چگونه معکوس یک محصول ماتریسی را پیدا کنیم. چگونه معکوس ماتریس را پیدا کنیم
ماتریس A -1 در مقایسه با ماتریس A ماتریس معکوس نامیده می شود اگر A * A -1 = E ، جایی که E ماتریس واحد مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد.
هدف خدمت... با کمک این سرویس آنلاین ، می توانید مکمل های جبری ، ماتریس A T ، جابجا شده ، ماتریس مجاور و ماتریس معکوس را بیابید. راه حل به طور مستقیم در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبه در قالب قالب Word و در قالب Excel ارائه شده است (یعنی می توان راه حل را بررسی کرد). نمونه طراحی را ببینید
دستورالعمل برای به دست آوردن راه حل ، لازم است بعد ماتریس را تعیین کنید. بعد ، در یک کادر محاوره ای جدید ، ماتریس A را پر کنید.
همچنین ماتریس معکوس را با استفاده از روش Jordan-Gauss ببینید
الگوریتمی برای یافتن ماتریس معکوس
- یافتن ماتریس جابجا شده A T.
- تعریف مکمل های جبری هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
- تدوین ماتریس معکوساز الحاقات جبری: هر عنصر ماتریس حاصل با تعیین ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس بدست آمده معکوس ماتریس اصلی است.
- مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه ، پس هیچ ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
- محاسبه تعیین کننده ماتریس A اگر مساوی صفر نباشد ، راه حل را ادامه می دهیم ؛ در غیر این صورت ، ماتریس معکوس وجود ندارد.
- تعریف مکمل های جبری
- پر کردن ماتریس اتحادیه (متقابل ، مجاور) C
- ترکیب ماتریس معکوس از مکمل های جبری: هر عنصر ماتریس جانبی C با تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
- یک بررسی انجام می شود: اصلی و ماتریس های حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.
مثال شماره 1 بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:
| A -1 = |
|
الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس
اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه دهیم.- تعیین کننده ماتریس مربع داده شده A را بیابید.
- مکمل های جبری همه عناصر ماتریس A را بیابید.
- مکمل های جبری عناصر ردیف را در ستون ها (انتقال) می نویسیم.
- هر عنصر ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس A تقسیم می کنیم.
یک مورد خاص: معکوس ماتریس هویت E ماتریس هویت E است.
بگذارید یک ماتریس مربعی از مرتبه نهم وجود داشته باشد
ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A ، اگر A * A -1 = E ، جایی که E ماتریس واحد مرتبه n است.
ماتریس واحد- چنین ماتریس مربعی ، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی که از گوشه بالا سمت چپ به گوشه سمت راست پایین منتقل می شود یک هستند و بقیه صفر هستند ، به عنوان مثال:
ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعیآن ها برای آن ماتریس ها با تعداد سطر و ستون یکسان.
قضیه به شرط وجود ماتریس معکوس
برای داشتن یک ماتریس ماتریس معکوس ، لازم است و کافی است که آن غیر متخلخل نباشد.
ماتریس A = (A1 ، A2 ، ... A n) نامیده می شود غیر انحطاط پذیراگر بردارهای ستون مستقل از نظر خطی باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می نامند. بنابراین ، می توان گفت که برای وجود یک ماتریس معکوس ، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با ابعاد آن باشد ، یعنی r = n
الگوریتمی برای یافتن ماتریس معکوس
- ماتریس A را در جدول برای حل معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای طرف راست معادلات) ماتریس E را تعیین کنید.
- با استفاده از تبدیل اردن ، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون های واحد کاهش دهید. در این مورد ، لازم است به طور همزمان ماتریس E را تغییر دهید.
- در صورت لزوم ، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را دوباره مرتب کنید تا در زیر ماتریس A جدول اصلی ، ماتریس واحد E را بدست آوریم.
- ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد بنویسید.
برای ماتریس A ، ماتریس معکوس A -1 را بیابید
راه حل: ماتریس A را می نویسیم و در سمت راست ماتریس هویت E. را با استفاده از تبدیلات اردن ، ماتریس A را به ماتریس هویت E. کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.
بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.
در نتیجه ضرب ماتریس ، ماتریس واحد بدست می آید. بنابراین ، محاسبات درست است.
پاسخ: 
حل معادلات ماتریسی
معادلات ماتریسی می توانند به صورت زیر باشند:
AX = B ، XA = B ، AXB = C ،
جایی که A ، B ، C ماتریس های مشخص شده هستند ، X ماتریس مورد نیاز است.
معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس معکوس حل می شوند.
به عنوان مثال ، برای یافتن ماتریسی از یک معادله ، آن معادله را در سمت چپ ضرب می کنید.
بنابراین ، برای یافتن راه حلی برای معادله ، باید ماتریس معکوس را بیابید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.
سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.
اگر معادله AX = B را حل کنید 
راه حل: از آنجا که معکوس ماتریس است (مثال 1 را ببینید)
روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی
همراه با دیگران ، آنها همچنین کاربردی در روشهای ماتریسی... این روش ها بر اساس جبر خطی و بردار-ماتریس است. چنین روشهایی برای تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. بیشتر اوقات ، این روشها در مواقعی که لازم است ارزیابی عملکرد سازمانها و واحدهای ساختاری آنها ضروری باشد مورد استفاده قرار می گیرند.
در فرآیند بکارگیری روشهای تجزیه و تحلیل ماتریسی ، چندین مرحله را می توان تشخیص داد.
در مرحله اولتشکیل یک سیستم از شاخص های اقتصادی انجام می شود و بر اساس آن ماتریسی از داده های اولیه جمع آوری می شود ، که جدولی است که در آن تعداد سیستم ها در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است (i = 1،2 ، .... ، n)، و در امتداد ستون های عمودی - تعداد شاخص ها (j = 1،2 ، .... ، متر).
در مرحله دومبرای هر ستون عمودی ، بزرگترین مقادیر موجود شاخص ها نشان داده می شود که به عنوان واحد در نظر گرفته می شود.
پس از آن ، همه مقادیر منعکس شده در این ستون بر تقسیم می شوند بزرگترین ارزشو ماتریسی از ضرایب استاندارد تولید می شود.
در مرحله سومتمام اجزای تشکیل دهنده ماتریس مربع هستند. اگر آنها اهمیت متفاوتی داشته باشند ، به هر شاخص ماتریس یک ضریب وزنی خاص اختصاص داده می شود ک... ارزش دومی با قضاوت متخصص تعیین می شود.
در آخرین مورد ، مرحله چهارممقادیر پیدا شده رتبه بندی R jبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.
روشهای ماتریس فوق باید استفاده شود ، به عنوان مثال ، زمانی که تجزیه و تحلیل مقایسه ایپروژه های مختلف سرمایه گذاری و همچنین هنگام ارزیابی سایر شاخص های اقتصادی سازمان ها.
ماتریس جبر - ماتریس معکوسماتریس معکوس
ماتریس معکوسماتریسی نامیده می شود که وقتی در سمت راست و چپ در ماتریس معینی ضرب شود ، ماتریس هویت می دهد.
اجازه دهید ماتریس را معکوس به ماتریس نشان دهیم آبنابراین ، طبق تعریف ، به دست می آوریم:
جایی که هآیا ماتریس هویت است
ماتریس مربعتماس گرفت غیر مفرد (غیر انحطاط پذیر) اگر تعیین کننده آن صفر نباشد. در غیر این صورت ، نامیده می شود خاص (منحط) یا مفرد.
قضیه زیر صادق است: هر ماتریس غیر یک زاویه ای معکوس دارد.
عمل یافتن ماتریس معکوس نامیده می شود درخواستماتریس ها الگوریتم وارونگی ماتریس را در نظر بگیرید. بگذارید یک ماتریس غیر یک زبانی داده شود nسفارش دهم:
جایی که Δ = det آ ≠ 0.
مکمل جبری یک عنصرماتریس ها n-سفارش دهم آتعیین کننده ماتریس ( n–1) مرتبه پنجم با حذف منخط دهم و jستون ماتریس آ:
بیایید به اصطلاح بسازیم پیوست شدهماتریس:
مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجا هستند آ.
توجه داشته باشید که مکمل جبری عناصر ردیف های ماتریس است آدر ستون های مربوطه ماتریس قرار می گیرند Ã
، یعنی ماتریس در همان زمان جابجا می شود.
با تقسیم تمام عناصر ماتریس Ã
توسط Δ - مقدار تعیین کننده ماتریس آ، در نتیجه ماتریس معکوس را بدست می آوریم:
ما تعدادی از ویژگیهای خاص ماتریس معکوس را ذکر می کنیم:
1) برای یک ماتریس معین آماتریس معکوس آن
تنها یکی است ؛
2) اگر ماتریس معکوس وجود دارد ، پس معکوس درستو معکوس سمت چپماتریس ها با آن منطبق هستند ؛
3) یک ماتریس مربعی خاص (منحط) ماتریس معکوس ندارد.
خواص اصلی ماتریس معکوس:
1) تعیین کننده ماتریس معکوس و تعیین کننده ماتریس اصلی مقادیر متقابل هستند.
2) ماتریس معکوس حاصلضرب ماتریس های مربعی برابر با حاصلضرب ماتریس های معکوس عوامل است که به ترتیب معکوس گرفته شده است:
3) عکس معکوس ماتریس با معکوس ماتریس انتقال داده شده معادل است:
مثال معکوس ماتریس داده شده را محاسبه کنید.
این مبحث یکی از منفورترین موضوعات در بین دانش آموزان است. فقط عوامل تعیین کننده احتمالاً بدتر هستند.
ترفند این است که مفهوم یک عنصر معکوس (و من اکنون فقط در مورد ماتریس ها صحبت نمی کنم) ما را به عمل ضرب ارجاع می دهد. حتی در برنامه آموزشی مدرسهضرب یک عمل پیچیده در نظر گرفته می شود و ضرب ماتریس به طور کلی یک موضوع جداگانه است ، که من یک پاراگراف کامل و آموزش تصویری به آن اختصاص داده ام.
ما امروز وارد جزئیات محاسبات ماتریسی نمی شویم. فقط به یاد داشته باشید: ماتریس ها چگونه نشان داده می شوند ، چگونه ضرب می شوند و از آن چه حاصل می شود.
تکرار: ضرب ماتریس
اول از همه ، بیایید در مورد نشانه گذاری توافق کنیم. ماتریس $ A $ به اندازه $ \ left [m \ times n \ right] $ فقط یک جدول اعداد است که در آن دقیقاً $ m $ ردیف و $ n $ ستون وجود دارد:
\ = \ underbrace (\ چپ [\ شروع (ماتریس) ((a) _ (11)) و ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & (a) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & (a) _ (mn)) \\\ end (matrix) \ right]) _ (n) \]
برای اینکه به طور تصادفی سطرها و ستون ها را در مکان ها اشتباه نگیرید (باور کنید ، در امتحان می توانید 1 را با 2 مخلوط کنید - در مورد برخی خطوط در آنجا چه می توانیم بگوییم) ، فقط به تصویر نگاه کنید:
تعیین شاخصهای سلولهای ماتریسی چه اتفاقی می افتد؟ اگر سیستم مختصات استاندارد $ OXY $ را در گوشه بالا سمت چپ قرار دهیم و محورها را طوری هدایت کنیم که کل ماتریس را بپوشانند ، در این صورت هر سلول این ماتریس می تواند منحصراً با مختصات $ \ left (x؛ y \ right) مرتبط باشد $ - این شماره ردیف و شماره ستون خواهد بود.
چرا سیستم مختصات در گوشه بالا سمت چپ قرار دارد؟ زیرا از آنجاست که ما شروع به خواندن هر متنی می کنیم. به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.
چرا محور $ x $ به سمت پایین است و نه به راست؟ باز هم ، همه چیز ساده است: سیستم مختصات استاندارد را بگیرید (محور $ x $ به راست ، محور $ y $ بالا می رود) و آن را بچرخانید تا ماتریس را در بر گیرد. این یک چرخش 90 درجه در جهت عقربه های ساعت است - ما می توانیم نتیجه آن را در تصویر ببینیم.
به طور کلی ، ما نحوه تعیین شاخص های عناصر ماتریس را فهمیدیم. حالا بیایید به ضرب بپردازیم.
تعریف. ماتریس ها $ A = \ چپ [m \ زمان n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ زمان k \ راست] $ ، در صورتی که تعداد ستون های اولین ستون برابر با تعداد سطرهای دوم است ، سازگار نامیده می شوند.
به آن ترتیب. شما می توانید تردید کنید و بگویید ، آنها می گویند ، ماتریس های $ A $ و $ B $ یک جفت مرتب شده $ \ چپ (A؛ B \ راست) $ را تشکیل می دهند: اگر آنها در این ترتیب سازگار باشند ، بنابراین نیازی نیست که $ B $ و $ A $ ، آن. جفت $ \ چپ (B ؛ A \ راست) $ نیز سازگار است.
فقط ماتریس های همسان را می توان ضرب کرد.
تعریف. حاصلضرب ماتریس های مشابه $ A = \ چپ [m \ زمان n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ زمان k \ راست] $ ماتریس جدیدی است $ C = \ چپ [m \ زمان k \ راست ] $ ، که عناصر آن $ ((c) _ (ij)) $ با فرمول محاسبه می شود:
\ [((c) _ (ij)) = \ sum \ limit_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]
به عبارت دیگر: برای بدست آوردن عنصر $ ((c) _ (ij)) $ ماتریس $ C = A \ cdot B $ ، باید $ i $ -row اولین ماتریس ، $ j $ را بگیرید -th ستون ماتریس دوم ، و سپس عناصر این سطر و ستون را به صورت جفت ضرب کنید. نتایج را جمع کنید.
بله ، تعریف بسیار سختی است. چندین واقعیت بلافاصله از آن ناشی می شود:
- به طور کلی ضرب ماتریس غیرتغییری است: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $؛
- با این حال ، ضرب همراه است: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $؛
- و حتی به صورت توزیعی: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $؛
- و بار دیگر به صورت توزیعی: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.
توزیع ضرب باید به طور جداگانه برای مجموع ضرب چپ و راست فقط به دلیل عدم تعویض عملیات ضرب توضیح داده شود.
اگر ، با این وجود ، معلوم شد که $ A \ cdot B = B \ cdot A $ ، چنین ماتریسی ها ماتریس های جایگشت نامیده می شوند.
در بین همه ماتریس هایی که در آنجا بر چیزی ضرب می شوند ، ماد خاصی وجود دارد - آنهایی که ، وقتی در هر ماتریسی $ A $ ضرب شوند ، دوباره $ A $ می دهند:
تعریف. ماتریس $ E $ هویت نامیده می شود اگر $ A \ cdot E = A $ یا $ E \ cdot A = A $. در مورد ماتریس مربع $ A $ ، می توانیم بنویسیم:
ماتریس واحد هنگام حل معادلات ماتریس یک مهمان مکرر است. و به طور کلی ، یک بازدید کننده مکرر از دنیای ماتریس ها. :)
و همچنین به دلیل این $ E $ ، شخصی تمام بازی هایی را که بعداً نوشته خواهد شد ، ارائه داد.
ماتریس معکوس چیست
از آنجا که ضرب ماتریس یک عملیات بسیار وقت گیر است (شما باید دسته ای از سطرها و ستون ها را ضرب کنید) ، مفهوم ماتریس معکوس نیز بی اهمیت ترین نیست. و نیاز به توضیح دارد
تعریف کلیدی
خوب ، وقت آن است که حقیقت را بیاموزیم.
تعریف. اگر ماتریس $ B $ معکوس باشد ماتریس $ A $ نامیده می شود
ماتریس معکوس با $ ((A) ^ (-- 1)) $ نشان داده می شود (نباید با درجه اشتباه گرفته شود!) ، بنابراین تعریف را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
به نظر می رسد که همه چیز بسیار ساده و واضح است. اما هنگام تجزیه و تحلیل چنین تعریفی ، بلافاصله چندین س ariseال مطرح می شود:
- آیا همیشه ماتریس معکوس وجود دارد؟ و اگر نه همیشه ، پس چگونه می توان تعیین کرد: چه زمانی وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد؟
- و چه کسی گفته است که دقیقاً یک چنین ماتریسی وجود دارد؟ اگر برای برخی از ماتریس های اولیه $ A $ تعداد زیادی معکوس وجود داشته باشد ، چه؟
- همه این معکوس ها چه شکلی هستند؟ و در واقع چگونه باید آنها را شمرد؟
در مورد الگوریتم های محاسبه - ما کمی بعد در این مورد صحبت خواهیم کرد. اما ما به بقیه سوالات در حال حاضر پاسخ خواهیم داد. اجازه دهید آنها را در قالب بیانیه های جداگانه-lemmas تدوین کنیم.
خواص اولیه
بیایید با ماتریس $ A $ شروع کنیم تا $ ((A) ^ (- 1)) $ برای آن وجود داشته باشد. حالا ما مطمئن می شویم که هر دوی این ماتریس ها باید مربع و دارای یک اندازه باشند: $ \ left [n \ times n \ right] $.
لما 1. با توجه به ماتریسی $ A $ و معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ آن. سپس هر دوی این ماتریس ها مربع هستند ، با همان ترتیب $ n $.
اثبات ساده است. اجازه دهید ماتریس $ A = \ left [m \ times n \ right] $، $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [a \ times b \ right] $. از آنجا که محصول $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ به صورت تعریف شده وجود دارد ، ماتریس های $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ به ترتیب نشان داده شده مطابقت دارند:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ زمان n \ راست] \ cdot \ چپ [a \ بار b \ راست] = \ چپ [m \ بار b \ راست] \\ & n = a \ پایان ( تراز کردن) \]
این نتیجه مستقیم الگوریتم ضرب ماتریس است: ضرایب $ n $ و $ a $ "گذرا" هستند و باید برابر باشند.
در همان زمان ، ضرب معکوس نیز تعریف شده است: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $ ، بنابراین ماتریس های $ ((A) ^ (- 1)) $ و $ A $ هستند همچنین به ترتیب نشان داده شده مطابقت دارد:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [a \ بار b \ راست] \ cdot \ چپ [m \ بار n \ راست] = \ چپ [a \ بارها \ \ راست] \\ & b = m \ پایان ( تراز کردن) \]
بنابراین ، بدون از دست دادن کلیت ، می توان فرض کرد که $ A = \ left [m \ times n \ right] $، $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [n \ times m \ right] $. با این حال ، طبق تعریف ، $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $ ، بنابراین اندازه ماتریس ها کاملاً یکسان است:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ زمان n \ راست] = \ چپ [n \ زمان m \ راست] \\ & m = n \ پایان (تراز کردن) \]
بنابراین معلوم می شود که هر سه ماتریس - $ A $ ، $ ((A) ^ ( - 1)) $ و $ E $ - اندازه مربع $ \ left [n \ times n \ right] $ هستند. لما ثابت شده است.
خوب ، این قبلاً بد نیست. می بینیم که فقط ماتریس های مربعی برگشت پذیر هستند. حالا بیایید مطمئن شویم که عکس معکوس همیشه یکسان است.
لما 2. با توجه به ماتریسی $ A $ و معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $. سپس این معکوس تنها یکی است.
اثبات بیایید از نقطه مقابل برویم: اجازه دهید ماتریس $ A $ حداقل دو نسخه از معکوس داشته باشد - $ B $ و $ C $. سپس ، طبق تعریف ، برابری های زیر صادق است:
\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot B = B \ cdot A = E؛ \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ پایان (تراز کردن) \]
از Lemma 1 نتیجه می گیریم که هر چهار ماتریس - $ A $ ، $ B $ ، $ C $ و $ E $ - مربع یک ترتیب هستند: $ \ left [n \ times n \ right] $. بنابراین ، محصول تعریف می شود:
از آنجا که ضرب ماتریس تداعی کننده است (اما غیر قابل تغییر نیست!) ، می توانیم بنویسیم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & B \ cdot A \ cdot C = \ left (B \ cdot A \ right) \ cdot C = E \ cdot C = C؛ \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B؛ \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \ پایان (تراز کردن) \]
متوجه تنها چیزی شدم نوع احتمالی: دو مورد از ماتریس معکوس مساوی هستند. لما ثابت شده است.
استدلال فوق تقریباً کلمه به کلمه اثبات منحصر به فرد بودن معکوس برای همه اعداد واقعی $ b \ ne 0 $ را تکرار می کند. تنها نکته ضروری در نظر گرفتن ابعاد ماتریس ها است.
با این حال ، ما هنوز چیزی در مورد اینکه آیا ماتریس مربعی معکوس است یا خیر ، نمی دانیم. در اینجا تعیین کننده به کمک ما می آید - این یک ویژگی کلیدی برای همه ماتریس های مربع است.
لما 3. به شما یک ماتریس $ A $ داده می شود. اگر ماتریس معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود داشته باشد ، تعیین کننده ماتریس اصلی غیر صفر است:
\ [\ چپ | A \ right | \ ne 0 \]
اثبات ما قبلاً می دانیم که $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ ماتریس های مربعی به اندازه $ \ چپ [n \ زمان n \ راست] $ هستند. بنابراین ، برای هر یک از آنها ، می توانید تعیین کننده را محاسبه کنید: $ \ left | A \ right | $ و $ \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | $ با این حال ، تعیین کننده محصول برابر با محصول تعیین کننده ها است:
\ [\ چپ | A \ cdot B \ right | = \ چپ | A \ right | \ cdot \ left | B \ right | \ Rightarrow \ left | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \]
اما طبق تعریف $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ ، و تعیین کننده $ E $ همیشه 1 است ، بنابراین
\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E ؛ \\ & \ چپ | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | E \ right |؛ \\ & \ چپ | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | = 1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]
حاصلضرب دو عدد تنها در صورتی برابر است که هر یک از این اعداد با صفر متفاوت باشند:
\ [\ چپ | A \ right | \ ne 0؛ \ quad \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \ ne 0. \]
بنابراین معلوم می شود که $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. لما ثابت شده است.
در واقع ، این نیاز کاملاً منطقی است. اکنون ما الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را تجزیه و تحلیل می کنیم - و کاملاً مشخص می شود که چرا با یک تعیین کننده صفر ، اصولاً هیچ ماتریسی معکوس نمی تواند وجود داشته باشد.
اما ابتدا بیایید یک تعریف "کمکی" ارائه دهیم:
تعریف. ماتریس منحط یک ماتریس مربعی به اندازه $ \ چپ [n \ زمان n \ راست] $ است که تعیین کننده آن صفر است.
بنابراین ، ما می توانیم ادعا کنیم که هر ماتریس معکوس غیر انحطاطی است.
چگونه معکوس ماتریس را پیدا کنیم
اکنون ما یک الگوریتم جهانی برای یافتن ماتریس معکوس در نظر خواهیم گرفت. به طور کلی ، دو الگوریتم به طور کلی پذیرفته شده است ، و ما امروز نیز الگوریتم دوم را در نظر خواهیم گرفت.
موردی که اکنون مورد بحث قرار می گیرد برای ماتریس های اندازه $ \ چپ [2 \ بار 2 \ راست] $ و - تا حدی - اندازه $ \ چپ [3 \ بار 3 \ راست] $ بسیار کارآمد است. اما از اندازه $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ بهتر است از آن استفاده نکنید. چرا - اکنون شما خودتان همه چیز را خواهید فهمید.
مکمل های جبری
آماده شدن. اکنون درد وجود خواهد داشت. نه ، نگران نباشید: یک پرستار زیبا با دامن ، جوراب ساق بلند با بند و به شما تزریق در باسن را انجام نمی دهد. همه چیز بسیار معتبرتر است: اضافات جبری و اعلیحضرت "ماتریس اتحادیه" به شما می آیند.
بیایید با موضوع اصلی شروع کنیم. بگذارید یک ماتریس مربعی به اندازه $ A = \ left [n \ times n \ right] $ وجود داشته باشد ، که عناصر آن $ ((a) _ (ij)) $ نامگذاری شده است. سپس ، برای هر یک از این عناصر ، می توان یک مکمل جبری تعریف کرد:
تعریف. مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $ به عنصر $ ((a) _ (ij)) $ واقع در ردیف $ i $ -th و $ j $ -th ستون ماتریس $ A = \ left [n \ times n \ right] $ یک فرم از فرم است
\ [((A) _ (ij)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]
جایی که $ M_ (ij) ^ (*) $ تعیین کننده ماتریسی است که با حذف همان ردیف $ i $ -th و $ j $ -th ستون از $ A $ اصلی بدست می آید.
از نو. مکمل جبری عنصر ماتریس با مختصات $ \ left (i؛ j \ right) $ به عنوان $ ((A) _ (ij)) $ نشان داده می شود و طبق طرح زیر محاسبه می شود:
- ابتدا ، خط $ i $ و ستون $ j $ -th را از ماتریس اصلی حذف کنید. ما یک ماتریس مربع جدید دریافت می کنیم و تعیین کننده آن را $ M_ (ij) ^ (*) $ نشان می دهیم.
- سپس این تعیین کننده را در $ ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) $ ضرب می کنیم-در ابتدا این عبارت ممکن است خسته کننده به نظر برسد ، اما در واقع ما فقط علامت جلوی آن را پیدا می کنیم. $ M_ (ij) ^ (*) $.
- ما حساب می کنیم - یک عدد خاص دریافت می کنیم. آن ها مکمل جبری دقیقاً یک عدد است ، نه ماتریس جدید و غیره.
خود ماتریس $ M_ (ij) ^ (*) $ مینور مکمل عنصر $ ((a) _ (ij)) $ نامیده می شود. و از این نظر ، تعریف فوق از مکمل جبری مورد خاصی از تعریف پیچیده تر است - آنچه در درس در مورد تعیین کننده در نظر گرفتیم.
یادداشت مهم. به طور کلی ، در ریاضیات "بزرگسالان" ، اضافات جبری به شرح زیر تعریف می شود:
- ما سطرهای k $ $ و ستون $ k $ را در یک ماتریس مربعی بر می داریم. در تقاطع آنها ، ماتریسی به اندازه $ \ left [k \ times k \ right] $ دریافت می کنیم - تعیین کننده آن جزئی سفارش $ k $ نامیده می شود و با $ ((M) _ (k)) $ نشان داده می شود.
- سپس ما این "مورد علاقه" خطوط $ k $ و $ k $ ستون را حذف می کنیم. دوباره ، یک ماتریس مربعی به دست می آوریم - تعیین کننده آن مینور مکمل نامیده می شود و $ M_ (k) ^ (*) $ نشان داده می شود.
- $ M_ (k) ^ (*) $ را در $ ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (t)) $ ضرب کنید ، جایی که $ t $ است (اکنون توجه!) مجموع اعداد همه خطوط انتخاب شده و ستون ... این اضافه جبری خواهد بود.
نگاهی به مرحله سوم بیندازید: در واقع مجموع شرایط 2k $ $ وجود دارد! نکته دیگر این است که برای $ k = 1 $ فقط 2 عبارت دریافت می کنیم - اینها همان $ i + j $ خواهند بود - "مختصات" عنصر $ ((a) _ (ij)) $ ، که ما به دنبال آن هستیم برای مکمل جبری
بنابراین ، امروزه از یک تعریف کمی ساده شده استفاده می کنیم. اما همانطور که بعداً خواهیم دید ، بیش از حد کافی خواهد بود. مورد بعدی بسیار مهمتر است:
تعریف. ماتریس جانبی $ S $ به ماتریس مربع $ A = \ left [n \ times n \ right] $ یک ماتریس جدید با اندازه $ \ left [n \ times n \ right] $ است که از $ A $ بدست می آید با جایگزینی $ ((a) _ (ij)) $ جبر مکمل $ ((A) _ (ij)) $:
\\ Rightarrow S = \ left [\ begin (matrix) ((A) _ (11)) و ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ (( A) _ (21)) & ((A) _ (22)) & ... & ((A) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ end (matrix) \ right] \]
اولین فکری که در لحظه تحقق این تعریف بوجود می آید این است که "این چقدر باید حساب کنی!" آرام باشید: باید حساب کنید ، اما نه خیلی زیاد. :)
خوب ، همه اینها بسیار زیبا هستند ، اما چرا لازم است؟ در اینجا دلیل آن است.
قضیه اصلی
بیایید کمی به عقب برگردیم. به یاد داشته باشید ، در لما 3 بیان شد که یک ماتریس وارونه $ A $ همیشه غیر انحطاط پذیر است (یعنی تعیین کننده آن غیر صفر است: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).
بنابراین ، برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس $ A $ انحطاط نباشد ، پس همیشه قابل برگشت است. و حتی یک طرح جستجو $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود دارد. آن را بررسی کنید:
قضیه ماتریس معکوس اجازه دهید ماتریس مربعی $ A = \ left [n \ times n \ right] $ داده شود و تعیین کننده آن غیر صفر است: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. سپس ماتریس معکوس $ ((A) ^ (-- 1)) $ وجود دارد و با فرمول محاسبه می شود:
\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]
و اکنون - همه چیز یکسان است ، اما با خطی خوانا. برای یافتن معکوس ماتریس ، به موارد زیر نیاز دارید:
- محاسبه تعیین کننده $ \ left | A \ right | $ و مطمئن شوید که صفر نیست.
- ماتریس اتحاد $ S $ ، یعنی 100500 جبر مکمل $ ((A) _ (ij)) $ است و آنها را به جای $ ((a) _ (ij)) $ قرار دهید.
- این ماتریس را $ S $ جابجا کنید و سپس آن را در عددی $ q = (1) / (\ \ left | A \ right |) \؛ $ ضرب کنید.
و بس! ماتریس معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ یافت می شود. بیایید نگاهی به نمونه ها بیندازیم:
\ [\ چپ [\ شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 & 2 \\\ پایان (ماتریس) \ راست] \]
راه حل. بیایید برگشت پذیری را بررسی کنیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم:
\ [\ چپ | A \ right | = \ left | \ begin (matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end (matrix) \ right | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]
تعیین کننده غیر صفر است. بنابراین ، ماتریس معکوس است. بیایید ماتریس اتحادیه را بسازیم:
بیایید اضافات جبری را بشماریم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & ((A) _ (11)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ چپ | 2 \ راست | = 2؛ \\ & ((A) _ (12)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | 5 \ راست | = -5؛ \\ & ((A) _ (21)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ چپ | 1 \ راست | = -1؛ \\ & ((A) _ (22)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ چپ | 3 \ راست | = 3. \\ \ پایان (تراز کردن) \]
لطفاً توجه داشته باشید: عوامل تعیین کننده | 2 | ، | 5 | ، | 1 | و | 3 | - اینها ماتریس های اندازه $ \ left [1 \ times 1 \ right] $ هستند ، نه ماژول ها. آن ها اگر شرایط واجد شرایط شامل شود اعداد منفی، حذف "منهای" ضروری نیست.
در کل ، ماتریس اتحادیه ما به این شکل است:
\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ frac (1) (1) \ cdot ( (\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end (array) \ right]) ^ (T)) = \ left [\ begin [array] (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ انتها (آرایه) \ right] \]
بنابراین این تمام است. مشکل حل شده است.
پاسخ. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end (array) \ right] $
وظیفه. معکوس ماتریس را بیابید:
\ [\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]
راه حل. ما دوباره تعیین کننده را در نظر می گیریم:
\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ | \ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right | = \ begin (ماتریس ) \ left (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ right) - \\ - \ left (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ راست) \\\ انتها (ماتریس) = \ \ & = \ left (2 + 1 + 0 \ right) - \ left (4 + 0 + 0 \ right) = - 1 \ ne 0. \\ \ end (تراز) \]
تعیین کننده غیر صفر است - ماتریس معکوس است. اما اکنون سخت ترین آنها وجود خواهد داشت: شما باید 9 مورد (9 نفر ، لعنت بر آنها!) اضافات جبری را حساب کنید. و هر یک از آنها واجد شرایط $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ خواهد بود. پرواز کرد:
\ [\ begin (matrix) ((A) _ (11)) = ((\ \ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right | = 2؛ \\ ((A) _ (12)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | \ begin (ماتریس) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ پایان (ماتریس) \ right | = -1؛ \\ ((A) _ (13)) = ((\ \ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ چپ | \ begin (matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right | = -2؛ \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end (matrix) \ right | = 2؛ \\ \ پایان (ماتریس) \]
به طور خلاصه ، ماتریس متحد به این شکل خواهد بود:
بنابراین ، معکوس ماتریس به صورت زیر خواهد بود:
\ [((A) ^ ( -1)) = \ frac (1) ( -1) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ انتها (ماتریس) \ راست] = \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ انتها (آرایه) \ راست] \]
خوب ، این همه. در اینجا پاسخ است.
پاسخ. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end (array) \ right ] $
همانطور که می بینید ، در پایان هر مثال ، ما یک چک را اجرا کردیم. در این زمینه ، یک نکته مهم:
برای بررسی تنبل نباشید. ماتریس اصلی را در معکوس یافت شده ضرب کنید - باید $ E $ دریافت کنید.
انجام این بررسی بسیار آسان تر و سریعتر از آن است که در محاسبات بعدی ، در صورت حل معادله ماتریسی ، به دنبال خطا باشید.
روش جایگزین
همانطور که گفتم قضیه ماتریس معکوس برای اندازه های $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ و $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (in مورد دوم- خیلی خوب نیست) ، اما برای ماتریس های بزرگ ، غم شروع می شود.
اما نگران نباشید: یک الگوریتم جایگزین وجود دارد که با آن می توانید معکوس را حتی برای ماتریس $ \ left [10 \ times 10 \ right] $ بیابید. اما ، همانطور که اغلب اتفاق می افتد ، برای در نظر گرفتن این الگوریتم ، ما نیاز به کمی پیشینه نظری داریم.
تحولات ابتدایی
در بین تحولات مختلف ماتریس ، چندین تغییر خاص وجود دارد - آنها اولیه نامیده می شوند. دقیقاً سه تغییر شکل وجود دارد:
- ضرب. می توانید ردیف (ستون) $ i $ th را بگیرید و آن را در هر عددی $ k \ ne 0 $ ضرب کنید.
- اضافه ردیف (ستون) $ i $ -th (ستون) را اضافه کنید (ستون) $ j $ $ (ستون) ضرب در هر عدد $ k \ ne 0 $ (البته می توانید ، و $ k = 0 $ ، اما چه چیزی نقطه؟ هر چند هیچ چیز تغییر نمی کند)
- جايگزيني ردیف (ستون) $ i $ th و $ j $ th را بردارید و آنها را عوض کنید.
چرا این تحولات ابتدایی نامیده می شوند (برای ماتریس های بزرگ چندان ابتدایی به نظر نمی رسند) و چرا فقط سه مورد از آنها وجود دارد - این س questionsالات خارج از محدوده درس امروز است. بنابراین ، ما وارد جزئیات نمی شویم.
نکته دیگر مهم است: ما باید همه این انحرافات را روی ماتریس متصل انجام دهیم. بله ، بله: درست شنیده اید. اکنون یک تعریف دیگر وجود دارد - آخرین در درس امروز.
ماتریس پیوست شده
مطمئناً در مدرسه سیستم معادلات را با استفاده از روش جمع حل می کردید. خوب ، آنجا ، یک رشته دیگر را از یک رشته کم کنید ، یک رشته را در یک عدد ضرب کنید - این همه.
بنابراین: در حال حاضر همه چیز یکسان خواهد بود ، اما در حال حاضر "به شیوه ای بالغ". آماده؟
تعریف. اجازه دهید ماتریس $ A = \ left [n \ times n \ right] $ و ماتریس هویت $ E $ به همان اندازه $ n $ داده شود. سپس ماتریس جانبی $ \ left [A \ left | E \ راست \ right] $ یک ماتریس جدید $ \ left [n \ times 2n \ right] $ است که به این شکل است:
\ [\ left [A \ left | E \ راست \ right] = \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & ... & (a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & (a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ انتها (آرایه) \ right] \]
به طور خلاصه ، ما ماتریس $ A $ را می گیریم ، در سمت راست ماتریس هویت $ E $ اندازه مورد نیاز را به آن اختصاص می دهیم ، آنها را با یک نوار عمودی برای زیبایی جدا می کنیم - در اینجا مضمون آن است. :)
گیرش چیه؟ در اینجا چیزی است که:
قضیه اجازه دهید ماتریس $ A $ برگشت ناپذیر باشد. ماتریس جانبی $ \ left [A \ left | E \ راست \ right] $. در صورت استفاده تبدیل رشته ابتداییآن را به فرم $ \ left [E \ left | B \ راست. \ right] $ ، یعنی با ضرب ، تفریق و ترتیب مجدد سطرها برای بدست آوردن ماتریس از $ A $ در سمت راست $ A ، سپس ماتریس $ B $ به دست آمده در سمت چپ معکوس $ A $ است:
\ [\ left [A \ left | E \ راست \ راست] \ به \ چپ [E \ چپ | B \ راست. \ right] \ Rightarrow B = ((A) ^ (- 1)) \]
ساده است! به طور خلاصه ، الگوریتم یافتن ماتریس معکوس به این شکل است:
- ماتریس پیوست $ \ left [A \ left | E \ راست \ right] $؛
- تا زمانی که $ E $ به جای $ A $ ظاهر نشود ، تبدیل رشته های اولیه را انجام دهید.
- البته ، چیزی نیز در سمت چپ ظاهر می شود - برخی ماتریس $ B $. این برعکس خواهد بود ؛
- سود! :)
البته گفتن این امر بسیار ساده تر از انجام آن است. بنابراین بیایید چند نمونه را بررسی کنیم: برای اندازه های $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ و $ \ left [4 \ times 4 \ right] $.
وظیفه. معکوس ماتریس را بیابید:
\ [\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ ]
راه حل. ما ماتریس پیوست را می سازیم:
\ [\ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 و 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \]
از آنجا که آخرین ستون ماتریس اصلی با واحد پر شده است ، بیایید ردیف اول را از بقیه کم کنیم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ انتها (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
جز خط اول دیگر وجود ندارد. اما ما آن را لمس نمی کنیم ، در غیر این صورت در ستون سوم واحدهای تازه حذف شده شروع به "ضرب" می کنند.
اما ما می توانیم خط دوم را دوبار از خط آخر کم کنیم - یک خط در گوشه پایین سمت چپ دریافت می کنیم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \ begin (ماتریس) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end (ماتریس) \ به \\ & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
اکنون می توانیم ردیف آخر را از اول و دو بار از دوم کم کنیم - به این ترتیب ستون اول را "صفر" می کنیم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \ begin (ماتریس) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
ردیف دوم را در −1 ضرب کنید ، سپس آن را 6 بار از اول کم کرده و 1 بار به آخرین اضافه کنید:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \ begin (ماتریس) \ \\ \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (آرایه) \ right] \ begin (matrix) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ end ( ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ \ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ end (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
تنها چیزی که باقی می ماند این است که خطوط 1 و 3 را عوض کنید:
\ [\ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 & -13 \\\ انتها (آرایه) \ راست] \]
آماده! در سمت راست ماتریس معکوس مورد نظر است.
پاسخ. $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ انتهای (array) \ right ] $
وظیفه. معکوس ماتریس را بیابید:
\ [\ چپ [\ شروع (ماتریس) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ انتها (ماتریس) \ راست] \]
راه حل. دوباره ، پیوست را می نویسیم:
\ [\ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ راست] \]
بیایید کمی خواب آلود شویم ، غصه بخوریم که حالا چقدر باید حساب کنیم ... و شروع به شمردن کنیم. ابتدا ، ستون اول را با کم کردن سطر 1 از سطرهای 2 و 3 صفر می کنیم:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ right] \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 و 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
ما در خطوط 2-4 بیش از حد "منفی" می بینیم. هر سه سطر را در −1 ضرب کنید و سپس ستون سوم را با کم کردن سطر 3 از بقیه بسوزانید:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end (آرایه) \ right] \ begin (ماتریس) \ \\ \ چپ | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ چپ | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ چپ | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \ end (array) \ right] \ begin (matrix) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (آرایه) ( rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
اکنون زمان "سرخ کردن" آخرین ستون ماتریس اصلی است: ردیف 4 را از بقیه کم کنید:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ پایان (آرایه ) \ right] \ begin (matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
رول نهایی: ستون دوم را با کم کردن سطر 2 از سطرهای 1 و 3 بسوزانید:
\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ پایان ( آرایه) \ right] \ begin (ماتریس) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ پایان (آرایه) \ right] \\ \ end (تراز) \]
و دوباره در سمت چپ ماتریس هویت است ، یعنی معکوس در سمت راست است. :)
پاسخ. $ \ left [\ begin (matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ انتها (ماتریس) \ راست] $
بنابراین این تمام است. خودتان آن را بررسی کنید - برای من حذف کنید. :)
برای هر ماتریس غیرتولیدی A ، ماتریس A -1 منحصر به فردی وجود دارد که
A * A -1 = A -1 * A = E ،
جایی که E ماتریس هویت همان ترتیب A. است ماتریس A -1 معکوس ماتریس A نامیده می شود.
در صورتی که کسی فراموش کند ، در ماتریس هویت ، به جز مورب پر شده با یک ، همه موقعیت های دیگر با صفر پر می شوند ، نمونه ای از ماتریس هویت:
پیدا کردن ماتریس معکوس با روش ماتریس جانبی
ماتریس معکوس با فرمول تعریف می شود:
جایی که A ij عناصر a ij هستند.
آن ها برای محاسبه ماتریس معکوس ، باید تعیین کننده این ماتریس را محاسبه کنید. سپس مکملهای جبری را برای همه عناصر آن بیابید و ماتریس جدیدی از آنها بسازید. در مرحله بعد ، شما باید این ماتریس را منتقل کنید. و هر عنصر ماتریس جدید را بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم کنید.
بیایید چند نمونه را بررسی کنیم.
A -1 را برای ماتریس پیدا کنید
راه حل: اجازه دهید A -1 را با روش ماتریس جانبی پیدا کنیم. ما det A = 2 داریم. اجازه دهید مکمل های جبری عناصر ماتریس A. را بیابیم. در این مورد ، مکمل های جبری عناصر ماتریس ، عناصر مربوط به خود ماتریس خواهند بود ، که با علامتی مطابق گرفته شده اند با فرمول
ما A 11 = 3 ، A 12 = -4 ، A 21 = -1 ، A 22 = 2 داریم. ما ماتریس مجاور را تشکیل می دهیم
ماتریس A را منتقل می کنیم:
ما ماتریس معکوس را با فرمول پیدا می کنیم:
ما گرفتیم:
پیدا کردن A -1 با استفاده از روش ماتریس اضافی اگر
راه حل: اول از همه ، ما تعریف ماتریس داده شده را محاسبه می کنیم تا از وجود ماتریس معکوس مطمئن شویم. ما داریم
در اینجا ما عناصر ردیف سوم را که قبلاً در (-1) ضرب کرده ایم ، به عناصر ردیف دوم اضافه کرده و سپس تعیین کننده را در ردیف دوم گسترش داده ایم. از آنجا که ماتریس داده شده غیر صفر تعیین شده است ، ماتریس معکوس وجود دارد. برای ساخت ماتریس جانبی ، مکمل های جبری عناصر این ماتریس را می یابیم. ما داریم
طبق فرمول
انتقال ماتریس A *:
سپس با فرمول
یافتن ماتریس معکوس با روش تبدیلهای ابتدایی
علاوه بر روش یافتن ماتریس معکوس ، که از فرمول (روش ماتریس جانبی) حاصل می شود ، روشی برای یافتن ماتریس معکوس وجود دارد که روش تحولات اولیه نامیده می شود.
تحولات ماتریس ابتدایی
تحولات زیر را تبدیل ماتریسی ابتدایی می نامند:
1) جایگزینی سطرها (ستون ها) ؛
2) ضرب یک سطر (ستون) در عددی غیر از صفر ؛
3) افزودن عناصر مربوط به یک سطر (ستون) به عناصر یک ردیف (ستون) ، که قبلاً در تعدادی ضرب شده است.
برای یافتن ماتریس A -1 ، می سازیم ماتریس مستطیلی B = (A | E) دستورات (n ؛ 2n) ، اختصاص ماتریس هویت E به ماتریس A از طریق نوار جدا کننده:
بیایید به یک مثال نگاه کنیم.
با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی ، A -1 را پیدا کنید اگر
راه حل: اجازه دهید ماتریس B را تشکیل دهیم:
اجازه دهید سطرهای ماتریس B را با α 1 ، α 2 ، α 3 نشان دهیم. اجازه دهید تغییرات زیر را در سطرهای ماتریس B انجام دهیم.
بارگذاری...