Postęp arytmetyczny: co to jest? Formuła n-tego elementu ciągu arytmetycznego Formuła sumy n ciągu arytmetycznego.

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)… jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można otrzymać od poprzedniego dodając trzy):

W postępie tym różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywamy wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy następny element będzie mniejszy niż poprzedni. Te progresje są tzw malejący.

Notacja postępu arytmetycznego

Progresja jest oznaczona małą literą łacińską.

Nazywa się to liczbami, które tworzą progresję członkowie(lub elementów).

Są one oznaczone tą samą literą co postęp arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów na postępie arytmetycznym

W zasadzie powyższe informacje są już wystarczające do rozwiązania prawie każdego problemu dotyczącego postępu arytmetycznego (w tym tych oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Dane są trzy pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu..
Rozwiązanie:

	Otrzymujemy pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od sąsiedniego o tę samą liczbę. Dowiedz się, który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do pożądanego (pierwszego ujemnego) elementu.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Danych jest kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(...5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, czyli inaczej mówiąc, różnica progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz bez problemu znajdujemy to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony następującymi warunkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Ale nie znamy ich znaczenia, otrzymujemy tylko pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości po kolei, korzystając z podanych nam: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Po obliczeniu sześciu potrzebnych elementów znajdujemy ich sumę.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Żądana kwota została znaleziona.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory progresji arytmetycznej

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu przez zrozumienie najważniejszej rzeczy - że postęp arytmetyczny jest łańcuchem liczb, a każdy następny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (różnica postępu).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których rozwiązanie „na czole” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Co to jest, my \ (385 \) razy dodać cztery? Albo wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Liczenie jest mylące...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązują „na czole”, ale używają specjalnych wzorów wyprowadzonych na postęp arytmetyczny. A główne to wzór na n-ty termin progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór na \(n\)tego członka: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym członkiem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) jest członkiem progresji o numerze \(n\).

Ta formuła pozwala szybko znaleźć co najmniej trzysetny, a nawet milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów to: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) to ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego postępu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu elementów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego składnika. Nasz postęp określa wzór na n-tą kadencję w zależności od jej liczby (zobacz szczegóły). Obliczmy pierwszy element, zastępując \(n\) jednym.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, podstawiając dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz obliczamy wymaganą kwotę bez żadnych problemów.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Dla sumy \(n\) pierwszych wyrazów możesz otrzymać inną formułę: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) zamiast \(a_n\) zastąpić ją formułą \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów to: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) to pierwszy wyraz do zsumowania;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) - liczba elementów w sumie.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy z postępem arytmetycznym

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania prawie każdego problemu z postępem arytmetycznym. Zakończmy temat rozważaniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować wzory, ale też trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Rozwiązywanie zaczynamy w ten sam sposób: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz podstawiamy \(d\) do wzoru na sumę ... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy dojdziemy do pierwszego pozytywnego elementu. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\) dla naszego przypadku.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrzebujemy, aby \(a_n\) było większe od zera. Dowiedzmy się, za co \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Przetwarzanie danych...
\(n>65333…\)		…i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). W związku z tym ostatni minus ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Dlatego musimy dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\)tego do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym problemie musisz również znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)th. Nie mamy na to recepty. Jak zdecydować? Proste - aby otrzymać sumę od \(26\) do \(42\) musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\) do \(42\) a następnie odjąć od niej sumę od pierwszej do \(25\) (patrz rysunek).
	Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu do poprzedniego elementu dodajemy cztery, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\) -uh elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\)-tych elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka wzorów, których nie uwzględniliśmy w tym artykule ze względu na ich niewielką przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.

Jaka jest istota formuły?

Ta formuła pozwala znaleźć każdy POD JEGO NUMEREM” N" .

Oczywiście musisz znać pierwszy termin 1 i różnica progresji D no cóż, bez tych parametrów nie da się zapisać konkretnej progresji.

Nie wystarczy zapamiętać (lub oszukać) tej formuły. Konieczne jest przyswojenie jego istoty i zastosowanie formuły w różnych problemach. Tak i nie zapomnij we właściwym czasie, tak ...) Jak nie zapomnij- Nie wiem. I tu jak zapamiętać W razie potrzeby podpowiem. Dla tych, którzy opanowali lekcję do końca.)

Zajmijmy się więc wzorem n-tego elementu ciągu arytmetycznego.

Co to jest formuła w ogóle - wyobrażamy sobie.) Co to jest postęp arytmetyczny, liczba członków, różnica postępów - jest jasno określone w poprzedniej lekcji. Zajrzyj, jeśli nie czytałeś. Tam wszystko jest proste. Pozostaje dowiedzieć się, co n-ty członek.

Postęp ogólnie można zapisać jako ciąg liczb:

za 1 , za 2 , za 3 , za 4 , za 5 , .....

1- oznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, 3- trzeci członek 4- czwarta i tak dalej. Jeśli interesuje nas piąta kadencja, powiedzmy, że pracujemy 5, jeśli sto dwudziesty - od 120.

Jak zdefiniować ogólnie każdy członek ciągu arytmetycznego, s każdy numer? Bardzo prosta! Lubię to:

jakiś

To jest to n-ty element ciągu arytmetycznego. Pod literą n ukryte są jednocześnie wszystkie numery członków: 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

A co nam daje taki zapis? Pomyśl tylko, zamiast liczby napisali literę ...

Ta notacja daje nam potężne narzędzie do pracy z postępami arytmetycznymi. Używając notacji jakiś, możemy szybko znaleźć każdy członek każdy postęp arytmetyczny. I mnóstwo zadań do rozwiązania w trakcie. Zobaczysz dalej.

We wzorze n-tego członka ciągu arytmetycznego:

za n = za 1 + (n-1)d

1- pierwszy członek ciągu arytmetycznego;

N- numer członkowski.

Formuła łączy kluczowe parametry dowolnej progresji: jakiś ; 1; D I N. Wokół tych parametrów wszystkie łamigłówki obracają się w postępie.

Formuły n-tego terminu można również użyć do zapisania określonej progresji. Na przykład w problemie można powiedzieć, że postęp jest określony przez warunek:

za n = 5 + (n-1) 2.

Taki problem może nawet zmylić… Nie ma serii, nie ma różnicy… Ale porównując warunek ze wzorem, łatwo się domyślić, że w tej progresji a 1 \u003d 5 i re \u003d 2.

A może być jeszcze bardziej zły!) Jeśli przyjmiemy ten sam warunek: za n = 5 + (n-1) 2, tak, otworzyć nawiasy i podać podobne? Otrzymujemy nową formułę:

an = 3 + 2n.

Ten Tylko nie ogólne, ale dla konkretnej progresji. W tym tkwi pułapka. Niektórzy myślą, że pierwszy wyraz to trójka. Chociaż w rzeczywistości pierwszy członek to piątka... Trochę niżej będziemy pracować z taką zmodyfikowaną formułą.

W zadaniach do progresji jest inny zapis - n+1. To jest, jak zgadliście, „n plus pierwszy” termin progresji. Jego znaczenie jest proste i nieszkodliwe.) Jest członkiem progresji, której liczba jest większa od liczby n o jeden. Na przykład, jeśli w jakimś problemie weźmiemy za jakiś zatem piąta kadencja n+1 będzie szóstym członkiem. Itp.

Najczęściej oznaczenie n+1 występuje w formułach rekurencyjnych. Nie bój się tego okropnego słowa!) To tylko sposób wyrażenia terminu postępu arytmetycznego przez poprzedni. Załóżmy, że mamy podany postęp arytmetyczny w tej postaci, używając wzoru rekurencyjnego:

za n+1 = za n +3

za 2 = za 1 + 3 = 5+3 = 8

za 3 = za 2 + 3 = 8+3 = 11

Czwarty - do trzeciego, piąty - do czwartego i tak dalej. I jak od razu policzyć, powiedz dwudziestą kadencję, 20? Ale nie ma mowy!) Podczas gdy 19. termin nie jest znany, 20. nie można policzyć. Na tym polega podstawowa różnica między formułą rekurencyjną a formułą n-tego wyrazu. Rekurencyjne działa tylko przez poprzedni termin, a formuła n-tego terminu - przez Pierwszy i pozwala od razu znajdź dowolnego członka według jego numeru. Nie licząc całej serii liczb w kolejności.

