Математичне очікування безперервної випадкової величини. Математичне очікування – це розподіл ймовірностей випадкової величини Днів математичне очікування тиждень
Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.
До важливих числових характеристик належить математичне очікування.
Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.
Якщо випадкова величина характеризується кінцевим рядом розподілу:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математичне очікування М(Х)визначається за формулою:
Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається рівністю:
де – густина ймовірності випадкової величини Х.
Приклад 4.7.Знайти математичне очікування числа очок, що випадають під час кидання гральної кістки.
Рішення:
Випадкова величина Хприймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6. Складемо закон її розподілу:
| Х | ||||||
| Р |
Тоді математичне очікування одно:
Властивості математичного очікування:
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:
М(С) = С.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
М(СХ) = СМ(X).
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:
M(XY) = M(X)M(Y).
Приклад 4.8. Незалежні випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Знайти математичне очікування випадкового розміру XY.
Рішення.
Знайдемо математичні очікування кожної з цих величин:
Випадкові величини Xі Yнезалежні, тому шукане математичне очікування:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Слідство.Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
М(X+Y) = М(X)+М(Y).
Слідство.Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.
Приклад 4.9.Виробляється 3 постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними р 1 = 0,4; p 2= 0,3 та р 3= 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількості влучень.
Рішення.
Число влучень при першому пострілі є випадковою величиною Х 1, яка може приймати лише два значення: 1 (попадання) з ймовірністю р 1= 0,4 та 0 (промах) з ймовірністю q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення:
Аналогічно знайдемо математичні очікування кількості влучень при другому та третьому пострілах:
М(Х 2)= 0,3 та М(Х 3)= 0,6.
Загальна кількість влучень є також випадковою величиною, що складається з суми влучень у кожному з трьох пострілів:
Х = Х1 + Х2 + Х3.
Шукане математичне очікування Хзнаходимо за теоремою про математичне, очікування суми.
Випадкові величини, крім законів розподілу, можуть описуватися також числовими характеристиками .
Математичним очікуваннямМ(x) випадкової величини називається її середнє значення.
Математичне очікування дискретної випадкової величини обчислюється за формулою
де – значення випадкової величини, р i -їхймовірності.
Розглянемо властивості математичного очікування:
1. Математичне очікування константи дорівнює самій константі
2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то й математичне очікування помножиться на це число
М(kx) = kМ(x)
3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань
М(x1+x2+…+xn) = М(x1)+М(x2)+…+М(xn)
4. М (x 1 - x 2) = М (x 1) - М (x 2)
5. Для незалежних випадкових величин x 1 , x 2 , … x n математичне очікування твору дорівнює твору їх математичних очікувань
М (x 1, x 2, … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n)
6. М(x - М(x)) = М(x) - М(М(x)) = М(x) - М(x) = 0
Обчислимо математичне очікування для випадкової величини прикладу 11.
М(x) = = 
.
приклад 12.Нехай випадкові величини x 1 , x 2 задані відповідно до законів розподілу:
x 1 Таблиця 2
x 2 Таблиця 3
Обчислимо М (x 1) та М (x 2)
М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0
М (x 2) = (-20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0
Математичні очікування обох випадкових величин однакові вони рівні нулю. Проте характер їхнього розподілу різний. Якщо значення x1 мало відрізняються від свого математичного очікування, то значення x2 великою мірою відрізняються від свого математичного очікування, і ймовірності таких відхилень не малі. Ці приклади показують, що за середнім значенням не можна визначити, які відхилення від нього мають місце як у меншу, так і більшу сторону. Так за однакової середньої величині опадів, що випадають у двох місцевостях, за рік не можна сказати, що ці місцевості однаково сприятливі для сільськогосподарських робіт. Аналогічно за показником середньої заробітної плати неможливо судити про питому вагу високо- і низькооплачуваних працівників. Тому вводиться числова характеристика – дисперсія D(x) , яка характеризує ступінь відхилення випадкової величини від свого середнього значення:
D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)
Дисперсія - це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за такою формулою:
D(x) = 
= 
(3)
З визначення дисперсії випливає, що D(x) 0.
Властивості дисперсії:
1. Дисперсія константи дорівнює нулю
2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k то дисперсія помножиться на квадрат цього числа
D(kx) = k 2 D(x)
3. D(x) = М(x2) – М2(x)
4. Для попарно незалежних випадкових величин x 1 x 2 ... x n дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.
D(x1+x2+…+xn) = D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
Обчислимо дисперсію для випадкової величини Прикладу 11.
Математичне очікування М(x) = 1. Тому за формулою (3) маємо:
D (x) = (0 – 1) 2 · 1/4 + (1 – 1) 2 · 1/2 + (2 – 1) 2 · 1/4 = 1 · 1/4 +1 · 1/4 = 1/2
Зазначимо, що дисперсію обчислювати простіше, якщо скористатися властивістю 3:
D(x) = М(x2) – М2(x).
Обчислимо дисперсії для випадкових величин x 1 x 2 з Прикладу 12 за цією формулою. Математичні очікування обох випадкових величин дорівнюють нулю.
D (x 1) = 0,01 · 0,1 + 0,0001 · 0,2 + 0,0001 · 0,2 + 0,01 · 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260
Чим ближче значення дисперсії нанівець, тим менше розкид випадкової величини щодо середнього значення.
Величина називається середньоквадратичним відхиленням. Модою випадкової величини x дискретного типу Mdназивається таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність.
Модою випадкової величини x безперервного типу Mdназивається дійсне число, що визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f(x).
Медіаною випадкової величини x безперервного типу Mnназивається дійсне число, що задовольняє рівняння
Теоретично ймовірності та у багатьох її додатках велике значення мають різні числові характеристики випадкових величин. Основними з них є математичне очікування та дисперсія.
1. Математичне очікування випадкової величини та її властивості.
Розглянемо спочатку наступний приклад. Нехай на завод надійшла партія, що складається з Nпідшипників. При цьому:
m 1 х 1,
m 2- Число підшипників із зовнішнім діаметром х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- Число підшипників із зовнішнім діаметром х n,
Тут m 1 +m 2 +...+m n =N. Знайдемо середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника Очевидно,
Зовнішній діаметр витягнутого навмання підшипника можна розглядати як випадкову величину, що приймає значення х 1, х 2, ..., х n, З відповідними ймовірностями p 1 = m 1 / N, p 2 = m 2 / N, ..., p n = m n /N, оскільки ймовірність p iпояви підшипника із зовнішнім діаметром x iдорівнює m i /N. Таким чином, середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника можна визначити за допомогою співвідношення 
Нехай - дискретна випадкова величина із заданим законом розподілу ймовірностей
Значення
х 1
х 2
. . .
х n
Ймовірності
p 1
p 2
. . .
p n
Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини відповідні їм ймовірності, тобто. *
При цьому передбачається, що невласний інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (40), існує.
Розглянемо властивості математичного очікування. При цьому обмежимося доказом лише перших двох властивостей, які проведемо для дискретних випадкових величин.
1°. Математичне очікування постійної З і цієї постійної.
Доведення.Постійну Cможна розглядати як випадкову величину, яка може приймати тільки одне значення C c ймовірністю рівної одиниці. Тому 
2 °. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування, тобто. 
Доведення.Використовуючи співвідношення (39), маємо 
3 °. Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань цих величин:
Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.
Математичне очікування та дисперсія – найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Математичне очікування часто називають просто середнім значенням довільної величини. Дисперсія випадкової величини – характеристика розсіювання, розкиданості випадкової величини у її математичного очікування.
Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Підійдемо до поняття математичного очікування. Нехай маса деякої речовини розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n. При цьому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу з ймовірністю p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує становище всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їх мас. Природно як така точка взяти центр маси системи матеріальних точок. Це середнє зважене значення випадкової величини X, в яке абсциса кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:
приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?
Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:
З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумі творів розмірів виграшів на ймовірність їх отримання.
приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості екземплярів книги.
Знайти очікуваний прибуток видавця.
Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:
| Число | Прибуток xi | Ймовірність pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всього: | 1,00 | 25000 |
Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:
.
приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрату снарядів, які забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.
Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:
.
приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .
Підказка: ймовірність значень випадкової величини знайти за формулі Бернуллі .
Властивості математичного очікування
Розглянемо властивості математичного очікування.
Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:
Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:
Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:
Коли не можна обмежуватися лише математичним очікуванням
Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.
Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Значення X | Ймовірність |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значення Y | Ймовірність |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:
Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питому вагу високо-і низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно знайти дисперсію випадкової величини.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня її дисперсії:
.
Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.
Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:
Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають
.
Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.
Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Рішення. Покажемо, як обчислюються ці величини для 3 альтернативи:
У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.
У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді в усіх - однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки він має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням - проект 4.
Властивості дисперсії
Наведемо властивості дисперсії.
Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:
,
де 
.
Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:
Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.
Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .
Закон розподілу випадкової величини:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Знайти математичне очікування випадкової величини самостійно, а потім переглянути рішення
Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6 . Знайти математичне очікування випадкової величини.
Приклад 9.В урні 6 білих і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсія даної випадкової величини:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини
Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий зміст: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.
Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.
Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .
Характеристики ДСВ та їх властивості. Математичне очікування, дисперсія, СКО
Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак, коли неможливо знайти закон розподілу, або це не потрібно, можна обмежитися знаходженням значень, званих числовими характеристиками випадкової величини. Ці величини визначають деяке середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і рівень їх розкиданості навколо цього середнього значення.
Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини з їхньої ймовірності.
Математичне очікування існує, якщо ряд, що стоїть у правій частині рівності, сходиться абсолютно.
З погляду ймовірності можна сказати, що математичне очікування приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини, що спостерігаються.
приклад. Відомий закон розподілу дискретної випадкової величини. Знайти математичне очікування.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Рішення:
9.2 Властивості математичного очікування
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування. 
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.
Ця властивість є справедливою для довільного числа випадкових величин.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.
Ця властивість також справедлива довільного числа випадкових величин.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, ймовірність появи події А в яких дорівнює р.
Теорема.Математичне очікування М(Х) числа появи події А n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні.
приклад. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X та Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Рішення:
9.3 Дисперсія дискретної випадкової величини
Проте, математичне очікування неспроможна повністю характеризувати випадковий процес. Крім математичного очікування треба запровадити величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.
Це відхилення дорівнює різниці між випадковою величиною та її математичним очікуванням. При цьому математичне очікування відхилення дорівнює нулю. Це тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, й у їх взаємного погашення виходить нуль.
Дисперсією (розсіюванням)Дискретна випадкова величина називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
Насправді такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень.
Тому застосовується інший спосіб.
Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування.
Доведення. З огляду на те, що математичне очікування М(Х) і квадрат математичного очікування М 2 (Х) – величини постійні, можна записати:
приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини заданої законом розподілу.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Рішення: .
9.4 Властивості дисперсії
1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю. .
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. 
.
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .
Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в кожному випробуванні.
9.5 Середнє відхилення дискретної випадкової величини
Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії.
Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.
Завантаження...