Ъглово преместване, ъглова скорост, ъглово ускорение, тяхната връзка. Кинематика на въртеливото движение на твърдо тяло Какъв е векторът на ъгъла на въртене
С линейни стойности.
Ъглово движениее векторна величина, която характеризира изменението на ъгловата координата в хода на нейното движение.
Ъглова скорост- вектор физическо количество, което характеризира скоростта на въртене на тялото. Векторът на ъгловата скорост по големина равно на ъгълавъртене на тялото за единица време:
и е насочен по оста на въртене по правилото на кардана, тоест в посоката, в която би се завинтил карданът с дясна резба, ако се върти в същата посока.
Единицата за измерване на ъгловата скорост, приета в системите SI и CGS) - радиани в секунда. (Забележка: радианът, както всяка ъглова единица, е физически безразмерен, така че физическото измерение на ъгловата скорост е просто). В технологията се използват и обороти в секунда, много по-рядко - градуси в секунда, градуси в секунда. Може би най-често в технологията се използват обороти в минута - това се случва от времето, когато скоростта на въртене на нискооборотните парни машини се определяше чрез просто "ръчно" преброяване на броя на оборотите за единица време.
Векторна (моментна) скорост на всяка точка (абсолютно) твърдовъртенето с ъглова скорост се определя по формулата:
където е радиус векторът към дадена точка от началото, разположена върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби означават напречното произведение. Линейната скорост (съвпадаща с модула на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) r от оста на въртене може да се разглежда, както следва: v = rω. Ако вместо радиани се използват други единици за ъгли, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.
В случай на въртене на равнината, тоест когато всички вектори на скоростта на точките на тялото лежат (винаги) в една и съща равнина („равнина на въртене“), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина, и всъщност, ако равнината на въртене е известна, тя може да бъде заменена със скалар - проекция върху ос, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена, но в общия случай ъгловата скорост може да промени посоката си с течение на времето в триизмерното пространство и такава опростена картина не работи.
Времевата производна на ъгловата скорост е ъглово ускорение.
Движение с постоянен вектор на ъглова скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула).
Ъгловата скорост (считана като свободен вектор) е една и съща във всички инерционни референтни системи, но в различни инерционни референтни системи, оста или центърът на въртене на едно и също конкретно тяло в един и същи момент от времето може да се различава (т.е. ще има различна "точка на приложение" на ъгловата скорост).
В случай на движение на една единствена точка в триизмерно пространство, можете да напишете израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избрания начало:
Където е радиус векторът на точката (от началото), е скоростта на тази точка. - векторно произведение, - точково произведение на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка могат да бъдат избрани други вектори, които са подходящи по дефиниция, в противен случай - произволно - се избира посоката на оста на въртене), а за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялото тяло (тъй като дава различна за всяка точка и когато абсолютно твърдо тяло се върти, по дефиниция, ъгловата скорост на неговото ротацията е единственият вектор). При всичко това в двумерния случай (случая на въртене на равнината) тази формула е напълно достатъчна, недвусмислена и правилна, тъй като в този конкретен случай посоката на оста на въртене определено е определено еднозначно.
В случай на униформа въртеливо движение(т.е. движение с постоянен вектор на ъглова скорост) Декартовите координати на точките на въртящо се по този начин тяло извършват хармонични трептения с ъглова (циклична) честота, равна на модула на вектора на ъгловата скорост.
При измерване на ъгловата скорост в обороти в секунда (r / s), модулът на ъгловата скорост на равномерно въртеливо движение съвпада с честотата на въртене f, измерена в херци (Hz)
(тоест в такива единици).
В случай на използване на обичайната физическа единица за ъглова скорост - радиани в секунда - модулът на ъгловата скорост е свързан с честотата на въртене, както следва:
И накрая, когато се използват градуси в секунда, връзката със скоростта на въртене ще бъде:
Ъглово ускорениее псевдовекторна физическа величина, която характеризира скоростта на изменение на ъгловата скорост на твърдо тяло.
Когато тялото се върти около фиксирана ос, модулът на ъгловото ускорение е:
Векторът на ъгловото ускорение α е насочен по оста на въртене (отстрани с ускорено въртене и противоположно - при забавено въртене).
Когато се върти около фиксирана точка, векторът на ъгловото ускорение се дефинира като първата производна по време на вектора на ъгловата скорост ω, т.е.
и е насочена тангенциално към векторния ходограф в съответната му точка.
Има връзка между тангенциалното и ъгловото ускорение:
където R е радиусът на кривината на точковата траектория в даден момент. И така, ъгловото ускорение е равно на втората производна на ъгъла на въртене във времето или първата производна на ъгловата скорост във времето. Ъгловото ускорение се измерва в rad / sec2.
