Qué equilibrio de división por 45. División de enteros con el residuo, las reglas, los ejemplos.
Signos de números de divisibilidad.- Estas son reglas que permiten que las divisiones no productoras sean relativamente rápidamente, averigüe si este número se divide en un dado sin residuos.
Algunos de signos de divisibilidad Bastante simple, un poco más difícil. En esta página encontrará como signos de divisibilidad. números simples, como, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11 y signos de divisibilidad de los componentes, como 6 o 12.
Espero que esta información sea útil para usted.
Aprendizaje agradable!
Signo de divisibilidad en 2
Este es uno de los signos más fáciles de divisibilidad. Parece esto: Si la grabación de un número natural termina con un lector, entonces está uniformemente (dividido sin un residuo por 2), y si el registro del número termina en un dígito impar, este número es impar.
En otras palabras, si el último número de dígitos es igual 2
, 4
, 6
, 8
o 0
- el número se divide en 2, si no, no está dividido
Por ejemplo, números: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
Se dividen en 2, porque son incluso.
Números: 23 5
, 137
, 2303
En 2 no están divididos, porque son extraños.
Signo de divisibilidad en 3
Esta característica de la división es completamente diferente: si el número de números se divide por 3, entonces el número está dividido por 3; Si la cantidad de número de números no está dividido por 3, entonces el número no está dividido por 3.
Entonces, para entender si el número se divide en 3, solo es necesario agregar los números entre ellos desde los que consiste.
Parece esto: 3987 y 141 se dividen por 3, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - Se divide sin los restos de 3), y en el segundo 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - También dividido sin los restos de 3).
Pero los números: 235 y 566 no se dividen en 3, porque 2 + 3 + 5 \u003d 10
y 5 + 6 + 6 \u003d 17
(Y sabemos que ni 10 ni 17 se dividen en 3 sin residuos).
Signo de divisibilidad en 4
Este signo de divisibilidad será más complicado. Si los últimos 2 dígitos de los números forman el número dividido por 4 o es 00, entonces el número se divide en 4, de lo contrario, este número no se divide en 4 sin residuos.
Por ejemplo: 1. 00
y 3. 64
dividido por 4, porque en el primer caso el número termina en 00
, y en el segundo 64
que a su vez se divide en 4 sin residuos (64: 4 \u003d 16)
Números 3. 57
y 8. 86
No dividas en 4 porque tampoco 57
norte. 86
4 no están divididos, y por lo tanto no corresponden a este signo de divisibilidad.
Signo de divisibilidad en 5
Y nuevamente, tenemos un signo bastante simple de divisibilidad: si la grabación del número natural termina con un número 0 o 5, entonces este número se divide sin un residuo por 5. Si el número del número termina con un dígito diferente, Luego, el número sin un residuo no se divide en 5.
Esto significa que cualquier número que termina en números. 0
y 5
, por ejemplo, 1235. 5
y 43. 0
, caen una regla y dividida por 5.
A, por ejemplo, 1549 3
y 56. 4
No termine en la Figura 5 o 0, lo que significa que no pueden compartir 5 sin residuos.
Signo de divisibilidad en 6
Tenemos un número compuesto 6, que es un producto de los números 2 y 3. Por lo tanto, un signo de divisibilidad por 6 también es compuesto: para que el número se divide por 6, debe corresponder a dos signos de divisibilidad simultáneamente: un signo De divisibilidad en 2 y un signo de divisibilidad por 3. Al mismo tiempo, tenga en cuenta que dicho número compuesto AS 4 tiene un signo individual de divisibilidad, porque es la evidencia del número 2 en sí misma. Pero de vuelta al signo de divisibilidad en 6.
Los números 138 y 474 se corresponden incluso a los signos de divisibilidad en 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 y 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), lo que significa que están divididos por 6. Pero 123 y 447, aunque se dividen en 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 y 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), pero son extrañas, y Por lo tanto, no corresponde al signo de divisibilidad por 2, y por lo tanto, no corresponden al signo de divisibilidad por 6.
Signo de divisibilidad en 7
Este signo de divisibilidad es más complicado: el número se divide en 7 si el resultado de la resta de la figura de doble duración de las decenas de este número se divide en 7 o igual a 0.
Suena bastante confuso, pero en la práctica es fácil. Véanse: Número 95
9 se divide en 7, porque 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 dividido por 7 sin residuos). Y si surgió el número con el número obtenido durante las transformaciones (debido a su tamaño, es difícil de entender, se divide en 7 o no, entonces este procedimiento puede continuarse tantas veces como se sienta necesario).
Por ejemplo, 45
5 I. 4580
1 Posee signos de divisibilidad a 7. En el primer caso, todo es bastante simple: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. En el segundo caso haremos esto: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Es difícil para nosotros entender si se divide si 457
8 a 7, así que repetimos el proceso: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Y nuevamente usamos un signo de divisibilidad, porque todavía tenemos un número de tres dígitos 44
1. Entonces 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, es decir, es decir. 42 se divide en 7 sin un equilibrio, lo que significa que es 45801 dividido por 7.
Pero los números 11
1 I. 34
5 no están divididos en 7, porque 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 no se divide sin un residuo por 7) y 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 no se divide sin residuos por 7).
Signo de divisibilidad en 8
El signo de divisibilidad en 8 sonidos como este: si los últimos 3 dígitos forman un número dividido por 8, o es 000, entonces el número especificado se divide por 8.
Números 1. 000
o 1. 088
dividido por 8: los primeros extremos en 000
, segundo 88
: 8 \u003d 11 (dividido por 8 sin un residuo).
Pero el número 1 100
o 4. 757
No se dividen en 8, ya que los números. 100
y 757
No compartir sin residuos.
Signo de divisibilidad en 9
Este signo de divisibilidad es similar a un signo de divisibilidad en 3: si el número de números se divide por 9, entonces el número se divide en 9; Si el número de números no está dividido en 9, entonces el número no está dividido por 9.
Por ejemplo: 3987 y 144 se dividen en 9, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - Se divide sin los restos de 9), y en el segundo 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - También dividido sin los restos de 9).
Pero los números: 235 y 141 no se dividen en 9, porque 2 + 3 + 5 \u003d 10
y 1 + 4 + 1 \u003d 6
(Y sabemos que ni 10 ni 6 se dividen en 9 sin residuos).
Signos de divisibilidad en 10, 100, 1000 y otras unidades de bits.
Estos signos de divisibilidad que combiné porque pueden describirse por igual: el número se divide en una unidad de descarga si el número de ceros al final del número es mayor o igual al número de ceros en un bit.
En otras palabras, por ejemplo, tenemos tales números: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. De estos, todos están divididos en 1. 0
; 46400
y 867. 000
Se dividen en 1 00
; Y solo uno de ellos - 867 000
dividido por 1. 000
.
Cualquier número en el que el número de ceros al final es menor que el de la unidad de descarga, no se divide en esta unidad de descarga, por ejemplo, 600 30
y 7. 93
No comparta 1. 00
.
Signo de divisibilidad en 11
Para saber si el número se divide en 11, es necesario obtener la diferencia en las sumas de números pares e impares de este número. Si esta diferencia es igual a 0 o dividida por 11 sin residuos, entonces el número en sí está dividido por 11 sin un residuo.
Para que sea más claro, propongo considerar los ejemplos: 2
35
4 está dividido por 11, porque ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 también se divide en 11, ya que ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Pero 1. 1
1 o 4
35
4 no están divididos por 11, ya que en el primer caso tenemos (1 + 1) - 1
\u003d 1, y en el segundo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Signo de divisibilidad en 12
El número 12 es compuesto. Su signo de divisibilidad es la correspondencia de los signos de divisibilidad por 3 y 4 al mismo tiempo.
Por ejemplo, 300 y 636 corresponden a los signos de divisibilidad en 4 (los últimos 2 dígitos son ceros o se dividen en 4) y signos de divisibilidad en 3 (la suma de los números y el primer y exhaustivo se divide en 3) , y se aplicará, se dividen por 12 sin un equilibrio.
Pero 200 o 630 no se dividen en 12, porque en el primer caso el número solo responde con un signo de divisibilidad por 4, y en el segundo, solo un signo de divisibilidad por 3. Pero no ambos signos al mismo tiempo .
Signo de divisibilidad en 13
El signo de divisibilidad en 13 es que si el número de decenas de números, plegado con multiplicado por 4 unidades de este número, será múltiple 13 o igual a 0, entonces el número en sí está dividido por 13.
Tomar como ejemplo 70
2. Entonces 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 se divide sin un residuo por 13), significa 70
2 está dividido por 13 sin residuos. Otro ejemplo es el número. 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. El número 130 se divide en 13 sin un residuo, lo que significa que un número dado corresponde a un signo de divisibilidad por 13.
Si tomas numeros 12
5 o 21
2, entonces conseguimos 12
+ 4 * 5 \u003d 32 y 21
+ 4 * 2 \u003d 29 correspondió, y ni 32 ni 29 se dividen en 13 sin un residuo, lo que significa que los números especificados no se dividen sin un residuo por 13.
Dividumbre de los números
Como se puede ver desde lo anterior, se puede suponer que cualquiera de los números naturales se puede seleccionar su signo individual de divisibilidad o la función "Compuesto" si el número es múltiple de varios números diferentes. Pero como lo demuestra la práctica, principalmente cuanto mayor sea el número, más difícil es su signo. Quizás el tiempo empleado en la comprobación de un signo de divisibilidad puede ser igual o más que la división misma. Por lo tanto, usualmente usamos los signos más simples de la divisibilidad.
Considere un ejemplo simple:
15:5=3
En este ejemplo número natural 15 estamos divididos ncape3, sin equilibrio.
A veces, el número natural es completamente capaz de dividir el enfoque. Por ejemplo, considere la tarea:
16 juguetes yacen en el armario. El grupo tenía cinco hijos. Cada niño tomó el mismo número de juguetes. ¿Cuántos juguetes tienen a cada niño?
Decisión:
Dividimos el número 16 en 5 columnas que recibimos:
Sabemos que 16 no es compartir. El número más cerca que se divide por 5 es 15 y 1 en el resto. Número 15 Podemos pintar como 5⋅3. Como resultado (16 - Delimi, 5 - divisor, 3 - privado incompleto, 1 - residuo). Recibió fórmula división con el residuo.que se puede hacer cheque de solución.
uNA.=
b.⋅
c.+
d.
uNA. - Delimi,
b. - divisor,
c. - privado incompleto,
d. - Equilibrio.
Respuesta: Cada niño tomará 3 juguetes y se quedará un juguete.
Resto de la división
El residuo siempre debe ser menor que el divisor.
Si al dividir el residuo es cero, significa que el intercambio divisible ncape O sin un equilibrio en el divisor.
Si al dividir el residuo es más divisor, significa que el número encontrado no es el más grande. Hay un número más grande que se divide y el residuo será menor que un divisor.
Preguntas sobre el tema "Decisión con el residuo":
¿El resto puede ser más divisor?
Respuesta: No.
¿El residuo puede ser igual al divisor?
Respuesta: No.
¿Cómo encontrar divisible en privado, divisor y residuo incompleto?
Respuesta: Los valores del privado, divisor incompleto y el residuo se sustituyen en la fórmula y se encuentran divisibles. Fórmula:
a \u003d b⋅c + d
Ejemplo número 1:
Realice una división con el residuo y comprobar: a) 258: 7 B) 1873: 8
Decisión:
a) Dividimos la columna:
258 - Delimi,
7 - Divider,
36 - privado incompleto,
6 - residuo. Residuo menos divisor 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Dividimos la columna:
1873 - Delimi,
8 - Divider,
234 - privado incompleto,
1 - residuo. El residuo es menor que el divisor 1.<8.
Sustituto en la fórmula y verifique si decidimos resolver el ejemplo:
8⋅234+1=1872+1=1873
Ejemplo número 2:
¿Qué restos se obtienen al dividir los números naturales: a) 3 b) 8?
Respuesta:
a) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos 3. En nuestro caso, el residuo puede ser igual a 0, 1 o 2.
b) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 8. En nuestro caso, el residuo puede ser igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
Ejemplo número 3:
¿Cuál es el mayor residuo, puede resultar al dividir los números naturales: a) 9 B) 15?
Respuesta:
a) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 9. Pero necesitamos especificar el mayor equilibrio. Ese es el número más cercano al divisor. Este es el número 8.
b) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 15. Pero necesitamos especificar el mayor balance. Ese es el número más cercano al divisor. Este es el número 14.
Ejemplo número 4:
Encuentra divisible: a) a: 6 \u003d 3 (Ost 4) B) C: 24 \u003d 4 (East.11)
Decisión:
a) Soliendo con la ayuda de la fórmula:
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi, B - Divider, C - Residuos privados incompletos, D.)
A: 6 \u003d 3 (Ost.4)
(A - Delimi, 6 - divisor, 3 - privado incompleto, 4 - residuos). Sustituya los números en la fórmula:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Respuesta: A \u003d 22
b) resuelto con la ayuda de la fórmula:
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi, B - Divider, C - Residuos privados incompletos, D.)
C: 24 \u003d 4 (East.11)
(C - Delimi, 24 - divisor, 4 - privado incompleto, 11 - residuos). Sustituya los números en la fórmula:
C \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Respuesta: C \u003d 107
Una tarea:
Cable 4m. Es necesario cortar en pedazos de 13 cm. ¿Cuántas piezas funcionará?
Decisión:
Primero necesitas traducir metros a centímetros.
4m. \u003d 400cm.
Puedes compartir una columna o en la mente que obtendremos:
400: 13 \u003d 30 (Ost.10)
Cheque:
13⋅30+10=390+10=400
Respuesta: 30 piezas resultan y 10 cm. El cable se mantendrá.
En este artículo analizaremos. división de enteros con el residuo.. Comencemos con el principio general de dividir los enteros con el residuo, formulamos y pruebamos el teorema sobre la divisibilidad de enteros con el residuo, rastreamos la conexión entre el divisible, divisor, privado incompleto y el residuo. Luego, vamos a expresar las reglas en las que se realiza la división de enteros con el residuo, y considere el uso de estas reglas al resolver ejemplos. Después de eso, aprenda cómo verificar el resultado de dividir los enteros con el residuo.
Navegando.
Vista general de la división de enteros con el residuo.
La división de enteros con el residuo consideraremos como una generalización de la división con el residuo de números naturales. Esto se debe al hecho de que los números naturales son una parte integral de los enteros.
Comencemos con los términos y designaciones que se utilizan en la descripción.
Por analogía con la división de números naturales con el residuo, asumiremos que el resultado de dividir con el residuo de dos enteros A y B (B no es cero) son dos enteros C y D. Los números A y B se llaman divisible y divisor En consecuencia, el número D - residuo de la División A en B, y se llama un entero C privado incompleto (o simplemente privadoSi el residuo es cero).
Estamos de acuerdo en asumir que el residuo es un número no negativo, y su valor no excede B, es decir, nos conocimos, cuando nos dijeron sobre la comparación de tres y más enteros).
Si el número C es muy privado, y el número D es el residuo dividir un entero A por entero B, entonces este hecho registraremos brevemente como igualdad del formulario A: B \u003d C (OST. D).
Tenga en cuenta que al dividir un número entero A a un entero B, el residuo puede ser cero. En este caso, dicen que se divide en B sin residuos (o ncape). Por lo tanto, la división de enteros sin residuos es un caso especial de división de enteros con el residuo.
También vale la pena decir que al dividir cero para algunos enteros, siempre estamos tratando con una división sin un equilibrio, ya que en este caso el privado será cero (consulte la sección de la teoría de la división cero por un entero), y el residuo También será cero.
Determinado con la terminología y las designaciones, ahora entenderemos con el significado de dividir enteros con el remanente.
La división de un número completamente negativo a un número positivo de un número B también se puede dar al significado. Para hacer esto, considere un número negativo entero como deuda. Imagina esta situación. Una deuda que hace que los artículos deben pagar a la persona B al hacer la misma contribución. El valor absoluto de la C privada incompleta en este caso determinará la cantidad de deuda de cada una de estas personas, y el residuo D mostrará la cantidad de artículos que permanecerán después de pagar la deuda. Damos un ejemplo. Supongamos que 2 personas deben 7 manzanas. Si asumimos que cada uno de ellos debería ser de 4 manzanas, luego, después de pagar la deuda, permanecerán 1 Apple. Esta situación corresponde a la igualdad (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).
Una división con el residuo de un entero arbitrario A para todo un número negativo, no daremos ningún punto, pero dejaremos el derecho a existir.
Teorema sobre la divisibilidad de enteros con el residuo.
Cuando hablamos sobre la división de números naturales con el residuo, descubrieron que el Divisible A, Divider B, privado incompleto C y el residuo D están relacionados con la igualdad A \u003d B · C + D. Para enteros, A, B, C y D se caracteriza por la misma conexión. Este enlace está aprobado por los siguientes teorema de definición con el residuo..
Teorema.
Cualquier entero A puede ser el único camino a través de un número entero y diferente del número cero b como A \u003d B · Q + R, donde P y R son algunos enteros, y.
Evidencia.
Primero, probamos la posibilidad de representación A \u003d B · q + r.
Si los enteros A y B de tal manera se dividen en B apuntado, entonces, por definición, hay un entero q que A \u003d B · Q. En este caso, hay una igualdad A \u003d B · Q + R en R \u003d 0.