Açısal yer değiştirme, açısal hız, açısal ivme, ilişkileri. Katı bir cismin dönme hareketinin kinematiği Dönme açısının vektörü nedir
Doğrusal değerlerle.
açısal hareket hareketi sırasında açısal koordinattaki değişikliği karakterize eden bir vektör miktarıdır.
Açısal hız- vektör fiziksel miktar, vücudun dönme hızını karakterize eder. Büyüklükte açısal hız vektörü açıya eşit birim zaman başına vücut dönüşü:
ve gimbal kuralına göre dönme ekseni boyunca, yani aynı yönde döndürülürse sağdan dişli gimbalin vidalanacağı yönde yönlendirilir.
SI ve CGS sistemlerinde benimsenen açısal hız ölçüm birimi) - saniyede radyan. (Not: radyan, herhangi bir açı birimi gibi, fiziksel olarak boyutsuzdur, dolayısıyla açısal hızın fiziksel boyutu basittir). Teknolojide, saniyedeki devir sayısı da çok daha az sıklıkla kullanılır - saniye başına derece, saniye başına derece. Belki de, dakikadaki devirler teknolojide en sık kullanılır - bu, düşük hızlı buhar motorlarının dönüş hızının, birim zaman başına devir sayısını basitçe "manuel" sayarak belirlendiği zamanlardan beri devam etmektedir.
Herhangi bir noktanın vektör (anlık) hızı (kesinlikle) sağlam açısal hızla dönme şu formülle belirlenir:
vücudun dönme ekseninde bulunan orijinden belirli bir noktaya yarıçap vektörü nerede ve köşeli parantezler çapraz ürünü gösterir. Dönme ekseninden belirli bir uzaklıkta (yarıçap) r bir noktanın doğrusal hızı (hız vektörünün modülüyle çakışan) aşağıdaki gibi düşünülebilir: v = rω. Radyan yerine başka açı birimleri kullanılıyorsa, son iki formülde bire eşit olmayan bir çarpan görünecektir.
Düzlem döndürme durumunda, yani cismin noktalarının tüm hız vektörleri (her zaman) aynı düzlemde ("dönme düzlemi") bulunduğunda, cismin açısal hızı her zaman bu düzleme diktir, ve aslında, dönme düzlemi biliniyorsa, dönme düzlemine dik bir eksen üzerine skaler bir izdüşüm ile değiştirilebilir. Bu durumda, dönme kinematiği büyük ölçüde basitleştirilmiştir, ancak genel durumda, açısal hız üç boyutlu uzayda zamanla yön değiştirebilir ve böyle basitleştirilmiş bir resim çalışmaz.
Açısal hızın zamana göre türevi açısal ivme.
Sabit bir açısal hız vektörü olan harekete düzgün dönme hareketi denir (bu durumda açısal ivme sıfırdır).
Açısal hız (serbest vektör olarak kabul edilir) tüm eylemsiz referans çerçevelerinde aynıdır, ancak farklı eylemsiz referans çerçevelerinde, aynı belirli cismin zaman içinde aynı anda ekseni veya dönme merkezi farklı olabilir (yani, açısal hızın farklı bir "uygulama noktası" olacaktır).
Üç boyutlu uzayda tek bir noktanın hareketi durumunda, bu noktanın seçilen orijine göre açısal hızı için bir ifade yazabilirsiniz:
Noktanın yarıçap vektörü nerede (orijinden), bu noktanın hızıdır. - vektör çarpımı, - vektörlerin nokta çarpımı. Bununla birlikte, bu formül açısal hızı benzersiz bir şekilde belirlemez (tek bir nokta durumunda, tanım gereği uygun olan diğer vektörler seçilebilir, aksi takdirde - keyfi olarak - dönme ekseninin yönünün seçilmesi) ve genel durum için (cisim birden fazla malzeme noktası içerdiğinde) - bu formül tüm cismin açısal hızı için doğru değildir (çünkü her nokta için farklı verir ve kesinlikle katı bir cisim döndüğünde, tanımı gereği, açısal hızı döndürme tek vektördür). Bütün bunlar için, iki boyutlu durumda (düzlem dönüşü durumunda) bu formül oldukça yeterli, açık ve doğrudur, çünkü bu özel durumda dönme ekseninin yönü kesinlikle benzersiz bir şekilde belirlenir.
Üniforma olması durumunda döner hareket(yani, sabit bir açısal hız vektörü ile hareket) Bu şekilde dönen bir cismin noktalarının kartezyen koordinatları, açısal hız vektörünün modülüne eşit bir açısal (döngüsel) frekansla harmonik salınımlar gerçekleştirir.
Saniyede devir (r / s) cinsinden açısal hızı ölçerken, düzgün dönme hareketinin açısal hızının modülü, hertz (Hz) olarak ölçülen dönme frekansı f ile çakışır.
(yani, bu tür birimlerde).
Açısal hızın olağan fiziksel biriminin (saniyedeki radyan) kullanılması durumunda, açısal hızın modülü dönme frekansıyla aşağıdaki gibi ilişkilidir:
Son olarak, derece/saniye kullanıldığında, dönme hızıyla olan ilişki şöyle olacaktır:
açısal ivme katı bir cismin açısal hızındaki değişim oranını karakterize eden bir sözde vektör fiziksel niceliğidir.
Gövde sabit bir eksen etrafında döndüğünde, açısal ivme modülü:
Açısal hızlanma vektörü α, dönme ekseni boyunca yönlendirilir (hızlandırılmış dönüşlü tarafa ve tersine - yavaşlamış dönüşlü).
Sabit bir nokta etrafında dönerken, açısal ivme vektörü, açısal hız vektörünün ω ilk türevi olarak tanımlanır, yani
ve karşılık gelen noktasında vektör hodografına teğetsel olarak yönlendirilir.
