Sujeto: Teorema, teorema inverso. Pitagora.

LECCIÓN DE OBJETIVOS: 1) Considerar el teorema inverso del teorema de Pythagora; su uso en el proceso de resolución de problemas; Fije el teorema de Pythagora y mejore las habilidades para resolver problemas para su uso;

2) Desarrollar pensamiento lógico, búsqueda creativa, interés cognitivo;

3) Trae a los estudiantes con una actitud responsable hacia las enseñanzas, la cultura del discurso matemático.

Tipo de lección. Lección de asimilación de nuevos conocimientos.

Durante las clases

І. Tiempo de organización

ІІ. Actualización Conocimiento

Lección yoseríaquisecomience con el cuarteta.

Sí, el camino del conocimiento no se alegre.

Pero lo sabemos con años escolares,

Acertijos más que los imagenes

¡Y no hay búsqueda del límite!

Entonces, en el pasado, la lección aprendiste el teorema de Pythagore. Preguntas:

El teorema de Pythagora es válido para qué figura?

¿Qué triángulo se llama rectangular?

Formular el teorema de Pythagore.

¿Cómo se escribirá el teorema de Pitagora para cada triángulo?

¿Qué triángulos se llaman igual?

¿Palabra los signos de la igualdad de triángulos?

Y ahora voy a pasar un pequeño trabajo independiente:

Resolver tareas según dibujos.

№1

(1 b.) Encuentra: AV.

№2

(1 b.) Encuentra: Sun.

№3

( 2 B.)Buscar: AC.

№4

(1 b.)Buscar: AC.

№5 Dano: ABCD. rombo

(2 b.) AV \u003d 13 cm

Ac \u003d 10 cm

Encontrar enD.

Auto-prueba número 1. cinco

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Estudio Nuevo material.

Los antiguos egipcios construyeron esquinas rectas en el suelo de esta manera: compartió la cuerda para 12 a partes igualesAsocieron sus extremos, después de lo cual la cuerda se estiró, de modo que se formó un triángulo con las divisiones de las Partes 3, 4 y 5. El ángulo del triángulo, que se encuentra contra el lado con 5 divisiones fue recto.

¿Puedes explicar la corrección de este juicio?

Como resultado de la búsqueda de una respuesta a la pregunta, los estudiantes deben entender que desde un punto de vista matemático se establece: si el triángulo es rectangular.

Ponemos el problema: cómo, sin realizar mediciones, determinar si el triángulo con los lados especificados es rectangular. La solución a este problema es el propósito de la lección.

Escribe la lección de tema.

Teorema. Si la suma de los cuadrados de los dos lados del triángulo es igual al cuadrado de terceros, entonces tal triángulo es rectangular.

Probar independientemente el teorema (compilar un plan para la prueba en el libro de texto).

De este teorema se deduce que el triángulo con las partes 3, 4, 5 es rectangular (egipcio).

En general, los números para los cuales se realiza la igualdad. , Llame a Pythagora Troika. Y los triángulos, las longitudes de los lados de los cuales se expresan por las tropas de Pythagora (6, 8, 10), - Pythagora Triangles.

Fijación.

Porque Entonces, el triángulo con las partes 12, 13, 5 no es rectangular.

Porque Entonces, el triángulo con las fiestas 1, 5, 6 es rectangular.

№ 430 (a, b, b)

( - no es)

LECCIÓN DE OBJETIVOS:

Educativo: para formular y probar el teorema de Pythagora y teorema, el teorema de Pythagoreo inverso. Mostrar su importancia histórica y práctica.

Desarrollo: Desarrollar atención, memoria, pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de razonar, comparar, sacar conclusiones.

Aumento: Educar el interés y el amor por el tema, la precisión, la capacidad de escuchar compañeros y maestros.

Equipo: Retrato de Pythagora, carteles con tareas para consolidación, libro de texto "geometría" 7-9 clases (i.f. Sharygin).

Plan de estudios:

I. MOMENTO ORGANIZACIONAL - 1 min.

II. Revisando la tarea - 7 min.

III. La palabra introductoria del maestro, referencia histórica - 4-5 minutos.

IV. La redacción y prueba del teorema de Pythagore es de 7 minutos.

V. La redacción y prueba del teorema, el teorema inverso de Pythagora - 5 min.

Cierre de un nuevo material:

a) oral - 5-6 min.
b) Escritura - 7-10 minutos.

Vii. Tarea - 1 minuto.

Viii. Resumiendo la lección - 3 min.

Durante las clases

I. MOMENTO ORGANIZACIONAL.

II. Revisa tu tarea.

p.7.1, No. 3 (en las juntas en el dibujo terminado).

Condición: Altura triángulo rectangular Ofrece la hipotenusa en los segmentos de longitud 1 y 2. Localiza los catéteres de este triángulo.

Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; Bd \u003d a 1; Da \u003d b 1; Cd \u003d h c

Pregunta adicional: Escribir relaciones en un triángulo rectangular.

p.7.1, No. 5. Cortar el triángulo rectangular a tres triángulos similares.

Explicar.

Asn ~ abc ~ sn

(llame la atención de los estudiantes a la exactitud de la grabación de los vértices respectivos de tales triángulos)

¡La verdad permanente será, tan pronto como una persona débil la conoce!

Y ahora el teorema de Pitagora es cierto, como en su edad lejana.

No fue casual que comencé mi lección de las palabras del escritor alemán, novelista Shamisso. Nuestra lección de hoy está dedicada al teorema de Pitágora. Escribimos el tema de la lección.

Ante ti, el retrato del Gran Pitágorico. Nacido en 576 aC. Habiendo vivido 80 años, murió en 496 a nuestra era. Conocido como un antiguo filósofo griego y maestro. Fue el hijo de un comerciante de Menarch que lo tomó a menudo en sus viajes, gracias a que el niño tenía en la inquisito y el deseo de conocer el nuevo. Pitágoras es un apodo que le ha dado la elocuencia ("Pitágoras" significa "Soy convincente el habla"). Él mismo no escribió nada. Todos sus pensamientos registraron a sus discípulos. Como resultado de la primera conferencia, Pythagora adquirió a 2000 estudiantes que, junto con sus esposas e hijos, han formado una escuela enorme y crearon un estado llamado "Great Grecia", que se basa en las leyes y reglas de Pythagora, venerada como divina. Mandamientos. Fue el primero que llamó su razonamiento sobre el significado de la vida de la filosofía (Lyubomatriy). Estaba inclinado a la mistificación y la demostración en el comportamiento. Una vez, Pitágoras se escondió bajo tierra, y todo estaba sucediendo de la madre. Luego, se marchitó como un esqueleto, declaró en la Asamblea del Pueblo, que fue en AIDA, y mostró una sorprendente conciencia de los eventos terrenales. Para los residentes tocados lo reconocieron por Dios. Pitágoras nunca lloró y generalmente no estaba disponible por pasiones y emoción. Creía que proviene de la semilla, la mejor comparativamente con humanos. Toda la vida de Pythagora es una leyenda, que vino a nuestro tiempo y nos contó sobre el talentoso hombre del mundo antiguo.

La formulación del teorema de Pythagore es conocido por el curso del álgebra. Vamos a recordarlo.

En un triángulo rectangular cuadrado hipotenusa. igual a la suma Cuadrados de catets.

Sin embargo, este teorema sabía muchos años antes de Pitagora. Durante 1500 años antes de Pitágoras, los antiguos egipcios sabían que el triángulo con las partes 3, 4 y 5 es rectangular y usado esta propiedad para construir ángulos directos al planificar parcelas de tierra y edificios de edificios. En los momentos más antiguos para nosotros, el ensayo matemático-astronómico chino de "Zhiu-bi", escrito en 600 años antes de Pitágora, entre otras propuestas relacionadas con el triángulo rectangular, contiene el teorema de Pytagora. Anteriormente, este teorema era conocido por el hindú. Por lo tanto, Pythagoras no abrió esta propiedad de un triángulo rectangular, probablemente logró resumirlo y probarlo, traducirlo de la práctica de la práctica de la ciencia.

Con la antigüedad profunda de las matemáticas, se encuentran más y más evidencia del teorema de Pythagoreo. Son conocidos más de uno y medio cientos. Recordemos la prueba algebraica del teorema de Pitágora, conocido por el curso de Álgebra. ("Matemáticas. Algebra. Funciones. Análisis de datos" G.V. DOROFEEV, M., "DROP", 2000 G).

Sugiera a los estudiantes que recuerden la prueba del dibujo y lo escriban en la pizarra.

(A + B) 2 \u003d 4 · 1/2 A * B + C 2 B A

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + B 2 \u003d C 2 A A B

Los antiguos indios que poseen este razonamiento generalmente no se registraron, y acompañaron el dibujo con una sola palabra: "Look".

Considere en la presentación moderna, una de las pruebas que pertenecen a Pitágora. Al comienzo de la lección, recordamos el teorema sobre las relaciones en un triángulo rectangular:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * con B 2 \u003d B 1 *

Moviendo la reciente reciente de la igualdad:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C 1 \u003d C * C \u003d C 2; A 2 + B 2 \u003d C 2

A pesar de la aparente sencillez de esta evidencia, está lejos de ser más simple. Después de todo, para esto fue necesario pasar la altura en un triángulo rectangular y considerar tales triángulos. Escriba, por favor, esto es una prueba en el cuaderno.

¿Y qué teorema se llama el reverso a esto? (... si la condición y la conclusión cambian de lugar.)

Intentemos ahora formular el teorema, el teorema inverso de Pythagoreo.

Si el triángulo con los lados A, B y C se realiza con la igualdad C 2 \u003d A 2 + B 2, entonces este triángulo es rectangular, y el ángulo recto se opone al lado con.

(Prueba del teorema inverso en el cartel)

Abc, sol \u003d a,

Ac \u003d b, va \u003d s.

a 2 + B 2 \u003d C 2

Probar

ABC - rectangular,

Evidencia:

Considere un triángulo rectangular A 1 en 1 C 1,

donde de 1 \u003d 90 °, y 1 s 1 \u003d a, y 1 s 1 \u003d b.

Luego, de acuerdo con el teorema de Pytagora en 1 a 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C 2.

Es decir, en 1 a 1 \u003d C a 1 en 1 C 1 \u003d ABC para tres partes ABC - rectangular

C \u003d 90 °, que se requirió para probar.

1. En un cartel con dibujos preparados.

Fig. 1: Encuentra AD IF SI CD \u003d 8, VA \u003d 30 °.

Fig. 2: Localice el CD si nosotros \u003d 5, WAWAY \u003d 45 °.

Fig. 3: Encuentre el VD si SUN \u003d 17, AD \u003d 16.

2. ¿Es el triángulo rectangular si sus partes se expresan por números?

¿Cuáles son los tres números principales en los últimos dos casos? (Pitágoras).

№ 9. El lado del triángulo equilátero es igual a A. Encuentra la altura de este triángulo, el radio del círculo descrito, el radio del círculo inscrito.

№ 14. Demuestre que en un triángulo rectangular, el radio de la circunferencia descrito es igual a la mediana realizada a la hipotenusa, y es igual a la mitad de la hipotenusa.

Párrafo 7.1, pp. 175-177, desmonte el teorema 7.4 (teorema de Pythagora generalizada), No. 1 (oralmente), No. 2, No. 4.

¿Qué no sabías hoy en la lección? ............

Pitágoras era principalmente un filósofo. Ahora quiero leer algunos de sus cheques, relevante y en nuestro tiempo para nosotros.

• No levantes el polvo en el camino de la vida.
• Haz eso más tarde no te molesta y no encajará arrepentido.
• No hagas lo que no sabes, pero aprende lo que debes saber, y luego llevarás una vida tranquila.
• No cierre los ojos cuando quiero dormir, no levante todas sus acciones el último día.
• Llevarse a vivir solo y sin lujo.

Teorema de pitágoras - Uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana que establece la proporción.

entre los lados del triángulo rectangular.

Se cree que se demuestra por el Matemático Griego Pitágico, en honor y nombrado.

Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.

Inicialmente, el teorema se formuló de la siguiente manera:

En un triángulo rectangular, el cuadrado de la plaza construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los cuadrados,

construido en catetes.

Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectangular, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los carro.

Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo a través de c., y la longitud de los catéteres a través de uNA. y b.:

Ambas palabras teoremas de Pitagoraequivalente, pero la segunda redacción es más elemental, no es

requiere el concepto de área. Es decir, la segunda declaración se puede verificar, nada se sabe sobre el área y

midiendo solo la longitud de los lados del triángulo rectangular.

Teorema inverso de Pitágoras.

Si el cuadrado de un lado del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces

el triángulo es rectangular.

O, en otras palabras:

Para todos los troika números positivos uNA., b. y c., tal que

hay un triángulo rectangular con costumbres. uNA. y b.e hipotenusa c..

Teorema de Pitagora para un triángulo equificable.

Teorema de Pitagora para un triángulo equilátero.

Prueba del teorema de Pitágoras.

En el momento en literatura cientifica Fijo 367 evidencia de este teorema. Probablemente teorema

Pythagora es el único teorema con un número tan impresionante de evidencia. Tal variedad

se puede explicar solo por el valor fundamental del teorema de la geometría.

Por supuesto, conceptualmente, todos ellos pueden dividirse en un pequeño número de clases. Los más famosos de ellos:

prueba de método de espacio, axiomático y evidencia exótica (p.ej,

vía ecuaciones diferenciales).

1. Prueba del teorema de Pythagore a través de tales triángulos.

La siguiente evidencia de la redacción algebraica es la más sencilla de las pruebas en construcción.

directamente desde el axioma. En particular, no utiliza el concepto de la figura de la figura.

Permitir A B C Hay un triángulo rectangular con un ángulo recto. C.. Pasemos la altura de C. Y denota

su fundación a través de H..

Triángulo ACH. Como un triángulo AbC para dos esquinas. Del mismo modo, triángulo Cbh Como A B C.

Ingresando notación:

obtenemos:

,

lo que corresponde -

Pareo uNA. 2 I. b. 2, obtenemos:

o, que se requirió para demostrar.

2. Prueba del teorema de Pythagore por el área del área.

A continuación, la evidencia, a pesar de su aparente sencillez, no tan simple. Todos ellos

use las propiedades del área, cuya evidencia es más complicada por la prueba del teorema de Pythagora en sí.

• Prueba a través de la ecuodockility.

Colocar cuatro iguales rectangulares

triángulo como se muestra en la imagen

a la derecha.

Cuadrilo con lados c. - Cuadrado,

desde la suma de dos esquinas afiladas de 90 °, y

Ángulo desplegado - 180 °.

El área de toda la figura es igual a una mano,

Área cuadrada con lado ( a + B.), y por otro lado, la suma del área de cuatro triángulos y

Q.E.D.

3. Prueba del teorema de Pythagore por el método de infinito pequeño.

​

Teniendo en cuenta el dibujo que se muestra en la figura y

observando un cambio de ladouNA., podemos

registre la siguiente proporción para infinito

pequeña incrementos de ladode y uNA. (Utilizando la apariencia

triangulos):

Usando el método de separación variable, encontramos:

Más expresión general Para cambiar la hipotenusa en caso de incrementos de ambos catéteres:

Integrador esta ecuación y utilizando las condiciones iniciales, obtenemos:

Por lo tanto, llegamos a la respuesta deseada:

Como no es difícil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido al lineal

proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la cantidad está asociada con independiente

depósitos del incremento de diferentes catéteres.

Se puede obtener una prueba más simple, si asumimos que uno de los catéteres no experimenta incremento.

(en este caso catat b.). Luego, para la constante de integración, obtenemos:

Es notable que la propiedad especificada en el teorema de Pythagora sea la propiedad característica de un triángulo rectangular. Esto sigue del teorema, el teorema inverso de Pitágoras.

Teorema: Si el cuadrado de un lado del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, entonces el triángulo es rectangular.

Fórmula Gerona

Derivamos la fórmula que expresa el plano del triángulo a través de las longitudes de sus lados. Esta fórmula se asocia con el nombre de Gerona Alejandrian - Matemáticas y mecánicos griegos antiguos que vivieron, probablemente en 1 v.n. Geron le prestó mucha atención a las aplicaciones prácticas de la geometría.

Teorema. El área S es un triángulo, cuyos lados son iguales a A, B, C, se calcula por la fórmula S \u003d, donde P es un medialas versionador del triángulo.

Evidencia.

BANCELADO :? ABC, AB \u003d C, Sun \u003d A, AC \u003d B.Glones A y B, Sharp. CH - Altura.

Probar

Prueba:

Considere el triángulo ABC, en el que AB \u003d C, BC \u003d A, AC \u003d B. En cada triángulo, al menos dos ángulos son agudos. Deje que A y B sean las esquinas afiladas del triángulo ABC. La base del triángulo H altura CH se encuentra en el lado AB. Introducimos la notación: CH \u003d H, AH \u003d Y, HB \u003d X. Según Pythagorea teorema A 2 - X 2 \u003d H 2 \u003d B 2 -Y 2, de donde

Y 2 - x 2 \u003d B 2 - A 2, OR (Y - X) (Y + X) \u003d B 2 - A 2, y desde Y + X \u003d C, luego y- x \u003d (B2 - A2).

Doblando las dos últimas igualdad, n olchache:

2Y \u003d + C, de donde

y \u003d, y, por lo tanto, H 2 \u003d B 2 -Y 2 \u003d (B - Y) (B + Y) \u003d