W postępie arytmetycznym formułę rekurencyjną można łatwo przekształcić w zwykłą. Policz parę kolejnych wyrazów, oblicz różnicę D, znajdź, jeśli to konieczne, pierwszy wyraz 1, napisz formułę w zwykłej formie i pracuj z nią. W GIA często można znaleźć takie zadania.

Zastosowanie wzoru na n-tego członka ciągu arytmetycznego.

Najpierw przyjrzyjmy się bezpośredniemu zastosowaniu formuły. Pod koniec poprzedniej lekcji pojawił się problem:

Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.

Ten problem można rozwiązać bez żadnych wzorów, po prostu opierając się na znaczeniu postępu arytmetycznego. Dodaj, tak, dodaj… Godzinę lub dwie.)

I zgodnie ze wzorem rozwiązanie zajmie mniej niż minutę. Możesz to zmierzyć.) Decydujemy.

Warunki zawierają wszystkie dane potrzebne do zastosowania formuły: za 1 \u003d 3, re \u003d 1/6. Pozostaje zobaczyć, co N. Bez problemu! Musimy znaleźć 121. Tutaj piszemy:

Proszę uważać! Zamiast indeksu N pojawiła się konkretna liczba: 121. Co jest całkiem logiczne.) Interesuje nas członek ciągu arytmetycznego numer sto dwadzieścia jeden. To będzie nasze N. To jest to znaczenie N= 121 podstawimy dalej we wzorze, w nawiasach. Zastąp wszystkie liczby we wzorze i oblicz:

za 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To wszystko. Równie szybko można było znaleźć pięćset dziesiątego członka, a tysiąc trzeciego dowolnego. Zamiast tego stawiamy Nżądany numer w indeksie litery " A" i w nawiasach, i rozważamy.

Pozwól, że przypomnę ci istotę: ta formuła pozwala znaleźć każdy wyraz ciągu arytmetycznego POD JEGO NUMEREM” N" .

Rozwiążmy problem mądrzej. Powiedzmy, że mamy następujący problem:

Znajdź pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 17 =-2; d=-0,5.

Jeśli masz jakiekolwiek trudności, zasugeruję pierwszy krok. Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Tak tak. Napisz odręcznie bezpośrednio w zeszycie:

za n = za 1 + (n-1)d

A teraz, patrząc na litery formuły, rozumiemy, jakie dane mamy, a jakich brakuje? Dostępny d=-0,5, jest siedemnasty członek... Wszystko? Jeśli myślisz, że to wszystko, to nie możesz rozwiązać problemu, tak ...

Mamy też numer N! w warunku 17 =-2 ukryty dwie opcje. Jest to zarówno wartość siedemnastego elementu (-2), jak i jego liczba (17). Te. n=17. Ta „mała rzecz” często wymyka się z głowy, a bez niej (bez „małej rzeczy”, nie głowy!) Problemu nie da się rozwiązać. Chociaż ... i bez głowy też.)

Teraz możemy po prostu głupio podstawić nasze dane do wzoru:

za 17 \u003d za 1 + (17-1) (-0,5)

O tak, 17 wiemy, że jest -2. Dobra, wstawmy to:

-2 \u003d za 1 + (17-1) (-0,5)

To w zasadzie wszystko. Pozostaje wyrazić pierwszy termin postępu arytmetycznego ze wzoru i obliczyć. Otrzymujesz odpowiedź: za 1 = 6.

Taka technika - pisanie formuły i proste podstawianie znanych danych - bardzo pomaga w prostych zadaniach. No cóż, trzeba oczywiście umieć wyrazić zmienną z formuły, ale co robić!? Bez tej umiejętności w ogóle nie można studiować matematyki ...

Inny popularny problem:

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 1 = 2; 15 = 12.

Co my robimy? Będziesz zaskoczony, piszemy formułę!)

za n = za 1 + (n-1)d

Rozważmy, co wiemy: a 1 = 2; a 15 = 12; i (szczególna atrakcja!) n=15. Zapraszam do podstawiania we wzorze:

12=2 + (15-1)d

Zróbmy arytmetykę.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

To jest poprawna odpowiedź.

A więc zadania a n , a 1 I D zdecydowany. Pozostaje dowiedzieć się, jak znaleźć numer:

Liczba 99 należy do ciągu arytmetycznego (a n), gdzie a 1 = 12; d=3. Znajdź numer tego członka.

Podstawiamy znane wielkości do wzoru n-tego wyrazu:

za n = 12 + (n-1) 3

Na pierwszy rzut oka są tu dwie nieznane wielkości: n i n. Ale jakiś jest jakimś członkiem progresji z numerem N... A tego członka progresji znamy! To 99. Nie znamy jego numeru. N, więc ta liczba również musi zostać znaleziona. Podstaw wyraz progresji 99 do wzoru:

99 = 12 + (n-1) 3

Wyrażamy ze wzoru N, myślimy. Otrzymujemy odpowiedź: n=30.

A teraz problem na ten sam temat, ale bardziej kreatywny):

Określ, czy liczba 117 będzie członkiem ciągu arytmetycznego (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napiszmy ponownie formułę. Co, nie ma opcji? Hm... Po co nam oczy?) Widzimy pierwszego członka progresji? Widzimy. To jest -3,6. Możesz śmiało napisać: za 1 \u003d -3,6. Różnica D można wyznaczyć z szeregu? Jest to łatwe, jeśli wiesz, jaka jest różnica w postępie arytmetycznym:

re = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Tak, zrobiliśmy najprostszą rzecz. Pozostaje poradzić sobie z nieznanym numerem N i niezrozumiała liczba 117. W poprzednim zadaniu przynajmniej wiadomo było, że podano termin progresji. Ale tutaj nawet tego nie wiemy… Jak być!? Cóż, jak być, jak być... Włącz swoje zdolności twórcze!)

My przypuszczaćże 117 jest przecież członkiem naszego postępu. Z nieznanym numerem N. I podobnie jak w poprzednim zadaniu spróbujmy znaleźć tę liczbę. Te. piszemy formułę (tak-tak!)) i podstawiamy nasze liczby:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ponownie wyrażamy ze wzoruN, liczymy i otrzymujemy:

Ups! Numer okazał się frakcyjny! Sto jeden i pół. I liczby ułamkowe w postępach nie może być. Jaki wniosek wyciągamy? Tak! Numer 117 nie jest członek naszej progresji. Znajduje się gdzieś pomiędzy 101. a 102. członkiem. Gdyby liczba okazała się naturalna, tj. dodatnią liczbą całkowitą, to liczba ta będzie członkiem ciągu ze znalezioną liczbą. A w naszym przypadku odpowiedzią na problem będzie: NIE.

Zadanie oparte na prawdziwej wersji GIA:

Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:

za n \u003d -4 + 6,8n

Znajdź pierwszy i dziesiąty wyraz progresji.

Tutaj progresja jest ustawiona w nietypowy sposób. Jakaś formuła… Zdarza się.) Jednak ta formuła (jak napisałem powyżej) - także formuła n-tego elementu ciągu arytmetycznego! Ona też pozwala znajdź dowolnego członka progresji według jego numeru.

Poszukujemy pierwszego członka. Ten, kto myśli. że pierwszy wyraz to minus cztery, jest fatalnie błędny!) Ponieważ formuła w zadaniu jest zmodyfikowana. Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego w nim ukryty. Nic, zaraz to znajdziemy.)

Podobnie jak w poprzednich zadaniach podstawiamy n=1 w tę formułę:

za 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tutaj! Pierwszy wyraz to 2,8, a nie -4!

Podobnie szukamy dziesiątego wyrazu:

za 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To wszystko.

A teraz dla tych, którzy doczytali do tych linijek, obiecana premia.)

Załóżmy, że w trudnej sytuacji bojowej GIA lub jednolitego egzaminu państwowego zapomniałeś użytecznej formuły n-tego członka ciągu arytmetycznego. Coś mi przychodzi do głowy, ale jakoś niepewnie... Czy N tam lub n+1 lub n-1... Jak być!?

Spokój! Ta formuła jest łatwa do wyprowadzenia. Niezbyt surowe, ale zdecydowanie wystarczające dla pewności i właściwej decyzji!) Na zakończenie wystarczy zapamiętać elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i poświęcić kilka minut. Wystarczy narysować obrazek. Dla jasności.

Rysujemy oś numeryczną i zaznaczamy na niej pierwszą. drugi, trzeci itd. członkowie. I zauważ różnicę D między członkami. Lubię to:

Patrzymy na obrazek i zastanawiamy się: ile wynosi drugi wyraz? Drugi jeden D:

A 2 =a 1 + 1 D

Jaka jest trzecia kadencja? Trzeci wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus dwa D.

A 3 =a 1 + 2 D

Rozumiesz? Nie bez powodu pogrubiam niektóre słowa. OK, jeszcze jeden krok.)

Jaka jest czwarta kadencja? Czwarty wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus trzy D.

A 4 =a 1 + 3 D

Czas uświadomić sobie, że liczba luk, tj. D, Zawsze o jeden mniej niż numer członka, którego szukasz N. To znaczy do liczby n, liczba luk będzie n-1. Tak więc formuła będzie wyglądać (bez opcji!):

za n = za 1 + (n-1)d

Ogólnie rzecz biorąc, obrazy wizualne są bardzo pomocne w rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych. Nie zaniedbuj zdjęć. Ale jeśli trudno jest narysować obraz, to ... tylko formuła!) Ponadto formuła n-tego terminu pozwala połączyć cały potężny arsenał matematyki z rozwiązaniem - równania, nierówności, układy itp. Nie da się wstawić obrazka do równania...

Zadania do samodzielnej decyzji.

Na rozgrzewkę:

1. W postępie arytmetycznym (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5,1. Znajdź 3.

Podpowiedź: zgodnie z obrazkiem problem można rozwiązać w 20 sekund ... Zgodnie ze wzorem okazuje się to trudniejsze. Ale dla opanowania formuły jest to bardziej przydatne.) W sekcji 555 problem ten jest rozwiązany zarówno za pomocą rysunku, jak i wzoru. Poczuj różnicę!)

I to już nie jest rozgrzewka.)

2. W postępie arytmetycznym (a n) a 85 \u003d 19,1; za 236 =49, 3. Znajdź 3 .

Co, niechęć do rysowania?) Jeszcze! Lepsza formuła, tak...

3. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:a 1 \u003d -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sto dwudziesty piąty wyraz tego ciągu.

W tym zadaniu progresja jest podawana w sposób powtarzalny. Ale licząc do stu dwudziestego piątego terminu... Nie każdy może dokonać takiego wyczynu.) Ale formuła n-tego terminu jest w mocy każdego!

4. Biorąc pod uwagę ciąg arytmetyczny (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Znajdź numer najmniejszego dodatniego wyrazu progresji.

5. Zgodnie z warunkiem zadania 4 znajdź sumę najmniejszych dodatnich i największych ujemnych elementów ciągu.

6. Iloczyn piątego i dwunastego wyrazu rosnącego postępu arytmetycznego wynosi -2,5, a suma trzeciego i jedenastego wyrazu wynosi zero. Znajdź 14.

Nie najłatwiejsze zadanie, tak ...) Tutaj metoda „na palcach” nie zadziała. Musisz pisać wzory i rozwiązywać równania.

Odpowiedzi (w nieładzie):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stało się? To miłe!)

Nie wszystko gra? Dzieje się. Nawiasem mówiąc, w ostatnim zadaniu jest jeden subtelny punkt. Wymagana będzie uważność podczas czytania problemu. I logika.

Rozwiązanie wszystkich tych problemów jest szczegółowo omówione w sekcji 555. A element fantazji dla czwartego i subtelny moment dla szóstego oraz ogólne podejścia do rozwiązywania wszelkich problemów dla formuły n-tego - wszystko jest namalowane. Polecam.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Ktoś ostrożnie traktuje słowo „postęp”, jako bardzo złożone pojęcie z działów wyższej matematyki. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca licznika taksówek (gdzie nadal pozostają). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.

Sekwencja liczb matematycznych

Zwyczajowo nazywa się sekwencję numeryczną serią liczb, z których każda ma swój własny numer.

a 1 jest pierwszym elementem sekwencji;

a 2 jest drugim elementem sekwencji;

a 7 jest siódmym elementem sekwencji;

i n jest n-tym elementem sekwencji;

Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw cyfr i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego członka jest związana z jego liczbą porządkową zależnością, którą można jasno sformułować matematycznie. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest pewną funkcją n.

a - wartość członka ciągu liczbowego;

n to jego numer seryjny;

f(n) jest funkcją, w której argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.

Definicja

Postęp arytmetyczny jest zwykle nazywany ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego jest następujący:

a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;

a n+1 - formuła następnej liczby;

d - różnica (określona liczba).

Łatwo stwierdzić, że jeśli różnica jest dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozważanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.

Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywana jest „rosnącą”.

W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Wartość określonego elementu członkowskiego

Czasami konieczne jest wyznaczenie wartości dowolnego składnika a n ciągu arytmetycznego. Możesz to zrobić, obliczając kolejno wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, od pierwszego do pożądanego. Jednak ten sposób nie zawsze jest akceptowalny, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznej lub ośmiomilionowej części. Tradycyjne obliczenie zajmie dużo czasu. Jednak konkretny postęp arytmetyczny można zbadać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego członka ciągu arytmetycznego można określić jako sumę pierwszego członka ciągu z różnicą postępu pomnożoną przez liczbę pożądanego członka minus jeden.

Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.

Przykład obliczenia wartości danego pręta

Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego elementu ciągu arytmetycznego.

Warunek: występuje ciąg arytmetyczny o parametrach:

Pierwszym elementem sekwencji jest 3;

Różnica w szeregu liczb wynosi 1,2.

Zadanie: należy znaleźć wartość 214 wyrazów

Rozwiązanie: aby określić wartość danego pręta, korzystamy ze wzoru:

a(n) = a1 + d(n-1)

Podstawiając dane ze stwierdzenia problemu do wyrażenia, mamy:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpowiedź: 214. element ciągu jest równy 258,6.

Zalety tej metody obliczeń są oczywiste - całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.

Suma podanej liczby wyrazów

Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym wymagane jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Nie musi też obliczać wartości każdego terminu, a następnie je sumować. Ta metoda ma zastosowanie, jeśli liczba warunków, których suma musi zostać znaleziona, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest użyć następującego wzoru.

Suma członków ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego członka, pomnożonej przez liczbę członków n i podzielonej przez dwa. Jeżeli we wzorze wartość n-tego członka zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:

Przykład obliczenia

Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;

Różnica wynosi 0,5.

W zadaniu należy wyznaczyć sumę wyrazów szeregu od 56 do 101.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na obliczenie sumy progresji:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 członków progresji podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56 do 101, konieczne jest odjęcie S 55 od S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Suma postępu arytmetycznego dla tego przykładu to:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Przykład praktycznego zastosowania ciągu arytmetycznego

Na koniec artykułu wróćmy do podanego w pierwszym akapicie przykładu ciągu arytmetycznego - taksometru (taksometru). Rozważmy taki przykład.

Wsiadanie do taksówki (która obejmuje 3 km) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr jest płatny według stawki 22 rubli / km. Dystans podróży 30 km. Oblicz koszt wycieczki.

1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.

30 - 3 = 27 kilometrów.

2. Dalsze obliczenia to nic innego jak parsowanie szeregu arytmetycznego.

Numer członkowski to liczba przejechanych kilometrów (minus trzy pierwsze).

Wartość członka jest sumą.

Pierwszy wyraz w tym zadaniu będzie równy a 1 = 50 rubli.

Różnica progresji d = 22 p.

interesująca nas liczba - wartość (27 + 1) członu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27 kilometra - 27,999 ... = 28 km.

za 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących pewne ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od źródła światła. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem wykorzystywane w statystyce i innych stosowanych gałęziach matematyki.

Innym rodzajem sekwencji liczb jest sekwencja geometryczna

Postęp geometryczny charakteryzuje się dużym, w porównaniu z arytmetycznym, tempem zmian. To nie przypadek, że w polityce, socjologii, medycynie często, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się określonego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, mówi się, że proces ten rozwija się wykładniczo.

N-ty element szeregu liczb geometrycznych różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez pewną stałą liczbę - na przykład mianownik, pierwszy element to 1, mianownik to odpowiednio 2, a następnie:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - wartość bieżącego członka postępu geometrycznego;

b n+1 - formuła kolejnego członka ciągu geometrycznego;

q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).

Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to przebieg geometryczny rysuje nieco inny obraz:

Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego członka. Dowolny n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonego o jeden:

Przykład. Mamy postęp geometryczny z pierwszym wyrazem równym 3 i mianownikiem postępu równym 1,5. Znajdź 5 wyraz progresji

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Suma danej liczby członków jest również obliczana za pomocą specjalnego wzoru. Suma pierwszych n elementów ciągu geometrycznego jest równa różnicy iloczynu n-tego elementu ciągu i jego mianownika oraz pierwszego elementu ciągu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:

Jeżeli b n zastąpimy za pomocą omówionego powyżej wzoru, to wartość sumy pierwszych n członków rozpatrywanego szeregu liczbowego przyjmie postać:

Przykład. Postęp geometryczny zaczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest równy 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Podczas nauki algebry w szkole średniej (klasa 9) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zalicza się ciągi - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule rozważymy postęp arytmetyczny i przykłady z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, konieczne jest podanie definicji rozpatrywanej progresji, a także podanie podstawowych wzorów, które będą dalej wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów.

Postęp arytmetyczny lub algebraiczny to taki zbiór uporządkowanych liczb wymiernych, z których każdy różni się od poprzedniego o pewną stałą wielkość. Ta wartość nazywana jest różnicą. Oznacza to, że znając dowolnego członka uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz odtworzyć cały postęp arytmetyczny.

Weźmy przykład. Następna sekwencja liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać do rozważanego rodzaju progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Podamy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów za pomocą ciągu arytmetycznego. Niech n oznacza n-ty element ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Różnica jest oznaczona łacińską literą d. Wtedy prawdziwe są następujące wyrażenia:

1. Aby określić wartość n-tego terminu, odpowiedni jest wzór: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.

Aby zrozumieć jakiekolwiek przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy są zbudowane na ich użyciu. Nie zapominaj również, że różnicę progresji określa wzór: d = a n - a n-1 .

Przykład nr 1: Znalezienie nieznanego członka

Podajemy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzory, których należy użyć do rozwiązania.

Niech ciąg 10, 8, 6, 4, ... będzie dany, trzeba znaleźć w nim pięć wyrazów.

Już z warunków zadania wynika, że ​​znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:

1. Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie można by wziąć dowolne dwa inne terminy stojące obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d \u003d a n - a n-1, to d \u003d a 5 - a 4, skąd otrzymujemy: a 5 \u003d a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda wymaga również znajomości różnicy omawianej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak widać, oba rozwiązania prowadzą do tego samego rezultatu. Zauważ, że w tym przykładzie różnica d progresji jest ujemna. Takie ciągi nazywamy malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Przykład nr 2: różnica w postępach

