مثال ماتریس معکوس مرتبه دوم. ماتریس معکوس آنلاین

هدف خدمات با کمک این سرویس به صورت آنلاین می توانید مکمل های جبری، ماتریس AT جابجا شده، ماتریس الحاقی و ماتریس معکوس را پیدا کنید.

ماشین حساب آنلاین ماتریس معکوس

راه حل به طور مستقیم در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش ورد و در قالب اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوسبرای او وجود ندارد
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مکمل های جبری

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

پیدا کردن ماتریس معکوس

ماتریس А-1 با توجه به ماتریس ماتریس معکوس نامیده می شود اگر A * А-1 =، که در آن ماتریس هویت مرتبه هفتم است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد.

همچنین به ماتریس معکوس به روش جردن-گاوس مراجعه کنید

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
یافتن ماتریس جابجا شده AT.
تعریف متمم های جبری. هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
ایجاد یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر از ماتریس حاصل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

الگوریتم زیر برای یافتن ماتریس معکوس مشابه الگوریتم قبلی است، به استثنای برخی از مراحل: ابتدا مکمل های جبری محاسبه شده و سپس ماتریس اتحاد تعیین می شود.

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
تعریف متمم های جبری.
پر کردن ماتریس اتحاد (مقابل، متقابل).
ایجاد یک ماتریس معکوس از مکمل های جبری: هر عنصر ماتریس الحاقی بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:

اگر تعیین کننده ماتریس غیر صفر باشد، ماتریس معکوس وجود دارد. تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید:
= -1 (-1 4 - (- 2 5)) - 2 (2 4 - (- 2 (-2))) + 3 (2 5 - (- 1 (-2))) = 10. تعیین کننده است 10 و برابر با صفر نیست. راه حل را ادامه می دهیم.
ماتریس جابجا شده را پیدا کنید:
مکمل های جبری

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه دهیم.

تعیین کننده ماتریس مربع داده شده را پیدا کنید.
مکمل های جبری همه عناصر ماتریس را پیدا کنید.
متمم های جبری عناصر ردیف را در ستون ها می نویسیم (transposition).
هر عنصر از ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم.

همانطور که می بینید، عملیات جابجایی را می توان هم در ابتدا، روی ماتریس اصلی و هم در پایان، روی مکمل های جبری به دست آمده اعمال کرد.

مورد خاص: معکوس ماتریس هویت، ماتریس هویت است.

مثال شماره 2. معکوس یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل.
1. پیدا کنید
.
2. ما به دنبال مکمل های جبری هر عنصر از ماتریس A هستیم:
; ; .
اضافات جبری عناصر خط اول را بدست آوردیم.

ماتریس معکوس را به صورت آنلاین پیدا کنید

به طور مشابه، برای عناصر خط دوم و سوم، ما به دست می آوریم:
; ; .
; ; .
با ترکیب نقاط 3 و 4 ماتریس معکوس بدست می آید

.
برای بررسی، مطمئن شوید که A-1A = E.

دستورالعمل. برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را تنظیم کنید. بعد، در یک کادر محاوره ای جدید، ماتریس را پر کنید.

پیدا کردن ماتریس معکوس

هدف خدمات با کمک این سرویس به صورت آنلاین می توانید مکمل های جبری، ماتریس AT جابجا شده، ماتریس الحاقی و ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل به طور مستقیم در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش ورد و در قالب اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید

پیدا کردن ماتریس معکوس به صورت آنلاین

همچنین به ماتریس معکوس به روش جردن-گاوس مراجعه کنید

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
یافتن ماتریس جابجا شده AT.
تعریف متمم های جبری. هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
ایجاد یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر از ماتریس حاصل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
تعریف متمم های جبری.
پر کردن ماتریس اتحاد (مقابل، متقابل).
ایجاد یک ماتریس معکوس از مکمل های جبری: هر عنصر ماتریس الحاقی بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه دهیم.

تعیین کننده ماتریس مربع داده شده را پیدا کنید.
مکمل های جبری همه عناصر ماتریس را پیدا کنید.
متمم های جبری عناصر ردیف را در ستون ها می نویسیم (transposition).
هر عنصر از ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم.

برای بررسی، مطمئن شوید که A-1A = E.

یافتن ماتریس معکوس بخش مهمی از بخش جبر خطی است. با کمک چنین ماتریس هایی، در صورت وجود، می توان به سرعت راه حلی برای سیستم پیدا کرد معادلات خطی.

در صورتی که برابری های زیر برقرار باشد، ماتریس معکوس به ماتریس نامیده می شود.

اگر تعیین کننده یک ماتریس غیر صفر باشد، ماتریس را غیر خاص یا غیر منحط می نامند.

برای اینکه یک ماتریس معکوس داشته باشد، لازم و کافی است که غیر انحطاط باشد

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید ماتریس مربع داشته باشیم

و باید خلاف آن را پیدا کنید. برای انجام این کار؛ این موارد را دنبال کنید:

1. تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید. اگر برابر با صفر نباشد، اقدامات زیر را انجام می دهیم. در غیر این صورت، این ماتریس منحط است و برای آن معکوس وجود ندارد

2. متمم های جبری عناصر ماتریس را بیابید. آنها برابر با کوچکترین ضرب در توان مجموع سطر و ستونی هستند که ما به دنبال آن هستیم.

3. یک ماتریس از متمم های جبری عناصر ماتریس ماتریس بسازید و آن را انتقال دهید. این ماتریس متصل یا متحد نامیده می شود و نشان داده می شود.

4. ماتریس پیوست را به دترمینان تقسیم کنید. ماتریس حاصل معکوس خواهد بود و دارای خواصی است که در ابتدای مقاله توضیح داده شده است.

ماتریس معکوس ماتریس را پیدا کنید (Dubovik V.P., Yurik I.I.

پیدا کردن ماتریس معکوس

"ریاضیات عالی. مجموعه مسائل")

1) تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید

از آنجایی که تعیین کننده صفر نیست () ماتریس معکوس وجود دارد. ماتریسی متشکل از متمم های جبری را پیدا کنید

ماتریس مکمل شکل خواهد گرفت

ما آن را جابجا می کنیم و پیوست را دریافت می کنیم

آن را بر یک تعیین کننده تقسیم می کنیم و عکس آن را بدست می آوریم

می بینیم که در موردی که تعیین کننده برابر با یک استماتریس های مجاور و معکوس یکسان هستند.

2) تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید

ماتریس متمم های جبری را بیابید

شکل نهایی ماتریس مکمل

ما آن را جابجا می کنیم و ماتریس اتحاد را پیدا می کنیم

ماتریس معکوس را پیدا کنید

3) بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، آن را به خط اول گسترش دهید. در نتیجه دو جمله غیر صفر به دست می آوریم

ماتریس متمم های جبری را بیابید. جدول زمانی تعیین کننده در ردیف ها و ستون هایی انجام می شود که در آنها عناصر صفر بیشتری وجود دارد (با رنگ مشکی مشخص شده است).

شکل نهایی ماتریس مکمل به شرح زیر است.

ما آن را جابجا می کنیم و ماتریس مرتبط را پیدا می کنیم

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس برابر با یک است، ماتریس معکوس با ماتریس الحاقی منطبق است. این مثالبازگشت.

هنگام محاسبه ماتریس معکوس، خطاهای مرتبط با علائم نادرست هنگام محاسبه ماتریس تعیین کننده و مکمل معمولی هستند.