Teğetsel ve açısal ivme arasında bir ilişki vardır:
burada R, belirli bir zamanda nokta yörüngesinin eğrilik yarıçapıdır. Dolayısıyla açısal ivme, zaman içindeki dönme açısının ikinci türevine veya zaman içindeki açısal hızın birinci türevine eşittir. Açısal ivme rad/sec2 cinsinden ölçülür.
Açısal hız ve açısal ivme
Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisim düşünün. Daha sonra bu cismin tek tek noktaları, merkezleri dönme ekseni üzerinde bulunan farklı yarıçaplı daireleri tanımlayacaktır. Bir noktanın yarıçaplı bir daire boyunca hareket etmesine izin verin r(şek. 6). D bir süre sonra konumu T D açısını ayarlayın. Temel (sonsuz küçük) döndürmeler vektörler olarak görülebilir (veya ile gösterilirler) . Vektörün büyüklüğü dönme açısına eşittir ve yönü, başı çevre boyunca noktanın hareket yönünde dönen vidanın ucunun öteleme hareketinin yönü ile çakışır, yani. itaat eder sağ vida kuralı(şek. 6). Yönleri dönme yönü ile ilişkili olan vektörlere denir. sözde vektörler veya eksenel vektörler. Bu vektörlerin belirli uygulama noktaları yoktur: dönme ekseni üzerindeki herhangi bir noktadan çizilebilirler.
Açısal hız cismin dönme açısının zamana göre birinci türevine eşit bir vektör miktarı olarak adlandırılır:
Vektör, sağ vida kuralına göre dönme ekseni boyunca yönlendirilir, yani. vektörle aynı (Şekil 7). Açısal hız boyutu dim w = T - 1 , ve birimi saniyede radyandır (rad / s).
Nokta Doğrusal Hızı (bkz. şekil 6)
Vektör biçiminde, doğrusal hız formülü bir çapraz ürün olarak yazılabilir:
Bu durumda, vektör ürününün modülü tanım olarak eşittir ve yön, sağ vidanın sağa doğru döndüğünde öteleme hareketinin yönü ile çakışır. r.
(= const ise, o zaman dönüş tekdüzedir ve şu şekilde karakterize edilebilir: rotasyon süresi T - noktanın tam bir dönüş yaptığı süre, yani. pivotlar 2p. D zaman aralığından beri T= T= 2p'ye karşılık gelir, ardından = 2p / T, nerede
Birim zamanda, çevre etrafındaki düzgün hareketi sırasında vücut tarafından yapılan tam devir sayısına dönme frekansı denir:
Açısal ivme, açısal hızın zamana göre birinci türevine eşit bir vektör miktarıdır:
Gövde sabit bir eksen etrafında döndüğünde, açısal ivme vektörü dönüş ekseni boyunca açısal hızın temel artışının vektörüne doğru yönlendirilir. Hızlandırılmış harekette vektör vektör ile eş yönlüdür (Şekil 8), yavaş harekette ise vektörün tersidir (Şek. 9).
İvmenin teğetsel bileşeni
Hızlanmanın normal bileşeni
Böylece lineer (yol uzunluğu) arasındaki bağlantı s yarıçaplı bir dairenin yayı boyunca bir nokta tarafından geçilen r, Çizgisel hız v, teğetsel ivme , normal ivme) ve açısal büyüklükler (j dönüş açısı, w açısal hız, açısal ivme e) aşağıdaki formüllerle ifade edilir:
Bir daire boyunca bir noktanın eşit derecede değişken hareketi durumunda (e = const)
w 0 başlangıç açısal hızdır.
Newton yasaları.
Newton'un birinci yasası. Ağırlık. Kuvvet
Dinamik, mekaniğin ana bölümüdür, Newton'un 1687'de formüle ettiği üç yasasına dayanır. Newton'un yasaları, mekanikte istisnai bir rol oynar ve (herkes gibi) fiziksel yasalar) geniş insan deneyiminin sonuçlarının genelleştirilmesi. olarak görülüyorlar birbiriyle ilişkili yasalar sistemi ve her yasa deneysel doğrulamaya tabi tutulmaz, bir bütün olarak tüm sistem.
Newton'un birinci yasası: herhangi maddi nokta(vücut), diğer cisimlerden gelen etki onu bu durumu değiştirmeye zorlayana kadar bir dinlenme veya düzgün doğrusal hareket durumunu korur... Vücudun dinlenme veya düzgün doğrusal hareket durumunu sürdürme arzusuna denir. eylemsizlik... Bu nedenle, Newton'un birinci yasasına da denir. eylemsizlik yasası.
Mekanik hareket görecelidir ve doğası referans çerçevesine bağlıdır. Newton'un birinci yasası her referans çerçevesinde yerine getirilmez ve bu yasanın sahip olduğu sistemlere denir. eylemsiz referans çerçeveleri... Eylemsiz bir referans çerçevesi, maddi bir noktanın, dış etkilerden arındırılmış, ya dururken ya da düzgün ve doğrusal hareket eder. Newton'un birinci yasası, eylemsiz referans çerçevelerinin varlığını belirtir.
Güneş merkezli (yıldız) referans sisteminin eylemsiz olarak kabul edilebileceği deneysel olarak tespit edilmiştir (koordinatların kaynağı Güneş'in merkezindedir ve eksenler belirli yıldızların yönünde çizilir). Dünya ile ilgili referans çerçevesi, kesin olarak söylemek gerekirse, eylemsizdir, ancak eylemsizliğinden (Dünya kendi ekseni etrafında ve Güneş etrafında döner) kaynaklanan etkiler birçok sorunun çözümünde ihmal edilebilir ve bunlarda ihmal edilebilir. durumlarda atalet olarak kabul edilebilir.
Aynı etkiler altında farklı cisimlerin hareket hızlarını eşit olmayan şekilde değiştirdikleri, yani başka bir deyişle farklı ivmeler kazandıkları deneyimlerden bilinmektedir. Hızlanma sadece çarpmanın büyüklüğüne değil, aynı zamanda vücudun özelliklerine (kütlesine) de bağlıdır.
Ağırlık vücut, maddenin eylemsizliğini belirleyen temel özelliklerinden biri olan fiziksel bir niceliktir ( atıl kütle) ve yerçekimi ( yerçekimi kütlesi) özellikler. Şu anda, eylemsizlik ve yerçekimi kütlelerinin birbirine eşit olduğu (değerlerinin en az 10 – 12'si kadar bir doğrulukla) kanıtlanmış kabul edilebilir.
Newton'un birinci yasasında bahsedilen etkileri tanımlamak için kuvvet kavramı tanıtılır. Vücudun kuvvetlerinin etkisi altında, ya hareket hızını değiştirin, yani hızlanma (kuvvetlerin dinamik tezahürü) elde edin veya deforme, yani şekillerini ve boyutlarını değiştirin (kuvvetlerin statik tezahürü). Kuvvet, zamanın her anında sayısal bir değer, uzayda yön ve uygulama noktası ile karakterize edilir. Yani, Kuvvet bir ölçü olan bir vektör miktarıdır mekanik darbe vücudun diğer cisimlerin veya alanların yanından vücut üzerinde, bunun sonucunda vücut hızlanır veya şeklini ve boyutunu değiştirir.
Newton'un ikinci yasası
Newton'un ikinci yasası - öteleme hareketinin dinamiğinin temel yasası - bir maddesel noktanın (cismin) mekanik hareketinin kendisine uygulanan kuvvetlerin etkisi altında nasıl değiştiği sorusunu cevaplar.
Aynı cisme farklı kuvvetlerin etkisini düşünürsek, cismin kazandığı ivmenin her zaman uygulanan kuvvetlerin bileşkesi ile doğru orantılı olduğu ortaya çıkar:
a ~ F (t = sabit). (6.1)
Aynı kuvvet farklı kütlelere sahip cisimlere etki ettiğinde, ivmeleri farklı olur, yani
bir ~ 1 / t (F= sabit). (6.2)
(6.1) ve (6.2) ifadelerini kullanarak ve kuvvet ve ivmenin vektörel büyüklükler olduğunu dikkate alarak yazabiliriz.
bir = kF / m. (6.3)
İlişki (6.3) Newton'un ikinci yasasını ifade eder: Maddi bir noktanın (gövde) edindiği ivme, ona neden olan kuvvetle orantılıdır, onunla doğru orantılıdır ve maddi noktanın (gövdenin) kütlesiyle ters orantılıdır.
SI orantılılık faktöründe k = 1. Sonra
(6.4)
Maddi bir noktanın (vücudun) kütlesinin Klasik mekanik sabit bir değerdir, (6.4) ifadesinde türevin işareti altına girilebilir:
vektör miktarı
Bir malzeme noktasının kütlesinin çarpımına sayısal olarak eşit olan ve hızın yönüne sahip olan noktaya denir. dürtü (hareket miktarı) bu maddi nokta.
(6.6)'yı (6.5) yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
Bu ifade - Newton'un ikinci yasasının daha genel bir formülasyonu: Maddi bir noktanın momentumunun değişim hızı, ona etki eden kuvvete eşittir. (6.7) ifadesi denir maddesel bir noktanın hareket denklemi.
SI'daki kuvvet birimi Newton(N): 1 N, kuvvetin etkisi yönünde 1 kg kütleye 1 m / s 2 ivme kazandıran kuvvettir:
1 N = 1 kg × m / s 2.
Newton'un ikinci yasası yalnızca eylemsiz referans çerçevelerinde geçerlidir. Newton'un birinci yasası ikinciden elde edilebilir. Gerçekten de, bileşke kuvvetler sıfıra eşitse (diğer cisimlerden cisim üzerinde bir etki yokluğunda), ivme de (bkz. (6.3)) sıfırdır. ancak Newton'un birinci yasası olarak görülen bağımsız hukuk(ve ikinci yasanın bir sonucu olarak değil), çünkü sadece denklemin (6.7) yerine getirildiği eylemsiz referans çerçevelerinin varlığını iddia eden kişidir.
mekanikte büyük önem sahip kuvvetlerin bağımsızlığı ilkesi: Eğer maddesel bir noktaya aynı anda birkaç kuvvet etki ediyorsa, bu kuvvetlerin her biri, sanki başka kuvvet yokmuş gibi, Newton'un ikinci yasasına göre maddesel noktaya ivme kazandırır. Bu ilkeye göre, kuvvetler ve ivmeler, kullanımı problem çözmenin önemli ölçüde basitleştirilmesine yol açan bileşenlere ayrılabilir. Örneğin, Şekil 1'de. on aktif kuvvet F = m a iki bileşene ayrıştırılır: teğetsel kuvvet F t, (yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir) ve normal kuvvet F n(normalden eğriliğin merkezine doğru yönlendirilir). İfadeleri kullanmanın yanı sıra , Yazabilirsin:
Maddi bir noktada aynı anda birkaç kuvvet etki ediyorsa, o zaman, kuvvetlerin etkisinin bağımsızlığı ilkesine göre, Newton'un ikinci yasasında F ile ortaya çıkan kuvveti kastediyoruz.
