Izvod funkcije y x c jednak je. Derivat složene funkcije

Na kojem smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivacija. Stoga, ako niste baš puno s izvedenicama funkcija ili vam neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas, uključite se u ozbiljno raspoloženje - materijal nije lak, ali ću ga ipak pokušati predstaviti na jednostavan i pristupačan način.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadaće pronaći derivacije.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijevanje. Prije svega, obratimo pažnju na snimku. Ovdje imamo dvije funkcije - i, štoviše, funkcija je, slikovito rečeno, ugrađena u funkciju. Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija i funkcija - unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Kako biste razjasnili situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cjelobrojni izraz, pa neće biti moguće odmah pronaći derivaciju iz tablice. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da ne možete "rastrgnuti" sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (gniježđenje), i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije, je to shvatiti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili na nacrtu.

Zamislite da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza u (umjesto jedan, može postojati bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju:, tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus biti vanjska funkcija:

Nakon što smo Shvatio s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je da se primijeni pravilo diferencijacije složene funkcije .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako mogu pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje derivacije uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva pronađite derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledajte tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočite to. Sve tablične formule su primjenjive čak i ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule u konačnom dizajnu to izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do zabune, zapišite rješenje i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da biste to učinili, pokušajte (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza u. Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati kojoj je baza jednaka: što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici:. Opet ponavljamo: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz... Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se za nas ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje (odgovor na kraju tutoriala).

Kako bih učvrstio razumijevanje derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte ga sami shvatiti, nagađati gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Dakle, prvo dovedemo funkciju u oblik prikladan za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Stupanj je ponovno predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradi i sve zapisati u jednom razlomku. Lijepo, naravno, ali kada se dobiju glomazni dugi derivati, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje (odgovor na kraju tutoriala).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati neobično kao izopačenje. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - pomičemo minus izvan predznaka derivacije, a kosinus podižemo na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronađite derivaciju interne funkcije, resetirajte kosinus natrag:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje (odgovor na kraju tutoriala).

Do sada smo pogledali slučajeve u kojima smo imali samo jedan prilog u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđuju 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću vrijednosti testa. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Tada ovaj arcsin od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, podignite 7 na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva priloga, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo rješavati

Prema pravilu prvo trebate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći.

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, da ne idemo daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga piši.

Čemu je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

Pronađite derivaciju funkcije.
Što je derivacija funkcije?

Odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije s gledišta derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, što ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi termin, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvedenice.

To je sve. Kako drugačije nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija ... Diferencijal matematike naziva se isti prirast funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia – razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također su nam potrebne formule za njihove priraštaje:

Ukupno postoji 5 pravila.

Konstanta se pomiče izvan znaka derivacije.

Ako je neki konstantan broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo radi i za razliku:.

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivacije funkcija:

u točki;
u točki;
u točki;
u točki.

rješenja:

(derivacija je ista u svim točkama, budući da je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat djela

Ovdje je sve isto: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin prirast:

Derivat:

primjeri:

Pronađite derivacije funkcija i;
Pronađite derivaciju funkcije u točki.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo baciti našu funkciju na novi osnova:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo:. Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći derivaciju i ne zaboravite da je ova funkcija zeznuta.

dogodilo?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakav kakav je bio, ostao je, pojavio se samo množitelj, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivacije funkcija:

Odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga u odgovoru ostavljamo u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, pronaći proizvoljan jedan od logaritma s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam morate dovesti u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada, umjesto da pišemo:

Nazivnik je samo konstanta (konstantni broj, bez varijabli). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (iako vam se logaritam čini težak, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će proći), ali s gledišta matematike riječ "teško" ne znači "teško".

Zamislite malu pokretnu traku: dvije osobe sjede i rade nekakvu akciju s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo rezultirajući broj kvadrirati. Dakle, dobijemo broj (čokoladica), nađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što ja imam (zavežeš ga vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu akciju izravno s varijablom, a zatim drugu drugu akciju s rezultatom prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Iste radnje možemo napraviti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada promijenite redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). ...

Akcija koju učinimo posljednju će biti pozvana "Vanjski" funkcija, a radnja poduzeta prva - respektivno "Interna" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

Odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Koja je prva radnja koju treba poduzeti? Prvo ćemo izračunati sinus, a tek onda ćemo ga podići na kocku. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav:.
Interni:; vanjski:.
Ispitivanje: .
Interni:; vanjski:.
Ispitivanje: .
Interni:; vanjski:.
Ispitivanje: .
Interni:; vanjski:.
Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izvući našu čokoladicu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo primjerima:

rješenja:

1) Interni:;

Vanjski:;

2) Interni:;

(samo ne pokušavajte smanjiti do sada! Ništa se ne može izvaditi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni:;

Vanjski:;

Odmah je jasno da je riječ o složenoj funkciji na tri razine: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje također izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavljamo čokoladicu u omot i stavite ga u aktovku s vrpcom). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve ovo umnožimo.

U takvim je slučajevima prikladno numerirati korake. Odnosno, zamislimo što znamo. Kojim ćemo redoslijedom izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Uzmimo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Definirajmo tijek djelovanja.

1. Radikalan izraz. ...

2. Korijen. ...

3. Sinus. ...

4. Kvadrat. ...

5. Spajanje svega:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim prirastom argumenta:

Osnovne izvedenice:

Pravila diferencijacije:

Konstanta se pomiče izvan znaka derivacije:

Derivat iznosa:

Derivat rada:

Derivat kvocijenta:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njenu derivaciju.
Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njenu derivaciju.
Množimo rezultate prve i druge točke.

Vjerojatno je pojam izvedenice svakome od nas poznat još od škole. Studenti obično teško razumiju ovu, nesumnjivo, vrlo važnu stvar. Aktivno se koristi u različitim područjima ljudskog života, a mnoga su se inženjerska razvoja temeljila upravo na matematičkim izračunima dobivenim pomoću izvedenice. No prije nego što prijeđemo na analizu što su derivacije brojeva, kako ih izračunati i gdje nam dobro dođu, zaronimo malo u povijest.

Povijest

Osnovu matematičke analize otkrio je (bolje je reći čak i "izumio", jer u prirodi kao takav nije postojao) Isaac Newton kojeg svi poznajemo po otkriću zakona univerzalne gravitacije. On je prvi primijenio ovaj koncept u fizici da poveže prirodu brzine i ubrzanja tijela. I mnogi znanstvenici još uvijek hvale Newtona za ovaj veličanstveni izum, jer je on zapravo izmislio osnovu diferencijalnog i integralnog računa, zapravo, osnovu cijelog područja matematike zvanog "matematička analiza". Da je Nobelova nagrada bila u to vrijeme, Newton bi je najvjerojatnije dobio nekoliko puta.

Ne bez drugih velikih umova. Osim Newtona, na razvoju derivacije i integrala radili su tako eminentni geniji matematike kao što su Leonard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz. Zahvaljujući njima dobili smo teoriju u obliku u kojem postoji do danas. Usput, Leibniz je bio taj koji je otkrio geometrijsko značenje derivacije, za koje se pokazalo da nije ništa drugo do tangenta kuta nagiba tangente na graf funkcije.

Što su derivacije brojeva? Ponovimo malo ono što smo prošli u školi.

Što je derivat?

Ovaj koncept se može definirati na nekoliko različitih načina. Najjednostavnije objašnjenje: derivacija je brzina promjene funkcije. Zamislite graf neke funkcije y u odnosu na x. Ako nije ravna crta, onda ima neke zavoje na grafikonu, razdoblja povećanja i smanjenja. Ako uzmemo bilo koji beskonačno mali interval ovog grafa, bit će to ravni segment. Dakle, omjer veličine ovog beskonačno malog segmenta duž koordinate y prema veličini duž koordinate x bit će derivacija ove funkcije u danoj točki. Ako promatramo funkciju u cjelini, a ne u određenoj točki, tada dobivamo funkciju derivacije, odnosno određenu ovisnost igre o x.

Osim toga, osim brzine promjene funkcije, postoji i geometrijsko značenje. O njemu ćemo sada.