ریاضیات عالی »ماتریس ها و عوامل تعیین کننده» ماتریس معکوس »محاسبه ماتریس معکوس با استفاده از جمع های جبری.

الگوریتم محاسبه ماتریس معکوس با استفاده از مکمل های جبری: روش ماتریس الحاقی (الحاقی).

اگر شرط $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ برآورده شود، ماتریس $ A ^ (- 1) $ نسبت به ماتریس مربع $ A $ معکوس نامیده می شود. ، که در آن $ E $ ماتریس هویت است که ترتیب آن برابر با ترتیب ماتریس $ A $ است.

ماتریس غیر منحط - ماتریسی که تعیین کننده آن برابر با صفر نیست. بر این اساس، یک ماتریس منحط، ماتریسی است که تعیین کننده آن برابر با صفر است.

ماتریس معکوس $ A ^ (- 1) $ وجود دارد اگر و فقط اگر ماتریس $ A $ غیر منحط باشد. اگر ماتریس معکوس $ A ^ (- 1) $ وجود داشته باشد، یکتا است.

چندین راه برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد که ما به دو مورد از آنها خواهیم پرداخت. این صفحه روش ماتریس الحاقی را پوشش می دهد که در اکثر دوره ها استاندارد در نظر گرفته می شود. ریاضیات بالاتر... روش دوم برای یافتن ماتریس معکوس (روش تبدیل های ابتدایی) که شامل استفاده از روش گاوس یا روش گاوس-جردن است، در قسمت دوم مورد بحث قرار گرفته است.

روش ماتریس الحاقی (الحاقی).

اجازه دهید ماتریس $ A_ (n \ بار n) $ داده شود. برای یافتن معکوس $ A ^ (- 1) $، سه مرحله لازم است:

تعیین کننده ماتریس $ A $ را بیابید و مطمئن شوید که $ \ دلتا A \ neq 0 $ ، یعنی. که ماتریس A غیر منحط است.
مکمل های جبری $ A_ (ij) $ از هر عنصر ماتریس $ A $ را بسازید و ماتریس $ A_ (n \ بار n) ^ (*) = \ چپ (A_ (ij) \ راست) $ را از مکمل های جبری پیدا کرد.
ماتریس معکوس را با در نظر گرفتن فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ بنویسید.

ماتریس $ (A ^ (*)) ^ T $ اغلب به عنوان الحاق (مقابل، الحاق) به ماتریس $ A $ نامیده می شود.

اگر راه حل به صورت دستی انجام شود، روش اول فقط برای ماتریس هایی با سفارشات نسبتاً کوچک مناسب است: دوم (مثال شماره 2)، سوم (مثال شماره 3)، روش چهارم (مثال شماره 4). برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس مرتبه بالاتر، روش های دیگری استفاده می شود. برای مثال روش گاوس که در قسمت دوم به آن پرداخته شده است.

مثال شماره 1

معکوس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 و -9 و 0 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $.

ماتریس معکوس

از آنجایی که تمام عناصر ستون چهارم برابر با صفر هستند، پس $ \ دلتا A = 0 $ (یعنی ماتریس $ A $ منحط است). از آنجایی که $ \ دلتا A = 0 $، ماتریس معکوس ماتریس $ A $ وجود ندارد.

مثال شماره 2

معکوس ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

ما از روش ماتریس الحاقی استفاده می کنیم. ابتدا، ما تعیین کننده ماتریس داده شده $ A $ را پیدا می کنیم:

$$ \ دلتا A = \ چپ | \ begin (آرایه) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ سمت راست | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

از آنجایی که $ \ دلتا A \ neq 0 $ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. ما مکمل های جبری هر عنصر از یک ماتریس معین را پیدا می کنیم:

\ شروع (تراز شده) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9؛ \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ انتهای (تراز شده)

ما یک ماتریس از مکمل های جبری می سازیم: $ A ^ (*) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

ماتریس حاصل را جابه‌جا کنید: $ (A ^ (*)) ^ T = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ پایان (آرایه) \ راست) $ (نتیجه ماتریس اغلب به عنوان ماتریس الحاقی یا الحاقی به ماتریس $ A $ نامیده می شود. با استفاده از فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $، داریم:

$$ A ^ (- 1) = \ فرک (1) (- 103) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 و -5 \ پایان (آرایه) \ راست) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ پایان (آرایه) \ راست) $$

بنابراین معکوس پیدا می شود: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ پایان (آرایه) \ راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ یا $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. اجازه دهید برابری $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $ A ^ (- 1) $ را جایگزین می کنیم نه به شکل $ \ left (\ begin (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (آرایه) \ راست) $، و به صورت $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 و -5 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $:

پاسخ: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

مثال شماره 3

معکوس ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

بیایید با محاسبه تعیین کننده ماتریس $ A $ شروع کنیم. بنابراین، تعیین کننده ماتریس $ A $ به شرح زیر است:

$$ \ دلتا A = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (آرایه) \ سمت راست | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

ماتریسی از متمم های جبری می سازیم و آن را جابجا می کنیم:

$$ A ^ * = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ پایان (آرایه) \ سمت راست); \; (A ^ *) ^ T = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ پایان (آرایه) \ راست) $$

با استفاده از فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $، دریافت می کنیم:

$$ A ^ (- 1) = \ فراک (1) (26) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 و 37 \ پایان (آرایه) \ راست) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $$

بنابراین $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (آرایه) \ سمت راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ یا $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. اجازه دهید برابری $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $ A ^ (- 1) $ را جایگزین می کنیم نه به شکل $ \ left (\ begin (آرایه) (cc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (آرایه) \ سمت راست) $ و به صورت $ \ فراک (1) (26) \ cdot \ چپ ( \ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (آرایه) \ سمت راست) $:

چک با موفقیت انجام شد، معکوس $ A ^ (- 1) $ به درستی پیدا شد.

پاسخ: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $.

مثال شماره 4

معکوس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 را پیدا کنید & -8 & -3 \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

برای یک ماتریس مرتبه چهارم، یافتن ماتریس معکوس با استفاده از مکمل های جبری تا حدودی دشوار است. با این حال، چنین نمونه هایی در مقالات آزمون یافت می شود.

برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس $ A $ را محاسبه کنید. بهترین راه برای انجام این کار در این شرایط این است که تعیین کننده را به ردیف (ستون) بسط دهید. هر سطر یا ستونی را انتخاب می کنیم و مکمل های جبری هر عنصر سطر یا ستون انتخاب شده را پیدا می کنیم.

به عنوان مثال، برای خط اول به دست می آوریم:

تعیین کننده ماتریس $ A $ با فرمول زیر محاسبه می شود:

$$ \ Delta A = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

ماتریس مکمل جبری: $ A ^ * = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

ماتریس پیوست شده: $ (A ^ *) ^ T = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $

ماتریس معکوس:

$$ A ^ (- 1) = \ فراک (1) (100) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ پایان (آرایه) \ راست) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 139/25 و -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 و 1/25 و 9/25 و -24/25 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $$

معاینه:

در نتیجه، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود.

پاسخ: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست ) دلار.

در بخش دوم، روش متفاوتی برای یافتن ماتریس معکوس در نظر گرفته می‌شود که شامل استفاده از تبدیل‌های روش گاوس یا روش گاوس-جردن است.

