Bir trigonometrik sayının üssü. Karmaşık Sayıları Bir Kuvvete Yükseltmek
Favori bir kare ile başlayalım.
Örnek 9
Karmaşık bir sayının karesi
Burada iki yoldan gidebilirsiniz, birincisi dereceyi çarpanların çarpımı olarak yeniden yazmak ve polinomları çarpma kuralına göre sayıları çarpmaktır.
İkinci yol, kısaltılmış çarpma için iyi bilinen okul formülünü kullanmaktır:
Karmaşık bir sayı için kısaltılmış çarpma için kendi formülünüzü türetmek kolaydır:
Farkın karesi için olduğu kadar, toplamın küpü ve farkın küpü için de benzer bir formül türetilebilir. Ancak bu formüller, karmaşık analiz görevleri için daha uygundur. Ya karmaşık bir sayının 5., 10. veya 100. güce yükseltilmesi gerekiyorsa? Cebirsel formda böyle bir numara yapmanın neredeyse imkansız olduğu açıktır, gerçekten, nasıl bir örnek çözeceğinizi düşünün?
Ve burada karmaşık bir sayının trigonometrik formu kurtarmaya gelir ve sözde Moivre formülü: Karmaşık bir sayı trigonometrik biçimde sunulursa, doğal bir güce yükseltildiğinde, formül doğrudur:
Sadece çirkin.
Örnek 10
Karmaşık bir sayı verildiğinde, bulun.
Ne yapılmalı? Öncelikle verilen sayıyı trigonometrik biçimde göstermeniz gerekir. Dikkatli okuyucularÖrnek 8'de bunu zaten yaptığımıza dikkat edin:
Daha sonra Moivre formülüne göre:
Tanrı korusun, bir hesap makinesine güvenmeniz gerekmez, ancak çoğu durumda açı basitleştirilmelidir. Nasıl basitleştirilir? Mecazi olarak konuşursak, gereksiz dönüşlerden kurtulmanız gerekir. Bir devir radyan veya 360 derecedir. Argümanda kaç sıramız olduğunu bulalım. Kolaylık sağlamak için, kesri doğru yapıyoruz: bundan sonra bir devir çıkarabileceğiniz açıkça görülüyor:. Umarım herkes aynı açı olduğunu anlar.
Böylece, nihai cevap şöyle yazılacaktır:
Üs alma sorununun ayrı bir türü de tamamen hayali sayıların üstelleştirilmesidir.
Örnek 12
Karmaşık sayıları bir kuvvete yükseltin,
Burada da her şey basit, asıl mesele ünlü eşitliği hatırlamak.
Hayali birim eşit kuvvete yükseltilirse, çözüm tekniği aşağıdaki gibidir:
Hayali birim tek bir güce yükseltilirse, o zaman bir “ve” “kıstırırız”, eşit bir güç elde ederiz:
Bir eksi (veya herhangi bir geçerli katsayı) varsa, önce ayrılmalıdır:
Karmaşık sayılardan kök çıkarma. Karmaşık kökleri olan ikinci dereceden denklem
Bir örnek düşünelim:
Kökü çıkaramıyor musunuz? Gerçek sayılardan bahsediyorsak, o zaman gerçekten imkansız. Karmaşık sayılarda kökü çıkarabilirsiniz! Daha doğrusu, 2 kök:
Bulunan kökler gerçekten denklemin bir çözümü mü? Hadi kontrol edelim:
Doğrulanması gereken şey buydu.
Genellikle kısaltılmış bir gösterim kullanılır, her iki kök de "tek tarak" altında bir satırda yazılır:.
Bu tür kökler de denir eşlenik karmaşık kökler .
nasıl çıkarılır Karekök negatif sayılardan, herkesin anladığını düşünüyorum: ,,,, vb. Her durumda ortaya çıkıyor 2 konjuge karmaşık kökler.
Favori bir kare ile başlayalım.
Örnek 9
Karmaşık bir sayının karesi
Burada iki yoldan gidebilirsiniz, birincisi dereceyi çarpanların çarpımı olarak yeniden yazmak ve polinomları çarpma kuralına göre sayıları çarpmaktır.
İkinci yol, kısaltılmış çarpma için iyi bilinen okul formülünü kullanmaktır:
Karmaşık bir sayı için kısaltılmış çarpma için kendi formülünüzü türetmek kolaydır:
Farkın karesi için olduğu kadar, toplamın küpü ve farkın küpü için de benzer bir formül türetilebilir. Ancak bu formüller, karmaşık analiz görevleri için daha uygundur. Ya karmaşık bir sayının 5., 10. veya 100. güce yükseltilmesi gerekiyorsa? Cebirsel formda böyle bir numara yapmanın neredeyse imkansız olduğu açıktır, gerçekten, nasıl bir örnek çözeceğinizi düşünün?
Ve burada karmaşık bir sayının trigonometrik formu kurtarmaya gelir ve sözde Moivre formülü: Karmaşık bir sayı trigonometrik biçimde sunulursa, doğal bir güce yükseltildiğinde, formül doğrudur:
Sadece çirkin.
Örnek 10
Karmaşık bir sayı verildiğinde, bulun.
Ne yapılmalı? Öncelikle verilen sayıyı trigonometrik biçimde göstermeniz gerekir. Dikkatli okuyucular, Örnek 8'de bunu zaten yaptığımızı fark edeceklerdir:
Daha sonra Moivre formülüne göre:
Tanrı korusun, bir hesap makinesine güvenmeniz gerekmez, ancak çoğu durumda açı basitleştirilmelidir. Nasıl basitleştirilir? Mecazi olarak konuşursak, gereksiz dönüşlerden kurtulmanız gerekir. Bir devir radyan veya 360 derecedir. Argümanda kaç sıramız olduğunu bulalım. Kolaylık sağlamak için, kesri doğru yapıyoruz: bundan sonra bir devir çıkarabileceğiniz açıkça görülüyor:. Umarım herkes aynı açı olduğunu anlar.
Böylece, nihai cevap şöyle yazılacaktır:
Üs alma sorununun ayrı bir türü de tamamen hayali sayıların üstelleştirilmesidir.
Örnek 12
Karmaşık sayıları bir kuvvete yükseltin,
Burada da her şey basit, asıl mesele ünlü eşitliği hatırlamak.
Hayali birim eşit kuvvete yükseltilirse, çözüm tekniği aşağıdaki gibidir:
Hayali birim tek bir güce yükseltilirse, o zaman bir “ve” “kıstırırız”, eşit bir güç elde ederiz:
Bir eksi (veya herhangi bir geçerli katsayı) varsa, önce ayrılmalıdır:
Karmaşık sayılardan kök çıkarma. Karmaşık kökleri olan ikinci dereceden denklem
Bir örnek düşünelim:
Kökü çıkaramıyor musunuz? Gerçek sayılardan bahsediyorsak, o zaman gerçekten imkansız. Karmaşık sayılarda kökü çıkarabilirsiniz! Daha doğrusu, 2 kök:
Bulunan kökler gerçekten denklemin bir çözümü mü? Hadi kontrol edelim:
Doğrulanması gereken şey buydu.
Genellikle kısaltılmış bir gösterim kullanılır, her iki kök de "tek tarak" altında bir satırda yazılır:.
Bu tür kökler de denir eşlenik karmaşık kökler.
Sanırım herkes negatif sayılardan karekök almayı anlıyor: ,,,, vb. Her durumda ortaya çıkıyor 2 konjuge karmaşık kökler.
Örnek 13
İkinci Dereceden Denklemi Çöz
Diskriminantı hesaplayalım:
Diskriminant negatiftir ve denklemin reel sayılarda çözümü yoktur. Ancak kök karmaşık sayılarda çıkarılabilir!
Bilinen okul formüllerine göre iki kök elde ederiz: - karmaşık kökleri eşlenik
Böylece, denklemin iki eşlenik karmaşık kökü vardır:,
Artık herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz!
Ve genel olarak, "n'inci" derecede bir polinomu olan herhangi bir denklem, bazıları karmaşık olabilen eşit köklere sahiptir.
Kendin yap çözümü için basit bir örnek:
Örnek 14
Denklemin köklerini bulun ve ikinci dereceden iki terimliyi çarpanlarına ayırın.
Çarpanlara ayırma yine standart okul formülüne göre yapılır.
Yükleniyor...