Bir daire herhangi bir üçgene doğru bir şekilde yazılabilir. yazılı daire
tanım 2
Tanım 1'in koşulunu sağlayan bir çokgenin bir daire etrafında çizildiği söylenir.
Şekil 1. Yazılı daire
Teorem 1 (üçgen içine yazılmış bir daire üzerinde)
teorem 1
Herhangi bir üçgende bir daire ve dahası sadece bir tane yazabilirsiniz.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen açıortaylar çizin ve buradan üçgenin kenarlarına dikler çizin (Şek. 2)
Şekil 2. Teorem 1'in Çizimi
Varlık: $O$ merkezli ve $OK yarıçaplı bir daire çizin.\ $$O$ noktası üç ortay üzerinde bulunduğundan, $ABC$ üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır. Yani, $OM=OK=OL$. Sonuç olarak, oluşturulan daire de $M\ ve\ L$ noktalarından geçer. $OM,OK\ ve\ OL$ üçgenin kenarlarına dik olduğundan, teğet daire teoremi ile oluşturulan daire üçgenin üç kenarına da dokunur. Bu nedenle, bir üçgenin keyfiliği sayesinde, herhangi bir üçgene bir daire çizilebilir.
Teklik: Diyelim ki $ABC$ üçgeni $O"$ noktasında merkezli başka bir daire ile çizilebiliyor. Merkezi üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta ve bu nedenle $O$ noktasıyla çakışıyor ve yarıçapı $OK$ Ama o zaman bu daire birincisi ile çakışacaktır.
Teorem kanıtlanmıştır.
Sonuç 1: Bir üçgende yazılı bir dairenin merkezi, ortaortamlarının kesişme noktasında bulunur.
Yazılı bir daire kavramıyla ilgili bazı gerçekler:
Her dörtgen bir daire içine yazılamaz.
Herhangi bir sınırlandırılmış dörtgende, karşılıklı kenarların toplamı eşittir.
Bir dışbükey dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamı eşitse, içine bir daire yazılabilir.
tanım 3
Çokgenin tüm köşeleri dairenin üzerindeyse, daireye çokgenin yanında çevrelenmiş denir (Şekil 3).
tanım 4
Tanım 2'nin koşulunu sağlayan bir çokgene bir daire içinde yazılı denir.
Şekil 3. Çevrelenmiş daire
Teorem 2 (bir üçgenle çevrelenmiş bir daire üzerinde)
Teorem 2
Herhangi bir üçgenin yanında bir daire ve dahası sadece bir daire çizmek mümkündür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen orta dikmeleri çizelim ve üçgenin köşeleriyle birleştirelim (Şekil 4).
Şekil 4. Teorem 2'nin Çizimi
Varoluş: Merkezi $O$ ve yarıçapı $OC$ olan bir daire oluşturalım. $O$ noktası üçgenin köşelerinden eşit uzaklıktadır, yani $OA=OB=OC$. Bu nedenle, oluşturulan daire verilen üçgenin tüm köşelerinden geçer, bu da bu üçgenin etrafında tanımlandığı anlamına gelir.
Teklik: $ABC$ üçgeninin etrafında $O"$ noktasındaki merkezle bir dairenin daha çevrelenebileceğini varsayın. Merkezi üçgenin köşelerinden eşit uzaklıktadır ve bu nedenle $O$ noktasıyla çakışır ve bir yarıçapı $OC'nin uzunluğuna eşittir. Ancak o zaman bu daire birincisi ile çakışacaktır.
Teorem kanıtlanmıştır.
Sonuç 1: Merkez hakkında anlatılan daire üçgeni dik açıortaylarının kesişme noktası ile çakışır.
Sınırlandırılmış daire kavramıyla ilgili birkaç gerçek daha:
Bir dörtgenin etrafındaki bir daireyi tanımlamak her zaman mümkün değildir.
Herhangi bir yazılı dörtgende, karşılıklı açıların toplamı $(180)^0$'a eşittir.
Bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı $(180)^0$ ise, o zaman çevresine bir daire çizilebilir.
Yazılı ve çevrelenmiş daire kavramları üzerine bir problem örneği
örnek 1
Bir ikizkenar üçgende taban 8 cm, kenar 5 cm'dir Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Çözüm.
$ABC$ üçgenini düşünün. Sonuç 1 ile, yazılı dairenin merkezinin açıortayların kesişme noktasında olduğunu biliyoruz. $O$ noktasında kesişen $AK$ ve $BM$ açıortaylarını çizelim. $O$ noktasından $BC$ kenarına dik bir $OH$ çizin. Bir resim çizelim:
Şekil 5
Üçgen ikizkenar olduğundan, $BM$ hem medyan hem de yüksekliktir. Pisagor teoremi ile $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- yazılı dairenin istenen yarıçapı. $MC$ ve $CH$ kesişen tanjantların segmentleri olduğundan, kesişen tanjant teoremine göre, $CH=MC=4\ cm$ elde ederiz. Bu nedenle, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Pisagor teoremine göre $OHB$ üçgeninden şunu elde ederiz:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Yanıt vermek:$\frak(4)(3)$.
tanım 2
Tanım 1'in koşulunu sağlayan bir çokgenin bir daire etrafında çizildiği söylenir.
Şekil 1. Yazılı daire
Teorem 1 (üçgen içine yazılmış bir daire üzerinde)
teorem 1
Herhangi bir üçgende bir daire ve dahası sadece bir tane yazabilirsiniz.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen açıortaylar çizin ve buradan üçgenin kenarlarına dikler çizin (Şek. 2)
Şekil 2. Teorem 1'in Çizimi
Varlık: $O$ merkezli ve $OK yarıçaplı bir daire çizin.\ $$O$ noktası üç ortay üzerinde bulunduğundan, $ABC$ üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır. Yani, $OM=OK=OL$. Sonuç olarak, oluşturulan daire de $M\ ve\ L$ noktalarından geçer. $OM,OK\ ve\ OL$ üçgenin kenarlarına dik olduğundan, teğet daire teoremi ile oluşturulan daire üçgenin üç kenarına da dokunur. Bu nedenle, bir üçgenin keyfiliği sayesinde, herhangi bir üçgene bir daire çizilebilir.
Teklik: Diyelim ki $ABC$ üçgeni $O"$ noktasında merkezli başka bir daire ile çizilebiliyor. Merkezi üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta ve bu nedenle $O$ noktasıyla çakışıyor ve yarıçapı $OK$ Ama o zaman bu daire birincisi ile çakışacaktır.
Teorem kanıtlanmıştır.
Sonuç 1: Bir üçgende yazılı bir dairenin merkezi, ortaortamlarının kesişme noktasında bulunur.
Yazılı bir daire kavramıyla ilgili bazı gerçekler:
Her dörtgen bir daire içine yazılamaz.
Herhangi bir sınırlandırılmış dörtgende, karşılıklı kenarların toplamı eşittir.
Bir dışbükey dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamı eşitse, içine bir daire yazılabilir.
tanım 3
Çokgenin tüm köşeleri dairenin üzerindeyse, daireye çokgenin yanında çevrelenmiş denir (Şekil 3).
tanım 4
Tanım 2'nin koşulunu sağlayan bir çokgene bir daire içinde yazılı denir.
Şekil 3. Çevrelenmiş daire
Teorem 2 (bir üçgenle çevrelenmiş bir daire üzerinde)
Teorem 2
Herhangi bir üçgenin yanında bir daire ve dahası sadece bir daire çizmek mümkündür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen orta dikmeleri çizelim ve üçgenin köşeleriyle birleştirelim (Şekil 4).
Şekil 4. Teorem 2'nin Çizimi
Varoluş: Merkezi $O$ ve yarıçapı $OC$ olan bir daire oluşturalım. $O$ noktası üçgenin köşelerinden eşit uzaklıktadır, yani $OA=OB=OC$. Bu nedenle, oluşturulan daire verilen üçgenin tüm köşelerinden geçer, bu da bu üçgenin etrafında tanımlandığı anlamına gelir.
Teklik: $ABC$ üçgeninin etrafında $O"$ noktasındaki merkezle bir dairenin daha çevrelenebileceğini varsayın. Merkezi üçgenin köşelerinden eşit uzaklıktadır ve bu nedenle $O$ noktasıyla çakışır ve bir yarıçapı $OC'nin uzunluğuna eşittir. Ancak o zaman bu daire birincisi ile çakışacaktır.
Teorem kanıtlanmıştır.
Sonuç 1: Üçgenin çevresinde çizilen dairenin merkezi, dik açıortaylarının kesişme noktası ile çakışmaktadır.
Sınırlandırılmış daire kavramıyla ilgili birkaç gerçek daha:
Bir dörtgenin etrafındaki bir daireyi tanımlamak her zaman mümkün değildir.
Herhangi bir yazılı dörtgende, karşılıklı açıların toplamı $(180)^0$'a eşittir.
Bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı $(180)^0$ ise, o zaman çevresine bir daire çizilebilir.
Yazılı ve çevrelenmiş daire kavramları üzerine bir problem örneği
örnek 1
Bir ikizkenar üçgende taban 8 cm, kenar 5 cm'dir Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Çözüm.
$ABC$ üçgenini düşünün. Sonuç 1 ile, yazılı dairenin merkezinin açıortayların kesişme noktasında olduğunu biliyoruz. $O$ noktasında kesişen $AK$ ve $BM$ açıortaylarını çizelim. $O$ noktasından $BC$ kenarına dik bir $OH$ çizin. Bir resim çizelim:
Şekil 5
Üçgen ikizkenar olduğundan, $BM$ hem medyan hem de yüksekliktir. Pisagor teoremi ile $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- yazılı dairenin istenen yarıçapı. $MC$ ve $CH$ kesişen tanjantların segmentleri olduğundan, kesişen tanjant teoremine göre, $CH=MC=4\ cm$ elde ederiz. Bu nedenle, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Pisagor teoremine göre $OHB$ üçgeninden şunu elde ederiz:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Yanıt vermek:$\frak(4)(3)$.
Ve tüm yönleri için geçerlidir.
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Yazılı daire özellikleri:
r = (− a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c)))));) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))nerede a , b , c (\displaystyle a,b,c)- bir üçgenin kenarları h a , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- ilgili taraflara çizilen yükseklikler;
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb) (pc))(p))))Neresi S (\görüntüleme stili S)üçgenin alanıdır ve p (\görüntüleme stili p) onun yarı çevresidir.
- Eğer A B (\displaystyle AB)- bir ikizkenar üçgenin tabanı, ardından açının kenarlarına teğet olan daire ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB) noktalarda A (\görüntüleme stili A) ve B (\görüntüleme stili B), üçgenin yazılı çemberinin merkezinden geçer △ A B C (\displaystyle \triangle ABC).
- Euler teoremi: R 2 − 2 R r = | O ben | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), nerede R (\görüntüleme stili R)üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, r (\görüntüleme stili r) içinde yazılı dairenin yarıçapı, O (\görüntüleme stili O)- çevrelenmiş dairenin merkezi, ben (\görüntüleme stili I)- yazılı dairenin merkezi.
- AB kenarına paralel I noktasından geçen bir doğru BC ve CA kenarlarını A 1 ve B 1 noktalarında kesiyorsa, A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Yazılı bir üçgenin teğet noktaları ise T (\görüntüleme stili T) daireleri segmentlerle birleştirin, ardından özelliklere sahip bir T 1 üçgeni elde edersiniz:
- T'nin bisektörleri, T 1'in orta dikleridir
- T 2 bir dik üçgen T 1 olsun. O zaman kenarları orijinal T üçgeninin kenarlarına paraleldir.
- T3, T1'in orta üçgeni olsun. O halde T'nin bisektörleri T3'ün yükseklikleridir.
- T 4 , T 3'ün bir dik üçgeni olsun , o zaman T'nin bisektörleri T 4'ün bisektörleridir .
- Bacakları a, b ve hipotenüsü c olan bir dik üçgende yazılı bir dairenin yarıçapı a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- Üçgenin C tepe noktasından yazılı dairenin kenara değdiği noktaya olan uzaklık d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- C tepe noktasından yazılı dairenin merkezine olan mesafe l c = r sin (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve γ, C köşesinin açısıdır.
- C tepe noktasından yazılı dairenin merkezine olan mesafe de formüller kullanılarak bulunabilir. l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2)))) ve l c = bir b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- trident hakkında teorem veya yonca teoremi: Eğer D- açıortayın kesişme noktası A bir üçgenin çevrelenmiş çemberi ile ABC, Bence ve J- sırasıyla, yazılı olanın merkezleri ve kenara teğet olan daire M.Ö, sonra | ben | = | D B | = | DC | = | DJ | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Verriere'in lemması: çembere izin ver V (\görüntüleme stili V) tarafları ilgilendiriyor A B (\displaystyle AB), AC (\ Displaystyle AC) ve yaylar B C (\ Displaystyle BC)üçgenin çevrelenmiş çemberi. Daha sonra dairenin teğet noktaları V (\görüntüleme stili V) kenarları ve merkezi yazılı daire üçgeni ile A B C (\displaystyle ABC) aynı çizgide yat.
- Feuerbach teoremi. Daire (dokuz) noktası üçüne de dokunur dış çevreler, birlikte yazılı daire. temas noktası daire Euler ve yazılı daire Feuerbach noktası olarak bilinir.
Yazılı dairenin çevrelenmiş daireyle ilişkisi
R R = 4 S 2 p a b c = cos α + cos β + cos γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları Segmente orta dik
tanım 1. Segmente orta dik bu parçaya dik olan ve ortasından geçen düz bir çizgiye denir (Şekil 1).
Teorem 1. Segmente dik açıortayın her noktası uçlardan aynı uzaklıkta bu segment.
Kanıt . AB doğru parçasına dik açıortay üzerinde rastgele bir D noktası düşünün (Şekil 2) ve ADC ve BDC üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlayın.
Gerçekten de bu üçgenler, AC ve BC bacakları eşit, DC bacakları ortak olan dik açılı üçgenlerdir. ADC ve BDC üçgenlerinin eşitliğinden, AD ve DB segmentlerinin eşitliği gelir. Teorem 1 kanıtlandı.
Teorem 2 (Teorem 1'in Tersi). Bir nokta bir doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıktaysa, bu doğru parçasına dik açıortayda bulunur.
Kanıt . Teorem 2'yi “çelişkiyle” yöntemiyle kanıtlayalım. Bu amaçla, bir E noktasının doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıkta olduğunu, ancak bu doğru parçasına dik açıortayda yer almadığını varsayalım. Bu varsayımı bir çelişkiye getirelim. İlk önce, E ve A noktalarının dik açıortayın zıt taraflarında olduğu durumu ele alalım (Şekil 3). Bu durumda, EA segmenti, D harfi ile göstereceğimiz bir noktada dik açıortay ile kesişir.
AE doğru parçasının EB parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Yok canım,
Böylece, dik açıortayın zıt taraflarında E ve A noktalarının bulunduğu durumda bir çelişki elde etmiş oluyoruz.
Şimdi, E ve A noktalarının dik açıortayın aynı tarafında yer aldığı durumu ele alalım (Şekil 4). EB doğru parçasının AE parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Yok canım,
Ortaya çıkan çelişki Teorem 2'nin kanıtını tamamlıyor
Bir üçgeni çevreleyen daire
tanım 2. Bir üçgeni çevreleyen bir daire, üçgenin üç köşesinden geçen daireyi çağırın (Şekil 5). Bu durumda üçgen denir bir daire içinde yazılı bir üçgen veya yazılı üçgen.
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özellikleri. sinüs teoremi
Figür Resim çizme Mülk orta dikmeler
üçgenin kenarlarına
bir noktada kesişmek . 
merkez bir dairenin dar bir üçgeni ile çevrelenmiş Merkez hakkında anlatılan dar açılı içeri üçgen. merkez bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş daire 
Hakkında anlatılanların merkezi dikdörtgen hipotenüsün orta noktası . merkez hakkında anlatılan geniş açılı üçgençevreler 
Merkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dıştan üçgen. 
,Meydan üçgen 
S= 2r 2 günah A günah B günah C ,
Sınırlı çemberin yarıçapı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
Bir üçgenin kenarlarına orta dikler Tüm dik açıortaylar keyfi bir üçgenin kenarlarına çizilmiş, bir noktada kesişmek .
Bir üçgeni çevreleyen daire Herhangi bir üçgen bir daire ile çevrelenebilir. . Üçgenin çevresine çizilen dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortayların kesiştiği noktadır.
Akut bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Merkez hakkında anlatılan dar açılı daire üçgen yalan içeri üçgen.
Bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Hakkında anlatılanların merkezi dikdörtgen daire üçgeni hipotenüsün orta noktası .
Geniş bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Merkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dıştan üçgen.
Herhangi bir üçgen için eşitlikler geçerlidir (sinüs teoremi):
,a, b, c üçgenin kenarları, A, B, C üçgenin açıları, R ise çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Bir üçgenin alanı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
S= 2r 2 günah A günah B günah C ,
A, B, C üçgenin açılarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Sınırlı çemberin yarıçapı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
a, b, c üçgenin kenarlarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları
Teorem 3. Rasgele bir üçgenin kenarlarına çizilen tüm orta dikmeler bir noktada kesişir.
Kanıt . ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarına çizilen iki dik açıortay düşünün ve bunların kesişme noktalarını O harfi ile belirtin (Şekil 6).
O noktası AC doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunduğundan, o zaman Teorem 1'e göre eşitlik geçerlidir.
V bu ders yazılı ve çevrelenmiş daireler teorisinin dayandığı temelleri hatırlayacağız, yazılı ve sınırlı dörtgenlerin özelliklerini hatırlayacağız. Ek olarak, çeşitli durumlarda çevrelenmiş ve işaretlenmiş dairelerin yarıçaplarını bulmak için formüller türetiyoruz.
Tema: Daire
Ders: Yazılı ve sınırlandırılmış daireler
Her şeyden önce, bir üçgene göre yazılı ve çevrelenmiş dairelerden bahsediyoruz. Bir üçgenin açıortaylarının ve dik açıortaylarının özelliklerini incelediğimiz için bu konuya hazırlandık.
Herhangi bir üçgene bir daire çizilebilir (bkz. Şekil 1).
Pirinç. bir
Kanıt:
Bir üçgenin tüm açıortaylarının bir noktada kesiştiğini biliyoruz - diyelim ki O noktasında. AO, BO, CO açıortaylarını çizelim. Kesişme noktası O, üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. AC ve AB açısının kenarlarından eşit uzaklıktadır, çünkü bu açının açıortayına aittir. Benzer şekilde, köşelerin kenarlarından ve dolayısıyla üçgenin üç kenarından eşit uzaklıktadır.
Dikleri O noktasından üçgenin kenarlarına - OM - AC tarafına, OL - BC'ye, OK - AB'ye bırakalım. Bu dikmeler, O noktasından üçgenin kenarlarına olan uzaklıklar olacaktır ve bunlar eşittir:
.O noktasından üçgenin kenarlarına olan mesafeyi r olarak gösterelim ve merkezi O noktasında ve yarıçapı r olan bir daire düşünelim.
Daire AB düz çizgisine değiyor, çünkü onunla var ortak nokta K ve bu noktaya çizilen OK yarıçapı AB doğrusuna diktir. Benzer şekilde, daire AC ve BC doğrularına değiyor. Böylece daire, üçgenin tüm kenarlarına dokunur, bu da üçgenin içinde yazılı olduğu anlamına gelir.
Böylece, bir üçgenin üç ortayı, yazılı dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.
Başka bir teorem düşünün, bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası ile ilgilidir. Bir noktada kesiştiklerini biliyoruz ve bu nokta üçgenin çevrelediği dairenin merkeziyle çakışıyor.
Herhangi bir üçgen etrafında bir daire çizilebilir.
Yani bir üçgen verilir. Orta dik p 1'i BC üçgeninin yanına, p 2 - AB tarafına, p 3 - AC tarafına çizelim (bkz. Şekil 2).
Dik açıortayların özelliklerine ilişkin teoreme göre, bir doğru parçasının dik açıortayına ait bir nokta, doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır. Buradan, çünkü Q noktası, AC doğru parçasının dik açıortayına aittir. Aynı şekilde ve. Böylece, Q noktası üçgenin köşelerinden eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla QA, QB, QC - yarıçaplar
Pirinç. 2
bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir daire. Yarıçapı R olarak gösterelim. Orta diklerin kesişimindeki O noktası, çevrelenmiş dairenin merkezidir.
Belirli bir dörtgende yazılı bir daireyi ve bu dörtgenin özelliklerini düşünün (bkz. Şekil 3).
Bir açının açıortayı üzerinde bulunan bir noktanın özelliklerini hatırlayın.
Bir açı verilmiştir, açıortayı AL'dir, M noktası açıortayı üzerindedir.
M noktası açının açıortayı üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani M noktasından AC'ye ve açının kenarlarının BC'sine olan mesafeler eşittir.
Pirinç. 3
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dikin uzunluğudur. M noktasından MK diklerini AB kenarına ve MP'yi AC kenarına çizin.