کلاس های آنلاین ریاضیات عالی

پیدا کردن ماتریس معکوس

همچنین به ماتریس معکوس به روش جردن-گاوس مراجعه کنید

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
یافتن ماتریس جابجا شده AT.
تعریف متمم های جبری. هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
ایجاد یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر از ماتریس حاصل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
تعریف متمم های جبری.
پر کردن ماتریس اتحاد (مقابل، متقابل).
ایجاد یک ماتریس معکوس از مکمل های جبری: هر عنصر ماتریس الحاقی بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه دهیم.

تعیین کننده ماتریس مربع داده شده را پیدا کنید.
مکمل های جبری همه عناصر ماتریس را پیدا کنید.
متمم های جبری عناصر ردیف را در ستون ها می نویسیم (transposition).
هر عنصر از ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم.

برای بررسی، مطمئن شوید که A-1A = E.

ماتریس А -1 با توجه به ماتریس А ماتریس معکوس نامیده می شود اگر А * А -1 = Е، جایی که Е ماتریس واحد مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد.

هدف خدمات... با کمک این سرویس به صورت آنلاین می توانید مکمل های جبری، ماتریس A T انتقال یافته، ماتریس الحاقی و ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل به طور مستقیم در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش ورد و در قالب اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید

دستورالعمل. برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را تنظیم کنید. بعد، در یک کادر محاوره ای جدید، ماتریس A را پر کنید.

همچنین به ماتریس معکوس با استفاده از روش جردن-گاوس مراجعه کنید

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

یافتن ماتریس جابجا شده A T.
تعریف متمم های جبری. هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
ایجاد یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر از ماتریس حاصل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.

بعد الگوریتم ماتریس معکوسمشابه مرحله قبل است، به جز چند مرحله: ابتدا متمم های جبری محاسبه شده و سپس ماتریس الحاقی C تعیین می شود.

مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
محاسبه دترمینان ماتریس A. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
تعریف متمم های جبری.
پر کردن ماتریس اتحاد (مقابل، متقابل) C.
ایجاد یک ماتریس معکوس از مکمل های جبری: هر عنصر ماتریس الحاقی C بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
بررسی انجام می شود: ماتریس اصلی و حاصل ضرب می شوند. نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:

مکمل های جبری ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3.2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه دهیم.

تعیین کننده ماتریس مربع داده شده A را پیدا کنید.
مکمل های جبری همه عناصر ماتریس A را پیدا کنید.
متمم های جبری عناصر ردیف را در ستون ها می نویسیم (transposition).
هر عنصر از ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس A تقسیم می کنیم.

یک مورد خاص: معکوس ماتریس هویت E، ماتریس هویت E است.

ما در مورد اقدامات با ماتریس صحبت می کنیم. یعنی - در طول مطالعه این سخنرانی، نحوه یافتن ماتریس معکوس را یاد خواهید گرفت. فرا گرفتن. حتی اگر ریاضی تنگ باشد.

ماتریس معکوس چیست؟ در اینجا می توانید یک قیاس با اعداد متقابل رسم کنید: به عنوان مثال، عدد خوش بینانه 5 و معکوس آن را در نظر بگیرید. حاصل ضرب این اعداد برابر با یک است:. با ماتریس ها، همه چیز مشابه است! حاصل ضرب یک ماتریس با ماتریس معکوس آن برابر است با - ماتریس هویت، که آنالوگ ماتریسی یک واحد عددی است. با این حال، ابتدا یک مسئله کاربردی مهم را حل خواهیم کرد، یعنی یاد خواهیم گرفت که چگونه این ماتریس بسیار معکوس را پیدا کنیم.

برای یافتن ماتریس معکوس چه چیزی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ شما باید بتوانید تصمیم بگیرید عوامل تعیین کننده... باید بفهمی چیه ماتریسو بتوانید برخی از اعمال را با آنها انجام دهید.

دو روش اصلی برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد:
از طريق مکمل های جبریو با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

امروز اولین راه ساده تر را بررسی خواهیم کرد.

بیایید با وحشتناک ترین و غیر قابل درک ترین شروع کنیم. در نظر گرفتن مربعماتریس ماتریس معکوس را می توان با فرمول زیر پیدا کرد:

جایی که تعیین کننده ماتریس است، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس است.

مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد، ماتریس های «دو در دو»، «سه در سه» و غیره.

تعیین ها: همانطور که احتمالا قبلاً متوجه شده اید، معکوس ماتریس با یک بالانویس نشان داده می شود

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم - یک ماتریس دو در دو. البته اغلب اوقات "سه در سه" مورد نیاز است، اما، با این وجود، برای تسلط بر اصل کلی راه حل، اکیداً مطالعه یک کار ساده تر را توصیه می کنم.

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

ما تصمیم گرفتیم. توالی اقدامات را می توان به راحتی به نقاط تقسیم کرد.

1) ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.

اگر درک شما از این عمل به اندازه کافی خوب نیست، مطالب را بخوانید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مهم!در صورتی که تعیین کننده ماتریس باشد صفر- ماتریس معکوس وجود ندارد.

در مثال مورد بررسی، همانطور که معلوم شد، به این معنی است که همه چیز مرتب است.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

برای حل مشکل ما نیازی به دانستن اینکه مینور چیست، توصیه می شود مقاله را مطالعه کنید نحوه محاسبه تعیین کننده.

ماتریس مینورها همان ابعاد ماتریس را دارد، یعنی در این مورد.
موضوع کوچک است، باید چهار عدد را پیدا کرد و آنها را به جای ستاره گذاشت.

بازگشت به ماتریس ما
ابتدا به عنصر سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

چگونه آن را پیدا کنیم جزئی?
و این کار به این صورت انجام می شود: با تفکر روی سطر و ستونی که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:

تعداد باقی مانده است جزئی از این عنصر، که در ماتریس مینورها می نویسیم:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

ما به طور ذهنی ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط می زنیم:

چیزی که باقی می ماند مینور این عنصر است که در ماتریس خود می نویسیم:

به همین ترتیب، عناصر خط دوم را در نظر می گیریم و جزئی های آنها را پیدا می کنیم:

آماده.

ساده است. در ماتریس خردسالان، شما نیاز دارید تغییر علائمدو عدد:

این اعدادی هستند که من دایره آنها را زده ام!

- ماتریسی از مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس.

و این فقط ...

4) ماتریس جابجایی متمم های جبری را بیابید.

- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس.

5) پاسخ دهید.

به یاد فرمول ما
همه چیز پیدا شد!

بنابراین معکوس ماتریس برابر است با:

پاسخ بهتر است همان طور که هست باقی بماند. نیازی نیستهر عنصر ماتریس را بر 2 تقسیم کنید، زیرا اعداد کسری به دست می آید. این تفاوت ظریف در همان مقاله با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گرفته است. عملیات ماتریسی.

چگونه می توانم راه حل را بررسی کنم؟

انجام ضرب ماتریس یا ضروری است

معاینه:

مواردی که قبلا ذکر شد ماتریس هویتیک ماتریس با موارد روشن است مورب اصلیو صفر در جاهای دیگر

بنابراین، عکس آن صحیح است.

اگر عملی را انجام دهید، نتیجه نیز ماتریس هویت خواهد بود. این یکی از معدود مواردی است که در آن ضرب ماتریس قابل تغییر است، بیشتر اطلاعات دقیقرا می توان در مقاله یافت ویژگی های عملیات روی ماتریس ها عبارات ماتریسی... همچنین توجه داشته باشید که در حین بررسی، ثابت (کسر) در انتها - پس از ضرب ماتریس - به جلو آورده و پردازش می شود. این یک تکنیک استاندارد است.

بیایید به یک مورد رایج تر در عمل برویم - ماتریس "سه در سه":

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

الگوریتم دقیقاً مشابه حالت دو در دو است.

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا می کنیم:، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

1) تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.

در اینجا تعیین کننده آشکار می شود در خط اول.

همچنین، این را فراموش نکنید، به این معنی که همه چیز خوب است - ماتریس معکوس وجود دارد.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

ماتریس مینورها دارای ابعاد "سه در سه" است. و ما باید نه عدد را پیدا کنیم.

من به جزئیات جزئی می پردازم:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

با فکر، ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:

چهار عدد باقیمانده در تعیین کننده "دو در دو" نوشته می شود.

این واجد شرایط «دو در دو» است و جزئی این عنصر است... باید محاسبه شود:

همین است، مینور پیدا می شود، آن را در ماتریس مینورهای خود می نویسیم:

همانطور که ممکن است حدس بزنید، 9 عامل تعیین کننده دو در دو وجود دارد که باید محاسبه شوند. روند، البته، خسته کننده است، اما مورد دشوارترین نیست، می تواند بدتر باشد.

خوب، برای ادغام - پیدا کردن جزئی دیگر در تصاویر:

سعی کنید بقیه خردسالان را خودتان محاسبه کنید.

نتیجه نهایی:
- ماتریس مینورهای عناصر مربوطه ماتریس.

این واقعیت که همه خردسالان منفی بودند تصادفی محض است.

3) ماتریس متمم های جبری را بیابید.

در ماتریس مینورها لازم است تغییر علائمبه طور دقیق برای عناصر زیر:

در این مورد:

ما یافتن ماتریس معکوس را برای ماتریس "چهار در چهار" در نظر نمی گیریم، زیرا چنین وظیفه ای را فقط یک معلم سادیست می تواند انجام دهد (به طوری که دانش آموز یک تعیین کننده "چهار در چهار" و 16 تعیین کننده "سه در سه" را محاسبه کند. ). در عمل من فقط با یک مورد از این قبیل برخورد کردم و آن هم مشتری کار آزمایشیبرای عذابم بسیار گران پرداخت =).

در تعدادی از کتاب‌های درسی، راهنماها، می‌توانید رویکرد کمی متفاوت برای یافتن ماتریس معکوس پیدا کنید، با این حال، من استفاده از الگوریتم حل بالا را توصیه می‌کنم. چرا؟ زیرا احتمال گیج شدن در محاسبات و نشانه ها بسیار کمتر است.

این موضوع یکی از منفورترین موضوعات در بین دانشجویان است. فقط عوامل تعیین کننده احتمالا بدتر هستند.

ترفند این است که مفهوم عنصر معکوس (و من اکنون فقط در مورد ماتریس ها صحبت نمی کنم) ما را به عملیات ضرب ارجاع می دهد. حتی در برنامه آموزشی مدرسهضرب به عنوان یک عملیات پیچیده در نظر گرفته می شود، و ضرب ماتریس به طور کلی یک موضوع جداگانه است، که من یک پاراگراف و یک آموزش ویدیویی کامل به آن اختصاص داده ام.

ما امروز وارد جزئیات محاسبات ماتریسی نمی شویم. فقط به یاد داشته باشید: ماتریس ها چگونه نشان داده می شوند، چگونه ضرب می شوند و چه چیزی از این نتیجه می شود.

تکرار: ضرب ماتریس

اول از همه، بیایید در مورد نماد به توافق برسیم. ماتریس $ A $ به اندازه $ \ چپ [m \ بار n \ راست] $ به سادگی جدولی از اعداد است که در آن دقیقاً $ m $ ردیف و $ n $ ستون وجود دارد:

\ = \ زیربند (\ چپ [\ شروع (ماتریس) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( الف) _ (21)) و ((الف) _ (22)) و ... و (الف) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & ((a) _ (mn)) \\\ انتهای (ماتریس) \ راست]) _ (n) \]

برای اینکه به طور تصادفی ردیف ها و ستون ها را در مکان ها اشتباه نگیرید (باور کنید، می توانید در امتحان 1 را با 2 مخلوط کنید - در مورد برخی از خطوط در آنجا چه می توانیم بگوییم)، فقط به تصویر نگاه کنید:

تعیین شاخص برای سلول های ماتریس

چه اتفاقی می افتد؟ اگر سیستم مختصات استاندارد $ OXY $ را در گوشه سمت چپ بالا قرار دهیم و محورها را طوری هدایت کنیم که کل ماتریس را بپوشانند، آنگاه هر سلول از این ماتریس می تواند به طور منحصر به فرد با مختصات $ \ چپ (x; y \ سمت راست) مرتبط شود. $ - این شماره ردیف و شماره ستون خواهد بود.

چرا سیستم مختصات در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد؟ زیرا از آنجاست که ما شروع به خواندن هر متنی می کنیم. به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

چرا محور $ x $ به سمت پایین و نه به سمت راست است؟ باز هم، همه چیز ساده است: سیستم مختصات استاندارد را بردارید (محور $ x $ به سمت راست می رود، محور $ y $ بالا می رود) و آن را بچرخانید تا ماتریس را محصور کند. این یک چرخش 90 درجه در جهت عقربه های ساعت است - ما می توانیم نتیجه آن را در تصویر مشاهده کنیم.

به طور کلی، نحوه تعیین شاخص های عناصر ماتریس را فهمیدیم. حال به ضرب می پردازیم.

تعریف. ماتریس‌های $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ بار k \ راست] $، وقتی تعداد ستون‌های ستون اول با تعداد ردیف‌های دوم برابر باشد. ، سازگار نامیده می شوند.

به این ترتیب. شما می توانید گیج شوید و بگویید، آنها می گویند، ماتریس های $ A $ و $ B $ یک جفت مرتب شده $ \ چپ (A; B \ right) $ تشکیل می دهند: اگر آنها در این ترتیب سازگار باشند، کاملاً غیر ضروری است که $ B $ و $ A $، آن ها. جفت $ \ چپ (B؛ A \ راست) $ نیز مطابقت دارد.

فقط ماتریس های همسان را می توان ضرب کرد.

تعریف. حاصلضرب ماتریس های همسان $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ بار k \ راست] $ یک ماتریس جدید است $ C = \ چپ [m \ بار k \ راست ] $، که عناصر آن $ ((c) _ (ij)) $ با فرمول محاسبه می شود:

\ [((ج) _ (ij)) = \ مجموع \ حدها_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]

به عبارت دیگر: برای به دست آوردن عنصر $ ((c) _ (ij)) $ ماتریس $ C = A \ cdot B $، باید ردیف $ i $ اولین ماتریس، $ j $ را بگیرید. ستون -مین ماتریس دوم، و سپس عناصر را به صورت جفت از این سطر و ستون ضرب کنید. نتایج را جمع کنید.

بله، این چنین تعریف سختی است. چندین واقعیت بلافاصله از آن نتیجه می شود:

ضرب ماتریس، به طور کلی، غیر تعویضی است: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
با این حال، ضرب پیوندی است: $ \ چپ (A \ cdot B \ راست) \ cdot C = A \ cdot \ چپ (B \ cdot C \ راست) $;
و حتی به صورت توزیعی: $ \ چپ (A + B \ راست) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
و دوباره به صورت توزیعی: $ A \ cdot \ چپ (B + C \ راست) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

توزیع ضرب باید به طور جداگانه برای مجموع ضریب چپ و راست توضیح داده شود، دقیقاً به دلیل غیرقابل تعویض بودن عملیات ضرب.

با این وجود، اگر معلوم شود که $ A \ cdot B = B \ cdot A $ ، به این ماتریس ها ماتریس جایگشت گفته می شود.

در بین همه ماتریس هایی که در آنجا در چیزی ضرب می شوند ، موارد خاصی وجود دارد - آنهایی که وقتی در هر ماتریس $ A $ ضرب می شوند ، دوباره $ A $ می دهند:

تعریف. اگر $ A \ cdot E = A $ یا $ E \ cdot A = A $ ، ماتریس $ E $ هویت نامیده می شود. در مورد ماتریس مربع $ A $ می توانیم بنویسیم:

ماتریس واحد هنگام حل معادلات ماتریس مهمان مکرر است. و به طور کلی، یک بازدید کننده مکرر از دنیای ماتریس ها. :)

و همچنین به دلیل این $ E $، یک نفر با تمام بازی هایی که در ادامه نوشته خواهد شد، آمد.

ماتریس معکوس چیست؟

از آنجایی که ضرب ماتریس یک عملیات بسیار وقت گیر است (شما باید دسته ای از سطرها و ستون ها را ضرب کنید)، مفهوم ماتریس معکوس نیز بی اهمیت ترین مفهوم نیست. و نیاز به توضیح دارد.

تعریف کلیدی

خوب، وقت آن است که حقیقت را بیاموزیم.

تعریف. ماتریس $ B $ معکوس ماتریس $ A $ if نامیده می شود

ماتریس معکوس با $ ((A) ^ (- 1)) $ نشان داده می شود (با درجه اشتباه نشود!)، بنابراین تعریف را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

به نظر می رسد که همه چیز بسیار ساده و واضح است. اما هنگام تجزیه و تحلیل چنین تعریفی، بلافاصله چندین سؤال مطرح می شود:

آیا ماتریس معکوس همیشه وجود دارد؟ و اگر نه همیشه، پس چگونه تعیین کنیم: چه زمانی وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد؟
و چه کسی گفته است که دقیقاً یک چنین ماتریسی وجود دارد؟ اگر برای برخی از ماتریس های اولیه $ A $ تعداد زیادی از ماتریس های معکوس وجود داشته باشد چه؟
همه این معکوس ها چه شکلی هستند؟ و در واقع چگونه باید آنها را شمارش کرد؟

در مورد الگوریتم های محاسبه - کمی بعد در مورد این صحبت خواهیم کرد. اما ما همین الان به بقیه سوالات پاسخ خواهیم داد. اجازه دهید آنها را در قالب گزاره-لم های جداگانه شکل دهیم.

خواص اساسی

بیایید با اینکه ماتریس $ A $ چگونه باید باشد شروع کنیم تا $ ((A) ^ (- 1)) $ داشته باشد. اکنون مطمئن خواهیم شد که هر دوی این ماتریس‌ها باید مربع باشند و به یک اندازه باشند: $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $.

لم 1. با توجه به ماتریس $ A $ و معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $. سپس هر دوی این ماتریس ها مربع هستند، با همان ترتیب $ n $.

اثبات ساده است. اجازه دهید ماتریس $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ چپ [a \ بار b \ راست] $. از آنجایی که محصول $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ طبق تعریف وجود دارد، ماتریس های $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ به ترتیب مشخص شده مطابقت دارند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ بار n \ راست] \ cdot \ چپ [a \ بار b \ راست] = \ چپ [m \ بار b \ راست] \\ & n = a \ پایان ( تراز کردن) \]

این نتیجه مستقیم الگوریتم ضرب ماتریس است: ضرایب $ n $ و $ a $ "گذرا" هستند و باید برابر باشند.

در همان زمان، ضرب معکوس نیز تعریف می شود: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $، بنابراین ماتریس های $ ((A) ^ (- 1)) $ و $ A $ هستند همچنین به ترتیب مشخص شده مطابقت دارد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [a \ بار b \ راست] \ cdot \ چپ [m \ بار n \ راست] = \ چپ [a \ بار n \ راست] \\ & b = m \ پایان ( تراز کردن) \]

بنابراین، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ چپ [n \ بار m \ راست] $. با این حال، طبق تعریف، $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $، بنابراین اندازه ماتریس ها کاملاً یکسان است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ بار n \ راست] = \ چپ [n \ بار m \ راست] \\ & m = n \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین معلوم می شود که هر سه ماتریس - $ A $، $ ((A) ^ (- 1)) $ و $ E $ - اندازه مربع $ \ چپ [n \ ضربدر n \ راست] $ هستند. لم ثابت می شود.

خب، از قبل بد نیست. می بینیم که فقط ماتریس های مربعی معکوس هستند. حالا بیایید مطمئن شویم که معکوس همیشه یکسان است.

لم 2. با توجه به ماتریس $ A $ و معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $. سپس این معکوس تنها یکی است.

اثبات بیایید برعکس برویم: اجازه دهید ماتریس $ A $ حداقل دو نسخه از معکوس خود داشته باشد - $ B $ و $ C $. سپس با توجه به تعریف، برابری های زیر صادق است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

از لم 1 نتیجه می گیریم که هر چهار ماتریس - $ A $، $ B $، $ C $ و $ E $ - مربعی با همان ترتیب هستند: $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $. بنابراین، محصول تعریف می شود:

از آنجایی که ضرب ماتریس تداعی کننده است (اما نه جابجایی!)، می توانیم بنویسیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & B \ cdot A \ cdot C = \ چپ (B \ cdot A \ راست) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ چپ (A \ cdot C \ راست) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ فلش راست B = C. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

تنها چیزی را دریافت کرد نوع ممکن: دو نمونه از ماتریس معکوس برابر هستند. لم ثابت می شود.

استدلال بالا تقریبا کلمه به کلمه اثبات منحصر به فرد بودن معکوس را برای همه اعداد واقعی $ b \ ne 0 $ تکرار می کند. تنها اضافه ضروری در نظر گرفتن ابعاد ماتریس ها است.

با این حال، ما هنوز چیزی در مورد معکوس بودن هر ماتریس مربعی نمی دانیم. در اینجا تعیین کننده به کمک ما می آید - این یک ویژگی کلیدی برای همه ماتریس های مربع است.

لم 3. به شما یک ماتریس $ A $ داده می شود. اگر ماتریس معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود داشته باشد، تعیین کننده ماتریس اصلی غیر صفر است:

\ [\ چپ | A \ راست | \ ne 0 \]

اثبات ما قبلاً می دانیم که $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ ماتریس های مربعی با اندازه $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $ هستند. بنابراین، برای هر یک از آنها، می توانید تعیین کننده را محاسبه کنید: $ \ left | A \ راست | $ و $ \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | $. با این حال، تعیین کننده حاصل برابر با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده است:

\ [\ چپ | A \ cdot B \ راست | = \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | B \ راست | \ فلش راست \ چپ | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ راست | = \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | \]

اما طبق تعریف، $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $، و تعیین کننده $ E $ همیشه 1 است، بنابراین

\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E; \\ & \ چپ | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ راست | = \ چپ | E \ سمت راست |; \\ & \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | = 1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

حاصل ضرب دو عدد تنها در صورتی برابر است که هر یک از این اعداد با صفر متفاوت باشند:

\ [\ چپ | A \ راست | \ ne 0؛ \ چهار \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | \ ne 0. \]

بنابراین معلوم می شود که $ \ left | A \ راست | \ ne 0 $. لم ثابت می شود.

