Най-малката стойност е производна. Функция

Деривативната функция е една от трудните теми в училищна програма. Не всеки възпитаник ще отговори на въпроса какво е получено.

Тази статия просто говорим за това, което производителят е и за какво се нуждае. Няма да се стремим да се стремим към математическата строгост на презентацията. Най-важното е да се разбере смисъла.

Спомняме си дефиницията:

Производно е скоростта на смяна на функцията.

На снимката - графики от три функции. Какво мислите, че нараства по-бързо?

Отговорът е очевиден - третата. Тя има най-много висока скорост Промени, т.е. най-голямото производно.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матви едновременно си имаха работа. Нека видим как се променят техните доходи през годината:

По график незабавно всичко може да се види, не е ли това? Доходът на костите в продължение на половин година е нараснал повече от два пъти. И приходите на Гриша също са нараснали, но доста малко. И доходът на Матю е намалял до нула. Стартиращите условия са еднакви и скоростта на смяна на функцията, т.е. дериватив- Различен. Що се отнася до Матей - доходът му е отрицателно извлечен.

Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функцията. Но как го правите?

Всъщност, ние разглеждаме колко хладно става графиката на функцията (или надолу). С други думи, колко бързо се променя y с промяна в x. Очевидно, една и съща функция в различни точки може да има разни Производно е, че може да има по-бързо или по-бавно.

Деривативната функция е посочена.

Покажете как да намерите използването на графиката.

Начертана е графика. Вземете точка с абсциса върху нея. Ние рисуваме в този момент допирателна към графичната функция. Искаме да преценим как се охлажда графика на функцията. Удобна стойност за това - тангентен ъгъл на наклона.

Производството на функцията в точката е равно на допирателната на ъгъла на наклона, извършена към графиката на функцията в този момент.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на маркиране на допирател, ние приемаме ъгъл между допирателната и положителна посока на оста.

Понякога учениците попитат какво е допирало към функционалната графика. Това е права линия, която има единствената в тази област. обща точка С график и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към обиколката.

Ние ще намерим. Спомням си, че допирателната на остра ъгъл в правоъгълен триъгълник Тя е равна на отношението на противоположния катач до съседния. От триъгълника:

Намерихме производно с помощта на графика, дори и да знаем функцията за формула. Тези задачи често се срещат в изпита по математика на номера.

Има и друго важно съотношение. Припомнете, че директното се дава от уравнението

Стойността в това уравнение се нарича ъглов коефициент директен. Тя е равна на допирателната на ъгъла на наклона директно към оста.

.

Получаваме това

Спомням си тази формула. Той изразява геометричното значение на деривата.

Производството на функцията в точката е равно на ъгловия коефициент на допиране, извършен към графиката на функцията в този момент.

С други думи, производно е равно на договорен ъгъл на наклона.

Вече казахме, че същата функция в различни точки може да има различно производно. Нека видим как производно е свързано с поведението на функцията.

Начертайте графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава на някои раздели, на други - намалява, с различни скорости. И дори ако тази функция ще има точка на максимален и минимум.

В момента функцията се увеличава. Допирателна към графиката, която се извършва в точката, образува остър ъгъл с положителна посока на ос. Така че, в точката, производно е положително.

В точката, нашата функция намалява. Танер в този момент образува глупав ъгъл с положителна посока на ос. Тъй като допирателната доза ъгъл е отрицателна, производно е отрицателно в точката.

Това се оказва:

Ако функцията се увеличи, нейното производно е положително.

Ако е намалял, производителят му е отрицателен.

И какво ще бъде в точките на максималната и минимума? Виждаме това в точки (максимална точка) и (минимална точка) допирателна хоризонтална. Следователно, допирателният ъгъл на наклона в тези точки е нула, а производно също е нула.

Точка е максимална точка. В този момент нарастващата функция се заменя с низходяща. Следователно, знакът на деривативните промени в точка с "плюс" до "минус".

В точката - точката на минимума - деривата също е нула, но знакът му се променя от "минус" към "плюс".

Заключение: С помощта на дериват, можете да научите за поведението на функцията, която ни интересува.

Ако производно е положително, функцията се увеличава.

Ако производно е отрицателно, функцията намалява.

В точката на максималната, производно е нула и променя знака от "плюс" на "минус".

В точката на минимума, производно също е нула и променя знака от "минус" на "плюс".

Пишем тези заключения под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намаление	точка на минимум	се увеличава
+	0	-	0	+

Ще направим две малки разяснения. Един от тях ще се нуждае от вас при решаването на задачите на употребата. Други - през първата година, с по-сериозно проучване на функции и деривати.

Възможно е случай, когато производителят на функцията в някакъв момент е нула, но няма максимален, няма минимална функция в този момент. Това е така нареченото :

В точка допирателната към графиката на хоризонталата и производно е нула. Въпреки това функцията на функцията се увеличава - и след като точката продължава да се увеличава. Знакът на деривата не се променя - той е положителен и останал.

Също така се случва, че в точката на максимално или минимум дериватив не съществува. На графиката тя съответства на рязко разбиване, когато допирателната е невъзможна в този момент.

И как да намерим производно, ако функцията не е посочена от графика, но по формулата? В този случай се прилага

Този раздел съдържа задачи на EGE По математика по теми, свързани с изследването на функциите и техните деривати.

В демонстрационни варианти EGGE 2020. години те могат да се срещнат на номер 14 за начално ниво и на номер 7 За ниво на профила.

Погледнете внимателно тези три графики на функции.
Забелязахте ли, че тези функции в смисъл "роднини"?
Например, в тези зони, където графиката на зелената функция е разположена над нула, червената функция се увеличава. В тези сайтове, където графиката на зелената функция е под нулата, червената функция намалява.
Подобни коментари могат да бъдат направени по отношение на червените и сините графики.
Можете също да забележите, че нули на зелената функция (точки х. \u003d -1 I. х. \u003d 3) съвпада с точките на екстремусите на червената диаграма: кога х. \u003d -1 на червена графика виждаме местен максимум, с х. \u003d 3 на червения график е местен минимум.
Лесно е да се види, че местните максимуми и минимуми на синята графики са постигнати в същите точки, където червеният график преминава през стойността. y. = 0.
Можете да вземете още няколко заключения за особеностите на поведението на тези графики, защото те наистина са свързани помежду си. Вижте формулите на функциите, разположени под всяка от графиките, и чрез изчисления, уверете се, че всеки предишен е получен за следващите и съответно всеки следващ е един от предварително образованите предишни функции.

φ 1 (х. ) = φ" 2 (х. ) φ 2 (х. ) = Φ 1 (х. )
φ 2 (х. ) = φ" 3 (х. ) φ 3 (х. ) = Φ 2 (х. )

Спомнете си, че знаем за деривата:

Функция y. = е.(х.) В точка х. изразява скоростта на промяна на функцията в точката х..

Дериват за физически смисъл Това е, че производно изразява скоростта на производство на процеса, описан от зависимостта y \u003d f (x).

Геометричен смисъл на деривата Именно, че неговата стойност в разглежданата точка е равна на ъгловия коефициент на тангенциална, проведена на графиката на диференцируемата функция в този момент.

И сега остави червената графика в чертежа да не бъде. Да предположим, че и двете формули са неизвестни за нас.

Мога ли да ви попитам за нещо, свързано с поведението на функцията φ 2 (х. ) Ако е известно, че това е получена функция φ 3 (х. ) и примитивна функция φ 1 (х. )?
Мога. Можете да дадете точен отговор на много въпроси, защото знаем, че производителят е характерно за функцията на промяна на промяната, за да можем да преценим някои от поведението на една от тези функции, като разгледаме графика на другия.

Преди да отговорите на следните въпроси, превъртете нагоре страницата нагоре, така че горният модел, съдържащ червения график, е скрит. Когато отговорите са дадени, върнете го, за да проверите резултата. И само след това вижте моето решение.

ВНИМАНИЕ: За повишаване на учебния ефект отговори и решения Зареждане отделно за всяка задача да натиснете серийно бутоните на жълт фон. (Когато има много задачи, бутоните могат да се появят със закъснение. Ако бутоните изобщо не са видими, проверете дали е разрешено в браузъра ви JavaScript.)

