Неравенство с количеството корени. Решението на ирационалните неравенства

Цели:

Общо образование: За да се систематизира, обобщава, разширява знанията и уменията на учениците, свързани с използването на методи за решаване на неравенства.
Разработване: разработване на ученици със способността да слушате лекция, като я записвате в лаптоп.
Образование: да образуват когнитивна мотивация за изучаването на математиката.

По време на класовете

I. Встъпителен разговор:

Завършихме темата "Решение на ирационалните уравнения" и днес започваме да се научат да решават ирационални неравенства.

Първо, нека си спомним какви видове неравенства знаете как да решавате и какви методи?

Отговор: Линейна, квадратна, рационална, тригонометрична. Линейната решава, базирана на свойствата на неравенствата, тригонометрията, която намаляваме най-простата тригонометрична, решавана с тригонометричен кръг и останалото, главно по метода на интервали.

Въпрос: Какво твърдение е методът на интервала, базиран?

Отговор: На теоремата, която твърди, че непрекъсната функция, която не се обръща към нула на някакъв интервал, запазва знака на този интервал.

II. Нека да разгледаме ирационалния тип неравенство\u003e

Въпрос: Възможно ли е да се приложи интервален метод за решаване на него?

Отговор: Да, тъй като функцията y \u003d.- непрекъснато. \\ T D (y).

Решаваме такова неравенство интервал .

Заключение: Ние доста лесно решават това ирационално неравенство чрез интервали, като същевременно се минимизира за решаване на ирационалното уравнение.

Нека се опитаме да решим този метод друго неравенство.

3) f (x)непрекъснат D (f)

4) Функция на нулите:

Дълго търсене D (f).
Трудно е да се изчислят контролните точки.

Възниква въпросът: "Има ли други начини за решаване на това неравенство?".

Очевидно е, че и сега ще се запознаем с тях.

III. Така, предмет днес Урок: "Методи за решаване на ирационални неравенства."

Урокът ще се проведе под формата на лекция, тъй като в учебника няма подробен анализ на всички методи. Ето защо, нашата важна задача: изготвя подробен резюме на тази лекция.

IV. Вече говорихме с първия метод за решаване на ирационални неравенства.

То - интервал , универсален метод за решаване на всички видове неравенства. Но това не винаги води до кратък и прост цел.

В.При решаването на ирационални неравенства, възможно е да се използват същите идеи, както при решаването на ирационални уравнения, но тъй като проста проверка на решенията е невъзможна (в края на краищата, решенията на неравенствата най-често са цели цифрови интервали), е необходимо да се използва предложението.

Предвиждаме схеми за решаване на основните видове ирационални неравенства метод на еквивалентни преходи от едно неравенство към системата на неравенствата.

2. По същия начин се доказва това

Ние пишем тези схеми на опорния съвет. Чрез доказателствата от 3 и 4 вида, мислете у дома, в следващия урок ще ги обсъдим.

VI. Решавам по едно неравенство.

Първоначалното неравенство е еквивалентно на съвкупността на системите.

VII. И има и друг трети метод, който често помага за решаването на сложни ирационални неравенства. Вече говорим за него по отношение на неравенствата с модул. то метод за замяна на функции (подмяна на мултипликатори). Позволете ми да ви напомня, че същността на метода за замяна е, че разликата между стойностите на монотонните функции може да бъде заменена от разликата между техните аргументи.

Разгледайте ирационалното неравенство на типа<,

i.e -< 0.

От теорема, ако p (x) увеличаване на някой интервал, към който принадлежи а. и б., и а.>б., Неравенство p (a) - p (b)\u003e 0 и a - B.\u003e 0 са еквивалентни на D (p), т.е.

VIII.Решавам метода за замяна на неравенството в мултипликатори.

Това означава, че това неравенство е еквивалентно на системата

По този начин видяхме, че използването на мултипликаторния заместващ метод за решаването на неравенството към интервалния метод значително намалява количеството работа.

IX.Сега, когато разглобим трите основни метода за решаване на уравнения, нека да изпълним независима работа Със самостоятелно тест.