در واقع این الزام کاملاً منطقی است. اکنون الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - و کاملاً مشخص خواهد شد که چرا با یک تعیین کننده صفر، در اصل هیچ ماتریس معکوس نمی تواند وجود داشته باشد.

اما ابتدا بیایید یک تعریف "کمکی" را فرموله کنیم:

تعریف. ماتریس انحطاط یک ماتریس مربع به اندازه $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $ است که دترمینان آن صفر است.

بنابراین، ما می توانیم ادعا کنیم که هر ماتریس معکوس غیر انحطاط است.

چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا کنیم

اکنون یک الگوریتم جهانی برای یافتن ماتریس های معکوس در نظر خواهیم گرفت. به طور کلی، دو الگوریتم به طور کلی پذیرفته شده وجود دارد، و ما امروز مورد دوم را نیز در نظر خواهیم گرفت.

موردی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت برای ماتریس‌های اندازه $ \ چپ [2 \ برابر 2 \ راست] $ و - تا حدی - اندازه $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ بسیار کارآمد است. اما با شروع از اندازه $ \ چپ [4 \ برابر 4 \ راست] $ بهتر است از آن استفاده نکنید. چرا - حالا شما خودتان همه چیز را خواهید فهمید.

مکمل های جبری

آماده شدن. اکنون درد وجود خواهد داشت. نه، نگران نباشید: یک پرستار زیبا با دامن، جوراب با توری و به شما تزریق در باسن انجام نمی دهد. همه چیز بسیار ساده تر است: اضافات جبری و اعلیحضرت "Union Matrix" به سراغ شما می آیند.

بیایید با موضوع اصلی شروع کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع به اندازه $ A = \ چپ [n \ بار n \ راست] $ وجود داشته باشد که عناصر آن $ ((a) _ (ij)) $ نامیده می شوند. سپس برای هر یک از این عناصر می توان یک مکمل جبری تعریف کرد:

تعریف. مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $ به عنصر $ ((a) _ (ij)) $ واقع در $ i $ -مین ردیف و $ j $ -مین ستون ماتریس $ A = \ left [n \ times n \ right] $ ساختاری از فرم است

\ [((A) _ (ij)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

جایی که $ M_ (ij) ^ (*) $ تعیین کننده ماتریس است که از $ A $ اصلی با حذف همان $ i $ -مین ردیف و $ j $ -مین ستون بدست می آید.

از نو. مکمل جبری عنصر ماتریس با مختصات $ \ چپ (i; j \ راست) $ به عنوان $ ((A) _ (ij)) $ نشان داده می شود و طبق این طرح محاسبه می شود:

ابتدا خط $ i $ و ستون $ j $ -th را از ماتریس اصلی حذف کنید. ما یک ماتریس مربع جدید دریافت می کنیم و تعیین کننده آن را به صورت $ M_ (ij) ^ (*) $ نشان می دهیم.
سپس این دترمینان را در $ ضرب می کنیم ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) $ - در ابتدا این عبارت ممکن است خسته کننده به نظر برسد، اما در واقع ما فقط علامت مقابل را پیدا می کنیم. $ M_ (ij) ^ (*) $.
ما می شماریم - یک عدد خاص به دست می آوریم. آن ها متمم جبری دقیقاً یک عدد است، نه یک ماتریس جدید و غیره.

ماتریس $ M_ (ij) ^ (*) $ خود جزئی مکمل عنصر $ ((a) _ (ij)) $ نامیده می شود. و از این نظر، تعریف فوق از متمم جبری یک مورد خاص از یک تعریف پیچیده تر است - آنچه در درس در مورد تعیین کننده در نظر گرفتیم.

یادداشت مهم. به طور کلی در ریاضیات «بزرگسالان» اضافات جبری به صورت زیر تعریف می شود:

در یک ماتریس مربع، ردیف‌های $k $ و ستون‌های $k$ می‌گیریم. در تقاطع آنها، ماتریسی به اندازه $ \ چپ [k \ بار k \ راست] $ دریافت می کنیم - تعیین کننده آن جزئی از مرتبه $ k $ نامیده می شود و با $ ((M) _ (k)) $ نشان داده می شود.

سپس این خطوط "مورد علاقه" $ k $ و ستون $ k $ را حذف می کنیم. دوباره یک ماتریس مربع به دست می آوریم - تعیین کننده آن جزئی مکمل نامیده می شود و با آن $ M_ (k) ^ (*) $ نشان داده می شود.

$ M_ (k) ^ (*) $ را در $ ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (t)) $ ضرب کنید، که $ t $ است (اکنون توجه!) مجموع اعداد تمام خطوط انتخاب شده و ستون ها... این جمع جبری خواهد بود.

به مرحله سوم نگاهی بیندازید: در واقع مبلغی معادل 2000 دلار وجود دارد! چیز دیگر این است که برای $ k = 1 $ ما فقط 2 عبارت دریافت می کنیم - اینها همان $ i + j $ خواهند بود - "مختصات" عنصر $ ((a) _ (ij)) $، که ما به دنبال آن هستیم. برای مکمل جبری

بنابراین، امروز ما از یک تعریف کمی ساده شده استفاده می کنیم. اما همانطور که بعدا خواهیم دید، بیش از حد کافی خواهد بود. مورد بعدی بسیار مهمتر است:

تعریف. ماتریس الحاقی $ S $ به ماتریس مربع $ A = \ left [n \ بار n \ راست] $ یک ماتریس جدید به اندازه $ \ left [n \ بار n \ راست] $ است که از $ A $ به دست می آید. با جایگزینی $ ((a) _ (ij)) $ مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $:

\\ فلش راست S = \ چپ [\ شروع (ماتریس) ((A) _ (11)) & ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ (( الف) _ (21)) و ((الف) _ (22)) و ... و ((الف) _ (2n)) \\ ... و ... و ... و ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ انتهای (ماتریس) \ راست] \]

اولین فکری که در لحظه تحقق این تعریف به وجود می آید این است که "این چقدر باید بشماری!" آرام باش: باید بشماری، اما نه آنقدر. :)

خوب، این همه بسیار خوب است، اما چرا لازم است؟ در اینجا دلیل آن است.

قضیه اصلی

کمی به عقب برگردیم. به یاد داشته باشید، در لمای 3 بیان شد که یک ماتریس معکوس $ A $ همیشه غیر منحط است (یعنی تعیین کننده آن غیر صفر است: $ \ چپ | A \ راست | \ ne 0 $).

بنابراین، برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس $ A $ منحط نباشد، آنگاه همیشه معکوس است. و حتی یک طرح جستجوی $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود دارد. آن را بررسی کنید:

قضیه ماتریس معکوس اجازه دهید یک ماتریس مربع $ A = \ left [n \ بار n \ راست] $ داده شود و تعیین کننده آن غیر صفر باشد: $ \ left | A \ راست | \ ne 0 $. سپس ماتریس معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود دارد و با فرمول محاسبه می شود:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فراک (1) (\ چپ | A \ راست |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]

و اکنون - همه چیز یکسان است، اما با خط خوانا. برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس، شما نیاز دارید:

تعیین کننده $ \ left | را محاسبه کنید A \ right | $ و مطمئن شوید که غیر صفر است.
ماتریس اتحاد $ S $ را بسازید، یعنی. 100500 مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $ را بشمارید و آنها را به جای $ ((a) _ (ij)) $ قرار دهید.
این ماتریس $ S $ را جابجا کنید و سپس آن را در مقداری $ q = (1) / (\ چپ | A \ راست |) \؛ $ ضرب کنید.

