Уравнение на движение в кръг. Равномерно кръгово движение

Движение на тяло в кръг с постоянна скорост по модул- това е движение, при което тялото описва едни и същи дъги за всякакви равни интервали от време.

Определя се позицията на тялото върху кръга радиус вектор\(~\vec r\), начертан от центъра на окръжността. Модулът на радиус вектора е равен на радиуса на окръжността Р(Фиг. 1).

През времето Δ ттялото се движи от точка Аточно V, премества \(~\Delta \vec r\) равно на акорда АБ, и изминава път, равен на дължината на дъгата л.

Радиус векторът се завърта на ъгъл Δ φ . Ъгълът се изразява в радиани.

Скоростта \(~\vec \upsilon\) на движението на тялото по траекторията (кръг) е насочена по допирателната към траекторията. Нарича се линейна скорост. Модулът на линейната скорост е равен на съотношението на дължината на кръговата дъга лкъм интервала от време Δ тза които се преминава тази дъга:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

скаларен физическо количество, числово равно на съотношението на ъгъла на завъртане на радиус вектора към интервала от време, през който се е случило това завъртане, се нарича ъглова скорост:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

SI единицата за ъглова скорост е радиан за секунда (rad/s).

При равномерно движение в кръг ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни стойности: ω = const; υ = const.

Позицията на тялото може да се определи, ако модулът на радиус вектор \(~\vec r\) и ъгълът φ , която съставя с оста вол(ъглова координата). Ако в първоначалния момент т 0 = 0 ъгловата координата е φ 0 и по време тто е равно на φ , след това ъгълът на завъртане Δ φ радиус-вектор във времето \(~\Delta t = t - t_0 = t\) е равен на \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогава от последната формула можем да получим кинематично уравнение на движението материална точкаоколо обиколката:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Позволява ви да определите позицията на тялото по всяко време. т. Като се има предвид, че \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), получаваме \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Дясна стрелка\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула за връзката между линейната и ъгловата скорост.

Времеви интервал Τ , по време на който тялото прави един пълен оборот, се нарича период на ротация:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

където н- броят на оборотите, направени от тялото за времето Δ т.

През времето Δ т = Τ тялото преминава по пътя \(~l = 2 \pi R\). следователно,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Стойност ν , се нарича обратната на периода, показваща колко оборота прави тялото за единица време скорост:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

следователно,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназия: Теория. Задачи. Тестове: Proc. надбавка за институции, предоставящи общ. среди, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и издаване, 2004. - С. 18-19.

Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, тогава движението по окръжността не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.

Ъглова скорост

Изберете точка от кръга 1 . Нека построим радиус. За единица време точката ще се премести до точката 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.

Период и честота

Период на ротация те времето, необходимо на тялото, за да направи един оборот.

RPM е броят на оборотите в секунда.

Честотата и периодът са свързани с релацията

Връзка с ъгловата скорост

Скорост на линията

Всяка точка от окръжността се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например искрите изпод мелница се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.

Помислете за точка от окръжност, която прави един оборот, времето, което е изразходвано - това е периодът т.Пътят, който точката преодолява е обиколката на окръжността.

центростремително ускорение

При движение по окръжност векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на окръжността.

Използвайки предишните формули, можем да изведем следните отношения

Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на окръжността (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спицата на колелото), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е точката от центъра, толкова по-бързо ще се движи.

Законът за събиране на скорости е валиден и за въртеливо движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума от линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.

Земята участва в две основни ротационни движения: дневно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, като периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята до точка на нейната повърхност.

Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е сила. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава естеството на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различно. Например, ако едно тяло се движи в кръг върху въже, завързано за него, тогава действащата сила е силата на еластичност.

Ако тяло, лежащо върху диск, се върти заедно с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата престане да действа, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия

Да разгледаме движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на

Сега нека преминем към фиксирана система, свързана със земята. Общото ускорение на точка А ще остане същото както по абсолютна стойност, така и по посока, тъй като ускорението не се променя при преместване от една инерциална отправна система към друга. От гледна точка на неподвижния наблюдател, траекторията на точка А вече не е окръжност, а по-сложна крива (циклоида), по която точката се движи неравномерно.

Равномерно движениеоколо обиколкатае най-простият пример. Например, краят на стрелката на часовника се движи по циферблата по кръга. Скоростта на тяло в кръг се нарича скорост на линията.

При равномерно движение на тялото по окръжност модулът на скоростта на тялото не се променя с времето, тоест v = const и в този случай се променя само посоката на вектора на скоростта (ar = 0), и промяната на вектора на скоростта в посоката се характеризира със стойност, наречена центростремително ускорение() a n или CA. Във всяка точка векторът на центростремителното ускорение е насочен към центъра на окръжността по радиуса.

Модулът на центростремителното ускорение е равен на

a CS \u003d v 2 / R

Където v е линейната скорост, R е радиусът на окръжността

Ориз. 1.22. Движението на тялото в кръг.