Ъглова скорост и ъглово ускорение
Помислете за твърдо тяло, което се върти около фиксирана ос. Тогава отделните точки на това тяло ще описват кръгове с различни радиуси, чиито центрове лежат върху оста на въртене. Нека дадена точка се движи по окръжност с радиус Р(фиг. 6). Позицията му след определен период от време D Tзадайте ъгъла D. Елементарните (безкрайно малки) ротации могат да се разглеждат като вектори (те се обозначават с или) . Големината на вектора е равна на ъгъла на въртене, а посоката му съвпада с посоката на транслационно движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява правило за десен винт(фиг. 6). Наричат се вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене псевдовекториили аксиални вектори.Тези вектори нямат специфични точки на приложение: те могат да бъдат нанесени от всяка точка на оста на въртене.
Ъглова скоростсе нарича векторна величина, равна на първата производна на ъгъла на завъртане на тялото по отношение на времето:
Векторът е насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт, т.е. същото като вектора (фиг. 7). Размер на ъгловата скорост dim w = T - 1 , и неговата единица е радиани в секунда (rad / s).
Точкова линейна скорост (виж фиг. 6)
Във векторна форма формулата за линейна скорост може да бъде записана като кръстосано произведение:
В този случай модулът на векторното произведение по дефиниция е равен и посоката съвпада с посоката на транслационното движение на десния винт, докато се върти от до Р.
Ако (= const, тогава въртенето е равномерно и може да се характеризира с период на ротация T - времето, през което точката прави един пълен оборот, т.е. завъртания 2p. Тъй като интервалът от време D T= Tсъответства на = 2p, след това = 2p / T, където
Броят на пълните обороти, направени от тялото по време на равномерното му движение по обиколката, за единица време, се нарича честота на въртене:
Ъгловото ускорение е векторна величина, равна на първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето:
Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. При ускорено движение векторът е съпосочен с вектора (фиг. 8), при бавно движение е противоположен на него (фиг. 9).
Тангенциална компонента на ускорението
Нормален компонент на ускорението
По този начин връзката между линейна (дължина на пътя спреминава се от точка по дъга на окръжност с радиус Р, линейна скорост v,тангенциално ускорение , нормално ускорение) и ъглови величини (ъгъл на въртене j, ъглова скорост w, ъглово ускорение e) се изразяват със следните формули:
В случай на еднакво променливо движение на точка по окръжност (e = const)
където w 0 е началната ъглова скорост.
законите на Нютон.
Първият закон на Нютон. Тегло. Сила
Динамиката е основният раздел на механиката, тя се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него през 1687 г. Законите на Нютон играят изключителна роля в механиката и са (както всички физически закони) обобщение на резултатите от огромния човешки опит. Те се разглеждат като система от взаимосвързани законии не всеки един закон е подложен на експериментална проверка, а цялата система като цяло.
Първият закон на Нютон: всякакви материална точка(тялото) поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато ударът от други тела го принуди да промени това състояние... Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция... Следователно първият закон на Нютон също се нарича закон за инерцията.
Механичното движение е относително и естеството му зависи от референтната система. Първият закон на Нютон не е изпълнен във всяка референтна система и тези системи, по отношение на които той действа, се наричат инерционни референтни системи... Инерционната отправна система е такава отправна система, спрямо която материална точка, свободен от външни влияния,или в покой, или се движат равномерно и праволинейно. Първият закон на Нютон посочва съществуването на инерционни референтни системи.
Експериментално е установено, че хелиоцентричната (звездна) референтна система може да се счита за инерционна (началото на координатите е в центъра на Слънцето, а осите са начертани в посока на определени звезди). Референтната система, свързана със Земята, строго погледнато, е неинерционна, но ефектите, дължащи се на нейната неинерционност (Земята се върти около собствената си ос и около Слънцето), са незначителни при решаването на много проблеми и в тези случаи може да се счита за инерционна.
От опит е известно, че под едни и същи влияния различните тела променят скоростта си на движение неравномерно, тоест придобиват различни ускорения. Ускорението зависи не само от големината на въздействието, но и от свойствата на самото тяло (от неговата маса).
Теглотялото е физическа величина, която е една от основните характеристики на материята, която определя нейната инерция ( инертна маса) и гравитационни ( гравитационна маса) Имоти. Понастоящем може да се счита за доказано, че инерционната и гравитационната маси са равни една на друга (с точност от най-малко 10 –12 от техните стойности).
За да се опишат влиянията, споменати в първия закон на Нютон, се въвежда понятието сила. Под действието на силите на тялото или променят скоростта на движение, тоест придобиват ускорение (динамично проявление на силите), или се деформират, тоест променят формата и размера си (статично проявление на силите). Във всеки момент от времето силата се характеризира с числова стойност, посока в пространството и точка на приложение. Така, силае векторна величина, която е мярка механично въздействиевърху тялото от страната на други тела или полета, в резултат на което тялото придобива ускорение или променя формата и размера си.
Вторият закон на Нютон
Вторият закон на Нютон - основният закон на динамиката на транслационното движение -отговаря на въпроса как се променя механичното движение на материална точка (тяло) под действието на приложените към нея сили.
Ако разгледаме действието на различни сили върху едно и също тяло, се оказва, че ускорението, придобито от тялото, винаги е право пропорционално на резултата от приложените сили:
a ~ F (t = const). (6.1)
Когато една и съща сила действа върху тела с различни маси, ускоренията им се оказват различни, т.е
а ~ 1 / t (F= const). (6.2)
Използвайки изрази (6.1) и (6.2) и като вземем предвид, че силата и ускорението са векторни величини, можем да запишем
a = kF / m. (6.3)
Съотношението (6.3) изразява втория закон на Нютон: ускорението, придобито от материална точка (тяло), пропорционално на силата, която я причинява, съвпада с нея по посока и е обратно пропорционално на масата на материалната точка (тялото).
В SI коефициент на пропорционалност k = 1. Тогава
(6.4)
Като се има предвид, че масата на материална точка (тяло) в класическа механикае постоянна стойност, в израз (6.4) може да се въведе под знака на производната:
Векторно количество
числено равно на произведението на масата на материална точка от нейната скорост и имаща посока на скоростта, се нарича импулс (количество на движение)тази материална точка.
Замествайки (6.6) в (6.5), получаваме
Този израз - по-обща формулировка на втория закон на Нютон: скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на силата, действаща върху нея. Извиква се израз (6.7). уравнението на движението на материална точка.
Единицата за сила в SI е Нютон(N): 1 N е силата, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg в посока на действието на силата:
1 N = 1 kg × m / s 2.
Вторият закон на Нютон е валиден само в инерционни референтни системи. Първият закон на Нютон може да се получи от втория. Действително, ако резултантните сили са равни на нула (при липса на действие върху тялото от други тела), ускорението (виж (6.3)) също е нула. но Първият закон на Нютонразглежда като независимо право(а не като следствие от втория закон), тъй като той е този, който твърди съществуването на инерционни референтни системи, в които е изпълнено само уравнение (6.7).
В механиката голямо значениеТо има принцип на независимост на действието на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава всяка от тези сили придава ускорение на материалната точка според втория закон на Нютон, сякаш няма други сили. Според този принцип силите и ускоренията могат да бъдат разложени на компоненти, чието използване води до значително опростяване на решаването на проблеми. Например, на фиг. десет активна сила F = м a се разлага на два компонента: тангенциалната сила F t, (насочена тангенциално към траекторията) и нормалната сила F н(насочен нормално към центъра на кривината). Използване на изрази и както , можеш да пишеш:
Ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава според принципа на независимост от действието на силите под F във втория закон на Нютон имаме предвид получената сила.
Третият закон на Нютон
Определя се взаимодействието между материални точки (тела). Третият закон на Нютон: всяко действие на материални точки (тела) една върху друга има характер на взаимодействие; силите, с които материалните точки действат една върху друга, винаги са равни по големина, противоположно насочени и действат по права линия, свързваща тези точки:
Ж 12 = - Ж 21, (7.1)
където F 12 е силата, действаща върху първата материална точка от страната на втората;
F 21 - силата, действаща върху втората материална точка от страната на първата. Тези сили се прилагат към различенматериални точки (тела), винаги действат по двойкии са сили една природа.
Третият закон на Нютон позволява прехода от динамиката отделенматериална точка към динамиката системиматериални точки. Това следва от факта, че за система от материални точки взаимодействието се свежда до силите на двойно взаимодействие между материалните точки.
Елементарен ъгъл на въртене, ъглова скорост
Фигура 9: Елементарен ъгъл на въртене ()
Елементарните (безкрайно малки) завъртания се разглеждат като вектори. Модулът на вектора е равен на ъгъла на въртене и неговата посока съвпада с посоката на транслационно движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. то се подчинява на правилото на десния винт.
Ъглова скорост
Векторът е насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт, т.е. по същия начин като вектора (виж фигура 10).
Фигура 10.
Фигура 11
Стойност на вектора, определена от първата производна на ъгъла на завъртане на тялото по отношение на времето.
Комуникация на модули за линейна и ъглова скорост
Фигура 12
Връзка на вектори на линейни и ъглови скорости
Позицията на въпросната точка се задава от радиус вектор (изтеглен от началото на координати 0, лежащи върху оста на въртене). Векторното произведение съвпада по посока с вектора и има модул, равен на
Единицата за ъглова скорост е.
Псеввекторите (аксиални вектори) са вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене (например). Тези вектори нямат специфични точки на приложение: те могат да бъдат нанесени от всяка точка на оста на въртене.
Равномерно движение на материална точка по окръжност
Равномерното движение по окръжност е движение, при което материална точка (тяло) за равни периоди от време преминава кръгове, равни по дължината на дъгата.
Ъглова скорост
: (-- ъгъл на въртене).
Периодът на въртене T е времето, през което материалната точка прави един пълен оборот около окръжността, тоест завърта се на ъгъл.
Тъй като интервалът от време съответства, тогава.
Честота на въртене - броят на пълните обороти, направени от материална точка с равномерното й движение около окръжност, за единица време.
Фигура 13
Характерна особеност на равномерното кръгово движение
Равномерното движение по окръжност е специален случай на криволинейно движение. Кръговото движение с константа на скоростта по модул () се ускорява. Това се дължи на факта, че при постоянен модул посоката на скоростта се променя през цялото време.
Ускорение на материална точка, равномерно движеща се по окръжност
Тангенциална компонента на ускорението при равномерно движениеточки по окръжността е нула.
Нормалният компонент на ускорението (центростремителното ускорение) е насочен радиално към центъра на окръжността (виж фигура 13). Във всяка точка на окръжността, векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на вектора на скоростта. Ускорението на материална точка, движеща се равномерно по окръжност във всяка точка, е центростремително.
Ъглово ускорение. Връзка между линейни и ъглови величини
Ъгловото ускорение е векторна величина, определена от първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето.
Посока на вектора на ъгловото ускорение
Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост.
При ускорено движение векторът е съпосочен с вектора, при бавно движение е противоположен на него. Векторът е псевдовектор.
Единицата за ъглово ускорение е.
Връзка между линейни и ъглови величини
(- радиус на окръжност; - линейна скорост; - тангенциално ускорение; - нормално ускорение; - ъглова скорост).
Движенията на разширено тяло, чиито размери не могат да бъдат пренебрегнати при условията на разглежданата задача. Тялото ще се счита за недеформируемо, с други думи, за абсолютно твърдо.
Движението, в което всякаквиправа линия, свързана с движещо се тяло, остава успоредна на себе си, се нарича прогресивен.
Под права линия, "твърдо свързана с тялото" се разбира такава права линия, разстоянието от която и да е точка до която и да е точка на тялото остава постоянно по време на неговото движение.
Транслационното движение на абсолютно твърдо тяло може да се характеризира с движението на която и да е точка от това тяло, тъй като по време на транслационно движение всички точки на тялото се движат с еднакви скорости и ускорения, а траекториите на тяхното движение са съвместими. След като определихме движението на някоя от точките на твърдо тяло, ние в същото време определяме движението на всички негови други точки. Следователно, когато се описва транслационното движение, не възникват нови проблеми в сравнение с кинематиката на материална точка. Пример за транслационно движение е показан на фиг. 2.20.
Фигура 2.20. Транслационно движение на тялото
Пример за транслационно движение е показан на следната фигура:
Фигура 2.21. Движение на тялото в самолет
Друг важен специален случай на движение на твърдо тяло е движение, при което две точки на тялото остават неподвижни.
Нарича се движението, при което две точки на тялото остават неподвижни въртене около фиксирана ос.
Правата линия, свързваща тези точки, също е фиксирана и се нарича ос на въртене.
Фигура 2.22. Въртене на твърдо тяло
При това движение всички точки на тялото се движат в кръгове, разположени в равнини, перпендикулярни на оста на въртене. Центровете на кръговете лежат върху оста на въртене. В този случай оста на въртене може да бъде разположена извън тялото.
Видео 2.4. Транслационни и ротационни движения.
Ъглова скорост, ъглово ускорение.Когато тялото се върти около която и да е ос, всичките му точки описват окръжности с различни радиуси и следователно имат различни премествания, скорости и ускорения. Но ротационното движение на всички точки на тялото може да се опише по същия начин. За това се използват други (в сравнение с материалната точка) кинематични характеристики на движението - ъгъл на въртене, ъглова скорост, ъглово ускорение.