Üçgenleri düşünün ve . Bu dik üçgenler, ve onlar eşittir, çünkü ortak bir AM hipotenüsüne sahiptir ve AL açının açıortayı olduğundan, açılar ve eşittir. Böylece, dik açılı üçgenler hipotenüs ve dar açı bakımından eşittir, dolayısıyla kanıtlanması gereken . Böylece, bir açının açıortayı üzerindeki bir nokta, o açının kenarlarından eşit uzaklıktadır.
Ayrıca bacaklar. Böylece çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir.
Yani, dörtgene geri dönelim. İlk adım, içine bir bisektör çizmektir.
Bir dörtgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi olan O noktası.
O noktasından, dörtgenin kenarlarına dikleri K, L, M, N noktalarına indirir ve temas noktalarını belirleriz (bkz. Şekil 3).
Çembere bir noktadan çizilen teğetler birbirine eşittir, böylece her köşeden bir çift eşit teğet çıkar: , , , .
Pirinç. 3
Bir dörtgen içine bir daire çizilebiliyorsa, karşı kenarlarının toplamı eşittir. Bunu kanıtlamak kolaydır:
Parantezleri genişletelim:
Böylece basit ama önemli bir teoremi ispatlamış olduk.
Bir dörtgen içine bir daire çizilebiliyorsa, karşı kenarlarının toplamı eşittir.
adil converse teoremi.
Bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamı eşitse, içine bir daire yazılabilir.
Bir dörtgen ile çevrelenmiş bir daire düşünün.
O merkezli bir daire ve keyfi bir ABCD dörtgeni verildi. Bu dörtgenin özelliklerini düşünün. Belirli bir dörtgenin dört dik açıortayının tümü bir noktada kesişir: bu nokta çevrelenmiş dairenin merkezidir.
Dört dik açıortayın hepsinin bir noktada kesiştiğini kanıtlamak sıkıcı olurdu. Başka bir işaret var. ےА açısını düşünün, bu dairenin yazılı açısıdır, yay üzerinde durur ve bu yayın derece ölçüsünün yarısı ile ölçülür (bkz. Şekil 4). için ےA açısını, ardından yayı belirtin. Benzer şekilde, ےС için zıt açıyı belirtiriz, bir daire içine yazılmıştır ve bir yay üzerinde durmaktadır. Bu nedenle ark.
Pirinç. 4
Yaylar ve tam bir daire oluşturun. Buradan:
, 
Ortaya çıkan ifadeyi ikiye bölersek şunu elde ederiz:
Böylece, doğrudan teoremi kanıtladık.
teorem
Bir dörtgenin çevresine bir çember çizilirse, karşı açılarının toplamı dir.
gerekli ve yeterli işaret yani ters teorem doğrudur.
Bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı ise bu dörtgenin çevresine bir çember çizilebilir.
Bu teoremlere dayanarak, zıt açıları eşit olduğundan ve toplamları eşit olmadığından bir dairenin paralelkenar etrafında tanımlanamayacağını not ediyoruz (bkz. Şekil 5).
Pirinç. 5
Bir daire, karşıt açıları 90 ° 'ye eşitse, yani bir dikdörtgen olsaydı, bir paralelkenarın yakınında tanımlanabilir, böylece bir daire bir dikdörtgenin yakınında tanımlanabilir (bkz. Şekil 6).
Pirinç. 6
Bir eşkenar dörtgen etrafında bir daire çizmek de imkansızdır, ancak eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğundan ve dolayısıyla eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamları eşit olduğundan yazılabilir.
Ek olarak, bir eşkenar dörtgende her köşegen bir açıortaydır, açıortayların kesişme noktası eşkenar dörtgenin her tarafından eşit uzaklıktadır (bkz. Şekil 7).
Pirinç. 7
Böylece, bir dairenin herhangi bir üçgene yazılabileceğini ve bu dairenin merkezinin üçgenin açıortaylarının kesişme noktasıyla çakıştığını kanıtladık. Ayrıca, bir dairenin herhangi bir üçgen etrafında çevrelenebileceğini ve merkezinin dik açıortayların kesişme noktasıyla çakışacağını kanıtladık. Ayrıca bazı dörtgenlere daire çizmenin mümkün olduğunu ve bunun için dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamlarının eşit olması gerektiğini gördük. Ayrıca bazı dörtgenlerin çevresine bir çember çizilebileceğini ve bunun için gerekli ve yeterli bir koşulun karşılıklı açıların toplamının eşitliği olduğunu gösterdik.
bibliyografya
- Aleksandrov A.D. vb. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - E.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
Ev ödevi
Yükleniyor...