Трябва да изпълните следните номера (според учебника AM Mordkovich): 1790 (A) - да решавате метода (а) метод_, за решаване на метода за подмяна на мултипликатора. За решения на ирационални неравенства се предлага методи за използване преди това разглобени в решаването на ирационални уравнения:

подмяна на променливи;
използване на OTZ;
използвайте свойствата на монотонността на функциите.

Изпълнението на изследването на темата е тестът.

Анализ тестова работа Показва:

типични грешки на слабите ученици в допълнение към аритметични и алгебрични - неправилни еквивалентни преходи към системата на неравенство;
методът за подмяна на мултипликатор се използва успешно само от силни студенти.

И т.н. Иванов

Методи за решаване на ирационални неравенства

Cdo и nit srptl

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1ST72.

Съставител и т.н. Иванова

Рецензент: Baisheva m.i.- Кандидат на педагогически науки, доцент

математически анализ на математическия факултет

Институт по математика и информатика Якутск

държавен университет

Методи за решаване на ирационални неравенства: методически ръководство

M 34 за ученици от 9-11 / sost. Иванова TD. от Сантар Сантар Лус

Rs (I): TSDU NIT SRPTL, 2007, - 56 p.

Наръчникът е адресиран до ученици от гимназията на средното училище, както и влизане в университети като методическо ръководство за решаване на ирационални неравенства. Ползите се разглобяват подробно в основните методи за решаване на ирационални неравенства, има примери за решаване на ирационални неравенства с параметри и примери се предлагат за независим разтвор. Учителите могат да използват обезщетения като дидактичен материал За независима работа, с преглед на повторението на тема "Ирационално неравенство".

Ръководството отразява опита на работата на учителя по учене с тема "ирационални неравенства".

Задачите се вземат от материали входни изпити, методически вестници и списания, учебници, чийто списък е показан в края на ръководството

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1ST72.

 Иванова, Sost., 2006.

 Tsdu Nit SRPTL, 2007.

Предговор 5.

Въведение 6.

Раздел I. Примери за решаване на най-простите ирационални неравенства 7

Раздел II.News от тип
\u003e G (x), g (x), g (x) 9

Раздел III. Вижте неравенствата
;
;

;
13

Раздел IV. Неравенство, съдържащи няколко корена от степен 16

Раздел V. Метод за замяна (въвеждане на нова променлива) 20

Раздел VI. Неравенство на формуляра F (x)
0; f (x) 0;

Раздел VII. Вижте неравенствата
25

Раздел VIII. Използване на реализации на експресията за хранене

в ирационални неравенства 26

Раздел IX. Графично решение на ирационалните неравенства 27

Раздел X. Смесен тип неравенство 31

Раздел XI. Използване на свойствата на монотонността на функцията 41

Раздел XII. Метод за замяна на функция 43

Раздел XIII. Примери за директно решения за неравенство

интервали 45.

Раздел XIV. Примери за решаване на ирационални неравенства с параметри 46

Литература 56.

Преглед

Това методическо ръководство е предназначено за ученици от 10-11. Както показва практиката, учениците, кандидатите изпитват специални трудности при решаването на ирационални неравенства. Това се дължи на факта, че в училищната математика този раздел не се счита за достатъчно, не се считат за по-разширени, различни методи за решаване на такива неравенства. Също така, учителите учителите усещат липсата на методологична литература, която се проявява в ограничен брой задачи, показващи различни подходи, методи за решение.

Ръководството разглежда методите за решаване на ирационални неравенства. Иванова TD. В началото на всяка секция аз въвежда учениците с основната идея на метода, след това примерите са показани с обяснения, както и задачи за независим разтвор.

Компилаторът използва най-много "зрелищни" методи за решаване на ирационални неравенства, които се намират при въвеждане по-високо образователни заведения С повишени изисквания към знанията на учениците.

Учениците, запознати с това ръководство, могат да придобият безценен опит и уменията за решаване на сложни ирационални неравенства. Считам, че това ръководство също ще бъде полезно за учителите по математика, работещи в класовете по профил, както и разработчици на избираеми курсове.

Кандидат на педагогически науки, доцент по катедра "Математически анализ на Математическия факултет по математика и информатика на Държавния университет Якут"

Башева М.И.