و بس! ماتریس معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ پیدا می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

\ [\ چپ [\ شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \ راست] \]

راه حل. بیایید برگشت پذیری را بررسی کنیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم:

\ [\ چپ | A \ راست | = \ چپ | \ شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

تعیین کننده غیر صفر است. بنابراین، ماتریس معکوس است. بیایید ماتریس اتحاد را بسازیم:

بیایید اضافات جبری را بشماریم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((A) _ (11)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ چپ | 2 \ راست | = 2; \\ & ((A) _ (12)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | 5 \ راست | = -5; \\ & ((A) _ (21)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ چپ | 1 \ راست | = -1; \\ & ((A) _ (22)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ چپ | 3 \ راست | = 3. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

لطفاً توجه داشته باشید: عوامل تعیین کننده | 2 |، | 5 |، | 1 | و | 3 | - اینها عوامل تعیین کننده ماتریس های اندازه $ \ چپ [1 \ برابر 1 \ راست] $ هستند، نه ماژول ها. آن ها در صورت احراز شرایط اعداد منفی، حذف "منهای" ضروری نیست.

در کل، ماتریس اتحادیه ما به این صورت است:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فراک (1) (\ چپ | A \ راست |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ فرک (1) (1) \ cdot ( (\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ پایان (آرایه) \ راست]) ^ (T)) = \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

باشه الان تموم شد مشکل حل شده است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ پایان (آرایه) \ راست] $

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست] \]

راه حل. مجدداً تعیین کننده را در نظر می گیریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ | \ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست | = \ شروع (ماتریس ) \ چپ (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ چپ (-1 \ راست) \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ راست) - \\ - \ چپ (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ راست) \\\ انتهای (ماتریس) = \ \ & = \ چپ (2 + 1 + 0 \ راست) - \ چپ (4 + 0 + 0 \ راست) = - 1 \ ne 0. \\ \ انتهای (تراز کردن) \]

تعیین کننده غیر صفر است - ماتریس معکوس است. اما اکنون سخت‌ترین موارد وجود خواهد داشت: باید 9 (نه، لعنت به آنها!) اضافات جبری را بشمارید. و هر یک از آنها شامل واجد شرایط $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ خواهد بود. پرواز کرد:

\ [\ شروع (ماتریس) ((A) _ (11)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 2; \\ ((A) _ (12)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = -1; \\ ((A) _ (13)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 0 و 2 \\ 1 و 0 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = -2; \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 2; \\ \ پایان (ماتریس) \]

به طور خلاصه، ماتریس اتحادیه به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، معکوس ماتریس به صورت زیر خواهد بود:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فرک (1) (- 1) \ cdot \ چپ [\ شروع (ماتریس) 2 & -1 و -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ پایان (ماتریس) \ راست] = \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) - 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \]

خوب، این همه است. در اینجا پاسخ است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست ] دلار

همانطور که می بینید، در پایان هر مثال، ما یک بررسی انجام دادیم. در این رابطه یک نکته مهم:

برای بررسی تنبلی نکنید. ماتریس اصلی را در معکوس یافت شده ضرب کنید - باید E $ را دریافت کنید.

این بررسی بسیار ساده‌تر و سریع‌تر از جستجوی خطا در محاسبات بعدی است، زمانی که مثلاً در حال حل یک معادله ماتریسی هستید.

راه جایگزین

همانطور که گفتم، قضیه ماتریس معکوس برای اندازه‌های $ \ چپ [2 \ برابر 2 \ راست] $ و $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ (در مورد دوم- خیلی "عالی" نیست)، اما برای ماتریس های بزرگ، غم شروع می شود.

اما نگران نباشید: یک الگوریتم جایگزین وجود دارد که می توان از آن برای یافتن آرام معکوس حتی برای ماتریس $ \ چپ [10 \ ضربدر 10 \ راست] $ استفاده کرد. اما، همانطور که اغلب اتفاق می‌افتد، برای در نظر گرفتن این الگوریتم، به کمی پیش‌زمینه نظری نیاز داریم.

تحولات ابتدایی

در میان تبدیل های مختلف ماتریس، چندین مورد خاص وجود دارد - آنها ابتدایی نامیده می شوند. دقیقاً سه تغییر از این قبیل وجود دارد:

ضرب. می توانید سطر (ستون) $ i $ را بگیرید و آن را در هر عدد $ k \ ne 0 $ ضرب کنید.
اضافه به سطر $ i $ th (ستون) $ j $ th ردیف (ستون) دیگر ضرب در هر عدد $ k \ ne 0 $ اضافه کنید (البته می توانید و $ k = 0 $، اما نکته چیست؟ هر چند هیچ چیز تغییر نخواهد کرد).
بازآرایی ردیف های $ i $ th و $ j $ th (ستون ها) را بردارید و آنها را عوض کنید.

چرا این تبدیل ها ابتدایی نامیده می شوند (برای ماتریس های بزرگ آنها چندان ابتدایی به نظر نمی رسند) و چرا فقط سه مورد از آنها وجود دارد - این سؤالات خارج از محدوده درس امروز هستند. بنابراین وارد جزئیات نمی شویم.

یک چیز دیگر مهم است: ما باید همه این انحرافات را روی ماتریس پیوست انجام دهیم. بله، بله: درست شنیدید. اکنون یک تعریف دیگر وجود خواهد داشت - آخرین مورد در درس امروز.

ماتریس پیوست شده

مطمئناً در مدرسه سیستم های معادلات را با استفاده از روش جمع حل کردید. خوب، در آنجا، رشته دیگری را از یک رشته کم کنید، یک رشته را در یک عدد ضرب کنید - همین.

بنابراین: اکنون همه چیز یکسان خواهد بود، اما در حال حاضر "به روش بزرگسالان". آماده؟

تعریف. اجازه دهید ماتریس $ A = \ چپ [n \ بار n \ راست] $ و ماتریس هویت $ E $ به همان اندازه $ n $ داده شود. سپس ماتریس الحاقی $ \ left [A \ left | E \ درست است. \ right] $ یک ماتریس $ \ left [n \ times 2n \ right] $ جدید است که به شکل زیر است:

\ [\ چپ [A \ چپ | E \ درست است. \ راست] = \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

به طور خلاصه ، ماتریس $ A $ را می گیریم ، در سمت راست ماتریس هویت $ E $ را با اندازه مورد نیاز به آن اختصاص می دهیم ، آنها را با یک نوار عمودی برای زیبایی از هم جدا می کنیم - این همون الحاقی است. :)

گرفتاری چیست؟ این چیزی است که:

قضیه. اجازه دهید ماتریس $ A $ معکوس باشد. ماتریس الحاقی $ \ left [A \ left | را در نظر بگیرید E \ درست است. \ راست] $. در صورت استفاده از تبدیل رشته های ابتداییآن را به شکل $ \ left [E \ left | بیاورید B \ درست است. \ راست] $، یعنی. با ضرب، تفریق و مرتب کردن مجدد سطرها از $ A $ ماتریس $ E $ در سمت راست بدست می آید، سپس ماتریس $ B $ بدست آمده در سمت چپ، معکوس $ A $ است:

\ [\ چپ [A \ چپ | E \ درست است. \ راست] \ به \ چپ [E \ چپ | B \ درست است. \ راست] \ فلش راست B = ((A) ^ (- 1)) \]

ساده است! به طور خلاصه، الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوس به صورت زیر است:

ماتریس ضمیمه $ \ left [A \ left | را بنویسید E \ درست است. \ راست] $;
تبدیل رشته های ابتدایی را تا زمانی که $ E $ به جای $ A $ ظاهر شود، انجام دهید.
البته، چیزی در سمت چپ نیز ظاهر می شود - مقداری ماتریس $ B $. این برعکس خواهد بود.
سود! :)

البته گفتن این کار بسیار ساده تر از انجام آن است. بنابراین بیایید به چند مثال نگاه کنیم: برای اندازه‌های $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ و $ \ چپ [4 \ برابر 4 \ راست] $.