Geometrijsko značenje

Sami derivati brojeva predstavljaju određeni broj, koji bez pravilnog razumijevanja nema nikakvo značenje. Ispada da derivacija ne pokazuje samo brzinu rasta ili smanjenja funkcije, već i tangentu nagiba tangente na graf funkcije u danoj točki. Ne sasvim jasna definicija. Analizirajmo ga detaljnije. Recimo da imamo graf neke funkcije (uzmimo krivulju radi interesa). Na njemu je beskonačan broj točaka, ali postoje područja u kojima samo jedna točka ima maksimum ili minimum. Kroz bilo koju takvu točku možete povući ravnu liniju koja bi bila okomita na graf funkcije u ovoj točki. Takav pravac ćemo zvati tangentni pravac. Recimo da smo ga nacrtali na sjecište s osi OX. Dakle, kut dobiven između tangente i osi OX bit će određen derivacijom. Točnije, tangenta ovog kuta bit će jednaka njemu.

Razgovarajmo malo o posebnim slučajevima i analizirajmo derivacije brojeva.

Posebni slučajevi

Kao što smo rekli, derivacije brojeva su vrijednosti derivacije u određenoj točki. Na primjer, uzmimo funkciju y = x 2. Izvod x je broj, au općem slučaju funkcija jednaka 2 * x. Ako trebamo izračunati derivaciju, recimo, u točki x 0 = 1, tada dobivamo y "(1) = 2 * 1 = 2. Sve je vrlo jednostavno. Zanimljiv je slučaj derivacije. Recimo samo da je ovo je broj koji sadrži takozvanu imaginarnu jedinicu – broj čiji je kvadrat jednak 1. Izračun takve derivacije moguć je samo ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1) Moraju postojati parcijalne derivacije prvog reda realnog i imaginarnog dijela u smislu y i x.

2) Zadovoljeni su Cauchy-Riemann uvjeti koji se odnose na jednakost parcijalnih derivacija opisanih u prvom paragrafu.

Još jedan zanimljiv slučaj, iako nije tako težak kao prethodni, je derivacija negativnog broja. Zapravo, svaki negativan broj može se smatrati pozitivnim brojem pomnoženim s -1. Pa, derivacija konstante i funkcije jednaka je konstanti pomnoženoj s derivacijom funkcije.

Bit će zanimljivo naučiti o ulozi izvedenice u svakodnevnom životu, a o tome ćemo sada razgovarati.

Primjena

Vjerojatno se svatko od nas barem jednom u životu uhvati kako misli da mu matematika vjerojatno neće biti korisna. A tako složena stvar kao što je derivat vjerojatno uopće nema primjenu. Zapravo, matematiku - i sve njezine plodove razvijaju uglavnom fizika, kemija, astronomija, pa čak i ekonomija. Izvedba je postavila temelj koji nam je dao mogućnost izvođenja zaključaka iz grafova funkcija, a mi smo zahvaljujući njemu naučili tumačiti zakone prirode i okretati ih u svoju korist.

Zaključak

Naravno, ne mora svatko trebati derivat u stvarnom životu. Ali matematika razvija logiku koja će svakako biti potrebna. Nije uzalud što se matematika naziva kraljicom znanosti: iz nje se formiraju temelji za razumijevanje drugih područja znanja.

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere u matematici bez poznavanja derivacije i metoda njezinog izračunavanja. Derivat je jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njezino fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f (x) dano u nekom intervalu (a, b) ... Točke h i h0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika između njegovih vrijednosti x-x0 ... Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se inkrement argumenata. Promjena ili povećanje funkcije je razlika u vrijednostima funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače, može se napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? A evo što:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangenti kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u ovoj točki.

Fizičko značenje izvedenice: derivacija puta s obzirom na vrijeme jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Doista, od školskih vremena svi znaju da je brzina privatan put. x = f (t) i vrijeme t ... Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u jednom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izvadite konstantu

Konstanta se može pomaknuti izvan predznaka derivacije. Štoviše, to se mora učiniti. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite u pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavnite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivat zbroja dviju funkcija jednak je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dokazivati ovaj teorem, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivat umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno reći o izračunu derivacija složenih funkcija. Derivat složene funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije s obzirom na međuargument derivacijom međuargumenata s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru susrećemo izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom neposrednog međuargumena s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo vam ispričati o izvedenicama za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunu izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti student servis... U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i nositi se sa zadacima, čak i ako nikada prije niste radili izračunavanje izvedenica.