Предговор

Наръчникът е адресиран до ученици от гимназията на средното училище, както и влизане в университети като методическо ръководство за решаване на ирационални неравенства. Наръчнични подробности Основните методи за решаване на ирационални неравенства се разглобяват подробно, са дадени примерни проби от разтвор на ирационални неравенства, дадени са примери за решаване на ирационални неравенства с параметри и се предлагат примери за независимо решение, някои от тях са кратки отговори и инструкции.

При анализиране на примери, самостоятелно неравенство, се предполага, че ученикът знае как да решава линейни, квадратни и други неравенства, притежава различни методи на решения на неравенствата, по-специално чрез интервали. Предлага се да се решава неравенството по няколко начина.

Учителите могат да използват обезщетения като дидактически материал за независима работа, с преглед на тема "ирационални неравенства".

Ръководството отразява опита на работата на учителя по учене с тема "ирационални неравенства".

Задачите са избрани от материалите на входните изследвания към висшите учебни заведения, методически вестници и списания по математика "първо септември", "математика в училище", "Kvant", уроци, списъкът, който е показан в края на Ръчно.

Въведение

Ирационалното се нарича неравенство, при което променливите или функцията от променливата са включени в коренния знак.

Основният стандартен метод за решаване на ирационални неравенства е последователната ерекция на двете части на неравенството в степента, за да се примери от корена. Но тази операция често води до появата на чужди корени или дори за загуба на корените, т.е. води до неравенство, неравномерно първоначално. Ето защо е необходимо внимателно да се следи равенството на трансформациите и да се вземат предвид само тези стойности на променливата, в която неравенството има смисъл:

ако коренът на една дори степен, експресията за хранене трябва да бъде не отрицателна и стойността на root също е неотрицателно число.

ако коренът на степента е нечетно число, тогава експресията за хранене може да отнеме всеки валиден номер и коренният знак съвпада със знака на кондиционирания израз.

възможно е да се издигне в самостоятелност на част от неравенството, след като преди това е било убедено в тяхната негативност;

изграждането на двете части на неравенството в една и съща често степен винаги е еквивалентно на превръщането.

РазделI.. Примери за решаване на най-простите ирационални неравенства

Примери 1- 6:

Решение:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Намерете най-малката цялостна положителна стойност на X отговарящ на неравенството

13. а) Намерете средата на интервала на неравенството

б) Намерете средноаритметичната средна стойност на всички цели стойности на x, в които неравенството има решение 4

14. Намерете най-малкото отрицателно решение за неравенство

15. а)
;

б)

Раздел II. Неравенство на формуляра\u003e G (x), g (x), \\ t G (x)

По същия начин, както при решаването на примери 1-4, ние твърдим при решаването на неравенствата на посочения вид.

Пример 7. : Решаване на неравенство
> х. + 1

Решение: Owz неравенство: х.-3. За дясната страна има два възможни случая:

но) х. + 10 (дясната страна е не-отрицателна) или б) х. + 1

Помислете за a) ако х. +10, т.е. х. - 1, двете части на неравенството са неотрицателни. Ние изграждаме двете части на квадрат: х. + 3 > Х.+ 2х. + 1. Получаваме квадратно неравенство х.+ х. – 2 х. x - 1, get -1

Помислете b) ако х. +1 x x -3

Комбиниране на казус А) -1 и Б) х.-3, напишете отговора: х.
.

Всички разсъждения при решаване на пример 7 е удобно да се записва така:

Първоначалното неравенство е еквивалентно на съвкупността от системите за неравенство
.

х.

Отговор: .

Разсъждение при решаване на неравенства на формите

1.> г.(х.); 2. г.(х.); 3. г.(х.); 4. г.(х.) Можете да записвате накратко като следните схеми:

I. > г.(х.)

2. г.(х.)

3. г.(х.)

4. г.(х.)
.

Пример 8. :
х.

Решение: Изходното неравенство е еквивалентно на системата

x\u003e 0.

Отговор: Х.
.

Задачи за саморешения:

б)

б)
.

б)

20. а)
Х.

б)

21. а)

В този урок Ще разгледаме решението на ирационалните неравенства, даваме различни примери.

Тема: уравнения и неравенства. Системи за уравнения и неравенства

Урок:Неравномерно неравенство

При решаването на ирационални неравенства често е необходимо да се изграждат и двете части на неравенството в известна степен, това е доста отговорна операция. Отменете черти.

И двете части на неравенството могат да бъдат повдигнати на квадрат, ако и двете не са отрицателни, само след това получаваме вярно неравенство от вярното неравенство.

И двете части на неравенството могат да бъдат издигнати от куба във всеки случай, ако първоначалното неравенство е било правилно, тогава при издирване в куба ще получим вярно неравенство.

Помислете за неравенството на формуляра:

Миналият израз трябва да бъде не отрицателен. Функцията може да предприеме всякакви стойности, необходимо е да се вземат предвид два случая.

В първия случай двете части на неравенствата не са отрицателни, имаме право да изграждаме квадрат. Във втория случай дясната страна е отрицателна и ние нямаме право да издигнем на квадрат. В този случай е необходимо да се разгледа смисълът на неравенството: тук положителният израз (квадратно корен) е по-негативен израз, това означава, че неравенството винаги се извършва.

Така че имаме следната схема на решения:

В първата система ние не защитаваме отделно ръководен израз, тъй като при извършване на второто неравенство на системата, ръководеният израз трябва да бъде автоматично.

Пример 1 - Решаване на неравенство:

Според схемата се обръщаме към еквивалентния набор от две неравенства:

Илюстрираме:

Фиг. 1 - Пример Илюстрация на решението 1

Както виждаме, когато се доставяме от ирационалност, например, когато тя е издигната на квадрат, ние получаваме набор от системи. Понякога този сложен дизайн може да бъде опростен. В получения агрегат имаме правото да опростим първата система и да получим еквивалентен комплект:

Като независимо упражнение е необходимо да се докаже еквивалентността на тези агрегат.

Помислете за неравенството на формуляра:

Подобно на предишното неравенство, разглеждаме два случая:

В първия случай двете части на неравенствата не са отрицателни, имаме право да изграждаме квадрат. Във втория случай дясната страна е отрицателна и ние нямаме право да издигнем на квадрат. В този случай е необходимо да се разгледат смисъла на неравенството: тук положителният израз (квадратен корен) е по-малък от отрицателен израз, което означава, че неравенството е противоречиво. Не разглеждайте втората система.

Имаме еквивалентна система:

Понякога ирационалното неравенство може да бъде решено чрез графичен метод. Този метод е приложим, когато съответните графики могат лесно да бъдат изградени и намират техните точки на пресичане.

Пример 2 - Решаване на неравенства графично:

но)

б)

Първото неравенство, което вече сме решили и знаем отговора.

За да решите неравенствата графично, трябва да изградите графика на функцията в лявата страна и графикът на функцията да стои в дясната част.

Фиг. 2. Функционални графики и

За да изградите графика на функцията, трябва да конвертирате парабола в парабола (отразяване спрямо ос Y), получената крива се измества от 7 единици вдясно. Графикът потвърждава, че тази функция монотонно намалява в областта на дефиницията си.

Графиката на функцията е права, тя е лесна за изграждане. Точка на пресичане с ос Y - (0; -1).

Първата функция монотонно намалява, второто монотонно увеличава. Ако уравнението има корен, тогава е единственият, по график е лесно да го познаете :.

Когато стойността на аргумента е по-малка от корена, Parabola е над права. Когато стойността на аргумента е в диапазона от три до седем, правата линия минава над парабола.

Имаме отговор:

Ефективният метод за решаване на ирационални неравенства е интервален метод.

Пример 3 - Решаване на неравенства от интервали:

но)

б)

съгласно интервалния метод е необходимо временно да се отдалечи от неравенството. За да направите това, прехвърлете всичко в лявата част в дадено неравенство в лявата страна (за да получите правилната нула) и въведете функцията, равна на лявата страна:

сега е необходимо да се изследва получената функция.

Otz:

Вече решихме това уравнение графично, така че не спирате по дефиницията на корена.

Сега е необходимо да се подчертаят интервалите на подравняването и да се определи функцията на функцията на всеки интервал:

Фиг. 3. Резултати от подписване за пример 3

Спомнете си, че да дефинирате знаците на интервала, трябва да направите тестова точка и да я замените на функцията, получената функция ще запази функцията през целия интервал.

Проверете стойността на граничната точка:

Очевидно отговорът:

Разгледайте следния вид неравенство:

Първо напишете otz:

Корените съществуват, те не са отрицателни, двете части могат да бъдат издигнати на квадрат. Получаваме:

Получи еквивалентна система:

Получената система може да бъде опростена. При изпълнение на второто и третото неравенство първото е вярно автоматично. Ние имаме ::

Пример 4 - Решаване на неравенство:

Ние действаме според схемата - получаваме еквивалентна система.

Спазването на поверителността ви е важно за нас. Поради тази причина сме разработили политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата Декларация за поверителност и ни информирайте, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Под лична информация подлежи на данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на определено лице или комуникация с нея.

Можете да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, които можем да съберем и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато оставите приложение на сайта, можем да съберем различни информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Както използваме вашата лична информация:

Събрахме лична информация ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални предложения, промоции и други събития и най-близки събития.
От време на време можем да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни уведомления и съобщения.
Можем също така да използваме персонализирана информация за вътрешни цели, като одит, анализ на данните и различни проучвания, за да подобрим услугите на нашите услуги и да ви предоставим препоръки за нашите услуги.
Ако участвате в наградите, конкуренцията или подобно стимулиращо събитие, можем да използваме информацията, която предоставяте, за да управлявате такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от вас на трети страни.

Изключения:

Ако е необходимо, в съответствие със закона, съдебната заповед, в съдебно производствои / или въз основа на публични запитвания или искания от правителствени агенции На територията на Руската федерация - за разкриване на личната ви информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако определим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, поддържането на право и ред или други социално важни случаи.
В случай на реорганизация, сливания или продажби, можем да предадем личната информация, която събираме съответното на третата страна - наследник.

Защита на личната информация

Ние правим предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за защита на личната ви информация от загуба, кражба и безскрупулна употреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промени и унищожаване.

Спазване на поверителността ви на фирмено ниво

За да се уверите, че вашата лична информация е в безопасност, ние носим нормата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следват изпълнението на мерките за поверителност.

Цели:

Общо образование: За да се систематизира, обобщава, разширява знанията и уменията на учениците, свързани с използването на методи за решаване на неравенства.
Разработване: разработване на ученици със способността да слушате лекция, като я записвате в лаптоп.
Образование: да образуват когнитивна мотивация за изучаването на математиката.

По време на класовете

I. Встъпителен разговор:

Първо, нека си спомним какви видове неравенства знаете как да решавате и какви методи?

Въпрос: Какво твърдение е методът на интервала, базиран?

II. Нека да разгледаме ирационалния тип неравенство\u003e

Въпрос: Възможно ли е да се приложи интервален метод за решаване на него?

Отговор: Да, тъй като функцията y \u003d.- непрекъснато. \\ T D (y).

Решаваме такова неравенство интервал .

Нека се опитаме да решим този метод друго неравенство.

3) f (x)непрекъснат D (f)

4) Функция на нулите:

Дълго търсене D (f).
Трудно е да се изчислят контролните точки.

Възниква въпросът: "Има ли други начини за решаване на това неравенство?".

Очевидно е, че и сега ще се запознаем с тях.

III. Така, предмет днес Урок: "Методи за решаване на ирационални неравенства."

IV. Вече говорихме с първия метод за решаване на ирационални неравенства.

2. По същия начин се доказва това

VI. Решавам по едно неравенство.

Първоначалното неравенство е еквивалентно на съвкупността на системите.

Разгледайте ирационалното неравенство на типа<,

i.e -< 0.

VIII.Решавам метода за замяна на неравенството в мултипликатори.

Това означава, че това неравенство е еквивалентно на системата

IX.Сега, когато разглобим трите основни метода за решаване на уравнения, нека да изпълним независима работа със самостоятелно тест.

подмяна на променливи;
използване на OTZ;
използвайте свойствата на монотонността на функциите.

Изпълнението на изследването на темата е тестът.

Анализ на тестовата работа показва:

типични грешки на слабите ученици в допълнение към аритметични и алгебрични - неправилни еквивалентни преходи към системата на неравенство;
методът за подмяна на мултипликатор се използва успешно само от силни студенти.