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ ]

راه حل. ماتریس پیوست را می سازیم:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 و 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

از آنجایی که آخرین ستون ماتریس اصلی با یک ها پر شده است، بیایید ردیف اول را از بقیه کم کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 و 1 و 0 و 0 و 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ پایین \\ -1 \\ -1 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

هیچ مورد دیگری وجود ندارد، به جز خط اول. اما ما آن را لمس نمی کنیم، در غیر این صورت در ستون سوم واحدهای تازه حذف شده شروع به "تکثیر" می کنند.

اما می‌توانیم خط دوم را دو بار از خط آخر کم کنیم - یکی را در گوشه پایین سمت چپ دریافت می‌کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ پایین \\ -2 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

حالا می‌توانیم ردیف آخر را از ردیف اول و دو بار از ردیف دوم کم کنیم - به این ترتیب ستون اول را "صفر" می‌کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست] \ شروع (ماتریس) -1 \\ -2 \\ \ بالا پایین \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ردیف دوم را در -1 ضرب کنید و سپس آن را 6 بار از ردیف اول کم کنید و 1 بار به آخرین ردیف اضافه کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) -6 \\ \ بالا باریک \\ +1 \\\ پایان ( ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ \ 1 و 0 و 0 و 4 و -7 و 3 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

تنها چیزی که باقی می ماند تعویض خطوط 1 و 3 است:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

آماده! در سمت راست ماتریس معکوس مورد نظر است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست ] دلار

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ سمت چپ [\ شروع (ماتریس) 1 و 4 و 2 و 3 \\ 1 و -2 و 1 و -2 \\ 1 و -1 و 1 و 1 \\ 0 و -10 و -2 و -5 \\\ انتهای (ماتریس) \ سمت راست] \]

راه حل. باز هم ضمیمه را می سازیم:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ سمت راست] \]

بیا کمی خواب آلود شویم، غصه بخوریم که الان چقدر باید بشماریم... و شروع به شمارش کنیم. ابتدا با کم کردن ردیف 1 از ردیف های 2 و 3، ستون اول را صفر می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 و 0 و 0 \\ 1 و -1 و 1 و 1 و 0 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ رو به پایین \\ -1 \\ -1 \\ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 و 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ما در خطوط 2-4 "معایب" زیادی می بینیم. هر سه سطر را در -1 ضرب کنید و سپس با کم کردن ردیف 3 از بقیه، ستون سوم را بسوزانید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\ \ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 و 1 و -1 و 0 و 0 \\ 0 و 5 و 1 و 2 و 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 10 و 2 و 5 و 0 و 0 و 0 و -1 \\ \ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) -2 \\ -1 \\\ رو به پایین \\ -2 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) ( rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون زمان "سرخ کردن" آخرین ستون ماتریس اصلی است: ردیف 4 را از بقیه کم کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ انتهای (آرایه ) \ راست] \ شروع (ماتریس) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ بالا رو \\\ انتهای (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 و -6 و 0 و 0 و -3 و 0 و 4 و -1 \\ 0 و 1 و 0 و 0 و 6 و -1 و -5 و 3 \\ 0 و 5 و 1 و 0 و 5 و 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \\ \ پایان (تراز) \]

رول نهایی: ستون دوم را با کم کردن ردیف 2 از ردیف های 1 و 3 بسوزانید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end ( آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) 6 \\ \ رو به پایین \\ -5 \\ \ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ انتها (آرایه) \ راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

و دوباره در سمت چپ ماتریس هویت قرار دارد که به این معنی است که عکس آن در سمت راست است. :)

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (ماتریس) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ انتهای (ماتریس) \ سمت راست] $

باشه الان تموم شد خودتان آن را بررسی کنید - آن را برای من حذف کنید. :)

در این مقاله در مورد روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات جبری خطی صحبت می کنیم، تعریف آن را پیدا می کنیم و مثال هایی از حل آن را بیان می کنیم.

تعریف 1

روش ماتریس معکوس روشی است برای حل یک SLAE در صورتی که تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات باشد.

مثال 1

یک راه حل برای یک سیستم n معادله خطی با n مجهول پیدا کنید:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n = b n

نوع ضبط ماتریسی : A × X = B

که در آن A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ماتریس سیستم است.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - ستون مجهولات،

B = b 1 b 2 ⋮ b n - ستون ضرایب آزاد.

از معادله ای که به دست آوردیم، باید X را بیان کنید. برای انجام این کار، باید هر دو طرف معادله ماتریس سمت چپ را در A - 1 ضرب کنید:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

از آنجایی که A - 1 × A = E، پس E × X = A - 1 × B یا X = A - 1 × B.

اظهار نظر

ماتریس معکوس به ماتریس A فقط در صورتی حق وجود دارد که شرط d e t A برابر با صفر نباشد. بنابراین، هنگام حل SLAE با روش ماتریس معکوس، اول از همه، d e t A.

اگر d e t A برابر با صفر نباشد، سیستم فقط یک راه حل دارد: با استفاده از روش ماتریس معکوس. اگر d e t А = 0 باشد، سیستم را نمی توان با این روش حل کرد.

نمونه ای از حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش ماتریس معکوس

مثال 2

ما SLAE را با روش ماتریس معکوس حل می کنیم:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

چگونه حل کنیم؟

ما سیستم را به شکل یک معادله ماتریسی A X = B می نویسیم که در آن

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5، X = x 1 x 2 x 3، B = 1 3 2.

از این معادله X بیان می کنیم:

تعیین کننده ماتریس A را پیدا کنید:

det A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A برابر 0 نیست، بنابراین روش حل ماتریس معکوس برای این سیستم مناسب است.

ماتریس معکوس A - 1 را با استفاده از ماتریس اتحاد پیدا کنید. ما مکمل های جبری A i j را به عناصر مربوطه ماتریس A محاسبه می کنیم:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6،

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7،

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5،

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17،

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1،

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10،

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10،

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5،

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

ماتریس اتحاد A * را که از مکمل های جبری ماتریس A تشکیل شده است می نویسیم:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

ماتریس معکوس را طبق فرمول می نویسیم:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

ماتریس معکوس A - 1 را در ستون عبارات آزاد B ضرب می کنیم و جواب سیستم را می گیریم:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

پاسخ : x 1 = - 1; x 2 = 0; x 3 = 1

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید