Нерівності з сумою коренів. Рішення ірраціональних нерівностей

цілі:

1. Загальноосвітня: систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням методів вирішення нерівностей.
2. Розвиваюча: розвивати в учнів уміння слухати лекцію, конспективно записуючи її в зошит.
3. Виховна: формувати пізнавальну мотивацію до вивчення математики.

Хід уроку

I. Вступна бесіда:

Ми з вами закінчили тему "Рішення ірраціональних рівнянь" і сьогодні починаємо вчитися вирішувати ірраціональні нерівності.

Спочатку давайте пригадаємо, які види нерівностей ви вмієте вирішувати і якими методами?

відповідь: Лінійні, квадратні, раціональні, тригонометричні. Лінійні вирішуємо, виходячи з властивостей нерівностей, тригонометричні зводимо до найпростіших тригонометричним, що вирішуються за допомогою тригонометричного кола, а решта, в основному, методом інтервалів.

питання: На якому затвердження заснований метод інтервалів?

відповідь: На теоремі, яка стверджує, що безперервна функція, що не звертається в нуль на деякому інтервалі, зберігає свій знак на цьому інтервалі.

II. Давайте розглянемо ірраціональне нерівність типу\u003e

питання: Чи можна застосувати для його вирішення метод інтервалів?

відповідь: Так, так як функція y \u003d- неперервна на D (y).

Вирішуємо така нерівність методом інтервалів .

Висновок: ми досить легко вирішили дане ірраціональне нерівність методом інтервалів, фактично звівши його до вирішення ірраціонального рівняння.

Давайте спробуємо вирішити цим методом інше нерівність.

3) f (x)неперервна на D (f)

4) Нулі функції:

• довго шукати D (f).
• Важко обчислювати контрольні точки.

Виникає питання: "Чи немає інших способів вирішення цієї нерівності?".

Очевидно, є, і зараз ми з вами з ними познайомимося.

III. Отже, тема сьогоднішнього уроку: "Методи рішення ірраціональних нерівностей".

Урок буде проходити у вигляді лекції, так як в підручнику немає докладного розбору всіх методів. Тому наша важливе завдання: скласти докладний конспект цієї лекції.

IV. Про перший метод вирішення ірраціональних нерівностей ми з вами вже поговорили.

це - метод інтервалів , Універсальний метод вирішення всіх типів нерівностей. Але він не завжди приводить до мети коротким і простим шляхом.

V.При вирішенні ірраціональних нерівностей можна використовувати ті ж ідеї, що і при вирішенні ірраціональних рівнянь, але так як проста перевірка рішень неможлива (адже рішеннями нерівностей є найчастіше цілі числові проміжки), то необхідно використовувати равносильность.

Наведемо схеми вирішення основних типів ірраціональних нерівностей методом рівносильних переходів від одного нерівності до системи нерівностей.

2. Аналогічно доводиться, що

Запишемо ці схеми на опорній дошці. Над доказами 3 і 4 типу подумайте будинку, на наступному уроці ми їх обговоримо.

VI. Вирішимо новим способом нерівність.

Початкове нерівність рівносильна сукупності систем.

VII. І існує ще третій метод, часто допомагає вирішувати складні ірраціональні нерівності. Ми з вами про нього вже говорили стосовно нерівностей з модулем. це метод заміни функцій (заміни множників). Нагадаю вам, що суть методу заміни полягає в тому, що різниця значень монотонних функцій можна замінити різницею значень їх аргументів.

Розглянемо ірраціональне нерівність виду<,

тобто -< 0.

По теоремі, якщо p (x) зростає на некоторм проміжку, якому належать a і b, причому a>b, То нерівності p (a) - p (b)\u003e 0 і a - b\u003e 0 рівносильні на D (p), тобто

VIII.Вирішимо методом заміни множників нерівність.

Значить, таку нерівність рівносильно системі

Таким чином, ми побачили, що застосування методу заміни множників для відомості рішення нерівності до методу інтервалів істотно скорочує обсяг роботи.

IX.Тепер, коли ми розібрали три основні методи розв'язання рівнянь, давайте виконаємо самостійну роботу з самопроверкой.

Потрібно виконати наступні номери (за підручником А. М. Мордкович): 1790 (а) - решіть_ методом_ равносільнихпереходов, _ 1791 (а) - вирішити шляхом заміни множітелей.Для рішення ірраціональних нерівностей пропонується використовувати способи, раніше розібрані при вирішенні ірраціональних рівнянь:

• заміна змінних;
• використання ОДЗ;
• використання властивостей монотонності функцій.