1) Използване на графиката на деривата φ" 2 (х. ) (В нашия случай, това е зелен график), определяйте кои от двете стойности на функцията повече φ 2 (-3) или φ 2 (−2)?

Според графиката на производно, може да се види, че е стриктно положително в раздел [-3; -2], това означава, че функцията в тази област се увеличава само, така че стойността на функцията в левия край х. \u003d -3 по-малко от стойността си в десния край х. = −2.

Отговор: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) използване на основната графика Φ 2 (х. ) (В нашия случай, това е син график), определете коя от двете стойности на функцията повече φ 2 (-1) или φ 2 (4)?

Според графиките е ясно, че точката х. \u003d -1 е в областта на нарастващото, следователно стойността на съответното производно е положителна. Точка х. \u003d 4 се намира на намаляването на площадката и стойността на съответното производно отрицателно. Тъй като положителната стойност е по-отрицателна, заключаваме - стойността на неизвестна функция, която е само производна, в точка 4 по-малка, отколкото в точка -1.

Отговор: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Може да има много такива въпроси относно липсващите графики, които причиняват голямо разнообразие от задачи с кратък отговор, построен според същата схема. Опитайте се да решите някои от тях.

Задачи за определяне на производните на характеристиките на функционалната графика.

Снимка 1.

Фигура 2.

Задача 1.

y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Определете броя на цели числа, при които деривативната функция е положителна.

Деривативната функция е положителна в тези области, където функцията се увеличава. Фигура показва, че тези интервали (-10.5; -7,6), (-1; 8.2) и (15.7, 19). Изброяваме всички точки в рамките на тези интервали: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Общо 15 точки.

Отговор: 15

Коментари.
1. Когато графиките в класациите изискват името "точки", като правило, имаме предвид само стойностите на аргумента х. Кои са абдсценките на съответните точки, разположени на графиката. Органтите на тези точки са стойностите на функцията, те са зависими и могат лесно да бъдат изчислени, ако е необходимо.
2. Когато изброявате точки, ние не взехме предвид ръбовете на интервалите, тъй като функцията в тези точки не се увеличава и не намалява, но "разгръща". Деривата на такива точки не е положителна и не отрицателна, тя е нула, така че те се наричат \u200b\u200bстационарни точки. Освен това не разглеждаме границите на дефиницията тук, защото състоянието се казва, че това е интервалът.

Задача 2.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Определят броя на цели числа, в които произхождащата функция f (х. ) Отрицателен.

Деривативната функция е отрицателна в тези области, в които функцията намалява. Фигура показва, че тези интервали (-7.6; -1) и (8.2; \u200b\u200b15,7). Цели точки в рамките на тези интервали: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Общо 13 точки.

Отговор: 13

Вижте коментарите към предишната задача.

За да решите следните задачи, трябва да си припомните други дефиниции.

Максималните и минималните характеристики се комбинират с общо име - точки на екстремум .

В тези точки, получената функция е нула или не съществува ( необходимо състояние на екстрема).
Въпреки това, необходимото условие е знак, но не и гаранция за съществуването на екстремум функция. Достатъчно условие за екстремум Това е промяна на знака на деривата: ако производно в точката променя знака от "+" до "-", тогава това е точката на максималната функция; Ако деривата на точката променя знака от "-" на "+", тогава това е точката на минимална функция; Ако в точката деривативната функция е нула, или не съществува, но знакът на деривата по време на прехода през тази точка не се променя в обратното, след което определената точка не е крайна точка на функцията. Това може да бъде точка на огъване, точка на прекъсване или точка на прекъсване на функцията на дадена функция.

Задача 3.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете броя на точките, в които функцията допирателната към функцията е успоредна на директното y. \u003d 6 или съвпада с него.

Припомнете си, че прякото уравнение има мнение y. = kX. + б. където к. - коефициент на наклон на това директно към оста Вол.. В нашия случай к. \u003d 0, т.е. прав y. \u003d 6 не се накланя, но успоредно на оста Вол.. Това означава, че желаните допирателни вещества също трябва да бъдат успоредни на оста Вол. И трябва да има и коефициент на наклон 0. Този имот на допирателите притежава в точките на екстремум на функциите. Ето защо, за да отговорите на въпроса, трябва да преброите всички точки на екстремум в графика. Тук те са 4 - две точки на максимални и две точки на минимални.

Отговор: 4

Задача 4.

Функции y. = е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете количеството функции на екстремум точки на сегмента.

На посочения сегмент виждаме 2 точки на екстремум. Максималната функция се постига в точката х. 1 \u003d 4, минимум в точка х. 2 = 8.
х. 1 + х. 2 = 4 + 8 = 12.

Отговор: 12

Задача 5.

Фигура 1 показва графика на графика y. = е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете броя точки, в които произхождащата функция f (х. ) Равен на 0.

Деривативната функция е нула в точките на екстрема, които се виждат на графиката 4:
2 точки за максимален и 2 точки минимум.

Отговор: 4

Задачи за определяне на характеристиките на функцията върху графиката на производителя.

Снимка 1.

Фигура 2.

Задача 6.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). В коя точка е сегментът [-6; 2] функция е. (х. ) отнема най-голяма стойност.

В посочения участък производно не е положителен, следователно функцията не се увеличава. Тя е намаляла или преминава през стационарни точки. По този начин, най-голямата стойност Функцията, достигната в левия сегмент на сегмента: х. = −6.

Отговор: −6

Коментар: Според графиката производно показва, че на сегмента [-6; 2] е нула три пъти: в точки х. = −6, х. = −2, х. \u003d 2. но в точката х. \u003d -2 тя не промени знака, а след това в този момент не може да бъде екстрем функция. Най-вероятно е имало точка на инфлексия на графиката на оригиналната функция.

Задача 7.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). В коя точка на сегмента функцията отнема най-малката стойност.

На сегмента дериватив е строго положителен, затова функцията в тази област току-що се е увеличила. По този начин най-малката функция достигна на лявата граница на сегмента: х. = 3.

Отговор: 3

Задача 8.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете номера на функциите на максималната функция е. (х. ), принадлежащи към сегмента [-5; 10].

Според такава предпоставка Максимална функция на екстремум може би В точки, където производно е нула. На даден сегмент, тези точки: х. = −2, х. = 2, х. = 6, х. \u003d 10. Но според достатъчно състояние, той със сигурностсамо в тези от тях, когато знакът на дериватите се променя с "+" до "-". На графиката на деривата виждаме, че само точката е от изброените точки х. = 6.

Отговор: 1

Задача 9.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете броя на екстремумните точки е. (х. ) принадлежащи към сегмента.

Екстремните функции могат да бъдат в тези точки, където производно е 0. на даден сегмент от графиката, виждаме 5 такива точки: х. = 2, х. = 6, х. = 10, х. = 14, х. \u003d 18. Но в точката х. \u003d 14 Деривата не промени знака, поради което тя трябва да бъде изключена от разглеждане. Така остават 4 точки.

Отговор: 4

Задача 10.

Фигура 1 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определена на интервала (-10,5; 19). Намерете цените на нарастващата функция е. (х. ). В отговор, посочете дължината на най-големите от тях.

Пропуските на нарастващата функция съвпадат с пропуските на деривата на позитивност. Върху графиката виждаме техните три - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Най-дългата от тях е втората. Неговата дължина л. = 12 − 4 = 8.

Отговор: 8

Задача 11.

Фигура 2 показва графика f (х. ) - Извлечена функция е. (х. ), определен на интервала (-11; 23). Намерете броя точки, в които функция е допирателна е. (х. ) Паралелен директен y. = −2х. − 11 или съвпада с него.

Ъгловият коефициент (допирателната на ъгъла на наклона) на посочената директна K \u003d -2. Ние се интересуваме от паралелни или съвпадащи допирателни, т.е. Направо със същия наклон. Въз основа на геометричното значение на производно - ъглов коефициент на тангенциална в разглежданата точка на графиката на функцията, ние превеждаме точки, в които производно е равно на -2. Фигура 2 от тези точки 9. Удобно е да се разчита на кръстовища на графиката и координатна решетка, преминаваща през стойността на -2 на оста Oy..

Отговор: 9

Както можете да видите, един и същ график можете да зададете голямо разнообразие от въпроси относно поведението на функцията и нейното производно. Също така, един въпрос може да се дължи на графиките на различните функции. Бъдете внимателни, когато решавате тази задача на изпита и ще ви изглежда много лесно. Други видове задачи на тази задача - върху геометричния смисъл на примитивния - ще бъдат разгледани в друг раздел.

Сергей Никифоров

Ако производителят на функцията е коригиран на интервала, и самата функция е непрекъсната на нейните граници, граничните точки са свързани както с нарастващите празнини, така и за намаляване на пропуските, които напълно съответстват на определението за увеличаване и намаляване на функциите.

Фриту Ямеев 26.10.2016 18:50

Здравейте. Как (на каква основа) може да се твърди, че в точка, където производно е нула, функцията се увеличава. Дават аргументи. В противен случай това е просто нечия каприз. Какъв вид теорема? Както и доказателства. Благодаря ти.

поддържа

Стойността на производното в точката не се приписва директно на увеличаването на функцията на интервала. Да обмислят например функции - всички те се увеличават на сегмента

Притежател Писарев 02.11.2016 22:21

Ако функцията се увеличава на интервала (a; б) и се дефинира и непрекъснато в точки А и Б, то се увеличава на сегмента. Тези. Точка X \u003d 2 е включена в тази празнина.

Въпреки че, като правило, увеличаването и намаляването се счита за сегмент, а на интервала.

Но в точката x \u003d 2 функцията има местен минимум. И как да обясним на децата, че когато търсят точки на нарастващи (низходящи), тогава точките на местния екстрем не смятат, и в пропуските на нарастващия (низходящ).

Като се има предвид, че първото част от EGE за " средна група детска градина- Тогава вероятно такива нюанси са премахнати.

Отделно, благодаря ви много за "Solid EGE" на всички служители - отлична помощ.

Сергей Никифоров

Може да се получи просто обяснение, ако отблъсквате от дефиницията за увеличаване / намаляване на функцията. Позволете ми да ви напомня, че звучи така: функцията се нарича увеличаване / намаляване в интервала, ако по-големият аргумент на функцията съответства на по-голяма / по-малка функционална стойност. Такава дефиниция не използва концепцията за производна, така че не може да има въпроси относно точките, където производителят не се появи.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добър ден. Тук в коментарите виждам убеждението, че границите трябва да включват. Да предположим, че съм съгласен с това. Но моля, вижте решението ви за задача 7089. Там, когато укажете пропуските в увеличаването на границата, не се включвайте. И засяга отговора. Тези. Решение на задачите 6429 и 7089 противоречат взаимно. Моля, изяснете тази ситуация.

Александър Иванов

В задачите 6429 и 7089 напълно различни въпроси.

В едно професионално увеличаване и в различен интервал с положително производно.

Няма противоречие.

Крайностите са сред пропуските в нарастващите и низходящите, но точките, в които производно е нула, не са включени в интервалите, на които производителят е положителен.

Z. 28.01.2019 19:09

Колегите, има нарастваща концепция в точка

(Например вж. Фихтендлц)

и вашето разбиране за увеличаване в точка X \u003d 2 се противопоставя на класическата дефиниция.

Възходящо и намаление е процесът и бих искал да се придържам към този принцип.

Във всеки интервал, който съдържа точка x \u003d 2, функцията не се увеличава. Следователно, включване тази точка X \u003d 2 процес е специален.

Обикновено, за да се избегне объркване относно включването на края на интервалите, те казват отделно.

Александър Иванов

Функцията Y \u003d F (X) се нарича увеличаване на някой интервал, ако по-голямата стойност на аргумента от тази празнина съответства на по-голямата стойност на функцията.

В точка X \u003d 2 функцията е диференцирана и на интервала (2; 6), производно е положително, това означава на интервала)