Matrix trabaja en vector. Multiplicación de matrices: ejemplos, algoritmo de acciones, propiedades del producto.

Definición 1.

El producto de matrices (C \u003d AB) es una operación solo para matrices A y B coordinadas, en las que el número de columnas de la matriz es tan igual al número de filas de matriz en:

C ⏟ m × n \u003d a ⏟ m × p × b ⏟ p × n

Ejemplo 1.

Dana Matrix:

• A \u003d A (i j) Dimensiones M × N;
• B \u003d b (i j) tamaños p × n

La matriz C, los elementos C I J que se calculan mediante la siguiente fórmula:

c I J \u003d A I 1 × B 1 J + A I 2 × B 2 J +. . . + A I P × B P J, i \u003d 1 ,. . . m, j \u003d 1 ,. . . METRO.

Ejemplo 2.

Calcule las obras de AV \u003d VA:

A \u003d 1 2 1 0 1 2, B \u003d 1 0 0 1 1 1

Solución utilizando la regla de multiplicación de matrices:

A ⏟ 2 × 3 × en ⏟ 3 × 2 \u003d 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 \u003d 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 \u003d 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

En ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 \u003d 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 \u003d 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 \u003d 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3.

Se encuentra el trabajo de un B y B, pero son matrices de diferentes tamaños: y no son iguales a A.

Propiedades de la multiplicación de matrices.

Propiedades de la multiplicación de matrices:

• (A c) c \u003d a (en C) - la multiplicación asociativa de matrices;
• A (B + C) \u003d A B + A C - La distribución de multiplicación;
• (A + C) C \u003d A C + en C - Distribución de la multiplicación;
• λ (a b) \u003d (λ a) en

Ejemplo 1.

Verificamos la propiedad número 1: (a b) C \u003d A (en C):

(A × C) × A \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 50 × 1 0 0 2 \u003d 19 44 43 100,

A (en × c) \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 \u003d 1 2 3 4 4 × 5 12 7 16 \u003d 19 44 43 100.

Ejemplo 2.

Verificamos la propiedad número 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 \u003d 1 2 3 4 4 × 6 6 7 10 \u003d 20 26 46 58,

Y B + y C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58.

Trabajo de tres matrices.

El producto de tres matrices A B C se calcula de 2 maneras:

• encontrar un en y multiplicar en C: (a b) c;
• se encuentra primero en C y luego multiplica a (en C).

Ejemplo 3.

Multiplica la matriz 2 maneras:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritmo de acciones:

• encontrar un producto de 2 matrices;
• luego nuevamente encuentra el producto de 2 matrices.

uno). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) \u003d 2 - 6 - 6 21

2). Y en C \u003d (a c) c \u003d 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 \u003d 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 \u003d 2 0 0 3.

Utilizamos la fórmula A en C \u003d (a b) con:

uno). En C \u003d - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 \u003d - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 \u003d - 10 9 14 - 12

2). Y en c \u003d (a c) c \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) \u003d 2 0 0 3

Respuesta: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 \u003d 2 0 0 3

Multiplicación de la matriz al número.

Definición 2.

El trabajo de la matriz A al número K es la matriz B \u003d a k del mismo tamaño, que se obtiene de la multiplicación inicial a un número dado de todos sus elementos:

b i, j \u003d k × a i, j

Propiedades multiplicación de la matriz por número:

• 1 × a \u003d a
• 0 × a \u003d cero matriz
• k (a + b) \u003d k a + k b
• (k + n) a \u003d k a + n a
• (k × n) × a \u003d k (n × a)

Ejemplo 4.

Encuentre el trabajo de la matriz A \u003d 4 2 9 0 a 5.

5 a \u003d 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 \u003d 20 10 45 0

Multiplicación de la matriz en el vector.

Definición 3.

Para encontrar el trabajo de la matriz y el vector, debe multiplicarse de acuerdo con la regla "Fila a columna":

• si multiplica la matriz al número de columna de vectores de columnas en la matriz, debe coincidir con el número de filas en la columna Vector;
• el resultado de la multiplicación de la columna Vectorial es solo una columna de vectores:

A B \u003d A 11 A 12 ⋯ A 1 N A 21 A 22 ⋯ A 2 N ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ A M 1 A M 2 ⋯ A MNB 1 B 2 ⋯ B 1 N \u003d A 11 × B 1 + A 12 × B 2 + ⋯ + A 1 N × BNA 21 × B 1 + A 22 × B 2 + ⋯ + A 2 N × bn ⋯ ⋯ ⋯ × AM 1 × B 1 + AM 2 × B 2 + ⋯ + amn × bn \u003d c 1 c 2 ⋯ C 1 m

• si multiplica la matriz a la cadena vectorial, entonces la matriz multiplica debe ser una columna excepcional, y el número de columnas debe coincidir con el número de columnas en la línea de vectores:

Y B \u003d A A ⋯ A BB ⋯ B \u003d A 1 × B 1 A 1 × B 2 ⋯ A 1 × BNA 2 × B 1 A 2 × B 2 ⋯ A 2 × Bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ An × b 1 an × B 2 ⋯ An × bn \u003d C 11 C 12 ⋯ C 1 NC 21 C22 ⋯ C 2 N ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ CN 1 CN 2 ⋯ CNN

Ejemplo 5.

Encontramos el trabajo de la matriz A y la columna del vector en:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) \u003d 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 \u003d 10 - 3 - 2

Ejemplo 6.

Encontramos el trabajo de la matriz A y la línea vectorial en:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B \u003d 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 \u003d 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 - 1 1 0 2

Respuesta: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

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En el sistema MATLAB, las operaciones matemáticas en matrices y vectores están suficientemente realizados. Considere las primeras adiciones ordinarias y la multiplicación de matrices y vectores. Deja que se le dan dos versiones

a \u003d; % de cadena vectorial
b \u003d; % de columna vectorial

luego se puede escribir la multiplicación de estos dos vectores.

c \u003d a * b; % C \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d 16
d \u003d b * a; % d - elementos de matriz 5x5

De acuerdo con las operaciones sobre los vectores, la multiplicación de la cadena vectorial en la columna del vector da un número, y la multiplicación de la columna del vector en la línea de vectores proporciona una matriz bidimensional, que es el resultado de cálculos en el ejemplo anterior. , es decir

Además, se escribe la suma y la resta de dos vectores.

a1 \u003d;
a2 \u003d;
c \u003d A1 + A2; % C \u003d;
c \u003d A2-A1; % C \u003d;

Cabe señalar que las operaciones de adición y resta se pueden realizar entre dos vectores de columnas o dos vectores. De lo contrario, Matlab le dará un mensaje de error, porque Los vectores dartales no deben doblarse. Este es el caso de todas las operaciones aritméticas inaceptables: en caso de que la imposibilidad de calcularlas, el sistema MATLAB informará un error y la ejecución del programa se completará en la línea correspondiente.

De manera similar, se realizan operaciones de multiplicación y adiciones entre matrices:

A \u003d;
B \u003d unos (3);
C \u003d a + b; % de adición de dos matrices del mismo tamaño.
D \u003d a + 5; % de adición de la matriz y el número
E \u003d a * b; % multiplicación de la matriz y en
F \u003d b * a; % multiplicación de la matriz en una
G \u003d 5 * a; % multiplicación de la matriz al número

Las operaciones de cálculo de matriz inversa, así como las matrices y los vectores de transposición, están escritos de la siguiente manera:

a \u003d; % de cadena vectorial
b \u003d a '; % de columna vector formada
% Transposición vector cadena a.
A \u003d; % elemento de matriz 3x3
B \u003d a * a; % B \u003d - cadena vectorial
C \u003d a * b; % C \u003d - columna vectorial
D \u003d a * a * a '; % D \u003d 45 - número, la suma de la matriz de correo electrónico A
E \u003d a '; % E - Matriz transpuesta A
F \u003d inv (a); % F - matriz inversa a
G \u003d a ^ -1; % G - matriz inversa a

A partir del ejemplo anterior, se puede ver que el funcionamiento de la transposición de matrices y vectores está indicado por el símbolo '(apóstrofe), que se establece después del nombre del vector o la matriz. El cálculo de la matriz inversa se puede hacer llamando a la función INV () o retire la matriz a -1. El resultado en ambos casos será el mismo, y se realizan dos métodos para calcular para facilitar su uso en la implementación de varios algoritmos.

Si durante el proceso de cálculo es necesario multiplicar lentamente, dividir o erigir elementos de un vector o matriz, entonces para esto, se utilizan operadores:

. * - Multiplicación elemental;
./ y. \\ - Divisiones de elementos;
. ^ - Bono elemental.

Considere la operación de estos operadores en el siguiente ejemplo.

a \u003d; % de cadena vectorial
b \u003d; % de cadena vectorial
c \u003d a. * B; % C \u003d.
A \u003d unos (3); % Matrix 3x3 que consiste en unidades
B \u003d; % Matrix 3x3
C \u003d A. * B; % Matrix 3x3 que consiste en
D \u003d a./b; % Matrix 3x3 que consiste en
E \u003d A. \\ b; % Matrix 3x3 que consiste en
F \u003d A. ^ 2; % Construcción de los elementos de la matriz y cuadrado.

En conclusión de esta sección, considere varias funciones de útiles cuando se trabaja con vectores y matrices.

Para buscar el valor máximo del elemento vectorial, se usa la función MAX () estándar, que devuelve el valor máximo resultante del elemento y su posición (índice):

a \u003d;
\u003d max (a); % v \u003d 6, i \u003d 2;

v \u003d max (a); % v \u003d 6;

El siguiente ejemplo muestra dos formas diferentes de llamar a la función MAX (). En el primer caso, se determina el valor máximo del elemento y su índice en el vector, y en el segundo, solo el valor máximo del elemento.

En el caso de las matrices, esta característica Determina los valores máximos en las columnas como se muestra a continuación en el ejemplo:

A \u003d;
\u003d max (a); % V \u003d, i \u003d
V \u003d max (a); % V \u003d.

La sintaxis completa de la función MAX () se puede encontrar escribiendo el comando en la ventana de comandos MATLAB

ayudar.<название функции>

De manera similar, la función MIN () funciona, que determina el valor mínimo del elemento vectorial o la matriz y su índice.

Otra característica útil de trabajar con matrices y vectores es la función SUM (), que calcula la cantidad de los valores de los elementos del vector o las columnas de la matriz:

a \u003d;
s \u003d suma (a); % s \u003d 3 + 5 + 4 + 2 + 1 \u003d 15
A \u003d;
S1 \u003d suma (a); % S1 \u003d.
S2 \u003d suma (suma (a)); % S2 \u003d 39

Al calcular la suma S2, la suma de los valores de los elementos de la matriz se calcula primero en las columnas, y luego, por línea. Como resultado, la variable S2 contiene la suma de los valores de todos los elementos de la matriz A.

Para ordenar los valores de los elementos del vector o la matriz en ascendente o descendente, la función Sort () se usa de la siguiente manera:

a \u003d;

b1 \u003d Ordenar (A); % B1 \u003d.
b2 \u003d Ordenar (A, 'Descender'); % B2 \u003d.
b3 \u003d ordenar (a, 'ascender'); % B3 \u003d.

para matrices

A \u003d;
B1 \u003d Ordenar (A); % B1 \u003d.
B2 \u003d Ordenar (A, 'Descender'); % B2 \u003d.

Muchas tareas prácticas a menudo necesitan encontrar un determinado elemento en un vector o matriz. Esto se puede realizar utilizando la función Find () estándar, que se asume como un argumento, según el cual se encuentran los elementos requeridos, por ejemplo:

a \u003d;
b1 \u003d encontrar (a \u003d\u003d 2); % B1 \u003d 4 - Índice de elementos 2
b2 \u003d Buscar (A ~ \u003d 2); % B2 \u003d - Índices sin 2
b3 \u003d encontrar (a\u003e 3); % B3 \u003d.

En el ejemplo dado, el carácter '\u003d\u003d' significa verificar la igualdad, y el carácter '~ \u003d' realiza la inspección en la desigualdad de los valores de los elementos del vector a. Más detalles sobre estos operadores se describirán en la sección de operadores condicionales.

Otra característica útil de trabajar con vectores y matrices es la función media () para calcular el promedio valor aritméticoque funciona de la siguiente manera:

a \u003d;
m \u003d significa (a); % m \u003d 3
A \u003d;
M1 \u003d media (a); % M1 \u003d.
M2 \u003d media (media (a)); % M2 \u003d 4.333

Cada vector puede considerarse como una matriz de una sola bala o de una sola línea. La matriz de un solo rollo se llamará una columna de vectores y una matriz de una sola línea, una cadena vectorial.

Si la matriz A de tamaño m * n, entonces la columna vector B tiene un tamaño N, y la cadena vector B tiene el tamaño M.

Por lo tanto, para multiplicar la matriz al vector, debe considerar el vector como una columna de vectores. Al multiplicar el vector en la matriz, debe considerarse como el vector.

Multiplicar la matriz

en vector complejo

Obtenemos el resultado

Como puede ver con la dimensión constante del vector, podemos existir dos soluciones.

Me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que la matriz en la primera y segunda realización, a pesar de los mismos valores, completamente diferentes (tienen diferentes dimensiones)

En el primer caso, el vector se considera como una columna y luego se necesita multiplica matriz en vector, y en el segundo caso, tenemos una cadena vectorial y luego tenemos ilustraciones vectoriales en la matriz.

Este bot se multiplica, incluido el vector y las matrices que tienen valores integrados. Creado sobre la base de una calculadora más completa multiplicación de matrices con valores en línea integrados

Matriz de propiedades de multiplicación en vector

La matriz

Columna de vector

Cadena vectorial

Arbitrario

1. El producto de la matriz en la suma de los vectores de la columna es igual a la cantidad del trabajo de la matriz para cada uno de los vectores

2. El producto de la suma de las filas de la fila en la matriz es igual a la cantidad de vectores en la matriz

3. El multiplicador de vectores comunes se puede sacar del trabajo de la matriz en el vector / vector en la matriz

4. La fabricación de cadenas vectoriales en el trabajo de la matriz y el vector de la columna, igual al producto del trabajo de la cadena vectorial en la matriz y el vector de la columna.

Entonces, en la lección anterior, desmontamos las reglas para la adición y la resta de matrices. Estas son operaciones tan simples que la mayoría de los estudiantes los entienden literalmente con la marcha.

Sin embargo, te regocijas temprano. Freebie está sobrecargado a la multiplicación. Inmediatamente lo advierto: Multiplique dos matrices no multiplicar los números en celdas con las mismas coordenadas, como si pudieras pensar. Todo es mucho más divertido aquí. Y para comenzar con definiciones preliminares.

Matrices consistentes

Una de las características más importantes de la matriz es su tamaño. Ya lo hemos hablado cien veces: el registro $ A \u003d \\ a la izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $ significa que en la matriz exactamente $ M $ Filas y columnas de $ N $. Cómo no confundir las filas con columnas, también hemos discutido. Ahora es importante.

Definición. Las matrices del formulario $ A \u003d \\ IZQUIERDO] $ y $ B \u003d \\ IZQUIERDO] $ y $ B \u003d \\ IZQUIERDOS [N \\ Times K \\ Derecha] $, en la que el número de columnas en la primera matriz coincide con el número de filas en el segundo, se llama coordinada.

Una vez más: ¡el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en el segundo! Desde aquí obtenemos dos salidas a la vez:

1. Somos importantes para el orden de las matrices. Por ejemplo, las matrices $ A \u003d \\ izquierda [3 \\ Times 2 \\ derecha] $ y $ B \u003d \\ \\ \\ a la izquierda [2 \\ veces 5 \\ derecha] $ se acuerdan (2 columnas en la primera matriz y 2 líneas en la segunda) , pero por el contrario, Matrices $ b \u003d \\ izquierda [2 \\ Times 5 \\ derecha] $ y $ A \u003d \\ IZQUIERDA [3 \\ Times 2 \\ derecha] $ - Ya no acordó (5 columnas en la primera matriz - no es 3 líneas en el segundo).
2. La consistencia es fácil de verificar si escribe todos los tamaños después de la otra. En el ejemplo del párrafo anterior: "3 2 2 5" - en el medio los mismos números, por lo que se acuerdan las matrices. Pero "2 5 3 2", no acordado, ya que en el medio hay números diferentes.

Además, el capitán es obvio, ya que se agota que las matrices cuadradas de la misma cantidad de $ \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $ son siempre consistentes.

En matemáticas, cuando el procedimiento para transferir objetos es importante (por ejemplo, en la definición anterior, el procedimiento para las matrices es importante), a menudo hablan de pares ordenados. Nos reunimos con ellos en la escuela: creo que también está claro que las coordenadas de $ \\ se fueron (1; 0 \\ derecha) $ y $ \\ izquierda (0; 1 \\ derecha) $ establece diferentes puntos en el plano.

Entonces,: las coordenadas también se ordenan pares que se compilan de los números. Pero nada evita que un par de matrices. Luego se puede decir: "Un par ordenado de $ \\ Matrims izquierdos (A; B \\ Derecha) $ es consistente si el número de columnas en la primera matriz coincide con el número de filas en el segundo".

Bueno, ¿y qué?

Definición de multiplicación

Considere dos matrices consistentes: $ A \u003d \\ IZQUIERDA [M \\ Times N \\ Derecha] $ y $ B \u003d \\ \\ \\ ose [n \\ Time K \\ Derecha] $. Y definimos una operación de multiplicación para ellos.

Definición. El producto de dos matrices consistentes $ A \u003d \\ a la izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $ y $ B \u003d \\ \\ \\ \\ \\ n \\ veces k \\ derecha] $ es una nueva matriz $ c \u003d \\ izquierda [M \\ Times K \\ Derecha] $ cuyos elementos son considerados por la fórmula:

\\ [\\ Comenzar (alinear) & ((C) _ (I; J)) \u003d ((a) _ (i; 1)) \\ CDOT ((B) _ (1; J)) + ((a) _ (I; 2)) \\ CDOT ((B) _ (2; J)) + \\ ldots + ((a) _ (i; n)) \\ CDOT ((B) _ (n; j)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sum \\ limits_ (t \u003d 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) \\ CDOT (((B) _ (T; J))) \\ FIN (ALIGN) \\]

El estándar es estándar: $ C \u003d A \\ CDOT B $.

Para aquellos que primero ve esta definición, surgen dos preguntas:

1. ¿Qué es esto solo para jugar?
2. ¿Por qué es tan dificil?

Bueno, sobre todo en orden. Empecemos con la primera pregunta. ¿Qué significan todos estos índices? ¿Y cómo no cometer un error al trabajar con matrices reales?

En primer lugar, notamos que la línea larga para calcular $ ((C) _ (i; j)) $ (Ponga específicamente un punto con una coma entre los índices, para no confundirse, pero en absoluto no es Necesario para ponerlos, yo mismo herido la fórmula en definición) en realidad se reduce a una regla simple:

1. Tomamos una línea de $ I $ -un en la primera matriz;
2. Tomamos una columna de $ j $ -A en la segunda matriz;
3. Obtenemos dos secuencias de números. Alterne los elementos de estas secuencias con los mismos números, y luego pliegue las obras obtenidas.

Este proceso es fácil de entender imágenes:

Diagrama de multiplicación de dos matrices.

Una vez más: fijo la línea $ i $ en la primera matriz, la columna $ J $ en la segunda matriz, gire los elementos con los mismos números, y luego los trabajos obtenidos están plegados: obtenemos $ ((C) _ ( ij)) $. Y así, por todos los $ 1 \\ le i \\ le m $ y $ 1 \\ le j \\ le k $. Esos. Habrá un total de $ M \\ veces K $ de tales "perversiones".

De hecho, ya hemos cumplido con la multiplicación de matrices en programa escolar, solo en una forma fuertemente recortada. Deja que el vector:

\\ [\\ comienzan (align) \\ Vec (A) \u003d \\ Izquierda ((((((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \\ derecha); \\\\ \\ Suckordperrow (B) \u003d \\ Izquierda ((((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \\ \u200b\u200bDerecha). \\\\ \\ End (Align) \\]

Luego, su trabajo escalar será la cantidad de obras de pares:

\\ [\\ scroplightwarrow (A) \\ Times \\ Sobrevalorrow (B) \u003d ((X) _ (a)) \\ CDOT ((X) _ (B)) + ((y) _ (a)) \\ CDOT ((Y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \\ CDOT ((Z) _ (B)) \\]

De hecho, en esos años distantes, cuando los árboles eran verdes, y el cielo es más brillante, simplemente nos multiplicamos por la cadena de vectores de $ \\ ROURPARROW en el vector de columna de $ \\ sbouright (b) $.

Hoy nada ha cambiado. Ahora, ahora estas filas y columnas se han vuelto más.

¡Pero suficiente teoría! Veamos los ejemplos reales. Y comenzar desde los matrices cuadrados más simples.

Multiplicando las matrices cuadradas

Tarea 1. Realizar multiplicación:

\\ [\\ Izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (r)) 1 y 2 \\\\--3 & 4 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEART (Array) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Decisión. Entonces, tenemos dos matrices: $ A \u003d \\ IZQUIERDA [2 \\ Times 2 \\ derecha] $ y $ B \u003d \\ IZQUIERDA [2 \\ Times 2 \\ derecha] $. Está claro que se acuerdan (las matrices cuadradas del mismo tamaño son siempre consistentes). Por lo tanto, realizamos la multiplicación:

\\ [\\ Comience (alinee) & \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (r)) 1 y 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEGE (Array) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [\\ BEART (Array) (* (35) (R)) 1 \\ CDOT \\ Izquierda (-2 \\ derecha) +2 \\ CDOT 3 & 1 \\ CDOT 4 + 2 \\ CDOT 1 \\\\ -3 \\ CDOT \\ izquierda (-2 \\ derecha) +4 \\ CDOT 3 & -3 \\ CDOT 4 + 4 \\ CDOT 1 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ \\ \\ \\ \\ comience (matriz) (* (35) (R)) 4 y 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ Fin ( Matriz) \\ derecha]. \\ End (align) \\]

¡Eso es todo!

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) 4 y 6 \\\\ 8 & -8 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] $.

Tarea 2. Realizar multiplicación:

\\ [\\ Izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 3 \\\\ 2 y 6 \\\\\\ final (matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) 9 y 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Decisión. De nuevo, las matrices acordadas, así que realizan acciones: \\ [\\]

\\ [\\ Comience (alinee) \\ izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 3 \\\\ 2 & 6 \\\\ 2 & 6 \\\\ FIN (MATRIX) \\ derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEART (Array) (* (35) (R) ) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ FIN (Array) \\ derecha] \u003d \\ IZQUIERDA A LA IZQUIERDA [\\ COMIENZA (matriz) (* (35) (R)) 1 \\ CDOT 9 + 3 \\ CDOT \\ IZQUIERDA ( -3 \\ Derecha) y 1 \\ CDOT 6 + 3 \\ CDOT \\ izquierda (-2 \\ derecha) \\\\ 2 \\ CDOT 9 + 6 \\ CDOT \\ Izquierda (-3 \\ derecha) y 2 \\ CDOT 6 + 6 \\ CDOT \\ Izquierda (-2 \\ Derecha) \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ IZQUIERDA [\\ BEGE (MATRIX) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha]. \\ End (align) \\]

Como vemos, resultó la matriz llena de ceros.

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) 0 y 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ Fin (Matrix) \\ derecha] $.

A partir de los ejemplos anteriores, es obvio que la multiplicación de matrices no es una operación tan difícil. Al menos para las matrices cuadradas de tamaño 2 por 2.

En el proceso de cálculos, constituimos una matriz intermedia, donde se pintó directamente, qué números incluían en una u otra celda. Así es como se debe hacer al resolver estas tareas.

Las principales propiedades de la matriz.

En una palabra. Multiplicación de matriz:

1. No-comercial: $ A \\ CDOT B \\ NE B \\ CDOT A $ en el caso general. Hay, por supuesto, las matrices especiales para las cuales la igualdad es $ A \\ CDOT B \u003d B \\ CDOT A $ (por ejemplo, si $ b \u003d e $ es una matriz individual), pero en la mayoría de los casos no funciona;
2. Asociativa: $ \\ izquierda (A \\ CDOT B \\ Derecha) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT \\ Izquierda (B \\ CDOT C \\ Derecha) $. Aquí sin opciones: de pie junto a las matrices se puede multiplicar, no sobreviviendo para la siguiente y la derecha de estas dos matrices.
3. DISTRIBUCIÓN: $ A \\ CDOT \\ izquierda (B + C \\ Derecha) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C $ y $ \\ izquierda (A + B \\ Derecha) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C $ (Debido a la falta de comercialización, el trabajo tiene que prescribir separadamente la distribución a la derecha e izquierda.

Y ahora, de todos modos, pero con más detalle.

La multiplicación de matrices está recordando en gran medida la multiplicación clásica de los números. Pero hay diferencias, las más importantes de las cuales es que multiplicación de matrices, en términos generales, no comercial..

Considere una vez más las matrices de la tarea 1. Ya conocemos su trabajo directo:

\\ [\\ Izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (r)) 1 y 2 \\\\--3 & 4 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEART (Array) (* (35) (R)) -2 y 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \u003d \\ IZQUIERDA \\ \\ BEGE (Array) (* (35) (R)) 4 y 6 \\\\ 18 y -8 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \\]

Pero si cambia las matrices en algunos lugares, obtendremos un resultado completamente diferente:

\\ [\\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ CDOT \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* ( 35) (R)) 1 y 2 \\\\ -3 y 4 \\\\-FIN (Array) \\ Derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [\\ BEART (MATRIX) -14 & 4 \\\\ 0 y 10 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ DERECHO] \\]

Resulta que $ A \\ CDOT B \\ NE B \\ CDOT A $. Además, la operación de multiplicación se define solo para las matrices coordinadas $ A \u003d \\ a la izquierda [M \\ Times N \\ Derecha] $ y $ B \u003d \\ \\ \\ le izquierda [n \\ Time K \\ Derecha] $, pero nadie garantizado que permanecerán De acuerdo, si los cambian en lugares. Por ejemplo, $ \\ Matrices izquierdas [2 \\ Times 3 \\ derecha] $ y $ \\ izquierda [3 \\ Times 5 \\ derecha] $ son bastante consistentes en el orden especificado, pero las mismas matrices $ \\ se fueron [3 \\ Times 5 \\ La derecha] $ y $ \\ izquierda [2 \\ Times 3 \\ derecha] $ Grabado en orden inverso ya no están de acuerdo. Tristeza. :(

Entre las matrices cuadradas tamaño especificado $ n $ siempre encontrará tal que dé el mismo resultado cuando se multiplique en orden directo y en orden inverso. Cómo describir todas las matrices similares (y cuánto en general) es el tema para una lección separada. Hoy no vamos a hablar de eso. :)

Sin embargo, la multiplicación de matrices es asociativa:

\\ [\\ IZQUIERDO) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT \\ Izquierda (B \\ CDOT C \\ derecha) \\]

Por lo tanto, cuando necesite multiplicar varias matrices seguidas a la vez, es bastante necesario hacerlo con una pendiente: es muy posible que algunas matrices de pie cercanas dan un resultado interesante. Por ejemplo, una matriz cero, como en la tarea 2, discutida anteriormente.

En tareas reales, con mayor frecuencia tiene que multiplicar las matrices cuadradas del tamaño de $ \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $. El conjunto de todos estos matrices se denota por $ ((m) ^ (n)) $ (es decir, registra $ A \u003d \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $ y \\ significa lo mismo), y será necesario En IT Matrix $ E $, que se llama soltero.

Definición. La matriz individual de la cantidad de $ n $ es una matriz de $ E que para cualquier matriz cuadrada $ A \u003d \\ izquierda [n \\ veces n \\ derecha] $ se realiza por igualdad:

Dicha matriz siempre se ve igualmente: en la diagonal principal hay unidades, y en todas las demás células - ceros.

\\ [\\ comience (align) y un \\ cdot \\ izquierdo (B + C \\ Derecho) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C; \\\\ & \\ Izquierda (A + B \\ Derecha) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C. \\\\ \\ FIN (ALIGN) \\]

En otras palabras, si necesita multiplicar una matriz por la suma de los otros dos, puede multiplicarlo a cada uno de estos "dos otros" y luego doblar los resultados. En la práctica, generalmente es necesario realizar una operación inversa: notamos la misma matriz, lo llevamos a cabo para el soporte, realizamos una adición y, por lo tanto, simplificamos su vida. :)

Nota: Para describir la distribución, tuvimos que registrar dos fórmulas: donde la cantidad está en el segundo multiplicador y donde la cantidad está en la primera. Esto está sucediendo debido al hecho de que la multiplicación de las matrices es no comercial (y en general, en un álgebra no conmutativa, muchas bromas, que, cuando se trabajan con números ordinarios, ni siquiera vengan a la mente). Y si, digamos, deberá escribir esta propiedad en el examen, entonces definitivamente escribirá ambas fórmulas, de lo contrario, el maestro puede enojarse un poco.

De acuerdo, todos estos fueron cuentos de hadas sobre matrices cuadradas. ¿Qué pasa con el rectangular?

Caso de matrices rectangulares.

Y nada es lo mismo que con la Plaza.

Tarea 3. Realizar la multiplicación:

\\ [\\ Izquierda [\\ comience (matriz) \\ comience (matriz) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ final (matriz) & \\ comience (matriz) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ \\ \\ End (Matrix) \\ derecha] \\ CDOT \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) -2 y 5 \\\\ 3 y 4 \\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \\]

Decisión. Tenemos dos matrices: $ A \u003d \\ IZQUIERDA [3 \\ Times 2 \\ Derecha] $ y $ B \u003d \\ IZQUIERDA [2 \\ Times 2 \\ derecha] $. Bebimos números que denotan dimensiones seguidas:

Como puedes ver, los dos números centrales coinciden. Entonces, las matrices están de acuerdo, y pueden multiplicarse. Y en la salida, obtenemos la matriz $ C \u003d \\ izquierda [3 \\ Times 2 \\ derecha] $:

\\ [\\ Comienzan (alinee) \\ izquierda [\\ comience (matriz) \\ comience (matriz) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ final (matriz) & \\ comience (matriz) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ \\ final (Matriz) \\\\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEART (Array) (* (35) (R)) -2 y 5 \\\\ 3 & 4 \\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \u003d \\ izquierda [\\ comienzan (matriz) (* (35) (R)) 5 \\ CDOT \\ a la izquierda (-2 \\ derecha) +4 \\ CDOT 3 & 5 \\ CDOT 5 + 4 \\ CDOT 4 \\\\ 2 \\ CDOT \\ Izquierda (-2 \\ derecha) +5 \\ CDOT 3 & 2 \\ CDOT 5 + 5 \\ CDOT 4 \\\\ 3 \\ CDOT \\ izquierda (-2 \\ derecha) +1 \\ CDOT 3 & 3 \\ CDOT 5 + 1 \\ CDOT 4 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ \\ \\\\ \\ Begin (Array) (* (35) (R)) 2 y 41 \\\\ 11 y 30 \\\\ -3 & 19 \\ \\\\ Fin (Array) \\ Derecha]. \\ End (align) \\]

Todo está claro: en la matriz final de 3 líneas y 2 columnas. Es bastante $ \u003d \\ a la izquierda [3 \\ Times 2 \\ derecha] $.

Respuesta: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) \\ begin (Array) (* (35) (R)) 2 \\\\ 11 \\\\ - 3 \\\\ Fin (Array) y \\ Comenzar (matriz) 41 \\\\ 30 \\\\ 19 \\\\ FIN (MATRIX) \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] $.

Ahora considera uno de los mejores. tareas de entrenamiento Para aquellos que están empezando a trabajar con matrices. En ella, es necesario no simplemente multiplicar algunos dos signos, ¡pero primero determine si esigna dicha multiplicación?

Tarea 4. Encuentra todos los pares posibles de matrices:

\\\\]; $ B \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) \\ begin (Matrix) 0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ End (Matrix) \\ begin (Matrix) 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\ \\\\ FIN (MATRIX) \\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha] $; $ C \u003d \\ izquierda [\\ comience (matriz) 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ Fin (Matrix) \\ derecha] $.

Decisión. Para empezar, escriba las dimensiones de las matrices:

\\; \\ B \u003d \\ \\ \\ \\ 4 \\ veces 2 \\ derecha]; \\ c \u003d \\ izquierda [2 \\ veces 2 \\ derecha] \\]

Obtenemos que la matriz de $ A $ solo se puede coordinar con una matriz de $ b $, ya que el número de columnas en $ A $ es 4, y una cantidad de filas es de solo $ B $. Por lo tanto, podemos encontrar un trabajo:

\\\\ CDOT \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) 0 y 1 \\\\ 2 y 0 \\\\ 0 y 3 \\\\ 4 & 0 \\\\\\ Fin (Array) \\ derecha] \u003d \\ Izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) - 10 y 7 \\\\ 10 y 7 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Propongo los pasos intermedios para ejecutar el lector por su cuenta. Solo anoté que el tamaño de la matriz resultante es mejor para determinar de antemano, incluso antes de cualquier cálculo:

\\\\ CDOT \\ izquierda [4 \\ Times 2 \\ derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [2 \\ Times 2 \\ derecha] \\]

En otras palabras, simplemente eliminamos los coeficientes de "tránsito" que aseguraron la consistencia de las matrices.

¿Qué otras opciones son posibles? Por supuesto, se pueden encontrar $ B \\ Cdot un $, ya que $ b \u003d \\ left $, $ a \u003d \\ left [2 \\ times 4 \\ Derecha] $, por lo que ordenó a vapor de $ \\ left [4 \\ times 2 \\ Derecha] (b; A \\ derecho) $ es consistente, y la dimensión de los trabajos será:

\\\\ CDOT \\ izquierda [2 \\ Times 4 \\ derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [4 \\ Times 4 \\ derecha] \\]

En resumen, en la salida habrá una matriz de $ \\ izquierda [4 \\ Times 4 \\ derecha] $, cuyos coeficientes se consideran fácilmente:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (Array) (* (35) (R)) 1 y -1 y 2 y -2 \\\\ 1 y 1 y 2 y 2 \\\\ End (Array) \\ Derecha] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 y 1 y 2 y 2 \\\\ 2 y 3 y 6 y 6 \\\\ 4 y -4 y 6 y 6 \\\\ 4 y -4 y 8 y -8 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \\]

Obviamente, puede estar de acuerdo con otro $ C \\ CDOT A $ y $ B \\ CDOT C $, y eso es todo. Por lo tanto, simplemente escribimos las obras obtenidas:

Fue fácil.:)

Respuesta: $ ab \u003d \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) -10 y 7 \\\\ 10 y 7 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] $; $ Ba \u003d \\ left [\\ begin (Array) (* (35) (R)) 1 y 1 y 2 y 2 \\\\ 2 y 3 y 4 y 6 \\\\ 2 y 3 y 6 y 6 \\\\ 4 4 y -4 y 8 & -8 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] $; $ Ca \u003d \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) 1 y 1 y 2 y 2 \\\\ 1 & -1 y 2 & -2 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] $; $ Bc \u003d \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) 1 y 0 \\\\ 0 y 2 \\\\ 3 y 0 \\\\ 0 y 4 \\\\ Fin (Array) \\ Derecha] $.

En general, recomiendo encarecidamente realizar esta tarea usted mismo. Y una tarea más similar que está en tarea. Este simple pensamiento le ayudará a resolver todas las etapas clave de la multiplicación de matrices.

Pero en esta historia no termina. Ir a casos especiales de multiplicación. :)

Cuerdas de vector y columnas vectoriales

Una de las operaciones de la matriz más comunes es la multiplicación en una matriz en la que una línea o una columna.

Definición. La columna del vector es una matriz del tamaño de $ \\ izquierda [M \\ Times 1 \\ derecha] $, es decir. Consta de varias líneas y solo una columna.

La cadena vectorial es una matriz de $ \\ izquierda [1 \\ Times n \\ derecha] $, es decir. Consta de una fila y varias columnas.

De hecho, ya nos hemos reunido con estos objetos. Por ejemplo, el vector tridimensional habitual de la estereometría $ \\ Sobrevalorrow (A) \u003d \\ \\ \\ Derecho (x; y; z \\ derecha) $ no es más que una cadena vectorial. Desde el punto de vista de la teoría de la diferencia entre filas y columnas, casi no hay. Es necesario estar atento a ser acordado con los factores de las matrices circundantes.

Tarea 5. Realizar multiplicación:

\\ [\\ Left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 2 y -1 y 3 \\\\ 4 y 2 y 0 \\\\ -1 y 1 y 1 \\\\ End (Array) \\ Derecha] \\ CDOT \\ IZQUIERDA [\\ BEGIN (Array) (* (35) (R)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Decisión. Antes de nosotros, el trabajo de matrices acordadas: $ \\ \\ a la izquierda [3 \\ veces 3 \\ derecha] \\ CDOT \\ izquierda [3 \\ Times 1 \\ derecha] \u003d \\ Izquierda [3 \\ Times 1 \\ Derecha] $. Encuentra este trabajo:

\\ [\\ Left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 2 y -1 y 3 \\\\ 4 y 2 y 0 \\\\ -1 y 1 y 1 \\\\ End (Array) \\ Derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ End (array) \\ derecha] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 2 \\ cdot 1+ \\ left (-1 \\ derecha) \\ cdot 2 + 3 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\ 4 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 2 \\ \\ -1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 2 + 1 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\\\ End (array) \\ derecha] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) -3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) (* (35) (R)) - 3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ final (matriz) \\ derecha] $.

Tarea 6. Realizar multiplicación:

\\ [\\ Left [\\ begin (Array) (* (35) (R)) 1 y 2 y -3 \\\\ Fin (Matriz) \\ Derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Array) (* (35) ( r)) 3 y 1 y -1 \\\\ 4 y 6 y 0 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Decisión. Nuevamente, todo es consistente: $ \\ a la izquierda [1 \\ Times 3 \\ derecha] \\ CDOT \\ izquierda [3 \\ Times 3 \\ derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [1 \\ Times 3 \\ derecha] $. Consideramos el trabajo:

\\ [\\ Left [\\ begin (Array) (* (35) (R)) 1 y 2 y -3 \\\\ Fin (Matriz) \\ Derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Array) (* (35) ( R)) 3 y 1 y -1 \\\\ 4 y -1 y 3 \\\\ 2 y 6 y 0 \\\\ End (array) \\ derecha] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R) ) 5 & -19 y 5 \\\\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\]

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) 5 & -19 y 5 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha] $.

Como puede ver, cuando multiplica una cadena de vectores y una columna de vectores en una matriz cuadrada en la salida, siempre obtendremos una cadena o columna del mismo tamaño. Este hecho tiene muchas aplicaciones, desde la resolución. ecuaciones lineales Antes de todo tipo de transformaciones de coordenadas (que al final, también reducen los sistemas de ecuaciones, pero no seamos tristes).

Creo que todo era obvio aquí. Ir a la parte final de la lección de hoy.

Construcción de la matriz hasta el grado.

Entre todas las operaciones se multiplican cierta atención, se eleva hasta cierto punto, esto es cuando multiplicamos el mismo objeto en sí mismos varias veces. Las matrices no son una excepción, también se pueden erigir a diversos grados.

Tales obras siempre están de acuerdo:

\\\\ CDOT \\ IZQUIERDA [N \\ Times N \\ Derecha] \u003d \\ IZQUIERDA [N \\ Times N \\ Derecha] \\]

E indique exactamente lo mismo que los grados habituales:

\\ [\\ comience (align) y A \\ cdot a \u003d ((a) ^ (2)); \\\\ & A \\ CDOT A \\ CDOT A \u003d ((A) ^ (3)); \\\\ \\ Subbrace (A \\ CDOT A \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT A) _ (N) \u003d ((a) ^ (n)). \\\\ \\ End (Align) \\]

A primera vista, todo es simple. Veamos cómo se ve en la práctica:

Tarea 7. Edugar la matriz al grado especificado:

$ ((\\ \\ A la izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ final (matriz) \\ derecha]) ^ (3)) $

Decisión. Bueno, vamos a erigir. Primero, erene en un cuadrado:

\\ [\\ Begin (Alinear) y ((\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (2)) \u003d \\ left [\\ begin (Matrix ) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ y \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 y 1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\ 0 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 y 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\\\ Fin (matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 y 2 \\\\ 0 & 1 \\ \\\\ End (Array) \\ Derecha] \\ End (Align) \\]

\\ [\\ Begin (Alinear) y ((\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (3)) \u003d ((\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (3)) \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matrix ) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 y 2 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Fin (matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 1 y 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Fin (Array) \\ Derecha] \\ End (Align) \\]

Eso es todo.:)

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ FIN (MATRIX) \\ derecha] $.

Tarea 8. Edugar la matriz al grado especificado:

\\ [((\\ \\ A la izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 1 \\\\ 0 y 1 \\\\ FIN (MATRIX) \\ derecha]) ^ (10)) \\]

Decisión. Pero no es necesario llorar al hecho de que el "grado es demasiado grande", "el mundo no es justo" y "las enseñanzas se perdieron completamente". De hecho, todo es fácil:

\\ [\\ Comenzar (alinear) & ((\\ \\ a la izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ fin (matrix) \\ derecha]) ^ (10)) \u003d ((\\ \\ izquierda [\\ comience (MATRIX) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ FIN (MATRIX) \\ derecha]) ^ (3)) \\ CDOT ((\\ \\ a la izquierda [\\ comience (matriz) 1 & 1 \\\\ 0 y 1 \\\\\\ fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ final (Matriz) \\ derecha]) ^ (3)) \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left (\\ left [\\ begin (Matrix) 1 y 3 \\\\ 0 & 1 \\ \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 y 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \\ derecho) \\ cdot \\ left (\\ left [\\ begin ( matriz) 1 y 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (matriz) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (matriz) \\ derecha] \\ derecho) \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) 1 y 6 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 1 y 4 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) 1 y 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ final (Matriz) \\ derecha] \\ extremo (Alinear) \\]

Nota: En la segunda línea, utilizamos la asociativa de multiplicación. En realidad, lo usamos en la tarea anterior, pero ahí estaba implícitamente.

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) 1 y 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha] $.

Como puede ver, nada complicado en la construcción de la matriz hasta el grado. El último ejemplo se puede generalizar:

\\ [((\\ Left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (n)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) ( R)) 1 & n \\\\ 0 y 1 \\\\\\ final (matriz) \\ derecha] \\]

Este hecho es fácil de probar a través de la inducción matemática o la multiplicación directa. Sin embargo, no siempre cuando el grado puede ser capturado por tales patrones. Por lo tanto, estar atento: a menudo se multiplican varias matrices "Stroy" resulta ser más fácil y más rápida que buscar algunos patrones regulares.

En general, no busques el significado más alto donde no lo es. En conclusión, considere la construcción de una matriz más grande, alternativamente $ \\ izquierda [3 \\ Times 3 \\ derecha] $.

Tarea 9. Edugar la matriz al grado especificado:

\\ [(\\ Izquierda [\\ comience (matriz) 0 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Fin (Matrix) \\ derecha]) ^ (3)) \\]

Decisión. No buscará regularidades. Trabajamos "Stroy":

\\ [((\\ Left [\\ begin (Matrix) 0 & 1 y 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 y 1 y 0 \\\\ END (MATRIX) \\ right]) ^ (3)) \u003d ((\\ izquierda [\\ begin (Matrix) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ (2)) \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix ) 0 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Fin (Matrix) \\ Derecha] \\]

Para empezar, erige esta matriz en la plaza:

\\ [\\ Begin (Alinear) y ((\\ left [\\ begin (Matrix) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecha]) ^ ( 2)) \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matriz) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R) ) 2 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 1 \\\\ 1 y 1 y 2 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ End (Align) \\]

Ahora erigido en el cubo:

\\ [\\ Comenzar (alinear) & ((\\ IZQUIERDA [\\ CINGE (MATRIX) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ Fin (Matrix) \\ derecha]) ^ ( 3)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 2 y 1 y 1 \\\\ 1 y 2 y 1 \\\\ 1 y 1 y 2 \\\\ End (array) \\ derecha] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 0 y 1 & 1 \\\\ 1 y 0 y 1 \\\\ 1 & 1 y 0 \\\\ Fin (Matriz) \\ derecha] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (R)) 2 y 3 y 3 \\\\ 3 y 2 y 3 \\\\ 3 y 3 y 2 \\\\ FIN (Array) \\ Derecha] \\ FIN (Align) \\]

Eso es todo. La tarea se resuelve.

Respuesta: $ \\ izquierda [\\ comience (matriz) 2 y 3 y 3 \\\\ 3 y 2 y 3 \\\\ 3 y 3 y 2 \\\\ FIN (MATRIX) \\ Derecha] $.

Como puede ver, el volumen de la computación se ha vuelto más, pero el significado de esto no cambió de esto. :)

En esta lección se puede completar. La próxima vez veremos la operación inversa: de acuerdo con el trabajo existente, buscaremos los factores originales.

Como ya probablemente lo adivinas, será sobre matriz inverso y métodos de su ubicación.

Conferencia 6. Algoritmos numéricos paralelos para resolver problemas típicos de las matemáticas informáticas: multiplicación de matrices.

Multiplicación de la matriz al vector. Lograr la máxima velocidad posible. Utilizando el paralelismo del nivel medio. Organización de cálculos paralelos para p \u003d n. El uso de un conjunto limitado de procesadores. Multiplicación de matriz. Análisis de la macroeración de los algoritmos de resolución de problemas. Organización del paralelismo basado en la separación de datos.

Multiplicación de la matriz en el vector.

El problema de la multiplicación de la matriz al vector está determinada por las proporciones.

Por lo tanto, lo que resulta el vector resultante implica repetir el mismo tipo de operaciones para multiplicar las filas de matriz y el vector. La obtención de cada operación de este tipo incluye la multiplicación de elementos de los elementos de la cadena de la matriz y el vector y la suma posterior de los productos obtenidos. El número total de operaciones escalares requeridas se estima mediante la magnitud

Como se sigue de la acción realizada para multiplicar la matriz y el vector, los métodos paralelos para resolver el problema se pueden obtener sobre la base de algoritmos de suma paralela (véase el párrafo 4.1). En esta sección, el análisis de los métodos de paralelización se complementará con la consideración de la organización de la computación paralela, dependiendo de la cantidad de procesadores disponibles para su uso. Además, en el ejemplo del problema de la multiplicación de la matriz al vector, se establecerá atención a la necesidad de elegir la topología más adecuada del sistema de computación (canales de comunicación existentes entre los procesadores) para reducir los costos para organizar la interacción de la interacción de interaccionadores.

Lograr la velocidad máxima posible ()

Realice un análisis de dependencias de información en el algoritmo de multiplicación de la matriz en el vector para seleccionar métodos posibles paralelización. Como se puede ver, realizado cuando se calcula el funcionamiento de la multiplicación de líneas individuales de la matriz en el vector son independientes y se pueden hacer en paralelo;

La multiplicación de cada fila al vector incluye operaciones de multiplicación elaboradas independientes y también se puede realizar en paralelo;

La suma de los productos obtenidos en cada operación de multiplicación de la cadena de matriz al vector se puede realizar de acuerdo con una de las opciones consideradas previamente para el algoritmo de suma (algoritmo serie, esquemas de cascada normales y modificados).

Por lo tanto, el número máximo necesario de procesadores está determinado por la magnitud.

El uso de dichos procesadores puede representarse de la siguiente manera. Muchos procesadores se dividen en grupos.

,

cada uno de los cuales representa un conjunto de procesador para realizar el funcionamiento de la multiplicación de una sola cadena de matriz al vector. Al comienzo de los cálculos en cada procesador de grupo, se envía el elemento de cadena de matriz y el elemento vectorial correspondiente. A continuación, cada procesador realiza una operación de multiplicación. Los cálculos posteriores se realizan de acuerdo con un esquema de suma en cascada. Para ilustración en la fig. 6.1 muestra un esquema computacional para procesadores de grupo con una dimensión de matriz.

Higo. 6.1. El diagrama de computación multiplica la fila de la matriz multipable en vector

El tiempo de ejecución del algoritmo paralelo al usar procesadores se determina en el momento de la ejecución de una operación de multiplicación paralela y un tiempo de ejecución del esquema de cascada

Como resultado, los indicadores de rendimiento del algoritmo están determinados por las siguientes razones:

Para el problema de la multiplicación de la matriz en el vector de las topologías más adecuadas, las estructuras en las que se proporcionan transmisión rápida Datos (rutas de una sola longitud) en un esquema de suma de cascada (ver Fig. 4.5). Tales topologías son la estructura con un sistema completo de lazos ( gráfico completo) I. hyperkub. Otras topologías conducen a un aumento en el tiempo de comunicación debido a la elongación de las rutas de transferencia de datos. Entonces, con una racionalización lineal de procesadores con un sistema de conexiones solo con los vecinos más cercanos a la izquierda y derecha ( regla o anillo) Para un esquema de cascada, la longitud de la trayectoria de transmisión de cada cantidad parcial recibida en la iteración, es igual. Si asumimos que la transmisión de datos a lo largo de la longitud en las topologías con una estructura lineal requiere la ejecución de las operaciones de transmisión de datos, el número total de operaciones paralelas (la duración total de la transmisión de datos) está determinada por el valor

(excluyendo las transmisiones de datos para el arranque inicial del procesador).

Aplicación de un sistema de computación con una topología en forma de un rectangular. celosía bidimensional El tamaño conduce a una interpretación simple y visual de la computación realizada (la estructura de la red corresponde a la estructura de los datos que se procesan). Para tal topología, la cadena de matriz es la más apropiada para colocar los horizontales de la red; En este caso, los elementos del vector deben enviarse a las verticales del sistema informático. Realizar cálculos en dicha colocación de datos se pueden llevar a cabo en paralelo con las filas de la red; Como resultado, el número total de transmisiones de datos coincide con los resultados para el gobernante ().

Las acciones de comunicación realizadas en la resolución de la tarea consisten en transmitir datos entre pares de procesadores MVS. Análisis detallado La duración de la implementación de tales operaciones se realizó en el párrafo 3.3.

4. Recomendaciones para la implementación de un algoritmo paralelo.. Al implementar un algoritmo paralelo, es recomendable seleccionar la etapa inicial en la descarga de los procesadores de origen utilizados. La inicialización más simple se garantiza con la topología del sistema de computación con topología en el formulario. gráfico completo (La carga se proporciona con una operación de transferencia de datos en paralelo). Al organizar muchos procesadores en el formulario. hipercuba Puede ser útil administración de dos niveles del proceso de carga inicial, en el que el procesador de control central proporciona la distribución de las filas de matriz y el vector de los procesadores de control de los grupos de procesadores, que, a su vez, seleccionaron los elementos de la matriz. Filas y vector en el actuador. Para topologías en el formulario. gobernantes o anillos Requiere operaciones de transmisión de datos secuenciales con una cantidad disminuida secuencial de datos enviados desde los elementos.

Usando el paralelismo de nivel medio ()

1. Selección de un método paralelo de computación. Con una disminución en la cantidad disponible de procesadores utilizados (), un esquema de suma de cascada convencional al realizar operaciones de multiplicación de las cadenas de matriz al vector no aplicable. Para la simplicidad, ponemos el material y usamos el esquema de en cascada modificado. La carga inicial de cada procesador en este caso aumenta y el procesador está cargado () partes de las filas y el vector de la matriz. El tiempo de ejecución de la multiplicación de la matriz en el vector puede evaluarse como un valor

Cuando se utiliza el número de procesadores necesarios para implementar un esquema de cascada modificado, es decir. por Esta expresión proporciona una estimación del tiempo de ejecución. (Cuándo).

Con el número de procesadores cuando se estima el tiempo de ejecución del algoritmo, ya que se puede proponer un nuevo esquema de ejecución de computación paralelos, a la que se utiliza cada iteración de la suma en cascada. conjuntos de procesadores que no funcionan. Con tal campaña del número existente de procesadores, resulta suficiente para implementar solo un funcionamiento de la multiplicación de la línea de matriz y el vector. Además, al realizar la próxima iteración de la suma en cascada, los procesadores responsables de la ejecución de todas las iteraciones anteriores son gratuitas. Sin embargo, esta falta de un enfoque propuesto se puede pagar a la dignidad mediante el uso de procesadores inactivos para procesar las siguientes líneas de la matriz. Como resultado, se puede formar el siguiente esquema. transportadorrealización de la multiplicación de la matriz y vector:

Muchos procesadores se dividen en grupos de procesadores no ciclos.

,

en este caso, el grupo, consiste en procesadores y se utiliza para realizar la iteración del algoritmo en cascada (el grupo se utiliza para implementar la multiplicación elemental); el número total de procesadores;

La inicialización de los cálculos consiste en los procesadores de carga de elementos de un grupo de 1 cadenas de la matriz y vector; Después de la carga inicial, se realiza la operación paralela de la multiplicación del elemento y la implementación posterior del esquema de suma de cascada convencional;

Al realizar cálculos, cada vez que se complete la operación, se cargan los procesadores de un grupo del grupo de la siguiente línea de la matriz y se inicia el proceso de cálculo para obtener datos recién cargados.

Como resultado de la aplicación del algoritmo descrito, una pluralidad de procesadores implementa el transportador para realizar la multiplicación de la cadena de matriz al vector. En el mismo transportador, varias líneas separadas de la matriz se pueden ubicar en diferentes etapas de procesamiento. Por ejemplo, después de la multiplicación del elemento de los elementos de la primera línea y los procesadores de vectores, los procesadores de grupo realizarán la primera iteración del algoritmo de cascada para la primera cadena de la matriz, y los procesadores de grupo ejecutará la multiplicación elemental de la Valores de la segunda línea de la matriz, etc. Para ilustración en la fig. 6.2 La situación del proceso de cálculo después de 2 iteraciones del transportador se administra.

Higo. 6.2. Estado del transportador para la operación de multiplicación de la cadena de matriz al vector después de completar 2 iteraciones

2. Evaluación del rendimiento del algoritmo.. La multiplicación de la primera línea al vector de acuerdo con el esquema de cascada se completará, así como, después de la ejecución () operaciones paralelas. Para las otras líneas, de acuerdo con el esquema del transportador informático, aparecerá la aparición de los resultados de la multiplicación de cada línea siguiente después de completar cada iteración posterior del transportador. Como resultado, el tiempo total de realizar la multiplicación de la matriz al vector puede ser pronunciado

Esta calificación es algo más que el tiempo de ejecución del algoritmo paralelo descrito en el párrafo anterior (), pero el método nuevamente propuesto requiere una cantidad menor de los datos transmitidos (el vector se envía solo una vez). Además, el uso del esquema del transportador conduce a una aparición anterior de una parte de los resultados de los cálculos (que pueden ser útiles en una serie de situaciones de procesamiento de datos).

Como resultado, los indicadores de rendimiento del algoritmo están determinados por las relaciones de la siguiente forma:

3. Selección de la topología del sistema informático.. La topología conveniente del sistema de computación está totalmente determinada por el circuito de computación, esto está completo Árbol binario altura. El número de transmisiones de datos con dicha topología de red está determinada por el número total de iteraciones realizadas por el transportador, es decir,.

La inicialización de los cálculos comienza con las hojas de los árboles, los resultados de la suma se acumulan en el procesador raíz.

El análisis de la complejidad de las acciones de comunicación realizadas para los sistemas de computación con otras topologías de tono de interprocesador se supone que se lleva a cabo como autoestabilización (Vea también la cláusula 3.4).

Organización de computación paralela cuando

1. Selección de un método paralelo de computación. Cuando se utiliza procesadores para la multiplicación de la matriz al vector, anteriormente ya se consideró en el manual, un algoritmo paralelo de la multiplicación de la línea, en la que se distribuyen las cadenas de la matriz a la alineación de los procesadores y cada procesador implementa la transacción de una multiplicación de un Línea separada de la matriz al vector. Otra forma posible de organizar la computación paralela puede consistir en el edificio esquema del transportador para multiplicar la matriz de cadena de multiplicación en vector(vectores de productos escalares) Al localizar todos los procesadores existentes en forma de una secuencia lineal ( gobernantes).

Un esquema de cálculo similar se puede definir de la siguiente manera. Imagine muchos procesadores en forma de una secuencia lineal (ver Fig. 4.7):

cada procesador, se usa para multiplicar los elementos de la columna de la matriz y el elemento vectorial. Realizar cálculos en cada procesador, consiste en lo siguiente:

Se solicita el siguiente elemento de la columna de la matriz;

Multiplicación de elementos y;

Se solicita el resultado del cálculo del procesador anterior;

Se realiza la adición de valores;

El resultado se envía al siguiente procesador.

Higo. 6.3. El estado del transportador lineal para el funcionamiento de la multiplicación de la cadena de matriz al vector después de la ejecución de dos iteraciones

Al inicializar el esquema descrito, debe realizar una serie de acciones adicionales:

Al realizar la primera iteración, cada procesador solicita adicionalmente el elemento vectorial;

Para sincronizar los cálculos (cuando se ejecuta la próxima iteración del circuito, se solicita el resultado de calcular el procesador anterior) en la etapa de inicialización del procesador, realiza () el ciclo de espera.

Además, para la uniformidad del esquema descrito para el primer procesador, que no tiene procesador anterior, es recomendable introducir una operación de adición vacía ( ).

Para ilustración en la fig. 6.3 muestra el estado del proceso de cálculo después de la segunda iteración del transportador en.

2. Evaluación del rendimiento del algoritmo.. La multiplicación de la primera línea al vector de acuerdo con el esquema del transportador descrito se completará después de la ejecución () de las operaciones paralelas. El resultado de la multiplicación de las siguientes líneas ocurrirá después de completar cada iteración regular del transportador (recuperación, la iteración de cada procesador incluye realizar operaciones de multiplicación y adición). Como resultado, el tiempo total de multiplicación de la multiplicación de la matriz al vector puede expresarse por la proporción:

Esta evaluación también es mayor que la mínima. tiempo posible realizando un algoritmo paralelo en. La utilidad del uso del circuito de computación del transportador consiste, como se señala en el párrafo anterior, al reducir el número de datos transmitidos y en la apariencia anterior de los resultados de la computación.

Los indicadores de la efectividad de este esquema computacional están determinados por las relaciones:

, ,

3. Selección de la topología del sistema informático.. La topología requerida del sistema computacional para realizar el algoritmo descrito está determinado de manera única por el esquema de computación propuesto: este es un procesador múltiple ordenado linealmente ( regla).

Utilizando un conjunto limitado de procesadores ()

1. Selección de un método paralelo de computación. Con una disminución en el número de procesadores, el esquema de computación paralelo de la multiplicación de la matriz al vector se puede obtener como resultado de la adaptación del algoritmo para la multiplicación de la construcción. En este caso, el esquema de suma en cascada de los resultados de la multiplicación de elementos se degenera y la multiplicación de la cadena de matriz al vector se realiza completamente en un solo procesador. El esquema computacional obtenido con este enfoque se puede especificar de la siguiente manera:

Para cada uno de los procesadores existentes, se envían el vector y las líneas de la matriz;

Realizar un funcionamiento de multiplicación de las cadenas de matriz al vector se realiza utilizando un algoritmo serie convencional.

Cabe señalar que el tamaño de la matriz puede no ser múltiple del número de procesadores y luego la cadena de la matriz no se puede dividir igualmente entre los procesadores. En estas situaciones, es posible retirarse del sistema de carga uniforme de procesadores y para obtener un esquema de computación más simple para tomar la regla de que la colocación de datos sobre los procesadores se realiza solo en línea (es decir, los elementos de una línea de la matriz no se puede separar entre varios procesadores). Un número desigual de filas conduce a diferentes cargas de computación de procesadores; Por lo tanto, la finalización de los cálculos (la duración general del problema del problema) se determinará en el momento del trabajo del procesador más cargado (los procesadores individuales pueden simplemente soportar este tiempo total debido al agotamiento de su parte de los cálculos ). La carga desigual de los procesadores reduce la eficiencia de usar los MVS y, como resultado de la consideración. este ejemplo Puedes concluir que equilibrio de problemas

3. Selección de la topología del sistema informático.. De acuerdo con la naturaleza de las interacciones entre los interprocesadores realizados en el esquema computacional propuesto, la organización de procesadores en forma de una posible topología de los MVS puede ser estrellas (Ver Fig. 1.1). El procesador de control de una topología similar se puede usar para descargar los procesadores de computación con datos de origen y para recibir los resultados de la computación realizada.

Multiplicación de matriz

El problema de la multiplicación de la matriz en la matriz está determinada por las proporciones.

.

(Para simplificar el material, asumiremos que las matrices variables son cuadradas y tienen orden).

El análisis de los posibles métodos de funcionamiento paralelo puede llevarse a cabo por analogía con la consideración del problema de multiplicación de la matriz al vector. Dejando tal análisis para estudio independienteMostraremos en el ejemplo de la tarea de la multiplicación de matriz, el uso de varios enfoques comunes para formar formas paralelas para resolver tareas complejas.