Newton'un üçüncü yasası
Malzeme noktaları (gövdeler) arasındaki etkileşim belirlenir Newton'un üçüncü yasası: maddi noktaların (bedenlerin) birbirleri üzerindeki herhangi bir hareketi, etkileşim karakterine sahiptir; maddi noktaların birbirine etki ettiği kuvvetler her zaman büyüklük olarak eşittir, zıt yöndedir ve bu noktaları birleştiren düz bir çizgi boyunca hareket eder:
F 12 = - F 21, (7.1)
burada F 12, ikincinin yanından birinci malzeme noktasına etki eden kuvvettir;
F 21 - birincinin yanından ikinci malzeme noktasına etki eden kuvvet. Bu kuvvetler uygulanan farklı maddi noktalar (vücutlar), her zaman hareket eder çiftler halinde ve kuvvetlerdir bir doğa.
Newton'un üçüncü yasası dinamikten geçişe izin verir ayrı dinamiklere maddi nokta sistemler maddi noktalar. Bu, bir maddi noktalar sistemi için, etkileşimin, maddi noktalar arasındaki çift etkileşim kuvvetlerine indirgendiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır.
Temel dönme açısı, açısal hız
Şekil 9: Temel dönüş açısı ()
Temel (sonsuz küçük) döndürmeler vektör olarak kabul edilir. Vektörün modülü dönme açısına eşittir ve yönü, başı çevre boyunca noktanın hareket yönünde dönen vidanın ucunun translasyon hareketinin yönü ile çakışır, yani itaat eder. sağ vida kuralı.
Açısal hız
Vektör, sağ vida kuralına göre, yani vektörle aynı şekilde dönme ekseni boyunca yönlendirilir (bkz. Şekil 10).
Şekil 10.
Şekil 11
Vücudun dönme açısının zamana göre birinci türevi tarafından belirlenen vektör değeri.
Doğrusal ve açısal hız modüllerinin iletişimi
Şekil 12
Doğrusal ve açısal hız vektörlerinin ilişkisi
Söz konusu noktanın konumu, yarıçap vektörü tarafından belirlenir (dönme ekseninde uzanan 0 koordinatlarının orijininden çizilir). Vektör ürünü, vektörle aynı doğrultudadır ve modülüne eşittir.
Açısal hızın birimi dir.
Sahte vektörler (eksenel vektörler), yönleri dönme yönü ile ilişkili olan vektörlerdir (örneğin,). Bu vektörlerin belirli uygulama noktaları yoktur: dönme ekseni üzerindeki herhangi bir noktadan çizilebilirler.
Bir daire boyunca bir malzeme noktasının düzgün hareketi
Bir daire boyunca düzgün hareket, eşit zaman dilimleri için bir malzeme noktasının (gövdenin) yayın uzunluğu boyunca eşit dairelerden geçtiği bir harekettir.
Açısal hız
: (-- dönüş açısı).
Dönme periyodu T, malzeme noktasının çevre etrafında tam bir dönüş yaptığı, yani bir açıyla döndüğü zamandır.
Zaman aralığı karşılık geldiğinden, o zaman.
Dönme frekansı - birim zaman başına bir daire etrafında düzgün hareketi olan bir malzeme noktası tarafından yapılan tam devir sayısı.
Şekil 13
Düzgün dairesel hareketin karakteristik özelliği
Bir daire boyunca düzgün hareket, eğrisel hareketin özel bir durumudur. Bir hız sabiti modulo () ile dairesel hareket hızlandırılır. Bunun nedeni, sabit bir modül ile hızın yönünün her zaman değişmesidir.
Bir daire boyunca düzgün hareket eden bir maddesel noktanın ivmesi
ivmenin teğetsel bileşeni düzgün hareketçevresi boyunca noktalar sıfırdır.
İvmenin normal bileşeni (merkezcil ivme), dairenin merkezine radyal olarak yönlendirilir (bkz. Şekil 13). Dairenin herhangi bir noktasında normal ivme vektörü hız vektörüne diktir. Bir çember boyunca herhangi bir noktada eşit olarak hareket eden bir maddesel noktanın ivmesi merkezcildir.
Açısal ivme. Doğrusal ve açısal büyüklükler arasındaki ilişki
Açısal ivme, açısal hızın zamana göre birinci türevi tarafından belirlenen bir vektör miktarıdır.
Açısal ivme vektörünün yönü
Gövde sabit bir eksen etrafında döndüğünde, açısal ivme vektörü dönüş ekseni boyunca açısal hızın temel artışının vektörüne doğru yönlendirilir.
Hızlandırılmış harekette vektör vektörle eş yönlüdür, yavaş harekette vektör ona zıttır. Vektör bir sözde vektördür.
Açısal ivmenin birimi dir.
Doğrusal ve açısal büyüklükler arasındaki ilişki
(- bir dairenin yarıçapı; - doğrusal hız; - teğetsel ivme; - normal ivme; - açısal hız).
İncelenen problemin koşulları altında boyutları ihmal edilemeyen uzamış bir cismin hareketleri. Gövde deforme olmaz, başka bir deyişle kesinlikle sağlam olarak kabul edilecektir.
İçinde bulunduğu hareket herhangi Hareket eden bir cismin kendisine paralel kalan düz bir çizgiye denir. ilerici.
"Vücuda sıkıca bağlı" bir düz çizgi, herhangi bir noktadan vücudun herhangi bir noktasına olan mesafenin hareketi sırasında sabit kaldığı düz bir çizgi olarak anlaşılır.
Kesinlikle katı bir cismin öteleme hareketi, bu cismin herhangi bir noktasının hareketi ile karakterize edilebilir, çünkü öteleme hareketi sırasında vücudun tüm noktaları aynı hız ve ivmelerle hareket eder ve hareketlerinin yörüngeleri uyumludur. Katı bir cismin herhangi bir noktasının hareketini belirledikten sonra, aynı zamanda diğer tüm noktalarının hareketini de belirleriz. Bu nedenle, öteleme hareketini tanımlarken, maddi bir noktanın kinematiği ile karşılaştırıldığında yeni problemler ortaya çıkmaz. Bir öteleme hareketi örneği Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.20.