Завершенням вивчення теми є контрольна робота.

аналіз контрольної роботи показує:

• типові помилки слабких учнів крім арифметичних і алгебраїчних - невірні рівносильні переходи до системи нерівностей;
• метод заміни множників успішно використовується тільки сильними учнями.

Т.Д. Іванова

МЕТОДИ Рішення ірраціональних нерівностей

ЦДО та НІТ СРПТЛ

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

укладач Т.Д.Іванова

Рецензент: Баїшева М.І.- Кандидат педагогічних наук, доцент кафедри

математичного аналізу математичного факультету

Інституту математики та інформатики Якутського

державного університету

Методи рішення ірраціональних нерівностей: Методичний посібник

М 34 для учнів 9-11 класів / уклад. Іванова Т.Д. з Сунтар Сунтарського улусу

РС (Я): ЦДО НІТ СРПТЛ, 2007, - 56 с.

Посібник адресовано старшокласникам середньої загальноосвітньої школи, а також вступникам до вищих навчальних закладів як методичне керівництво за рішенням ірраціональних нерівностей. У посібнику докладно розібрані основні методи вирішення ірраціональних нерівностей, наведені приклади рішення ірраціональних нерівностей з параметрами, а також запропоновані приклади для самостійного рішення. Вчителі можуть використовувати посібник як дидактичний матеріал для проведення самостійних робіт, при оглядовому повторенні теми «Ірраціональні нерівності».

У посібнику висвітлено досвід роботи вчителя з вивчення з учнями теми «Ірраціональні нерівності».

Завдання взяті з матеріалів вступних іспитів, Методичних газет і журналів, навчальних посібників, перелік яких наведено в кінці пособія

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

 Т.Д.Іванова, сост., 2006.

 ЦДО НІТ СРПТЛ, 2007.

Передмова 5

введення 6

Розділ I.Прімери рішення найпростіших ірраціональних нерівностей 7

Розділ II.Неравенства виду
\u003e G (x), g (x), g (x) 9

Розділ III. нерівності виду
;
;

;
13

Розділ IV. Нерівності, що містять кілька коренів парному ступеня 16

Розділ V. Метод заміни (введення нової змінної) 20

Розділ VI. Нерівності виду f (x)
0; f (x) 0;

Розділ VII. нерівності виду
25

Розділ VIII. Використання перетворень подкоренного вираження

в ірраціональних нерівностях 26

Розділ IX. Графічне рішення ірраціональних нерівностей 27

Розділ X. Неравенства змішаного типу 31

Розділ ХI. Використання властивості монотонності функції 41

Розділ ХII. Метод заміни функції 43

Розділ ХIII. Приклади розв'язання нерівностей безпосередньо

методом інтервалів 45

Розділ XIV. Приклади розв'язання ірраціональних нерівностей з параметрами 46

література 56

РЕЦЕНЗІЯ

Даний методичний посібник призначений для учнів 10-11 класів. Як показує практика, учні шкіл, абітурієнти відчувають особливі труднощі при вирішенні ірраціональних нерівностей. Це пов'язано з тим, що в шкільній математиці цей розділ розглядається недостатньо, не розглядаються, більш розширено, різні методи вирішення таких нерівностей. Також вчителі шкіл відчувають брак методичної літератури, яка проявляється в обмеженій кількості задачного матеріалу із зазначенням різних підходів, методів вирішення.

У посібнику розглянуто методи вирішення ірраціональних нерівностей. Іванова Т.Д. на початку кожного розділу знайомить учнів з основною ідеєю методу, потім показуються приклади з поясненнями, а також пропонуються завдання для самостійного рішення.

Укладач використовує найбільш «ефектні» методи вирішення ірраціональних нерівностей, які зустрічаються під час вступу до вищих навчальні заклади з підвищеними вимогами до знань учнів.

Учні, ознайомившись з даними посібником, можуть придбати неоціненний досвід і навички вирішення складних ірраціональних нерівностей. Вважаю, що даний посібник також буде корисно вчителям математики, які працюють в профільних класах, а також розробникам курсів за вибором.

Кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу математичного факультету Інституту математики та інформатики Якутського державного університету

Баїшева М.І.

ПЕРЕДМОВА

Посібник адресовано старшокласникам середньої загальноосвітньої школи, а також вступникам до вищих навчальних закладів як методичне керівництво за рішенням ірраціональних нерівностей. У посібнику докладно розібрані основні методи вирішення ірраціональних нерівностей, дані зразкові зразки оформлення рішення ірраціональних нерівностей, наведені приклади рішення ірраціональних нерівностей з параметрами, а також запропоновані приклади для самостійного рішення, для деяких з них дані короткі відповіді та вказівки.

При розборі прикладів, самостійного рішення нерівностей, передбачається, що учень вміє вирішувати лінійні, квадратні і інші нерівності, володіє різними методами вирішення нерівностей, зокрема, методом інтервалів. Пропонується вирішити нерівність декількома способами.

Вчителі можуть використовувати посібник як дидактичний матеріал для проведення самостійних робіт, при оглядовому повторенні теми «Ірраціональні нерівності».

У посібнику висвітлено досвід роботи вчителя з вивчення з учнями теми «Ірраціональні нерівності».

Завдання підібрані з матеріалів вступних іспитів до вищих навчальних закладів, методичних газет і журналів з математики «Первое сентября», «Математика в школі», «Квант", навчальних посібників, перелік яких наведено в кінці посібника.

ВСТУП

Ірраціональними називають нерівності, в які змінні або функція від змінної входять під знаком кореня.

Основним стандартним методом вирішення ірраціональних нерівностей є послідовне зведення обох частин нерівності в ступінь з метою звільнення від кореня. Але ця операція часто призводить до появи сторонніх коренів або, навіть, до втрати коренів, тобто призводить до нерівності, нерівносильні вихідного. Тому, треба дуже ретельно стежити за рівносильних перетворень і розглядати тільки ті значення змінної, при яких нерівність має сенс:

якщо корінь парного степеня, то подкоренное вираз має бути невід'ємним і значення кореня теж невід'ємне число.

якщо корінь ступеня - непарне число, то подкоренное вираз може приймати будь-яке дійсне число і знак кореня збігається зі знаком подкоренного вираження.

зводити в парну ступінь обидві частини нерівності можна тільки, попередньо переконавшись в їх позитивності;

зведення обох частин нерівності в одну і ту ж непарну ступінь завжди є рівносильним перетворенням.

розділI. Приклади розв'язання найпростіших ірраціональних нерівностей

приклади 1 6:

Рішення:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

7.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Знайдіть найменше ціле позитивне значення х, яке задовольняє нерівності

13. а) Знайдіть середину проміжку рішення нерівності

б) Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих значень х, при яких нерівність має рішення 4

14. Знайдіть найменше негативне рішення нерівності

15. а)
;

б)

Розділ II. Нерівності виду\u003e g (x), g (x), g (x)

Аналогічно, як і при вирішенні прикладів 1-4, міркуємо при вирішенні нерівностей зазначеного виду.

приклад 7 : вирішити нерівність
> х + 1

Рішення: ОПЗ нерівності: х-3. Для правої частини є два можливих випадки:

а) х + 10 (права частина неотрицательна) або б) х + 1

Розглянемо а) Якщо х +10, тобто х - 1, то обидві частини нерівності невід'ємні. Зводимо обидві частини в квадрат: х + 3 > х+ 2х + 1. Отримуємо квадратне нерівність х+ х – 2 x х - 1, отримуємо -1

Розглянемо б) Якщо х +1 х х -3

Об'єднуючи рішення випадку а) -1 і б) х-3, запишемо відповідь: х
.

Всі міркування під час вирішення прикладу 7 зручно записати так:

Початкове нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей
.

х

відповідь: .

Міркування при вирішенні нерівностей виду

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) Можна коротко записати у вигляді наступних схем:

I. > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

приклад 8 :
х.

Рішення: Початкове нерівність рівносильна системі

х\u003e 0

відповідь: х
.

Завдання для самостійного рішення:

б)

б)
.

б)

б)

20. а)
x

б)

21. а)

В даному уроці ми розглянемо рішення ірраціональних нерівностей, наведемо різні приклади.

Тема: Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей

урок:ірраціональні нерівності

При вирішенні ірраціональних нерівностей досить часто необхідно зводити обидві частини нерівності в деяку ступінь, це досить відповідальна операція. Нагадаємо особливості.

Обидві частини нерівності можна звести в квадрат, якщо обидві вони невід'ємні, тільки тоді ми отримуємо з вірного нерівності вірне нерівність.

Обидві частини нерівності можна звести куб в будь-якому випадку, якщо вихідне нерівність було вірним, то при зведенні в куб ми отримаємо вірне нерівність.

Розглянемо нерівність виду:

Подкоренное вираз має бути невід'ємним. Функція може приймати будь-які значення, необхідно розглянути два випадки.

У першому випадку обидві частини нерівності невід'ємні, маємо право звести в квадрат. У другому випадку права частина негативна, і ми не маємо права зводити в квадрат. В такому випадку необхідно дивитися на зміст нерівності: тут позитивний вираз (квадратний корінь) більше негативного вираження, значить, нерівність виконується завжди.

Отже, маємо таку схему вирішення:

У першій системі ми не захищаємо окремо подкоренное вираз, т. К. При виконанні другого нерівності системи подкоренное вираз автоматично має бути позитивно.

Приклад 1 - вирішити нерівність:

Згідно зі схемою, переходимо до еквівалентної сукупності двох систем нерівностей:

Проілюструємо:

Мал. 1 - ілюстрація рішення прикладу 1

Як ми бачимо, при позбавленні від ірраціональності, наприклад, при зведенні в квадрат, отримуємо сукупність систем. Іноді цю складну конструкцію можна спростити. В отриманій сукупності ми маємо право спростити першу систему і отримати еквівалентну сукупність:

В якості самостійного вправи необхідно довести еквівалентність даних сукупностей.

Розглянемо нерівність виду:

Аналогічно до попереднього нерівності, розглядаємо два випадки:

У першому випадку обидві частини нерівності невід'ємні, маємо право звести в квадрат. У другому випадку права частина негативна, і ми не маємо права зводити в квадрат. В такому випадку необхідно дивитися на зміст нерівності: тут позитивний вираз (квадратний корінь) менше негативного вираження, значить, нерівність суперечливо. Другу систему розглядати не потрібно.

Маємо еквівалентну систему:

Іноді ірраціональне нерівність можна вирішити графічним методом. Даний метод можна застосовувати, коли відповідні графіки можна досить легко побудувати і знайти їх точки перетину.

Приклад 2 - вирішити нерівності графічно:

а)

б)

Перше нерівність ми вже вирішували і знаємо відповідь.

Щоб вирішити нерівності графічно, потрібно побудувати графік функції, що стоїть в лівій частині, і графік функції, що стоїть в правій частині.

Мал. 2. Графіки функцій і

Для побудови графіка функції необхідно перетворити параболу в параболу (дзеркально відобразити щодо осі у), отриману криву змістити на 7 одиниць вправо. Графік підтверджує, що дана функція монотонно убуває на своїй області визначення.

Графік функції - це пряма, її легко побудувати. Точка перетину з віссю у - (0; -1).

Перша функція монотонно убуває, друга монотонно зростає. Якщо рівняння має корінь, то він єдиний, по графіку легко його вгадати:.

Коли значення аргументу менше кореня, парабола знаходиться вище прямої. Коли значення аргументу знаходиться в межах від трьох до семи, пряма проходить вище параболи.

Маємо відповідь:

Ефективним методом вирішення ірраціональних нерівностей є метод інтервалів.

Приклад 3 - вирішити нерівності методом інтервалів:

а)

б)

згідно з методом інтервалів, необхідно тимчасово відійти від нерівності. Для цього перенести в заданому нерівності все в ліву частину (отримати праворуч нуль) і ввести функцію, рівну лівій частині:

тепер необхідно вивчити отриману функцію.

ОДЗ:

Дане рівняння ми вже вирішували графічно, тому не зупиняємося на визначенні кореня.

Тепер необхідно виділити інтервали знакопостоянства і визначити знак функції на кожному інтервалі:

Мал. 3. Інтервали знакопостоянства наприклад 3

Нагадаємо, що для визначення знаків на інтервалі необхідно взяти пробну точку і підставити її в функцію, отриманий знак функція буде зберігати на всьому інтервалі.

Перевіримо значення в граничної точці:

Очевидним є зміст відповіді:

Розглянемо наступний тип нерівностей:

Спочатку запишемо ОДЗ:

Коріння існують, вони невід'ємні, обидві частини можемо звести в квадрат. отримуємо:

Отримали еквівалентну систему:

Отриману систему можна спростити. При виконанні другого і третього нерівностей перша істинно автоматично. маємо ::

Приклад 4 - вирішити нерівність:

Діємо за схемою - отримуємо еквівалентну систему.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, І / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

цілі:

1. Загальноосвітня: систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням методів вирішення нерівностей.
2. Розвиваюча: розвивати в учнів уміння слухати лекцію, конспективно записуючи її в зошит.
3. Виховна: формувати пізнавальну мотивацію до вивчення математики.

Хід уроку

I. Вступна бесіда:

Ми з вами закінчили тему "Рішення ірраціональних рівнянь" і сьогодні починаємо вчитися вирішувати ірраціональні нерівності.

Спочатку давайте пригадаємо, які види нерівностей ви вмієте вирішувати і якими методами?

відповідь: Лінійні, квадратні, раціональні, тригонометричні. Лінійні вирішуємо, виходячи з властивостей нерівностей, тригонометричні зводимо до найпростіших тригонометричним, що вирішуються за допомогою тригонометричного кола, а решта, в основному, методом інтервалів.

питання: На якому затвердження заснований метод інтервалів?

відповідь: На теоремі, яка стверджує, що безперервна функція, що не звертається в нуль на деякому інтервалі, зберігає свій знак на цьому інтервалі.

II. Давайте розглянемо ірраціональне нерівність типу\u003e

питання: Чи можна застосувати для його вирішення метод інтервалів?

відповідь: Так, так як функція y \u003d- неперервна на D (y).

Вирішуємо така нерівність методом інтервалів .

Висновок: ми досить легко вирішили дане ірраціональне нерівність методом інтервалів, фактично звівши його до вирішення ірраціонального рівняння.

Давайте спробуємо вирішити цим методом інше нерівність.

3) f (x)неперервна на D (f)

4) Нулі функції:

• довго шукати D (f).
• Важко обчислювати контрольні точки.

Виникає питання: "Чи немає інших способів вирішення цієї нерівності?".

Очевидно, є, і зараз ми з вами з ними познайомимося.

III. Отже, тема сьогоднішнього уроку: "Методи рішення ірраціональних нерівностей".

Урок буде проходити у вигляді лекції, так як в підручнику немає докладного розбору всіх методів. Тому наша важливе завдання: скласти докладний конспект цієї лекції.

IV. Про перший метод вирішення ірраціональних нерівностей ми з вами вже поговорили.

це - метод інтервалів , Універсальний метод вирішення всіх типів нерівностей. Але він не завжди приводить до мети коротким і простим шляхом.

V.При вирішенні ірраціональних нерівностей можна використовувати ті ж ідеї, що і при вирішенні ірраціональних рівнянь, але так як проста перевірка рішень неможлива (адже рішеннями нерівностей є найчастіше цілі числові проміжки), то необхідно використовувати равносильность.

Наведемо схеми вирішення основних типів ірраціональних нерівностей методом рівносильних переходів від одного нерівності до системи нерівностей.

2. Аналогічно доводиться, що

Запишемо ці схеми на опорній дошці. Над доказами 3 і 4 типу подумайте будинку, на наступному уроці ми їх обговоримо.

VI. Вирішимо новим способом нерівність.

Початкове нерівність рівносильна сукупності систем.

VII. І існує ще третій метод, часто допомагає вирішувати складні ірраціональні нерівності. Ми з вами про нього вже говорили стосовно нерівностей з модулем. це метод заміни функцій (заміни множників). Нагадаю вам, що суть методу заміни полягає в тому, що різниця значень монотонних функцій можна замінити різницею значень їх аргументів.

Розглянемо ірраціональне нерівність виду<,

тобто -< 0.

По теоремі, якщо p (x) зростає на некоторм проміжку, якому належать a і b, причому a>b, То нерівності p (a) - p (b)\u003e 0 і a - b\u003e 0 рівносильні на D (p), тобто

VIII.Вирішимо методом заміни множників нерівність.

Значить, таку нерівність рівносильно системі

Таким чином, ми побачили, що застосування методу заміни множників для відомості рішення нерівності до методу інтервалів істотно скорочує обсяг роботи.

IX.Тепер, коли ми розібрали три основні методи розв'язання рівнянь, давайте виконаємо самостійну роботу з самопроверкой.

Потрібно виконати наступні номери (за підручником А. М. Мордкович): 1790 (а) - решіть_ методом_ равносільнихпереходов, _ 1791 (а) - вирішити шляхом заміни множітелей.Для рішення ірраціональних нерівностей пропонується використовувати способи, раніше розібрані при вирішенні ірраціональних рівнянь:

• заміна змінних;
• використання ОДЗ;
• використання властивостей монотонності функцій.

Завершенням вивчення теми є контрольна робота.

Аналіз контрольної роботи показує:

• типові помилки слабких учнів крім арифметичних і алгебраїчних - невірні рівносильні переходи до системи нерівностей;
• метод заміни множників успішно використовується тільки сильними учнями.