Teraz skomplikujmy trochę zadanie, podaj przykład, jak to zrobić

Wiadomo, że w niektórych 1. wyraz jest równy 6, a 7. wyraz jest równy 18. Konieczne jest znalezienie różnicy i przywrócenie tego ciągu do 7. wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego wyrazu: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) / 6 = 2. W ten sposób rozwiązano pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do siódmego elementu, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. W rezultacie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Przykład nr 3: robienie postępów

Jeszcze bardziej skomplikujmy stan problemu. Teraz musisz odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Możemy podać następujący przykład: podane są dwie liczby, na przykład 4 i 5. Konieczne jest wykonanie ciągu algebraicznego, aby między nimi mieściły się jeszcze trzy wyrazy.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego problemu należy zrozumieć, jakie miejsce zajmą dane liczby w przyszłej progresji. Ponieważ między nimi będą jeszcze trzy wyrazy, to 1 \u003d -4 i a 5 \u003d 5. Po ustaleniu tego przystępujemy do zadania podobnego do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego terminu, używamy wzoru, otrzymujemy: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tutaj różnica nie jest liczbą całkowitą, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Teraz dodajmy znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące elementy progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co pokrywało się ze stanem problemu.

Przykład 4: Pierwszy członek progresji

Nadal podajemy przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem. We wszystkich poprzednich problemach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego rodzaju: niech dane będą dwie liczby, gdzie 15 = 50 i a 43 = 37. Trzeba znaleźć, od jakiej liczby zaczyna się ten ciąg.

Stosowane dotychczas wzory zakładają znajomość a 1 i d. Nic nie wiadomo o tych numerach w stanie problemu. Niemniej jednak wypiszmy wyrażenia dla każdego terminu, o którym mamy informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Podany system najłatwiej rozwiązać, jeśli w każdym równaniu wyrazisz 1, a następnie porównasz wynikowe wyrażenia. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Zrównując te wyrażenia, otrzymujemy: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, skąd różnica d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (podano tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z 2 powyższych wyrażeń dla 1 . Na przykład najpierw: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do wyniku, możesz to sprawdzić, np. wyznaczyć 43. członka progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenie do części tysięcznych.

Przykład 5: Suma

Teraz spójrzmy na kilka przykładów z rozwiązaniami dla sumy postępu arytmetycznego.

Niech dany będzie ciąg liczbowy następującej postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej problem ten można rozwiązać, czyli sekwencyjnie dodawać wszystkie liczby, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś wciśnie klawisz Enter. Problem można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwróci się uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest postępem algebraicznym, a jego różnica wynosi 1. Stosując wzór na sumę, otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Warto zauważyć, że problem ten nazywa się „Gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, był w stanie rozwiązać go w swoim umyśle w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę ciągu algebraicznego, ale zauważył, że dodając pary liczb znajdujących się na krawędziach ciągu, otrzymujemy zawsze jeden wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ te sumy będą równe dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład #6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy ciągu arytmetycznego jest następujący: biorąc pod uwagę ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14.

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na znalezieniu nieznanych terminów od 8 do 14, a następnie ich sekwencyjnemu zsumowaniu. Ponieważ terminów jest niewiele, ta metoda nie jest wystarczająco pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu drugą metodą, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby uzyskać wzór na sumę postępu algebraicznego między wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Ponieważ n > m jest oczywiste, że suma 2 obejmuje pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej wyraz a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), to otrzymamy niezbędną odpowiedź na problem. Mamy: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Konieczne jest podstawienie wzorów na n i m w tym wyrażeniu. Wtedy otrzymujemy: S mn = za 1 * (n - m) / 2 + n * ( za 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco nieporęczny, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby, otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzoru na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed rozpoczęciem rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co chcesz znaleźć, a dopiero potem przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez użycia skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Na przykład w przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m i podzielić zadanie ogólne na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź wyrazy a n i a m ).

W przypadku wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się jego sprawdzenie, tak jak to zrobiono w niektórych podanych przykładach. Dowiedz się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Kiedy już to zrozumiesz, nie jest to takie trudne.