Ориз. 2.23. Вектори за ускорение на точка, движеща се в кръг
Ролята на преместването при въртеливото движение се играе от малък ротационен вектор, около оста на въртене 00" (фиг. 2.24.). За всяка точка ще бъде същото абсолютно солидна(например точки 1, 2, 3 ).
Ориз. 2.24. Въртене на абсолютно твърдо тяло около фиксирана ос
Модулът на вектора на въртене е равен на стойността на ъгъла на въртене и ъгълът се измерва в радиани.
Векторът на безкрайно малко въртене по оста на въртене е насочен към движението на десния винт (кардан), въртящ се в същата посока като тялото.
Видео 2.5. Окончателните ъглови премествания не са вектори, тъй като не се събират според правилото на паралелограма. Безкрайно малките ъглови премествания са вектори.
Извикват се векторите, чиито посоки са свързани с правилото на кардана аксиален(от англ. ос- ос) за разлика от полярни... вектори, които използвахме по-рано. Полярните вектори са например радиус вектор, вектор на скорост, вектор на ускорение и вектор на сила. Аксиалните вектори се наричат още псевдовектори, тъй като те се различават от истинските (полярни) вектори по поведението си по време на операцията на отражение в огледало (инверсия или, което е същото, преход от дясната координатна система към лявата). Може да се покаже (това ще бъде направено по-късно), че добавянето на вектори с безкрайно малки завъртания става по същия начин като събирането на истински вектори, тоест според правилото на паралелограма (триъгълник). Следователно, ако не се разглежда операцията на отражение в огледало, тогава разликата между псевдовектори и истински вектори не се проявява по никакъв начин и е възможно и необходимо да се работи с тях като с обикновени (истински) вектори.
Съотношението на вектора на безкрайно малкото въртене към времето, през което това въртене е извършено
Наречен ъглова скорост на въртене.
Основната единица за измерване на ъгловата скорост е радвам/с... V печатни медии, по причини, които нямат нищо общо с физиката, често пишат 1/сили s -1, което, строго погледнато, не е вярно. Ъгълът е безразмерна величина, но мерните му единици са различни (градуси, румба, градушка...) и трябва да бъдат посочени, поне за да се избегнат недоразумения.
Видео 2.6. Стробоскопичен ефект и използването му за дистанционно измерване на ъгловата скорост на въртене.
Ъгловата скорост, подобно на вектора, на който е пропорционална, е аксиален вектор. При въртене наоколо неподвиженос, ъгловата скорост не променя посоката си. При равномерно въртене стойността му остава постоянна, така че векторът. В случай на достатъчно постоянство във времето на стойността на ъгловата скорост е удобно въртенето да се характеризира с неговия период T :
Период на ротация- това е времето, през което тялото прави един оборот (завъртане на ъгъл 2π) около оста на въртене.
Думите "достатъчно постоянство" очевидно означават, че за период (време на един оборот) модулът на ъгловата скорост се променя незначително.
Често се използва също брой обороти за единица време
В същото време в технически приложения (на първо място всички видове двигатели) е обичайно да се взема минута като единица време, а не секунда. Тоест ъгловата скорост на въртене се посочва в обороти в минута. Както лесно можете да видите, връзката между (в радиани в секунда) и (в обороти в минута) е както следва
Посоката на вектора на ъгловата скорост е показана на фиг. 2.25.
По аналогия с линейното ускорение, ъгловото ускорение се въвежда като скорост на промяна на вектора на ъгловата скорост. Ъгловото ускорение също е аксиален вектор (псевдо вектор).
Ъглово ускорение - аксиален вектор, дефиниран като производна по време на ъгловата скорост
Когато се върти около фиксирана ос, по-общо, когато се върти около ос, която остава успоредна на себе си, векторът на ъгловата скорост също е насочен успоредно на оста на въртене. С увеличаване на стойността на ъгловата скорост || ъгловото ускорение съвпада с него в посока, при намаляване се насочва в обратна посока. Подчертаваме, че това е само частен случай на неизменност на посоката на оста на въртене, в общия случай (въртене около точка) самата оста на въртене се върти и тогава казаното по-горе не е вярно.
Връзка на ъглови и линейни скорости и ускорения.Всяка от точките на въртящото се тяло се движи с определена линейна скорост, насочена тангенциално към съответната окръжност (виж фиг. 19). Нека материалната точка се върти около оста 00" около окръжност с радиус Р... За кратък период от време той ще покрие пътя, съответстващ на ъгъла на завиване. Тогава
Преминавайки до предела, получаваме израз за модула на линейната скорост на точка от въртящо се тяло.
Припомнете си тук Ре разстоянието от разглежданата точка на тялото до оста на въртене.
Ориз. 2.26.
Тъй като нормалното ускорение е
тогава, като се вземе предвид съотношението на ъгловата и линейната скорост, получаваме
Често се нарича нормалното ускорение на точките на въртящо се твърдо тяло центростремително ускорение.
Разграничавайки израза за във времето, намираме
където е тангенциалното ускорение на точка, движеща се по окръжност с радиус Р.
По този начин както тангенциалното, така и нормалното ускорение нарастват линейно с увеличаване на радиуса Р- разстояние от оста на въртене. Пълното ускорение също е линейно зависимо от Р :
Пример.Нека намерим линейната скорост и центростремителното ускорение на лежащите върху тях точки земна повърхностна екватора и географската ширина на Москва (= 56 °). Ние знаем периода на въртене на Земята около собствената си ос. T = 24 часа = 24x60x60 = 86 400 s... От тук се намира ъгловата скорост на въртене
Среден радиус на Земята
Разстоянието до оста на въртене на географска ширина е
От тук намираме линейната скорост
и центростремително ускорение
При екватора = 0, cos = 1, следователно,
На географската ширина на Москва cos = cos 56° = 0,559и получаваме:
Виждаме, че влиянието на въртенето на Земята не е толкова голямо: съотношението на центростремителното ускорение на екватора към ускорението на гравитацията е
Въпреки това, както ще видим по-късно, ефектите от въртенето на Земята са доста забележими.
Връзката между векторите на линейната и ъгловата скорост.Получените по-горе отношения между ъгловите и линейните скорости са записани за модулите на векторите и. За да запишем тези отношения във векторна форма, използваме концепцията за кръстосано произведение.
Нека бъде 0z- оста на въртене на абсолютно твърдо тяло (фиг. 2.28).
Ориз. 2.28. Връзка между вектори на линейна и ъглова скорост
Точка Асе върти около окръжност с радиус Р. Р- разстояние от оста на въртене до разглежданата точка на тялото. Да вземем точка 0 за произхода. Тогава
и тъй като
след това, по дефиницията на кръстосано произведение, за всички точки на тялото
Ето радиус вектора на точка от тялото, започваща от точка O, лежаща на произволно фиксирано място, задължително по оста на въртене
Но от другата страна
Първият член е равен на нула, тъй като кръстосаното произведение на колинеарните вектори е равно на нула. следователно,
където вектор Ре перпендикулярна на оста на въртене и насочена далеч от нея, а модулът му е равен на радиуса на окръжността, по която се движи материалната точка и този вектор започва от центъра на тази окръжност.
Ориз. 2.29. Към дефиницията на моментната ос на въртене
Нормалното (центростремително) ускорение може да бъде записано и във векторна форма:
освен това знакът "-" показва, че е насочен към оста на въртене. Диференцирайки съотношението на линейната и ъгловата скорости във времето, намираме израза за общото ускорение
Първият член е насочен тангенциално към траекторията на точка върху въртящо се тяло и неговият модул е равен, тъй като
Сравнявайки с израза за тангенциално ускорение, стигаме до извода, че това е векторът на тангенциалното ускорение
Следователно вторият член е нормалното ускорение на същата точка:
Всъщност той е насочен по радиуса Рспрямо оста на въртене и неговият модул е
Следователно това съотношение за нормално ускорение е друга форма на записване на предварително получената формула.
Допълнителна информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общ курсФизика, том 1, Механика Изд. Наука 1979 - стр. 242–243 (§46, стр. 7): обсъжда се един доста труден за разбиране въпрос за векторната природа на ъгловите завъртания на твърдо тяло;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общ курс по физика, том 1, Механика Изд. Наука 1979 - с. 233–242 (§45, §46 стр. 1–6): моментна ос на въртене на твърдо тяло, добавяне на завъртания;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - сп. Квант - кинематика на баскетболно хвърляне (Р. Винокур);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - сп. "Квант" 2003 № 6, - стр. 5–11, поле на моментните скорости на твърдо тяло (С. Кротов);
Ъгли на Ойлер, ъгли на самолет (кораб).
Традиционно ъглите на Ойлер се въвеждат по следния начин. Преходът от референтната позиция към текущата се извършва с три завъртания (Фигура 4.3):
1. Завъртете под ъгъл прецесияВ същото време той влиза в позиция, (c) .
2. Завъртете зад ъгъла нутация... При което,. (4.10)
4. Завъртете наоколо под ъгъл собствена (чиста) ротация
За по-добро разбиране, Фигура 4.4 показва връх и ъгли на Ойлер, които го описват.
Преходът от референтната позиция към текущата може да се извърши на три оборота (завъртете се!) (Фигура 4.5):
1. Завъртете под ъгъл ровя се, при което
2. Завъртане около ъгъла на терена, докато (4.12)
3. Завъртете ъгъла на ролката наоколо
Изразът „може да се направи“ не е случаен; лесно е да се разбере, че са възможни и други опции, например завои около фиксирани оси
1. Завъртете под ъгъл ролка(рискувайки да счупят крила)
2. Завъртете зад ъгъла терена(повдигане на "носа") (4.13)
3. Завъртете зад ъгъла ровя се
Въпреки това, идентичността на (4.12) и (4.13) също трябва да бъде доказана.
Нека запишем очевидната векторна формула за вектора на позицията на която и да е точка (фигура 4.6) в матричен вид. Нека намерим координатите на вектора спрямо референтната база. Нека разширим вектора според действителната база и въведем "прехвърления" вектор, чиито координати в референтната база са равни на координатите на вектора в действителната; с други думи, вектор "завъртян" заедно с тялото (фиг.4.6).
| Ориз. 4.6. |
Разширявайки векторите по референтната основа, получаваме
Нека представим ротационна матрица и колони,
Векторната формула в матричната нотация има формата
1. Матрицата на ротация е ортогонална;
Доказателството за това твърдение е формулата (4.9)
Изчислявайки детерминанта на произведението (4.15), получаваме и тъй като в референтната позиция, тогава (ортогонални матрици с детерминанта, равен на (+1) се наричат всъщностортогонални или ротационни матрици). Матрицата на въртене, когато се умножи по вектори, не променя нито дължините на векторите, нито ъглите между тях, т.е. наистина техен завои.
2. Матрицата на въртене има един собствен вектор (фиксиран), който определя оста на въртене. С други думи, необходимо е да се покаже, че системата от уравнения има уникално решение. Записваме системата във вида (. Детерминантата на тази хомогенна система е равна на нула, тъй като
следователно, системата има ненулево решение. Ако приемем, че има две решения, веднага стигаме до извода, че перпендикулярът към тях също е решение (ъглите между векторите не се променят), което означава, че т.е. без обръщане..
| Фигура 4.7 |
Матрица в ортонормирана основа
има формата.
2. Диференцирайки (4.15), получаваме или, като означаваме - матрицата сън (английски to spin - twirl).По този начин матрицата на спина е косо-симетрична:. Умножавайки вдясно по, получаваме формулата на Поасон за ротационната матрица:
Стигнахме до най-трудния момент в рамките на описанието на матрицата - дефинирането на вектора на ъгловата скорост.
Можете, разбира се, да направите стандарта (вижте например начина и напишете: " въвеждаме обозначението за елементите на косо-симетричната матрицаС според формулата
Ако съставим вектор , тогава резултатът от умножаването на матрица по вектор може да бъде представен като векторно произведение". В горния цитат - векторът на ъгловата скорост.
Диференцирайки (4.14), получаваме матрична нотация за основната формула на кинематиката на твърдо тяло :
Матричният подход, тъй като е удобен за изчисления, е много малко подходящ за анализ и извеждане на релации; всяка формула, написана на векторен и тензорен език, може лесно да бъде написана в матрична форма, но можете да получите компактна и изразителна формула за описание на всяка физическо явлениев матрична форма е трудно.
Освен това не трябва да се забравя, че матричните елементи са координати (компоненти) на тензор в някаква основа. Самият тензор не зависи от избора на основата, а неговите компоненти. За безгрешно записване в матрична форма е необходимо всички вектори и тензори, включени в израза, да бъдат записани в една основа и това не винаги е удобно, тъй като различните тензори имат "проста" форма в различни бази, следователно е необходимо е да се преизчислят матрици с помощта на преходни матрици ...
Върху окръжността тя се определя от радиус вектора $ \ overrightarrow (r) $, изтеглен от центъра на окръжността. Модулът на радиус вектора е равен на радиуса на окръжността R (фиг. 1).
Фигура 1. Радиус вектор, изместване, път и ъгъл на завъртане при преместване на точка по окръжност
В този случай движението на тялото в кръг може да бъде уникално описано с помощта на такива кинематични характеристики като ъгъл на въртене, ъглова скорост и ъглово ускорение.
За времето ∆t тялото, движейки се от точка A до точка B, извършва движение $ \ триъгълник r $, равно на хордата AB, и изминава път, равен на дължината на дъгата l. Радиус векторът се завърта на ъгъл ∆ $ \ varphi $.
Ъгълът на въртене може да се характеризира с вектора на ъглово преместване $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $, чийто модул е равен на ъгъла на въртене ∆ $ \ varphi $, а посоката съвпада с ос на въртене, и така, че посоката на въртене да съответства на правилото на десния винт по отношение на посоката на вектора $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $.
Векторът $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $ се нарича аксиален вектор (или псевдовектор), докато векторът на изместване $ \ triangle \ overrightarrow (r) $ е полярният вектор (това включва и скоростта и вектори на ускорение) ... Те се различават по това, че полярният вектор, освен дължината и посоката, има точка на приложение (полюс), а аксиалният вектор има само дължина и посока (ос - на латински, ос), но няма точка на приложение . Вектори от този тип често се използват във физиката. Те, например, включват всички вектори, които са векторно произведение на два полярни вектора.
Скаларна физическа величина, числено равна на съотношението на ъгъла на завъртане на радиус вектора към интервала от време, за който се е случило това въртене, се нарича средна ъглова скорост: $ \ left \ langle \ omega \ right \ rangle = \ frac (\ триъгълник \ varphi) (\ триъгълник t) $. SI единицата за ъглова скорост е радиани в секунда $ (\ frac (rad) (c)) $.
Определение
Ъгловата скорост на въртене е вектор, числено равен на първата производна на ъгъла на въртене на тялото във времето и насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт:
\ [\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega)) \ left (t \ right) = (\ mathop (lim) _ (\ триъгълник t \ до 0) \ frac (\ триъгълник (\ mathbf \ varphi)) (\ триъгълник t) = \ frac (d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi))) (dt) \) \]
При равномерно движение по окръжност ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни стойности: $ (\ mathbf \ omega) = const $; $ v = const $.
Като се има предвид, че $ \ триъгълник \ varphi = \ frac (l) (R) $, получаваме формулата за връзката между линейната и ъгловата скорост: $ \ omega = \ frac (l) (R \ триъгълник t) = \ frac (v) ( R) $. Ъгловата скорост също е свързана с нормалното ускорение: $ a_n = \ frac (v ^ 2) (R) = (\ omega) ^ 2R $
В неравномерно движениев кръг, векторът на ъгловата скорост е векторна функция на времето $ \ overrightarrow (\ omega) \ left (t \ right) = (\ overrightarrow (\ omega)) _ 0+ \ overrightarrow (\ varepsilon) \ left (t \ вдясно) t $, където $ (\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega))) _ 0 $ е началната ъглова скорост, $ \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ left (t \ right) $ е ъглово ускорение. В случай на равномерно движение, $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ left (t \ right) \ right | = \ varepsilon = const $, и $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ omega ) ) \ ляво (t \ дясно) \ дясно | = \ омега \ ляво (t \ дясно) = (\ омега) _0 + \ varepsilon t $.
Опишете движението на въртящо се твърдо тяло в случаите, когато ъгловата скорост се променя съгласно графики 1 и 2, показани на фиг. 2.
Фигура 2.
Има две посоки на въртене - по часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Посоката на въртене е свързана с псевдовектор на ъгъла на въртене и ъгловата скорост. Нека приемем, че посоката на въртене по часовниковата стрелка е положителна.
За движение 1 ъгловата скорост се увеличава, но ъгловото ускорение $ \ varepsilon $ = d $ \ omega $ / dt (производна) намалява, оставайки положително. Следователно това движение се ускорява по посока на часовниковата стрелка с намаляващо ускорение.
За движение 2 ъгловата скорост намалява, след това достига нула в точката на пресичане с оста на абсцисата и след това става отрицателна и нараства по големина. Ъгловото ускорение е отрицателно и намалява по величина. Така отначало точката се движеше по посока на часовниковата стрелка с по-бавно темпо с намаляваща величина на ъгловото ускорение, спираше и започваше да се върти с ускорена скорост с намаляваща величина на ускорението.
Намерете радиуса R на въртящото се колело, ако е известно, че линейната скорост $ v_1 $ на точка, лежаща върху ръба, е 2,5 пъти по-голяма от линейната скорост $ v_2 $ на точка, лежаща на разстояние $ r = 5 cm $ по-близо до оста на колелото.
Фигура 3.
$$ R_2 = R_1 - 5 $$ $$ v_1 = 2.5v_2 $$ $$ R_1 =? $$
Точките се движат по концентрични окръжности, векторите на техните ъглови скорости са равни, $ \ left | (\ overrightarrow (\ omega)) _ 1 \ right | = \ left | (\ overrightarrow (\ omega)) _ 2 \ right | = \ omega $, следователно, може да бъде записано в скаларен вид:
Отговор: радиус на колелото R = 8,3 cm
Зареждане...