Şekil 2.20. Translasyonel vücut hareketi
Aşağıdaki şekilde bir öteleme hareketi örneği gösterilmektedir:
Şekil 2.21. Düzlem vücut hareketi
Katı bir cismin hareketinin bir diğer önemli özel durumu, cismin iki noktasının hareketsiz kaldığı bir harekettir.
Vücudun iki noktasının hareketsiz kaldığı harekete denir. sabit bir eksen etrafında dönme.
Bu noktaları birleştiren düz çizgi de sabittir ve denir. dönme ekseni.
Şekil 2.22. Sert bir gövdeyi döndürme
Bu hareketle vücudun tüm noktaları dönme eksenine dik düzlemlerde bulunan dairelerde hareket eder. Dairelerin merkezleri dönme ekseni üzerindedir. Bu durumda, dönme ekseni gövdenin dışında yer alabilir.
Video 2.4. Translasyonel ve rotasyonel hareketler.
Açısal hız, açısal ivme. Bir cisim herhangi bir eksen etrafında döndüğünde, tüm noktaları farklı yarıçaplı daireleri tanımlar ve bu nedenle farklı yer değiştirmelere, hızlara ve ivmelere sahiptir. Ancak cismin tüm noktalarının dönme hareketi aynı şekilde tarif edilebilir. Bunun için diğer (malzeme noktasına kıyasla) hareketin kinematik özellikleri kullanılır - dönüş açısı, açısal hız, açısal hızlanma.
Pirinç. 2.23. Daire içinde hareket eden bir noktanın ivme vektörleri
Döner harekette yer değiştirmenin rolü şu şekilde oynanır: küçük döndürme vektörü, dönme ekseni etrafında 00" (şekil 2.24.). Her noktada aynı olacak kesinlikle sağlam(örneğin, noktalar 1, 2, 3 ).
Pirinç. 2.24. Kesinlikle rijit bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi
Dönme vektörünün modülü, dönme açısının değerine eşittir ve açı radyan cinsinden ölçülür.
Dönme ekseni boyunca sonsuz küçük dönme vektörü, gövde ile aynı yönde dönen sağ vidanın (gimbal) hareketine doğru yönlendirilir.
Video 2.5. Son açısal yer değiştirmeler, paralelkenar kuralına göre toplama yapmadıkları için vektör değildir. Sonsuz küçük açısal yer değiştirmeler vektörlerdir.
Yönleri gimbal kuralıyla ilişkilendirilen vektörlere denir. eksenel(İngilizceden. eksen- eksen) aksine kutupsal... Daha önce kullandığımız vektörler. Kutup vektörleri, örneğin, yarıçap vektörü, hız vektörü, ivme vektörü ve kuvvet vektörüdür. Eksenel vektörler, gerçek (kutupsal) vektörlerden bir aynadaki yansıma işlemi sırasındaki davranışlarıyla (ters çevirme veya aynı olan, sağ koordinat sisteminden sola geçiş) farklılık gösterdiğinden, yalancı vektörler olarak da adlandırılır. Sonsuz küçük dönme vektörlerinin eklenmesinin, gerçek vektörlerin eklenmesiyle aynı şekilde, yani paralelkenar (üçgen) kuralına göre gerçekleştiği gösterilebilir (bu daha sonra yapılacaktır). Bu nedenle, aynada yansıma işlemi dikkate alınmazsa, yalancı vektörler ile gerçek vektörler arasındaki fark hiçbir şekilde kendini göstermez ve onlarla sıradan (doğru) vektörler gibi ilgilenmek mümkün ve gereklidir.
Sonsuz küçük dönüş vektörünün bu dönüşün gerçekleştiği zamana oranı
aranan açısal dönüş hızı.
Açısal hızı ölçmek için temel birim sevindim / s... V medyayı yazdır, fizikle ilgisi olmayan nedenlerden dolayı genellikle yazın 1 / sn veya s -1, kesinlikle konuşursak, doğru değil. Açı boyutsuz bir niceliktir, ancak ölçüm birimleri farklıdır (derece, rumba, dolu ...) ve en azından yanlış anlaşılmaları önlemek için belirtilmelidirler.
Video 2.6. Stroboskopik etki ve açısal dönme hızının uzaktan ölçümü için kullanımı.
Açısal hız, orantılı olduğu vektör gibi, eksenel bir vektördür. etrafında dönerken hareketsiz eksen, açısal hız yönünü değiştirmez. Düzgün dönüş ile değeri sabit kalır, böylece vektör. Açısal hız değerinin zamanında yeterli sabitliği olması durumunda, dönüşü periyodu ile karakterize etmek uygundur. T :
Rotasyon süresi- bu, vücudun dönme ekseni etrafında bir tur (2π açıyla dönme) yaptığı zamandır.
"Yeterli sabitlik" kelimeleri, açık bir şekilde, bir süre boyunca (bir devir süresi) açısal hız modülünün önemsiz bir şekilde değiştiği anlamına gelir.
Ayrıca sıklıkla kullanılır zaman birimi başına devir sayısı
Aynı zamanda, teknik uygulamalarda (her şeyden önce, her türlü motor), bir saniye değil, bir dakikayı zaman birimi olarak almak gelenekseldir. Yani açısal dönüş hızı, dakikadaki devir olarak belirtilir. Kolayca görebileceğiniz gibi, (saniyedeki radyan cinsinden) ve (dakikadaki devir cinsinden) arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.
Açısal hız vektörünün yönü Şek. 2.25.
Doğrusal ivme ile benzerlik kurarak açısal ivme, açısal hız vektörünün değişim oranı olarak sunulur. Açısal ivme aynı zamanda bir eksenel vektördür (sözde vektör).
Açısal ivme - açısal hızın zamana göre türevi olarak tanımlanan eksenel bir vektör
Sabit bir eksen etrafında dönerken, daha genel olarak kendisine paralel kalan bir eksen etrafında dönerken, açısal hız vektörü de dönme eksenine paralel olarak yönlendirilir. Açısal hız değerinde bir artışla || açısal ivme onunla aynı yönde çakışır, azalırken ters yönde yönlendirilir. Bunun sadece dönme ekseninin yönünün değişmezliğinin özel bir durumu olduğunu, genel durumda (bir nokta etrafında dönme) dönme ekseninin kendisinin döndüğünü ve o zaman yukarıda söylenenlerin doğru olmadığını vurguluyoruz.
Açısal ve lineer hız ve ivme ilişkisi. Dönen gövdenin noktalarının her biri, karşılık gelen daireye teğetsel olarak yönlendirilmiş belirli bir doğrusal hız ile hareket eder (bkz. Şekil 19). Malzeme noktasının eksen etrafında dönmesine izin verin 00" yarıçaplı bir daire etrafında r... Kısa bir süre içerisinde dönüş açısına karşılık gelen yolu kaplayacaktır. Sonra
Sınıra geçerek, dönen bir cismin bir noktasının doğrusal hızının modülü için bir ifade elde ederiz.
Burada hatırlayın r vücudun düşünülen noktasından dönme eksenine olan mesafedir.
Pirinç. 2.26.
Normal ivme olduğu için
daha sonra açısal ve doğrusal hızların oranını dikkate alarak elde ederiz.
Dönen bir katı cismin noktalarının normal ivmesine genellikle denir. merkezcil ivme.
Zaman içinde ifadesini farklılaştırarak, buluruz
yarıçaplı bir daire boyunca hareket eden bir noktanın teğetsel ivmesi nerede r.
Böylece, hem teğetsel hem de normal ivmeler artan yarıçapla doğrusal olarak büyür. r- dönme ekseninden uzaklık. Tam hızlanma da doğrusal olarak bağlıdır r :
Örnek.Üzerinde yatan noktaların doğrusal hızını ve merkezcil ivmesini bulalım. dünya yüzeyi Moskova'nın ekvator ve enleminde (= 56 °). Dünyanın kendi ekseni etrafındaki dönüş periyodunu biliyoruz. T = 24 saat = 24x60x60 = 86 400 sn... Buradan açısal dönme hızı bulunur.
Dünyanın ortalama yarıçapı
Enlemde dönme eksenine olan uzaklık
Buradan lineer hızı buluyoruz
ve merkezcil ivme
Ekvatorda = 0, cos = 1, bu nedenle,
Moskova enleminde cos = cos 56 ° = 0,559 ve şunu elde ederiz:
Dünyanın dönüşünün etkisinin o kadar büyük olmadığını görüyoruz: ekvatordaki merkezcil ivmenin yerçekimi ivmesine oranı
Bununla birlikte, daha sonra göreceğimiz gibi, Dünya'nın dönüşünün etkileri oldukça gözlemlenebilir.
Doğrusal ve açısal hız vektörleri arasındaki ilişki. Yukarıda elde edilen açısal ve doğrusal hızlar arasındaki ilişkiler ve vektörlerinin modülleri için yazılmıştır. Bu ilişkileri vektör biçiminde yazmak için çapraz çarpım kavramını kullanırız.
İzin vermek 0z- kesinlikle katı bir gövdenin dönme ekseni (Şekil 2.28).
Pirinç. 2.28. Doğrusal ve açısal hız vektörleri arasındaki ilişki
Puan A yarıçaplı bir daire etrafında döner r. r- dönme ekseninden vücudun dikkate alınan noktasına olan mesafe. bir nokta alalım 0 kökeni için. Sonra
dan beri
daha sonra, vücudun tüm noktaları için bir çapraz ürün tanımıyla
İşte cismin O noktasından başlayarak rastgele sabit bir yerde uzanan bir noktasının yarıçap vektörü, mutlaka dönme ekseninde
Ama diğer tarafta
Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı sıfıra eşit olduğundan, ilk terim sıfıra eşittir. Buradan,
nerede vektör r dönme eksenine diktir ve ondan uzağa yönlendirilir ve modülü, malzeme noktasının hareket ettiği dairenin yarıçapına eşittir ve bu vektör bu dairenin merkezinden başlar.
Pirinç. 2.29. Anlık dönme ekseninin tanımına
Normal (merkezcil) ivme vektör biçiminde de yazılabilir:
ayrıca "-" işareti dönme eksenine yönlendirildiğini gösterir. Zamandaki doğrusal ve açısal hızların oranını farklılaştırarak, toplam ivme için ifadeyi buluruz.
İlk terim, dönen bir cisim üzerindeki bir noktanın yörüngesine teğetsel olarak yönlendirilir ve modülü eşittir, çünkü
Teğetsel ivme ifadesi ile karşılaştırıldığında, bunun teğetsel ivme vektörü olduğu sonucuna varıyoruz.
Bu nedenle, ikinci terim aynı noktanın normal ivmesidir:
Gerçekten de, yarıçap boyunca yönlendirilir r dönme eksenine ve modülüne
Bu nedenle, normal ivme için bu oran, daha önce elde edilen formülü yazmanın başka bir şeklidir.
ek bilgi
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Genel kurs Fizik, Cilt 1, Mekanik Ed. Science 1979 - s. 242–243 (§46, s. 7): katı bir cismin açısal dönüşlerinin vektör doğasına ilişkin anlaşılması oldukça zor bir soru tartışılıyor;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Genel Fizik Kursu, Cilt 1, Mekanik Ed. Science 1979 - s. 233–242 (§45, §46 pp. 1–6): katı bir cismin anlık dönüş ekseni, dönüşlerin eklenmesi;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - Kvant dergisi - basketbol atma kinematiği (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - "Kvant" dergisi 2003 No. 6, - s. 5–11, katı bir cismin anlık hızları alanı (S. Krotov);
Euler açıları, uçak (gemi) açıları.
Geleneksel olarak, Euler açıları aşağıdaki gibi tanıtılır. Referans konumundan mevcut konuma geçiş üç dönüşle gerçekleştirilir (Şekil 4.3):
1. Bir açıyla döndürün presesyon Aynı zamanda, (c) konumuna girer. .
2. Köşeyi dönün nütasyon... Nerede, . (4.10)
4. Bir açıyla döndürün kendi (saf) rotasyon
Daha iyi anlamak için, Şekil 4.4 bir üst ve onu tanımlayan Euler açılarını göstermektedir.
Referans konumundan mevcut konuma geçiş üç turda yapılabilir (kendinizi çevirin!) (Şekil 4.5):
1. Bir açıyla döndürün sinsi sinsi dolaşmak, burada
2. Perde açısı etrafında dönüş, (4.12) ise
3. Yuvarlanma açısını döndürün
“Yapılabilir” ifadesi tesadüfi değildir; diğer seçeneklerin mümkün olduğunu anlamak kolaydır, örneğin sabit eksenlerin etrafında döner
1. Bir açıyla döndürün rulo(kanat kırma riski)
2. Köşeyi dönün saha("burnu kaldırmak") (4.13)
3. Köşeyi dönün sinsi sinsi dolaşmak
Ancak (4.12) ve (4.13)'ün özdeşliğinin de kanıtlanması gerekir.
Herhangi bir noktanın (Şekil 4.6) konum vektörü için bariz vektör formülünü matris biçiminde yazalım. Referans bazına göre vektörün koordinatlarını bulalım. Vektörü gerçek temele göre genişletelim ve koordinatları referans temelinde vektörün koordinatlarına eşit olan "aktarılan" vektörü tanıtalım; başka bir deyişle, vücutla birlikte "dönen" bir vektör (Şekil 4.6).
| Pirinç. 4.6. |
Vektörleri referans bazında genişletirsek, şunu elde ederiz:
Dönme matrisi ve sütunları tanıtalım,
Matris notasyonundaki vektör formülü şu şekildedir:
1. Döndürme matrisi diktir;
Bu ifadenin kanıtı (4.9) formülüdür.
Ürünün (4.15) determinantını hesaplayarak elde ederiz ve referans konumunda olduğu için (determinantı (+1)'e eşit olan dik matrislere denir. aslında ortogonal veya rotasyon matrisleri). Döndürme matrisi, vektörlerle çarpıldığında, vektörlerin uzunluklarını veya aralarındaki açıları değiştirmez, yani. gerçekten onların döner.
2. Dönme matrisi, dönme eksenini tanımlayan bir özvektöre (sabit) sahiptir. Başka bir deyişle, denklem sisteminin benzersiz bir çözüme sahip olduğunu göstermek gerekir. Sistemi ( şeklinde yazıyoruz. Bu homojen sistemin determinantı sıfıra eşittir, çünkü
dolayısıyla sistemin sıfırdan farklı bir çözümü vardır. İki çözüm olduğunu varsayarsak, onlara dik olanın da bir çözüm olduğu (vektörler arasındaki açılar değişmez) sonucuna hemen ulaşırız, yani. dönüş yok..
| Şekil 4.7 |
Bir ortonormal temelde matris
forma sahiptir.
2. Diferansiyel (4.15), elde ederiz veya, ifade ederek - matrisi uyku (döndürmek için İngilizce - burgu). Böylece, dönüş matrisi çarpık simetriktir:. Sağda ile çarparak, döndürme matrisi için Poisson formülünü elde ederiz:
Matris tanımı çerçevesinde en zor ana geldik - açısal hız vektörünün tanımı.
Elbette standardı yapabilirsiniz (örneğin, yola bakın ve şunu yazın: " çarpık simetrik matrisin elemanları için gösterimi tanıtıyoruz S formüle göre
Bir vektör oluşturursak , o zaman bir matrisi bir vektörle çarpmanın sonucu bir vektör ürünü olarak temsil edilebilir.". Yukarıdaki alıntıda - açısal hız vektörü.
(4.14) türevini alarak, katı bir cismin kinematiğinin temel formülü için bir matris notasyonu elde ederiz. :
Hesaplamalar için uygun olan matris yaklaşımı, ilişkilerin analizi ve türetilmesi için çok az uygundur; vektör ve tensör dilinde yazılmış herhangi bir formül matris biçiminde kolayca yazılabilir, ancak herhangi bir şeyi tanımlamak için kompakt ve anlamlı bir formül elde edebilirsiniz. fiziksel fenomen matris formunda zordur.
Ek olarak, matris elemanlarının bir temelde bir tensörün koordinatları (bileşenleri) olduğu unutulmamalıdır. Tensörün kendisi, temelin seçimine bağlı değildir, ancak bileşenleri buna bağlıdır. Matris biçiminde hatasız yazma için, ifadeye dahil edilen tüm vektörlerin ve tensörlerin tek bir temelde yazılması gerekir ve bu her zaman uygun değildir, çünkü farklı tensörler farklı tabanlarda "basit" bir forma sahiptir, bu nedenle bu her zaman uygun değildir. geçiş matrislerini kullanarak matrisleri yeniden hesaplamak için gerekli ...
Daire üzerinde, dairenin merkezinden çizilen $ \ overrightarrow (r) $ yarıçap vektörü ile tanımlanır. Yarıçap vektörünün modülü, R dairesinin yarıçapına eşittir (Şekil 1).
Şekil 1. Bir noktayı bir daire boyunca hareket ettirirken yarıçap vektörü, yer değiştirme, yol ve dönüş açısı
Bu durumda, cismin bir daire içindeki hareketi, dönüş açısı, açısal hız ve açısal ivme gibi kinematik özellikler kullanılarak benzersiz bir şekilde tanımlanabilir.
∆t süresi boyunca, A noktasından B noktasına hareket eden vücut, AB kirişine eşit bir $ \ üçgen r $ hareketi yapar ve l yayının uzunluğuna eşit bir yol kat eder. Yarıçap vektörü ∆ $ \ varphi $ açısıyla döndürülür.
Dönme açısı, modülü dönme açısına ∆ $ \ varphi $ eşit olan ve yön ile çakışan $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $ açısal yer değiştirme vektörü ile karakterize edilebilir. dönme ekseni ve böylece dönme yönü, $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $ vektörünün yönüne göre sağ vidanın kuralına karşılık gelir.
$ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $ vektörüne eksenel vektör (veya sözde vektör) denirken, $ \ üçgen \ overrightarrow (r) $ yer değiştirme vektörü kutup vektörüdür (bu aynı zamanda hızı da içerir). ve ivme vektörleri) ... Kutup vektörünün uzunluk ve yöne ek olarak bir uygulama noktasına (kutup) sahip olması ve eksen vektörünün yalnızca uzunluk ve yöne (eksen - Latince, eksen) sahip olması, ancak bir uygulama noktasına sahip olmaması bakımından farklılık gösterirler. . Bu tür vektörler genellikle fizikte kullanılır. Bunlar, örneğin, iki polar vektörün vektör ürünü olan tüm vektörleri içerir.
Yarıçap vektörünün dönüş açısının bu dönüşün gerçekleştiği zaman aralığına oranına sayısal olarak eşit olan skaler bir fiziksel niceliğe ortalama açısal hız denir: $ \ left \ langle \ omega \ right \ rangle = \ frac (\ üçgen \ varphi) (\ üçgen t) $. Açısal hızın SI birimi saniyedeki radyan $ (\ frac (rad) (c)) $'dır.
Tanım
Açısal dönme hızı, vücudun dönme açısının zaman içindeki ilk türevine sayısal olarak eşit ve sağ vida kuralına göre dönme ekseni boyunca yönlendirilen bir vektördür:
\ [\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega)) \ sol (t \ sağ) = (\ mathop (lim) _ (\ üçgen t \ ila 0) \ frac (\ üçgen (\ mathbf \ varphi)) (\ üçgen t) = \ frac (d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi))) (dt) \) \]
Bir daire boyunca düzgün hareketle, açısal hız ve doğrusal hızın modülü sabit değerlerdir: $ (\ mathbf \ omega) = const $; $ v = sabit $.
$ \ üçgen \ varphi = \ frac (l) (R) $ olduğunu dikkate alarak, doğrusal ve açısal hız arasındaki ilişkiyi elde ederiz: $ \ omega = \ frac (l) (R \ üçgen t) = \ frac ( v) ( R) $. Açısal hız ayrıca normal ivme ile de ilişkilidir: $ a_n = \ frac (v ^ 2) (R) = (\ omega) ^ 2R $
NS düzensiz hareket bir daire içinde, açısal hız vektörü zamanın bir vektör fonksiyonudur $ \ overrightarrow (\ omega) \ left (t \ right) = (\ overrightarrow (\ omega)) _ 0+ \ overrightarrow (\ varepsilon) \ sol (t \ sağ) t $, burada $ (\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega))) _ 0 $ ilk açısal hızdır, $ \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ sol (t \ sağ) $ açısal ivme. Eşit hareket durumunda, $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ left (t \ sağ) \ sağ | = \ varepsilon = const $ ve $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ omega) ) ) \ sol (t \ sağ) \ sağ | = \ omega \ sol (t \ sağ) = (\ omega) _0 + \ varepsilon t $.
Şekil 2'de gösterilen grafik 1 ve 2'ye göre açısal hızın değiştiği durumlarda dönen bir katı cismin hareketini tanımlayın.
Şekil 2.
İki dönüş yönü vardır - saat yönünde ve saat yönünün tersine. Dönme yönü, dönme açısı ve açısal hızın sözde vektörü ile ilişkilidir. Saat yönünde dönme yönünü pozitif olarak kabul edelim.
Hareket 1 için açısal hız artar, ancak açısal ivme $ \ varepsilon $ = d $ \ omega $ / dt (türev) azalır, pozitif kalır. Bu nedenle, bu hareket azalan ivme ile saat yönünde hızlanır.
2. hareket için açısal hız azalır, sonra apsis ekseni ile kesişme noktasında sıfıra ulaşır ve ardından negatif olur ve büyüklük olarak artar. Açısal ivme negatiftir ve büyüklük olarak azalır. Böylece, başlangıçta nokta, açısal ivmenin azalan büyüklüğü ile daha yavaş bir hızda saat yönünde hareket etti, durdu ve azalan ivme büyüklüğü ile hızlandırılmış bir hızda dönmeye başladı.
Çember üzerinde bulunan bir noktanın $ v_1 $ lineer hızının $ r = 5 cm $ uzaklıkta bulunan bir noktanın $ v_2 $ lineer hızının 2.5 katı olduğu biliniyorsa, dönen tekerleğin R yarıçapını bulunuz. tekerlek ekseni.
Figür 3.
$$ R_2 = R_1 - 5 $$ $$ v_1 = 2.5v_2 $$ $$ R_1 =? $$
Noktalar eşmerkezli daireler boyunca hareket eder, açısal hızlarının vektörleri eşittir, $ \ left | (\ overrightarrow (\ omega)) _ 1 \ right | = \ left | (\ overrightarrow (\ omega)) _ 2 \ sağ | = \ omega $, bu nedenle skaler biçimde yazılabilir:
Cevap: tekerlek yarıçapı R = 8,3 cm
Yükleniyor...