Sıfır ile eylemler. Herhangi bir sayıyı sıfırla çarpma kuralı 0 ile çarpılan herhangi bir sayı eşittir

Okulda bile öğretmenler en basit kuralı kafamıza sokmaya çalıştılar: "Sıfırla çarpılan herhangi bir sayı sıfıra eşittir!"- ama yine de, çevresinde sürekli olarak birçok tartışma ortaya çıkıyor. Birisi kuralı hatırladı ve “neden?” Sorusu ile uğraşmıyor. "Yapamazsın ve hepsi bu, çünkü okulda öyle dediler, kural kuraldır!" Birisi bu kuralı veya tersine mantıksızlığını kanıtlayan formüllerle yarım defter yazabilir.

Temas halinde

sonunda kim haklı

Bu tartışmalar sırasında birbirine zıt bakış açılarına sahip iki kişi birbirine bir koç gibi bakar ve masumiyetlerini tüm güçleriyle ispatlarlar. Onlara yandan bakarsanız, bir değil, boynuzlarını birbirine dayayan iki koç görebilirsiniz. Aralarındaki tek fark, birinin diğerinden biraz daha az eğitimli olmasıdır.

Çoğu zaman, bu kuralın yanlış olduğuna inananlar, mantığı şu şekilde çağırmaya çalışırlar:

Masamda iki elma var, onlara sıfır elma koyarsam, yani bir tane koymam, o zaman iki elmam bundan kaybolmaz! Kural mantıksız!

Aslında, elmalar hiçbir yerde kaybolmaz, ancak kural mantıksız olduğu için değil, burada biraz farklı bir denklem kullanıldığı için: 2 + 0 = 2. Bu yüzden böyle bir sonucu hemen atıyoruz - tersi olmasına rağmen mantıksız. amaç - mantığı aramak.

çarpma nedir

Orijinal çarpma kuralı sadece doğal sayılar için tanımlanmıştı: çarpma, sayının doğallığını ifade eden, kendisine belirli sayıda eklenen bir sayıdır. Böylece, çarpma ile herhangi bir sayı bu denkleme indirgenebilir:

1. 25 × 3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25 × 3 = 25 + 25 + 25

Bu denklemden çıkan sonuç, bu çarpma basitleştirilmiş toplamadır.

sıfır nedir

Çocukluğundan herhangi bir kişi bilir: sıfır boşluktur, Bu boşluğun bir tanımı olmasına rağmen, hiçbir şey taşımaz. Eski doğu bilim adamları farklı düşündüler - konuya felsefi olarak yaklaştılar ve boşluk ile sonsuzluk arasında bazı paralellikler çizdiler ve bu sayıda derin bir anlam gördüler. Ne de olsa boşluk anlamı taşıyan sıfır, herhangi bir şeyin yanında duruyor. doğal sayı, onu on katına çıkarır. Bu nedenle, çarpma konusundaki tüm tartışmalar - bu sayı o kadar fazla tutarsızlık taşır ki, karıştırılmaması zorlaşır. Ayrıca, ondalık kesirlerde boş yerleri tanımlamak için sürekli olarak sıfır kullanılır, bu ondalık noktadan önce ve sonra yapılır.

Boşlukla çarpmak mümkün mü

Sıfırla çarpabilirsin, ama faydası yok çünkü ne derse desin, çarpmayla bile. negatif sayılar yine de sıfır alacak. Bu en basit kuralı hatırlamanız ve bu soruyu bir daha asla sormamanız yeterlidir. Aslında, her şey ilk bakışta göründüğünden daha basittir. Eski bilim adamlarının inandığı gibi hiçbir gizli anlam ve sır yoktur. Bu çarpmanın faydasız olduğuna dair en mantıklı açıklama aşağıda verilecektir, çünkü bir sayı onunla çarpıldığında yine aynı şey elde edilecektir - sıfır.

En başa dönersek, iki elma hakkındaki tartışmaya dönersek, 2 çarpı 0 şöyle görünür:

• Beş kez iki elma yerseniz, 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 elma yersiniz.
• Onları iki üç kez yerseniz, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 elma yenir.
• İki elmayı sıfır kez yerseniz, hiçbir şey yenmez - 2 × 0 = 0 × 2 = 0 + 0 = 0

Sonuçta, bir elmayı 0 kez yemek, tek bir elma yememek demektir. Bunu en küçük çocuk bile anlayacaktır. Kim ne derse desin - 0 çıkacak, iki veya üç kesinlikle herhangi bir sayı ile değiştirilebilir ve kesinlikle aynısı çıkacaktır. Basitçe söylemek gerekirse, o zaman sıfır hiçbir şey ve sahip olduğun zaman bir şey yok, o zaman ne kadar çarparsan çarp, fark etmez sıfır olacak... Sihir yoktur ve 0'ı milyonla çarpsanız bile bir elmadan hiçbir şey çıkmaz. Sıfırla çarpma kuralının en basit, en anlaşılır ve mantıklı açıklaması budur. Tüm formüllerden ve matematikten uzak bir insan için böyle bir açıklama kafadaki uyumsuzluğun dağılması için yeterli olacaktır ve her şey yerine oturacaktır.

Bölüm

Yukarıdakilerin hepsinden başka bir önemli kural izler:

Sıfıra bölemezsiniz!

Bu kural da çocukluğumuzdan beri inatla kafamıza kazınmıştır. Sadece bunun imkansız olduğunu biliyoruz ve hepsi bu, kafamızı gereksiz bilgilerle doldurmadan. Beklenmedik bir şekilde sıfıra bölmenin neden yasak olduğu sorusu sorulursa, çoğunluğun kafası karışacak ve net bir şekilde cevap veremeyecektir. en basit soru itibaren Okul müfredatıçünkü bu kural etrafında çok fazla tartışma ve çelişki yoktur.

Herkes kuralı ezberledi ve cevabın yüzeyde olduğundan şüphelenmeden sıfıra bölmedi. Toplama, çarpma, bölme ve çıkarma eşit değildir, yukarıdakilerden yalnızca çarpma ve toplama tamamlanır ve sayılarla yapılan diğer tüm işlemler onlardan yapılır. Yani 10:2 yazmak, 2 * x = 10 denkleminin kısaltmasıdır. Yani, 10: 0 yazmak, 0 * x = 10'un kısaltmasıdır. Sıfıra bölmenin bir sayı bulma görevi olduğu ortaya çıktı. , 0 ile çarparsanız, 10 elde edersiniz Ve böyle bir sayının olmadığını zaten anladık, bu denklemin bir çözümü olmadığı ve bunun a priori yanlış olacağı anlamına gelir.

Sana söyleyeyim

0'a bölmemek için!

1'i istediğiniz gibi uzunlamasına kesin,

Sadece 0'a bölmeyin!

Evgeny Shiryaev, Öğretim Görevlisi ve Politeknik Müzesi Matematik Laboratuvarı Başkanı, AiF.ru'ya sıfıra bölme hakkında bilgi verdi:

1. Sorunun yargı yetkisi

Katılıyorum, yasak, kurala özel bir provokasyon veriyor. Nasıl imkansız? Kim yasakladı? Peki ya sivil haklarımız?

Ne Rusya Federasyonu Anayasası, ne Ceza Kanunu, ne de okulunuzun tüzüğü, bizi ilgilendiren entelektüel eyleme itiraz etmiyor. Bu, yasağın yasal bir gücü olmadığı ve hiçbir şey AiF.ru sayfalarında bir şeyi sıfıra bölmeye çalışmanızı engellemediği anlamına gelir. Örneğin, bin.

2. Öğretildiği gibi bölün

Unutmayın, bölmeyi yeni öğrendiğinizde, ilk örnekler çarpma ile kontrol edilerek çözüldü: bölenle çarpılan sonuç aynı yapılabilir olmalıydı. Eşleşmedi - karar vermedi.

Örnek 1. 1000: 0 =...

Bir dakikalığına yasak kuralı unutalım ve cevabı tahmin etmek için birkaç girişimde bulunalım.

Çek yanlış olanları kesecek. Seçenekleri gözden geçirin: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. Her biri için kontrol aynı sonucu verecektir:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Çarpma ile sıfır, her şeyi kendine çevirir ve asla bin olmaz. Sonucu formüle etmek zor değil: testi hiçbir sayı geçmeyecek. Yani sıfırdan farklı bir sayıyı sıfıra bölmenin sonucu hiçbir sayı olamaz. Bu tür bir bölünme yasak değildir, ancak hiçbir sonucu yoktur.

3. nüans

Yasağı reddetmek için neredeyse bir fırsatı kaçırdık. Evet, sıfır olmayan bir sayının 0'a bölünemeyeceğini kabul ediyoruz. Ama belki 0'ın kendisi de bölünebilir?

Örnek 2. 0: 0 = ...

Özel için önerileriniz? 100? Lütfen: bölüm 100 çarpı bölen 0 eşittir 0 bölünebilir.

Daha fazla seçenek! 1? Ayrıca uyuyor. Ve -23, ve 17 ve hepsi-hepsi. Bu örnekte, test herhangi bir sayı için pozitif olacaktır. Ve dürüst olmak gerekirse, bu örnekteki çözüme bir sayı değil, bir sayı kümesi denilmelidir. Herkes. Ve Alice'in Alice değil, Mary Ann olduğu ve her ikisinin de bir tavşanın rüyası olduğu konusunda anlaşmaya varmak uzun sürmeyecektir.

4. Peki ya yüksek matematik?

Sorun çözüldü, nüanslar dikkate alındı, noktalar yerleştirildi, her şey netleşti - sıfıra bölme örneğinin cevabı tek bir sayı olamaz. Bu tür sorunları çözmek umutsuz ve imkansız bir iştir. Bunun anlamı ... ilginç! İki tane al.

Örnek 3. 1000'i 0'a nasıl böleceğinizi öğrenin.

Ama hiçbir şekilde. Ancak 1000 diğer sayılara kolayca bölünebilir. Pekala, görevi değiştirsek bile en azından elimizdekileri yapalım. Ve orada, görüyorsunuz, kendimizi kaptıracağız ve cevap kendiliğinden ortaya çıkacak. Bir dakika için sıfırı unutun ve yüze bölün:

Yüz, sıfırdan uzaktır. Böleni azaltarak ona doğru bir adım atalım:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Açık dinamikler: bölen sıfıra ne kadar yakınsa, bölüm o kadar büyük olur. Trend, kesirlere doğru ilerleyerek ve payı azaltmaya devam ederek daha da gözlemlenebilir:

Sıfıra istediğimiz kadar yaklaşabileceğimizi ve bölümü istediğimiz kadar büyütebileceğimizi belirtmekte fayda var.

Bu süreçte sıfır ve son bölüm yoktur. Sayıyı, ilgilendiğimiz sayıya yakınsayan bir diziyle değiştirerek, onlara doğru hareketi belirledik:

Bu, temettü için benzer bir ikame anlamına gelir:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Oklar boşuna değil çift taraflı: bazı diziler sayılara yakınsayabilir. Sonra diziyi sayısal sınırına atayabiliriz.

Bölümlerin sırasına bakalım:

Süresiz olarak büyür, herhangi bir sayı için çabalamadan ve hiçbirini aşmadan. Matematikçiler sembolü sayılara ekler ∞ böyle bir dizinin yanına çift başlı ok koyabilmek için:

Bir limitli dizi sayılarının karşılaştırılması, üçüncü örneğe bir çözüm sunmamızı sağlar:

1000'e yakınsayan bir dizi eleman bazında bir diziye bölündüğünde pozitif sayılar 0'a yakınsak, ∞'ye yakınsayan bir dizi elde ederiz.

5. Ve işte iki sıfırlı bir nüans

Sıfıra yakınsayan iki pozitif sayı dizisinin bölünmesinin sonucu ne olur? Eğer aynılarsa, o zaman aynı birim. Bölünme dizisi sıfıra daha hızlı yakınsarsa, o zaman özellikle dizinin sıfır sınırı vardır. Ve bölenin elemanları, bölenden çok daha hızlı azaldığında, bölüm dizisi güçlü bir şekilde büyüyecektir:

Belirsiz durum. Ve buna denir: türlerin belirsizliği 0/0 ... Matematikçiler böyle bir belirsizliğe uyan diziler gördüklerinde, iki özdeş sayıyı birbirine bölmek için acele etmezler, ancak dizilerden hangisinin sıfıra daha hızlı gittiğini ve tam olarak nasıl olduğunu bulurlar. Ve her örneğin kendi özel cevabı olacak!

6. Hayatta

Ohm Yasası, bir devredeki akım gücü, voltaj ve direnci ilişkilendirir. Genellikle bu biçimde yazılır:

Doğru fiziksel anlayışı ihmal edelim ve resmi olarak sağ tarafa iki sayının bir bölümü olarak bakalım. Karar verdiğini hayal et okul görevi elektrik için. Durum volt cinsinden voltaj ve ohm cinsinden direnç verir. Soru açık, tek adımlı bir çözüm.

Şimdi süperiletkenliğin tanımına bakalım: bu, bazı metallerin sıfır elektrik direncine sahip olma özelliğidir.

Peki, süper iletken devre için problemi çözelim mi? Sadece değiştir R = 0 işe yaramazsa, fizik ilginç bir problem ortaya çıkarır, ki bu açıkçası Bilimsel keşif... Ve bu durumda sıfıra bölmeyi başaran insanlar Nobel Ödülü... Herhangi bir yasağı atlayabilmek faydalıdır!

Sıfır başlı başına çok ilginç bir rakam. Tek başına boşluk, anlamsızlık anlamına gelir ve bir başka sayının yanında anlamını 10 kat artırır. Sıfır derecesindeki herhangi bir sayı her zaman 1'i verir. Bu işaret Maya uygarlığında bile kullanılmış ve "başlangıç, neden" kavramını da ifade etmiştir. Takvim bile sıfırdan başladı. Ve bu rakam aynı zamanda katı bir yasakla da ilişkilidir.

Başlangıçtan beri okul yılları hepimiz “sıfıra bölemezsiniz” kuralını açıkça öğrendik. Ancak çocuklukta çok fazla inanç alırsanız ve bir yetişkinin sözleri nadiren şüphe uyandırırsa, o zaman zaman içinde bazen hala nedenlerini anlamak, belirli kuralların neden kurulduğunu anlamak istersiniz.

Neden sıfıra bölemiyorsun? Bu soru için açık ve mantıklı bir açıklama almak istiyorum. Birinci sınıfta öğretmenler bunu yapamazlardı çünkü matematikte kurallar denklemlerle anlatılırdı ve o yaşta biz bunun ne olduğunu bilmiyorduk. Ve şimdi bunu çözmenin ve neden sıfıra bölemeyeceğinize dair net ve mantıklı bir açıklama almanın zamanı geldi.

Gerçek şu ki, matematikte sayılarla yapılan dört temel işlemden (+, -, x, /) sadece ikisi bağımsız olarak kabul edilir: çarpma ve toplama. İşlemlerin geri kalanı türev olarak kabul edilir. Basit bir örneğe bakalım.

Söylesene, 20'den 18'i çıkarırsan kaç olur? Doğal olarak, cevap hemen kafamızda beliriyor: 2 olacak. Peki nasıl böyle bir sonuca vardık? Bazıları için bu soru garip görünecek - sonuçta, her şeyin 2 olacağı zaten açık, birisi 20 kopekten 18 aldığını ve iki kopek aldığını açıklayacak. Mantıksal olarak, tüm bu cevaplar şüphe götürmez, ancak matematik açısından bu problem farklı bir şekilde çözülmelidir. Matematikteki ana işlemlerin çarpma ve toplama olduğunu bir kez daha hatırlatalım ve bu nedenle bizim durumumuzda cevap aşağıdaki denklemin çözümünde yatmaktadır: x + 18 = 20. Buradan x = 20 - 18, x çıkar. = 2. Görünüşe göre, neden her şeyi bu kadar ayrıntılı olarak boyayalım? Sonuçta, her şey basit basit. Ancak, bu olmadan neden sıfıra bölünemeyeceğini açıklamak zordur.

Şimdi 18'i sıfıra bölmek istersek ne olacağını görelim. Denklemi tekrar yapalım: 18: 0 = x. Bölme işlemi çarpma işleminin bir türevi olduğundan, denklemimizi dönüştürürsek x * 0 = 18 elde ederiz. Çıkmazın başladığı yer burasıdır. Sıfırla çarpıldığında x yerine herhangi bir sayı 0 verir ve hiçbir şekilde 18 elde edemeyiz. Şimdi neden sıfıra bölünemeyeceği çok açık hale geliyor. Sıfırın kendisi herhangi bir sayıya bölünebilir, ancak tam tersine - ne yazık ki olamaz.

Sıfır kendisine bölünürse ne olur? Şu şekilde yazılabilir: 0: 0 = x veya x * 0 = 0. Bu denklemin sayısız çözümü vardır. Yani sonuç sonsuzdur. Bu nedenle, işlem bu durumda da mantıklı değil.

0'a bölme, istenirse herhangi bir cahil kişiyi şaşırtmak için kullanılabilecek birçok sözde matematiksel şakanın kökenindedir. Örneğin, denklemi göz önünde bulundurun: 4 * x - 20 = 7 * x - 35. Sol kısımdan 4'ü ve sağ kısımdan 7'yi çıkaralım. Şunları elde ederiz: 4 * (x - 5) = 7 * (x - 5). Şimdi denklemin sol ve sağ taraflarını 1 / (x - 5) kesri ile çarpıyoruz. Denklem şu şekli alacaktır: 4 * (x - 5) / (x - 5) = 7 * (x - 5) / (x - 5). Kesirleri (x - 5) azaltalım ve 4 = 7 elde edelim. Bundan 2 * 2 = 7 çıkarabiliriz! Tabii ki, buradaki yakalama, 5'e eşit olması ve sıfıra bölmeye yol açtığı için kesirleri iptal etmek imkansızdı. Bu nedenle, kesirleri azaltırken, her zaman sıfırın yanlışlıkla paydada bitmediğini kontrol etmelisiniz, aksi takdirde sonuç tamamen tahmin edilemez olacaktır.

0 sayısı, gerçek sayılar dünyasını hayali veya negatif olanlardan ayıran bir tür sınır olarak düşünülebilir. Belirsiz konum nedeniyle, bu sayısal değere sahip birçok işlem matematiksel mantığa uymaz. Sıfıra bölmenin imkansızlığı bunun en iyi örneğidir. Ve sıfır ile izin verilen aritmetik işlemler, genel kabul görmüş tanımlar kullanılarak gerçekleştirilebilir.

sıfırın hikayesi

Sıfır, tüm standart sayı sistemlerinde referans noktasıdır. Avrupalılar bu sayıyı nispeten yakın zamanda kullanmaya başladılar, ancak eski Hindistan'ın bilgeleri, boş sayı Avrupalı ​​matematikçiler tarafından düzenli olarak kullanılmadan bin yıl önce sıfır kullandı. Kızılderililerden önce bile, Maya sayı sisteminde sıfır zorunlu bir değerdi. Bu Amerikalılar on iki basamaklı sayı sistemini kullandılar ve her ayın ilk gününde sıfırla başladılar. İlginç bir şekilde, "sıfır" için Maya işareti "sonsuzluk" işaretiyle tam olarak çakıştı. Böylece antik Maya, bu değerlerin özdeş ve bilinemez olduğu sonucuna varmıştır.

sıfır ile matematik işlemleri

Sıfırlı standart matematik işlemleri birkaç kurala indirgenebilir.

Toplama: rastgele bir sayıya sıfır eklerseniz, değeri değişmez (0 + x = x).

Çıkarma: Herhangi bir sayıdan sıfır çıkarıldığında, çıkarılanın değeri değişmez (x-0 = x).

Çarpma: 0 ile çarpılan herhangi bir sayı, üründe 0 verir (a * 0 = 0).

Bölme: Sıfır, sıfırdan başka herhangi bir sayıya bölünebilir. Bu durumda, böyle bir kesrin değeri 0 olacaktır. Ve sıfıra bölmek yasaktır.

üs alma. Bu işlem herhangi bir sayı ile gerçekleştirilebilir. Sıfır güce yükseltilmiş rastgele bir sayı 1 (x 0 = 1) verecektir.

Herhangi bir güce sıfır, 0'a (0 a = 0) eşittir.

Bu durumda hemen bir çelişki ortaya çıkar: 0 0 ifadesinin anlamı yoktur.

matematiğin paradoksları

Birçok insan okuldan sıfıra bölmenin imkansız olduğunu bilir. Ama nedense böyle bir yasağın nedenini açıklamak mümkün değil. Gerçekten de, neden sıfıra bölme formülü mevcut değil, ancak bu sayıya sahip diğer eylemler oldukça makul ve mümkün? Bu sorunun cevabını matematikçiler veriyor.

Mesele şu ki, okul çocuklarının öğrendiği olağan aritmetik işlemler ilköğretim notları aslında sandığımız kadar eşit değiller. Sayılarla yapılan tüm basit işlemler ikiye indirgenebilir: toplama ve çarpma. Bu eylemler sayı kavramının özüdür ve diğer işlemler bu ikisinin kullanımına dayanır.

Toplama ve çarpma

Standart bir çıkarma örneği alalım: 10-2 = 8. Okulda, basit olarak kabul edilir: on dersten iki çıkarırsanız, sekiz tane kalır. Ancak matematikçiler bu işleme tamamen farklı bir şekilde bakıyorlar. Sonuçta, onlar için çıkarma gibi bir işlem yoktur. Bu örnek başka bir şekilde yazılabilir: x + 2 = 10. Matematikçiler için bilinmeyen fark, sekiz yapmak için ikiye eklenmesi gereken bir sayıdır. Ve burada hiçbir çıkarma gerekli değildir, sadece uygun bir sayısal değer bulmanız yeterlidir.

Çarpma ve bölme aynı şekilde ele alınır. Örnek 12: 4 = 3'te, sekiz nesneyi iki eşit yığına bölmekten bahsettiğimizi anlayabilirsiniz. Ama gerçekte, bu sadece 3x4 = 12 yazmak için ters çevrilmiş bir formüldür. Sayısız bölme örneği vardır.

0 örneğe göre bölme

Sıfıra bölmenin neden imkansız olduğu biraz açıklığa kavuştuğu yer burasıdır. Sıfırla çarpma ve bölme kendi kurallarına uyar. Bu miktarın bölünmesine ilişkin tüm örnekler 6:0 = x şeklinde formüle edilebilir. Ancak bu, 6 * x = 0 ifadesinin ters çevrilmiş gösterimidir. Ancak, bildiğiniz gibi, 0 ile çarpılan herhangi bir sayı, üründe yalnızca 0'ı verir. Bu özellik, sıfır değeri kavramının doğasında vardır.

0 ile çarpıldığında somut bir değer veren böyle bir sayının olmadığı, yani bu sorunun çözümü olmadığı ortaya çıktı. Böyle bir cevaptan korkmamalısınız, bu tür problemler için doğal bir cevaptır. Sadece 6-0'lık rekor bir anlam ifade etmiyor ve hiçbir şeyi açıklayamıyor. Kısacası, bu ifade ölümsüz "sıfıra bölme imkansızdır" ile açıklanabilir.

0:0 işlemi var mı? Gerçekten de 0 ile çarpma işlemi yasal ise, sıfır sıfıra bölünebilir mi? Sonuçta, 0x 5 = 0 biçimindeki bir denklem tamamen yasaldır. 5 rakamı yerine 0 koyabilirsiniz, ürün bundan değişmez.

Gerçekten de, 0x0 = 0. Ama yine de 0'a bölemezsiniz. Söylendiği gibi, bölme basitçe çarpma işleminin tersidir. Dolayısıyla örnekte 0x5 = 0 ise ikinci faktörü belirlemeniz gerekiyorsa 0x0 = 5 elde ederiz. Veya 10. Veya sonsuzluk. Sonsuzluğu sıfıra bölmek - nasıl buldunuz?

Ancak ifadeye herhangi bir sayı uyuyorsa, o zaman mantıklı değil, sonsuz sayı kümesinden birini seçemeyiz. Ve eğer öyleyse, 0: 0 ifadesinin bir anlamı yok demektir. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı.

Yüksek Matematik

Sıfıra bölme, okul matematiği için bir baş ağrısıdır. Teknik üniversitelerde incelenen matematiksel analiz, çözümü olmayan problemler kavramını biraz genişletir. Örneğin, zaten bilinen 0: 0 ifadesine, okul matematik derslerinde çözümü olmayan yenileri eklenir:

• sonsuz bölü sonsuz: ∞: ∞;
• sonsuz eksi sonsuz: ∞ − ∞;
• sonsuz bir güce yükseltilmiş biri: 1 ∞;
• sonsuz kez 0: ∞ * 0;
• bazı diğerleri.

Bu tür ifadeleri temel yöntemlerle çözmek imkansızdır. Fakat yüksek Matematik Bir dizi benzer örnek için ek olanaklar sayesinde nihai çözümler sunar. Bu, özellikle limitler teorisinden problemlerin ele alınmasında belirgindir.

belirsizliğin açıklanması

Limit teorisinde, 0 değeri koşullu sonsuz küçük bir değişkenle değiştirilir. Ve istenilen değer değiştirildiğinde sıfıra bölme elde edilen ifadeler dönüştürülür. Aşağıda, sıradan cebirsel dönüşümleri kullanan standart bir limit genişletme örneği verilmiştir:

Örnekte görebileceğiniz gibi, kesrin basit bir indirgemesi, değerini tamamen rasyonel bir cevaba götürür.

Limitler düşünüldüğünde trigonometrik fonksiyonlar ifadeleri ilk dikkate değer sınıra indirgenme eğilimindedir. Limit ikame edildiğinde paydanın 0'a gittiği limitler göz önüne alındığında, ikinci bir dikkat çekici limit kullanılır.

Lopital'in yöntemi

Bazı durumlarda, ifadelerin limitleri türevlerinin limitleri ile değiştirilebilir. Guillaume L'Hôpital - Fransız matematikçi, Fransız okulunun kurucusu matematiksel analiz... İfadelerin limitlerinin, bu ifadelerin türevlerinin limitlerine eşit olduğunu ispatladı. Matematiksel gösterimde kuralı şöyle görünür.

Açık bu ders 10, 100, 0.1, 0.001 biçimindeki sayılarla çarpma ve bölmenin nasıl yapıldığını ele alacaktır. Bu konuyla ilgili çeşitli örnekler de çözülecektir.

Egzersiz. 25.78 sayısı 10 ile nasıl çarpılır?

Bu sayının ondalık gösterimi, miktarın kısaltılmış gösterimidir. Daha detaylı boyamak gerekiyor:

Bu nedenle, miktarı çarpmanız gerekir. Bunu yapmak için, her terimi basitçe çarpabilirsiniz:

Şekline dönüştü.

Ondalık kesri 10 ile çarpmanın çok basit olduğu sonucuna varabiliriz: virgülü bir konum sağa kaydırmanız gerekir.

Egzersiz. 25.486'yı 100 ile çarpın.

100 ile çarpmak, iki kez 10 ile çarpmakla aynıdır. Başka bir deyişle, virgülü iki kez sağa kaydırmanız gerekir:

Egzersiz. 25.78'i 10'a bölün.

Bir önceki durumda olduğu gibi, 25.78 sayısını toplam olarak sunmak gerekir:

Toplamı bölmeniz gerektiğinden, bu, her terimi bölmekle eşdeğerdir:

10'a bölmek için virgülü sola kaydırmanız gerektiği ortaya çıktı. Örneğin:

Egzersiz. 124.478'i 100'e bölün.

100'e bölme, iki kez 10'a bölmeyle aynıdır, bu nedenle virgül 2 konum sola kaydırılır:

Ondalık kesrin 10, 100, 1000 vb. ile çarpılması gerekiyorsa, faktördeki sıfır sayısı kadar virgülü sağa kaydırmanız gerekir.

Tersine, ondalık kesrin 10, 100, 1000 vb. ile bölünmesi gerekiyorsa, virgülü faktördeki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.

örnek 1

100 ile çarpmak, virgülü iki basamak sağa kaydırmaktır.

Vardiyadan sonra, ondalık noktadan sonra başka basamak olmadığını görebilirsiniz; bu, şu anlama gelir: kesirli kısım mevcut olmayan. O zaman virgül gerekli değildir, sayının bir tamsayı olduğu ortaya çıktı.

Örnek 2

4 pozisyonu sağa kaydırmanız gerekir. Ancak ondalık noktadan sonra sadece iki basamak vardır. 56.14 kesri için eşdeğer bir gösterim olduğunu hatırlamakta fayda var.

Şimdi 10.000 ile çarpmak kolaydır:

Bir önceki örnekte kesre neden iki sıfır ekleyebileceğiniz çok açık değilse, bağlantıdaki ek video bu konuda yardımcı olabilir.

Eşdeğer ondalık gösterim

52 numaralı giriş şu anlama gelir:

Başına 0 koyarsanız 052 girişini alırsınız. Bu girişler eşdeğerdir.

Önüne iki sıfır koyabilir misin? Evet, bu girişler eşdeğerdir.

Şimdi ondalık kesire bakalım:

Sıfır atarsanız, ortaya çıkar:

Bu girişler eşdeğerdir. Benzer şekilde, birden fazla sıfır atayabilirsiniz.

Böylece, herhangi bir sayı, kesirli kısımdan sonra birkaç sıfıra ve tam sayı kısmından önce birkaç sıfıra atfedilebilir. Bunlar aynı numara için eşdeğer girişler olacaktır.

Örnek 3

100'e bölme işlemi gerçekleştiğinden, virgül 2 konumunu sola kaydırmak gerekir. Virgülden geriye sayı kalmadı. Tüm parça mevcut olmayan. Bu gösterim genellikle programcılar tarafından kullanılır. Matematikte tam parça yoksa onun yerine sıfır koyarlar.

Örnek 4

Üç pozisyon sola hareket etmeniz gerekiyor, ancak sadece iki pozisyon var. Sayının önüne birkaç sıfır yazarsanız, bu eşdeğer bir gösterim olacaktır.

Yani sola kaydırırken sayılar biterse bunları sıfırlarla doldurmanız gerekir.

Örnek 5

Bu durumda, virgülün her zaman tüm kısımdan sonra geldiğini hatırlamakta fayda var. Sonra:

10, 100, 1000 sayılarıyla çarpma ve bölme işlemi çok basit bir işlemdir. Durum 0.1, 0.01, 0.001 sayıları ile tamamen aynıdır.

Örnek... 25.34'ü 0.1 ile çarpın.

Ondalık kesir 0.1'i sıradan bir kesir olarak yazalım. Ancak çarpma, 10'a bölmekle aynıdır. Bu nedenle, virgül 1 konumunu sola kaydırmanız gerekir:

Benzer şekilde, 0,01 ile çarpma 100'e bölünür:

Örnek. 5,235 bölü 0,1.

Çözüm bu örnek benzer şekilde oluşturulur: 0.1 olarak ifade edilir ortak kesir ve bölme, 10 ile çarpmayla aynıdır:

Yani, 0,1'e bölmek için, virgülü 10 ile çarpmaya eşdeğer olan sağdaki bir konuma kaydırmanız gerekir.

10 ile çarpmak ve 0,1'e bölmek aynı şeydir. Virgül 1 pozisyon sağa kaydırılmalıdır.

10'a bölmek ve 0,1 ile çarpmak aynı şeydir. Virgül 1 konum sağa kaydırılmalıdır: