2) przez a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Do elementów trzeciego rzędu wynikowej macierzy dodaj odpowiednie elementy drugiego rzędu, które są pomnożone przez 3 2;
• do elementów czwartego rzędu - elementy drugiego rzędu, które są pomnożone przez 9 2;
• do elementów 5. rzędu - elementy 2. rzędu, które są pomnożone przez 3 2.

Wszystkie elementy wiersza mają wartość zero. Tak więc za pomocą przekształceń elementarnych doprowadziliśmy macierz do postaci trapezowej, z której widać, że R a n k (A (4)) = 2. Stąd wynika, że ​​ranga macierzy oryginalnej również jest równa dwa.

Komentarz

Jeśli przeprowadzasz transformacje elementarne, wartości przybliżone są niedozwolone!

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Według rangi macierzy nazywana jest największym porządkiem swoich niezerowych mniejszych. Ranga macierzy jest oznaczona przez lub.

Jeżeli wszystkie najmniejsze rzędu danej macierzy są równe zero, to wszystkie najmniejsze rzędu wyższego rzędu tej macierzy są również równe zeru. Wynika to z definicji wyznacznika. To implikuje algorytm znajdowania rangi macierzy.

Jeśli wszystkie drugorzędne elementy pierwszego rzędu (elementy macierzy) są równe zeru. Jeśli co najmniej jeden z elementów drugorzędnych pierwszego rzędu jest niezerowy, a wszystkie elementy drugorzędne drugiego rzędu są równe zeru. Co więcej, wystarczy zobaczyć tylko te nieletnie dzieci drugiego rzędu, które graniczą z niezerowym nieletnim pierwszego rzędu. Jeśli istnieje niezerowy drugorzędny drugorzędny, zbadaj drugorzędne drugorzędne graniczące z niezerowym drugorzędnym drugorzędnym. Jest to kontynuowane, dopóki nie dojdą do jednego z dwóch przypadków: albo wszystkie drugorzędne rzędu graniczące z niezerowym drugorzędnym rzędu są równe zero, albo nie ma takich drugorzędnych. Następnie .

Przykład 10. Oblicz rangę macierzy.

Poboczny (element) pierwszego rzędu jest niezerowy. Pomniejsza granica z nim również nie jest równa zero.

Wszystkie te niepełnoletnie są równe zeru, więc.

Powyższy algorytm znajdowania rangi macierzy nie zawsze jest wygodny, ponieważ polega na obliczeniu dużej liczby wyznaczników. Najwygodniej jest używać przekształceń elementarnych przy obliczaniu rangi macierzy, za pomocą której macierz jest redukowana do tak prostej postaci, że jest oczywiste, jaka jest jej ranga.

Elementarne przekształcenia macierzy nazwijmy następujące przekształcenia:

Ø pomnożenie dowolnej macierzy wierszy (kolumn) przez liczbę inną niż zero;

Ø dodanie do jednego rzędu (kolumny) kolejnego rzędu (kolumny) pomnożonej przez dowolną liczbę.

Polijordanov transformacja wierszy macierzy:

z elementem rozstrzygającym to następujący zestaw przekształceń z wierszami macierzy:

Ø do pierwszego wiersza dodaj 10, pomnożone przez liczbę itp .;

Dodaj Ø do ostatniego wiersza pomnożoną przez liczbę.

Półjordańska transformacja kolumn macierzowych z elementem rozstrzygającym to następujący zestaw przekształceń z kolumnami macierzy:

Ø do pierwszej kolumny dodaj x, pomnożone przez liczbę itp .;

Ø do ostatniej kolumny dodaj x pomnożone przez liczbę.

Po wykonaniu tych przekształceń otrzymujemy macierz:

Półjordańska transformacja wierszy lub kolumn macierzy kwadratowej nie zmienia jej wyznacznika.

Elementarne przekształcenia macierzy nie zmieniają jej rangi. Pokażmy na przykład, jak obliczyć rząd macierzy za pomocą przekształceń elementarnych. wiersze (kolumny) są zależne liniowo.

Niech zostanie podana jakaś macierz:

.

Wybieramy w tej matrycy arbitralne linie i dowolne kolumny
... Następnie wyznacznik rzędu, złożony z elementów macierzowych
znajdujący się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn nazywany jest mniejszym -macierz rzędu
.

Definicja 1.13. Według rangi macierzy
nazywa się największym rzędem mola tej macierzy, innym niż zero.

Aby obliczyć rząd macierzy, należy wziąć pod uwagę wszystkie jej najmniejsze rzędu najmniejszego i, jeśli przynajmniej jedna z nich jest niezerowa, przystąpić do rozważania podrzędnych najwyższego rzędu. Takie podejście do wyznaczania rangi matrycy nazywamy metodą bordering (lub metodą bordering minors).

Zadanie 1.4. Korzystając z metody graniczących małoletnich, określ rangę macierzy
.

.

Weźmy na przykład obrzeże pierwszego rzędu
... Następnie przechodzimy do rozważenia granic drugiego rzędu.

Na przykład,
.

Na koniec przeanalizujmy granicę trzeciego rzędu.

.

Zatem najwyższym rzędem niezerowej liczby drugorzędnej jest 2, stąd
.

Rozwiązując Problem 1.4, można zauważyć, że liczba graniczących drugorzędnych nieletnich jest niezerowa. W związku z tym ma miejsce następująca koncepcja.

Definicja 1.14. Podstawowym drugorzędnym macierzy jest dowolny niezerowy drugorzędny, którego rząd jest równy rządowi macierzy.

Twierdzenie 1.2.(Podstawowe drobne twierdzenie). Wiersze linii bazowej (kolumny linii bazowej) są liniowo niezależne.

Zauważ, że wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich może być przedstawiony jako liniowa kombinacja pozostałych.

Twierdzenie 1.3. Liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa liczbie liniowo niezależnych kolumn macierzy i jest równa randze macierzy.

Twierdzenie 1.4.(Warunek konieczny i wystarczający do zaniku determinanty). W celu wyznacznika -tego rzędu był równy zero, konieczne i wystarczające jest, aby jego wiersze (kolumny) były zależne liniowo.

Obliczanie rangi macierzy na podstawie jej definicji jest zbyt uciążliwe. Staje się to szczególnie ważne w przypadku macierzy wyższych rzędów. W związku z tym w praktyce rząd macierzy jest obliczany na podstawie zastosowania Twierdzeń 10.2 - 10.4, a także wykorzystania pojęć równoważności macierzy i przekształceń elementarnych.

Definicja 1.15. Dwie macierze
oraz są nazywane równoważnymi, jeśli ich rangi są równe, tj.
.

Jeśli macierze
oraz są równoważne, to uwaga
 .

Twierdzenie 1.5. Ranga macierzy nie zmienia się od przekształceń elementarnych.

Nazwiemy elementarne przekształcenia macierzy
dowolna z następujących akcji na macierzy:

Zastępowanie wierszy kolumnami i kolumn odpowiadającymi wierszami;

Permutacja wierszy macierzy;

Przekreślenie linii, której wszystkie elementy są równe zeru;

Mnożenie ciągu przez liczbę niezerową;

Dodanie do elementów jednego rzędu odpowiednich elementów innego rzędu pomnożonych przez tę samą liczbę
.

Wniosek z twierdzenia 1.5. Jeśli matryca
otrzymany z matrycy używając skończonej liczby przekształceń elementarnych, to macierze
oraz są równoważne.

Przy obliczaniu rzędu macierzy należy ją sprowadzić do postaci trapezowej przy użyciu skończonej liczby przekształceń elementarnych.

Definicja 1.16. Nazwiemy trapezoidalną formę reprezentacji macierzy, gdy w granicznym mniejszym najwyższego rzędu niezerowego wszystkie elementy poniżej przekątnych znikają. Na przykład:

.

Tutaj
, elementy macierzy
znikać. Wtedy forma reprezentacji takiej macierzy będzie trapezoidalna.

Z reguły macierze są konwertowane na kształt trapezu za pomocą algorytmu Gaussa. Ideą algorytmu Gaussa jest to, że mnożąc elementy pierwszego wiersza macierzy przez odpowiednie współczynniki, osiągają, że wszystkie elementy pierwszej kolumny znajdujące się poniżej elementu
zniknie. Następnie mnożąc elementy drugiej kolumny przez odpowiednie współczynniki uzyskujemy, że wszystkie elementy drugiej kolumny znajdujące się poniżej elementu
zniknie. Następnie postępuj w ten sam sposób.

Zadanie 1.5. Określ rangę matrycy, redukując ją do formy trapezowej.

.

Dla wygody korzystania z algorytmu Gaussa możesz zamienić pierwszą i trzecią linię.








.

Oczywiście tutaj
... Aby jednak nadać wynikowi bardziej elegancką formę, możesz dalej kontynuować przekształcenia na kolumnach.










.

Liczba r nazywana jest rządem macierzy A, jeżeli:
1) macierz A zawiera drugorzędny rzędu r, różny od zera;
2) wszystkie mniejsze rzędu (r + 1) i wyższe, jeśli istnieją, są równe zeru.
W przeciwnym razie ranga macierzy jest najwyższym niezerowym porządkiem podrzędnym.
Oznaczenia: rangA, r A lub r.
Z definicji wynika, że ​​r jest dodatnią liczbą całkowitą. W przypadku macierzy zerowej ranga jest uważana za zero.

Cel usługi... Kalkulator online służy do wyszukiwania ranga macierzy... W takim przypadku rozwiązanie jest zapisywane w formacie Word i Excel. zobacz przykład rozwiązania.

Instrukcja. Wybierz wymiar matrycy, kliknij Dalej.

Definicja . Niech będzie dana macierz rang. Każdy element pomocniczy macierzy inny niż zero i mający porządek r jest nazywany podstawowym, a wiersze i kolumny jego składników nazywane są wierszami i kolumnami podstawowymi.
Zgodnie z tą definicją macierz A może mieć kilka podstawowych małoletnich.

Rząd macierzy jednostkowej E wynosi n (liczba wierszy).

Przykład 1. Podane są dwie macierze, i ich nieletnich , ... Który z nich można przyjąć za punkt odniesienia?
Rozwiązanie... Pomniejsza M 1 = 0, więc nie może być podstawowa dla żadnej z macierzy. Pomniejsza M 2 = -9 ≠ 0 i ma rząd 2, więc może być traktowana jako macierze bazowe A lub / i B, pod warunkiem, że mają rangi równe 2. Ponieważ detB = 0 (jako wyznacznik z dwiema proporcjonalnymi kolumnami), to rangB = 2 i M 2 można przyjąć za podstawę minorową macierzy B. Rząd macierzy A wynosi 3, ponieważ detA = -27 ≠ 0 i , zatem rząd podstawowa podrzędna tej macierzy musi być równa 3, to znaczy, że M 2 nie jest podstawowym dla macierzy A. Zauważ, że macierz A ma jedną podstawową podrzędną, która jest równa wyznacznikowi macierzy A.

Twierdzenie (o podstawach minorowych). Dowolny wiersz (kolumna) macierzy jest liniową kombinacją jej podstawowych wierszy (kolumn).
Wnioski z twierdzenia.

1. Dowolne (r + 1) kolumny (wiersze) macierzy rangi r są zależne liniowo.
2. Jeżeli ranga macierzy jest mniejsza niż liczba jej wierszy (kolumn), to jej wiersze (kolumny) są zależne liniowo. Jeśli rangA jest równe liczbie jego wierszy (kolumn), to wiersze (kolumny) są liniowo niezależne.
3. Wyznacznik macierzy A jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiersze (kolumny) są liniowo zależne.
4. Jeżeli do wiersza (kolumny) macierzy dodamy kolejny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę inną niż zero, to ranga macierzy nie ulegnie zmianie.
5. Jeśli wiersz (kolumna) w macierzy zostanie przekreślony, co jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), to ranga macierzy nie ulegnie zmianie.
6. Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy (kolumn).
7. Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy jest taka sama, jak maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn.

Przykład 2. Znajdź rangę macierzy .
Rozwiązanie. Na podstawie definicji rangi macierzy będziemy szukać drobnej o najwyższym rzędzie, innym niż zero. Najpierw przekształcamy macierz do prostszej postaci. Aby to zrobić, pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez (-2) i dodaj do drugiego, następnie pomnóż przez (-1) i dodaj do trzeciego.