Skrócone wzory mnożenia. Szczegółowa teoria z przykładami

Wyrażenia matematyczne (wzory) skrócone mnożenie(kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) są niezwykle niezastąpione w wielu dziedzinach nauki ścisłe... Te 7 symbolicznych notacji jest niezastąpionych przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań, mnożeniu wielomianów, usuwaniu ułamków, rozwiązywaniu całek i wielu innych. Oznacza to, że bardzo przydatne będzie zrozumienie, w jaki sposób są one uzyskiwane, do czego służą, a co najważniejsze, jak je zapamiętać, a następnie zastosować. Następnie aplikuję skrócone wzory mnożenia w praktyce najtrudniej będzie zobaczyć, co jest NS i co masz. Oczywiście nie ma ograniczeń dla a oraz b nie, co oznacza, że ​​może to być dowolne wyrażenie liczbowe lub dosłowne.

A więc są to:

Pierwszy x 2 - o 2 = (x - y) (x + y).Liczyć różnica kwadratów dwa wyrażenia należy pomnożyć przez różnice tych wyrażeń przez ich sumy.

Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2... Znaleźć kwadrat sumy dwa wyrażenia, musisz dodać podwójny iloczyn pierwszego wyrażenia do drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia do kwadratu pierwszego wyrażenia.

Trzeci (x-y) 2 = x 2 - 2xy + y 2... Liczyć kwadrat różnicy dwa wyrażenia, musisz odjąć podwójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia od kwadratu pierwszego wyrażenia.

Czwarty (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 lata + 3x 2 + r 3. Liczyć suma kostek dwa wyrażenia, musisz dodać do sześcianu pierwszego wyrażenia potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty (x-y) 3 = x 3 - 3x 2 lata + 3x 2 - o 3... Liczyć kostka różnicy dwa wyrażenia, należy odjąć od sześcianu pierwszego wyrażenia potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.

Szósty x 3 + o 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Liczyć suma kostek dwa wyrażenia, musisz pomnożyć sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy między tymi wyrażeniami.

Siódmy x 3 - o 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Aby wykonać obliczenia kostki różnicowe dwa wyrażenia, różnicę między pierwszym i drugim wyrażeniem należy pomnożyć przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

Nietrudno zapamiętać, że wszystkie formuły są stosowane do wykonywania obliczeń i odwrotnie (od prawej do lewej).

Istnienie tych prawidłowości odkryto około 4 tys. lat temu. Były szeroko stosowane przez mieszkańców starożytnego Babilonu i Egiptu. Ale w tamtych czasach wyrażano je werbalnie lub geometrycznie i nie używano w obliczeniach liter.

Przeanalizujmy suma kwadratowa dowód(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Pierwszy to wzór matematyczny udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Euklidesa, który pracował w Aleksandrii w III wieku pne, zastosował w tym celu geometryczną metodę dowodzenia wzoru, ponieważ naukowcy starożytnej Grecji nie używali liter do oznaczania liczb. Powszechnie używali nie „a 2”, ale „kwadratu na odcinku a”, nie „ab”, ale „prostokąta zamkniętego między segmentami a i b”.

Funkcja liniowa jest funkcją postaci y = kx + b, gdzie x jest zmienną niezależną, k i b są dowolnymi liczbami.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1. Budować wykres funkcji, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, podstawić je w równaniu funkcji i z nich obliczyć odpowiednie wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y = x + 2, wygodnie jest przyjąć x = 0 i x = 3, wtedy rzędne tych punktów będą równe y = 2 i y = 3. Otrzymujemy punkty A (0;2) i B (3;3). Łączymy je i otrzymujemy wykres funkcji y = x + 2:

2. We wzorze y = kx + b liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności:
jeśli k> 0, to funkcja y = kx + b rośnie
jeśli k
Współczynnik b pokazuje przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY:
jeśli b> 0, to wykres funkcji y = kx + b otrzymujemy z wykresu funkcji y = kx poprzez przesunięcie b jednostek w górę wzdłuż osi OY
jeśli b
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Zauważ, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik k Powyżej zera, i funkcje są wzrastający. Ponadto im większa wartość k, tym większy kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi OX.

We wszystkich funkcjach b = 3 - i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0; 3)

Rozważmy teraz wykresy funkcji y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnik k mniej niż zero, i funkcje zmniejszać. Współczynnik b = 3, a wykresy podobnie jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0; 3)

Rozważ wykresy funkcji y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Teraz we wszystkich równaniach funkcji współczynniki k są równe 2. I otrzymaliśmy trzy równoległe proste.

Ale współczynniki b są różne, a te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:
Wykres funkcji y = 2x + 3 (b = 3) przecina oś OY w punkcie (0; 3)
Wykres funkcji y = 2x (b = 0) przecina oś OY w punkcie (0; 0) - początku.
Wykres funkcji y = 2x-3 (b = -3) przecina oś OY w punkcie (0; -3)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji y = kx + b.
Gdyby k 0

Gdyby k> 0 i b> 0, to wykres funkcji y = kx + b ma postać:

Gdyby k> 0 i b, to wykres funkcji y = kx + b ma postać:

Gdyby k, to wykres funkcji y = kx + b ma postać:

Gdyby k = 0, to funkcja y = kx + b zamienia się w funkcję y = b i jej wykres wygląda następująco:

Rzędne wszystkich punktów wykresu funkcji y = b są równe b Jeśli b = 0, to wykres funkcji y = kx (proporcjonalność bezpośrednia) przechodzi przez początek układu współrzędnych:

3. Oddzielnie odnotowujemy wykres równania x = a. Wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi OY, której wszystkie punkty mają odciętą x = a.

Na przykład wykres równania x = 3 wygląda tak:
Uwaga! Równanie x = a nie jest funkcją, więc odpowiada jednej wartości argumentu różne znaczenia funkcja, która nie odpowiada definicji funkcji.

4. Warunek równoległości dwóch prostych:

Wykres funkcji y = k 1 x + b 1 jest równoległy do ​​wykresu funkcji y = k 2 x + b 2, jeśli k 1 = k 2

5. Warunek prostopadłości dwóch prostych:

Wykres funkcji y = k 1 x + b 1 jest prostopadły do ​​wykresu funkcji y = k 2 x + b 2 jeśli k 1 * k 2 = -1 lub k 1 = -1 / k 2

6. Punkty przecięcia wykresu funkcji y = kx + b z osiami współrzędnych.

Z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, należy w równaniu funkcji zastąpić zero zamiast x. Otrzymujemy y = b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0; b).

Z osią OX: Rzędna dowolnego punktu należącego do osi OX wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, musisz w równaniu funkcji zastąpić zero zamiast y. Otrzymujemy 0 = kx + b. Stąd x = -b / k. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (-b / k; 0):

Skrócone wzory mnożenia. Ćwiczyć.

Spróbuj obliczyć w ten sposób następujące wyrażenia:

Odpowiedzi:

Lub, jeśli znasz kwadraty podstawowych liczb dwucyfrowych, pamiętaj, ile będzie? Zapamiętane? ... W porządku! Skoro mamy kwadraturę, musimy pomnożyć przez. Okazało się, że.

Pamiętaj, że wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dotyczą nie tylko wyrażeń liczbowych:

Sam oblicz następujące wyrażenia:

Odpowiedzi:

Skrócone wzory mnożenia. Konkluzja.

Podsumujmy i zapiszmy w jednym wierszu wzory na kwadrat sumy i różnicy:

Przećwiczmy teraz „zbieranie” formuły z widoku rozwiniętego do widoku. Ta umiejętność będzie potrzebna w przyszłości podczas konwertowania dużych wyrażeń.

Załóżmy, że mamy następujące wyrażenie:

Wiemy, że kwadrat sumy (lub różnicy) to kwadrat jednej liczby kwadrat innej liczby oraz dwukrotność iloczynu tych liczb.

W tym zadaniu łatwo dostrzec kwadrat jednej liczby - to. W związku z tym jedna z liczb w nawiasie jest pierwiastkiem kwadratowym, czyli

Skoro występuje w drugim wyrazie, oznacza to, że jest to iloczyn podwójny odpowiednio jednej i drugiej liczby:

Gdzie jest druga liczba zawarta w naszym nawiasie.

Druga liczba w nawiasie to.

Sprawdźmy. powinny być równe. Rzeczywiście tak jest, co oznacza, że ​​znaleźliśmy obie liczby w nawiasach: i. Pozostaje określić znak, który stoi między nimi. Jak myślisz, jaki będzie znak?

Dobrze! Odkiedy Dodaj podwojony iloczyn, to między liczbami pojawi się znak dodawania. Teraz zapisz przekształcone wyrażenie. Czy udało Ci się? Powinieneś mieć coś takiego:

Uwaga: zmiana miejsc terminów nie ma wpływu na wynik (nie ma znaczenia, czy dodawanie czy odejmowanie znajduje się między a).

Wcale nie jest konieczne, aby terminy w przekształconym wyrażeniu były zgodne z zapisem we wzorze. Spójrz na to wyrażenie:. Spróbuj sam to zmienić. Stało się?

Przećwicz to - przekształć następujące wyrażenia:

Odpowiedzi: Czy udało Ci się? Naprawmy temat. Wybierz spośród poniższych wyrażeń, które można przedstawić jako kwadrat sumy lub różnicy.

1. - udowodnić, że jest równoważny.

1. - nie może być przedstawiony jako kwadrat; można sobie wyobrazić, gdyby zamiast tego istniał.

Różnica kwadratów

Inną formułą skróconego mnożenia jest różnica kwadratów.

Różnica kwadratów nie jest kwadratem różnicy!

Różnica między kwadratami dwóch liczb jest równa iloczynowi sumy tych liczb przez ich różnicę:

Sprawdźmy, czy ta formuła jest poprawna. Aby to zrobić, mnożymy, tak jak wyprowadzaliśmy wzory na kwadrat sumy i różnicy:

Dlatego właśnie sprawdziliśmy, że formuła jest rzeczywiście poprawna. Ta formuła upraszcza również złożone etapy obliczeniowe. Podajmy przykład:

Musisz obliczyć:. Oczywiście możemy podnosić do kwadratu, potem podnosić do kwadratu i odjąć jedno od drugiego, ale wzór ułatwia nam sprawę:

Stało się? Sprawdźmy wyniki:

Podobnie jak kwadrat sumy (różnicy), wzór na różnicę kwadratów można zastosować nie tylko do liczb:

Możliwość rozłożenia różnicy kwadratów pomoże nam przekształcić złożone wyrażenia matematyczne.

Zwróć uwagę:

Ponieważ, podnosząc do kwadratu różnicę właściwego wyrażenia, otrzymujemy

Bądź ostrożny i zobacz, który konkretnie termin jest do kwadratu! Aby wzmocnić temat, przekształć następujące wyrażenia:

Zapisałeś to? Porównajmy otrzymane wyrażenia:

Teraz, gdy opanowałeś już kwadrat sumy i kwadrat różnicy, a także różnicę kwadratów, spróbujmy rozwiązać przykłady kombinacji tych trzech formuł.

Transformacja wyrażeń elementarnych (kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów)

Powiedzmy, że mamy przykład

Konieczne jest uproszczenie tego wyrażenia. Przyjrzyj się uważnie, co widzisz w liczniku? Zgadza się, licznik jest idealnym kwadratem:

Upraszczając wyrażenie, pamiętaj, że wskazówka, w którym kierunku należy się poruszać w uproszczeniu, znajduje się w mianowniku (lub w liczniku). W naszym przypadku, gdy mianownik jest rozszerzony i nic więcej nie można zrobić, możemy zrozumieć, że licznik będzie albo kwadratem sumy, albo kwadratem różnicy. Jak dodajemy, staje się jasne, że licznikiem jest kwadrat sumy.

Spróbuj samodzielnie przekształcić następujące wyrażenia:

Stało się? Porównujemy odpowiedzi i ruszamy dalej!

Kostka sumy i kostka różnicy

Formuły sześcian sumy i sześcian różnicy są wyświetlane w taki sam sposób, jak kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy: otwierając nawiasy podczas mnożenia wyrazów przez siebie.

Jeśli kwadrat sumy i kwadrat różnicy są bardzo łatwe do zapamiętania, pojawia się pytanie „jak zapamiętać kostki?”

Przyjrzyj się bliżej dwóm opisanym wzorom w porównaniu z podnoszeniem do kwadratu podobnych terminów:

Jaki wzór widzisz?

1. Po wzniesieniu w kwadrat mamy kwadrat pierwsza liczba i kwadrat druga; po ustawieniu w sześcian - jest sześcian jeden numer i sześcian inny numer.

2. Po zbudowaniu w kwadrat, mamy podwojony iloczyn liczb (liczby w 1 stopniu, czyli o jeden stopień mniej niż ten, do którego podnosimy wyrażenie); po wzniesieniu w sześcian - potroić iloczyn, w którym jedna z liczb jest podniesiona do kwadratu (co jest również o 1 potęgę mniejsze od potęgi, do której podnosimy wyrażenie).

3. Przy kwadracie znak w nawiasach w rozwiniętym wyrażeniu ma odzwierciedlenie przy dodawaniu (lub odejmowaniu) iloczynu podwojonego - jeśli jest dodawanie w nawiasach, to dodajemy, jeśli odejmowanie to odejmujemy; podczas budowania sześcianu zasada jest taka: jeśli mamy kostkę sumy, to wszystkie znaki to „+”, a jeśli kostka jest różnicą, to znaki naprzemiennie: „” - „” - „” - „” .

Wszystkie powyższe, z wyjątkiem zależności stopni przy mnożeniu wyrazów, pokazano na rysunku.

Poćwiczmy? Rozwiń nawiasy w następujących wyrażeniach:

Porównaj otrzymane wyrażenia:

Różnica i suma kostek

Rozważ ostatnią parę formuł, różnicę i sumę sześcianów.

Jak pamiętamy, w różnicy kwadratów mamy pomnożenie różnicy i sumy tych liczb przez siebie. Różnica kostek i suma kostek również mają dwa nawiasy:

1 nawias - różnica (lub suma) liczb w pierwszym stopniu (w zależności od tego, czy ujawnimy różnicę, czy sumę sześcianów);

Nawias 2 - kwadrat niepełny (przyjrzyjmy się bliżej: gdybyśmy odjęli (lub dodali) iloczyn podwójny liczb, powstałby kwadrat), znak przy mnożeniu liczb jest przeciwny do znaku pierwotnego wyrażenia.

Aby naprawić temat, rozwiążmy kilka przykładów:

Porównaj otrzymane wyrażenia:

Ćwiczyć

Odpowiedzi:

Podsumujmy:

Istnieje 7 wzorów na skrócone mnożenie:

ZAAWANSOWANY POZIOM

Skrócone formuły mnożenia to formuły, które pozwalają uniknąć wykonywania niektórych standardowych czynności podczas upraszczania wyrażeń lub rozkładania na czynniki wielomianów. Musisz znać skrócone wzory mnożenia na pamięć!

1. Suma do kwadratu dwa wyrażenia równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia:
2. Różnica do kwadratu dwa wyrażenia są równe kwadratowi pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia:
3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy:
4. kostka sumy dwóch wyrażeń równa się sześcianowi z pierwszego wyrażenia plus trzykrotność kwadratu z pierwszego wyrażenia, a drugie plus trzykrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian z drugiego wyrażenia:
5. Kostka różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia:
6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy tych wyrażeń:
7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń:

Teraz udowodnijmy wszystkie te formuły.

Skrócone wzory mnożenia. Dowód.

1. .
Podniesienie do kwadratu wyrażenia oznacza pomnożenie go przez samo:
.

Otwórzmy nawiasy i podajmy podobne:

2. .
Robimy to samo: mnożymy różnicę przez siebie, otwieramy nawiasy i podajemy podobne:
.

3. .
Weźmy wyrażenie po prawej stronie i rozwińmy nawiasy:
.

4. .
Liczbę w sześcianie można przedstawić jako tę liczbę pomnożoną przez jej kwadrat:

Podobnie:

W różnicy kostek znaki zmieniają się.

6. .

.

7. .
Rozwińmy nawiasy po prawej stronie:
.

Stosowanie skróconych wzorów mnożenia przy rozwiązywaniu przykładów

Przykład 1:

Znajdź znaczenie wyrażeń:

Rozwiązanie:

1. Używamy wzoru na kwadrat sumy:.
2. Reprezentujemy tę liczbę jako różnicę i używamy wzoru na kwadrat różnicy:.

Przykład 2:

Znajdź znaczenie wyrażenia:.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na różnicę między kwadratami dwóch wyrażeń, otrzymujemy:

Przykład 3:

Uprość wyrażenie:

Rozwiązanie na dwa sposoby:

Użyjmy wzorów kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

Metoda II.

Użyjmy wzoru na różnicę między kwadratami tych dwóch wyrażeń:

TERAZ TWOJE SŁOWO...

Powiedziałem ci wszystko, co wiem o skróconych wzorach mnożenia.

Powiedz mi teraz, czy ich użyjesz? Jeśli nie, dlaczego nie?

Jak ci się podoba ten artykuł?

Być może masz pytania. Albo sugestie.

Napisz w komentarzach. Czytamy wszystkie komentarze i odpowiadamy na wszystkie.

I powodzenia na egzaminach!

W poprzedniej lekcji ustaliliśmy faktoring. Opanowaliśmy dwie metody: usuwanie wspólnego czynnika z nawiasów i grupowanie. W tym samouczku kolejnym potężnym sposobem jest: skrócone wzory mnożenia... W skrócie - FSU.

Skrócone wzory mnożenia (kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) są niezbędne we wszystkich dziedzinach matematyki. Służą do upraszczania wyrażeń, rozwiązywania równań, mnożenia wielomianów, usuwania ułamków, rozwiązywania całek itp. itp. Krótko mówiąc, są wszelkie powody, by sobie z nimi radzić. Dowiedz się, skąd pochodzą, dlaczego są potrzebne, jak je zapamiętać i jak je zastosować.

Zrozumienie?)

Skąd pochodzą skrócone wzory mnożenia?

Równania 6 i 7 nie są napisane w bardzo znany sposób. Jakby odwrotnie. To jest celowe.) Każda równość działa zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. W takim zapisie wyraźniej widać, skąd pochodzi FSO.

Pochodzą z mnożenia.) Na przykład:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

To wszystko, żadnych naukowych sztuczek. Po prostu mnożymy nawiasy i podajemy podobne. Okazuje się, że wszystkie skrócone wzory mnożenia. Skrócony mnożenie jest spowodowane tym, że w samych formułach nie ma mnożenia nawiasów i rzutu podobnych. Skrót.) Wynik jest podawany natychmiast.

FSO trzeba znać na pamięć. Bez pierwszych trzech nie można marzyć o trójce, bez reszty - o czwórce i A.)

Dlaczego potrzebujemy skróconych wzorów mnożenia?

Są dwa powody do nauki, nawet do zapamiętania tych formuł. Po pierwsze, gotowa odpowiedź na maszynie znacznie zmniejsza liczbę błędów. Ale to nie jest najbardziej główny powód... Ale drugi ...

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Natychmiastowe testy walidacyjne. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.