Когато описвате движението на тяло в кръг, използвайте радиус ъгъл на завъртанее ъгълът φ, с който радиусът, изтеглен от центъра на окръжността до точката, където се намира движещото се тяло в този момент, се върти за време t. Ъгълът на въртене се измерва в радиани. равно на ъгъламежду два радиуса на окръжност, дължината на дъгата между които е равна на радиуса на окръжността (фиг. 1.23). Тоест, ако l = R, тогава

1 радиан = l / R

Защото обиколкае равно на

l = 2πR

360 o \u003d 2πR / R = 2π rad.

Следователно

1 рад. \u003d 57,2958 около \u003d 57 около 18 '

Ъглова скоростравномерно движение на тялото в кръг е стойността ω, равна на отношението на ъгъла на завъртане на радиуса φ към интервала от време, през който се извършва това завъртане:

ω = φ / t

Мерната единица за ъглова скорост е радиани в секунда [rad/s]. Модулът на линейната скорост се определя от отношението на изминатото разстояние l към интервала от време t:

v= l/t

Скорост на линиятапри равномерно движение по окръжност, тя е насочена тангенциално към дадена точка от окръжността. Когато точката се движи, дължината l на кръговата дъга, премината от точката, е свързана с ъгъла на завъртане φ чрез израза

l = Rφ

където R е радиусът на окръжността.

Тогава, в случай на равномерно движение на точката, линейната и ъгловата скорост са свързани чрез връзката:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Ориз. 1.23. радиан.

Период на циркулация- това е периодът от време Т, през който тялото (точката) прави един оборот около обиколката. Честота на циркулация- това е реципрочната стойност на периода на циркулация - броят на оборотите за единица време (в секунда). Честотата на циркулация се обозначава с буквата n.

n=1/T

За един период ъгълът на завъртане φ на точката е 2π rad, следователно 2π = ωT, откъдето

T = 2π / ω

Тоест ъгловата скорост е

ω = 2π / T = 2πn

центростремително ускорениеможе да се изрази чрез периода T и честотата на оборота n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Кръговото движение е най-простият случай на криволинейно движение на тяло. Когато тялото се движи около определена точка, заедно с вектора на преместване, е удобно да се въведе ъгловото преместване ∆ φ (ъгълът на въртене спрямо центъра на окръжността), измерено в радиани.

Познавайки ъгловото изместване, е възможно да се изчисли дължината на кръговата дъга (пътя), която тялото е преминало.

∆ l = R ∆ φ

Ако ъгълът на въртене е малък, тогава ∆ l ≈ ∆ s .

Нека илюстрираме казаното:

Ъглова скорост

При криволинейно движение се въвежда концепцията за ъглова скорост ω, тоест скоростта на промяна в ъгъла на въртене.

Определение. Ъглова скорост

Ъгловата скорост в дадена точка от траекторията е границата на отношението на ъгловото преместване ∆ φ към интервала от време ∆ t, през който е възникнало. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Мерната единица за ъглова скорост е радиани в секунда (r a d s).

Съществува връзка между ъгловите и линейните скорости на тялото при движение в кръг. Формула за намиране на ъглова скорост:

При равномерно движение в кръг скоростите v и ω остават непроменени. Променя се само посоката на вектора на линейната скорост.

В този случай равномерното движение в кръг действа върху тялото центростремително, или нормално ускорение, насочена по радиуса на окръжността към центъра му.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:

a n = v 2 R = ω 2 R

Нека докажем тези отношения.

Нека разгледаме как векторът v → се променя за малък период от време ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

В точки A и B векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността, докато модулите на скоростта в двете точки са еднакви.

По дефиниция за ускорение:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Нека разгледаме снимката:

Триъгълниците OAB и BCD са подобни. От това следва, че O A A B = B C C D .

Ако стойността на ъгъла ∆ φ е малка, разстоянието A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Като се има предвид, че O A = R и C D = ∆ v за горното подобни триъгълнициполучаваме:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

Когато ∆ φ → 0, посоката на вектора ∆ v → = v B → - v A → се доближава до посоката към центъра на окръжността. Ако приемем, че ∆ t → 0, получаваме:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерно движение по окръжност модулът за ускорение остава постоянен и посоката на вектора се променя с времето, като същевременно се запазва ориентацията към центъра на окръжността. Ето защо това ускорение се нарича центростремително: векторът по всяко време е насочен към центъра на окръжността.

Записът на центростремителното ускорение във векторна форма е както следва:

a n → = - ω 2 R → .

Тук R → е радиус векторът на точка от окръжност с начало в центъра.

В общия случай ускорението при движение по окръжност се състои от два компонента - нормален и тангенциален.

Помислете за случая, когато тялото се движи по окръжността неравномерно. Нека представим понятието тангенциално (тангенциално) ускорение. Посоката му съвпада с посоката на линейната скорост на тялото и във всяка точка на окръжността е насочена тангенциално към него.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Тук ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 е промяната в модула на скоростта през интервала ∆ t

Посоката на пълното ускорение се определя от векторната сума на нормалното и тангенциалното ускорение.

Кръговото движение в равнина може да се опише с две координати: x и y. Във всеки момент от време скоростта на тялото може да бъде разложена на компоненти v x и v y .

Ако движението е равномерно, стойностите v x и v y, както и съответните координати ще се променят във времето съгласно хармоничен закон с период T = 2 π R v = 2 π ω

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter