Simetrala kuta. Kompletne lekcije - Hipermarket znanja

Danas će biti vrlo laka lekcija. Razmotrit ćemo samo jedan objekt - simetralu kuta - i dokazati njegovo najvažnije svojstvo, koje će nam biti od velike koristi u budućnosti.

Samo se nemojte opuštati: ponekad učenici koji žele dobiti visoku ocjenu na istom OGE ili USE, u prvoj lekciji, ne mogu ni točno formulirati definiciju simetrale.

I umjesto da radimo stvarno zanimljive zadatke, gubimo vrijeme na tako jednostavne stvari. Stoga, čitajte, pogledajte - i unesite u službu. :)

Za početak, malo čudno pitanje: što je kut? Tako je: kut su samo dvije zrake koje izlaze iz iste točke. Na primjer:

Primjeri kutova: oštri, tupi i ravni

Kao što možete vidjeti sa slike, kutovi mogu biti oštri, tupi, ravni - to sada nije važno. Često je, radi praktičnosti, na svakoj zraki označena dodatna točka i kažu da ispred sebe imamo kut $ AOB $ (zapisan kao $ \ kut AOB $).

Čini se da kapetan očitosti nagovještava da osim $OA $ i $ OB $ zraka, uvijek možete izvući hrpu zraka iz $O $ točke. Ali među njima će biti jedan poseban - to je on koji se zove simetrala.

Definicija. Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz vrha tog kuta i siječe kut.

Za gornje kutove simetrale će izgledati ovako:

Primjeri simetrala za oštre, tupe i prave kutove

Budući da je u stvarnim crtežima daleko od uvijek očito da određena zraka (u našem slučaju to je zraka $ OM $) dijeli početni kut na dva jednaka kuta, u geometriji je uobičajeno označavati jednake kutove istim brojem lukova (na našem crtežu, ovo je 1 luk za oštar kut, dva za tupi, tri za izravan).

U redu, shvatili smo definiciju. Sada morate razumjeti koja svojstva ima simetrala.

Glavno svojstvo simetrale kuta

Zapravo, simetrala ima gomilu svojstava. I svakako ćemo ih pogledati u sljedećoj lekciji. Ali postoji jedan trik koji odmah morate razumjeti:

Teorema. Simetrala kuta je mjesto točaka jednako udaljenih od stranica zadanog kuta.

Prevedeno s matematičkog na ruski, to znači dvije činjenice odjednom:

Svaka točka koja leži na simetrali određenog kuta na istoj je udaljenosti od stranica tog kuta.
I obrnuto: ako točka leži na istoj udaljenosti od stranica zadanog kuta, onda je zajamčeno da leži na simetrali tog kuta.

Prije nego dokažemo ove tvrdnje, razjasnimo jednu točku: što se, zapravo, zove udaljenost od točke do strane kuta? Ovdje će nam pomoći dobra stara definicija udaljenosti od točke do prave:

Definicija. Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice povučene iz zadane točke do tog pravca.

Na primjer, razmotrite pravac $ l $ i točku $ A $ koja ne leži na ovoj liniji. Nacrtajte okomitu $ AH $, gdje je $ H \ u l $. Tada će duljina ove okomice biti udaljenost od točke $ A $ do ravne $ l $.

Grafički prikaz udaljenosti od točke do linije

Budući da su kut samo dvije grede, a svaka greda je dio ravne linije, lako je odrediti udaljenost od točke do strana kuta. One su samo dvije okomice:

Odredite udaljenost od točke do strana kuta

To je sve! Sada znamo što je udaljenost, a što simetrala. Stoga se glavno svojstvo može dokazati.

Kao što smo obećali, podijelimo dokaz na dva dijela:

1. Udaljenosti od točke na simetrali do stranica kuta su jednake

Razmotrimo proizvoljan kut s vrhom $ O $ i simetralom $ OM $:

Dokažimo da je upravo ta točka $ M $ na istoj udaljenosti od stranica kuta.

Dokaz. Nacrtajte okomice iz točke $ M $ na stranice kuta. Nazovimo ih $ M ((H) _ (1)) $ i $ M ((H) _ (2)) $:
Nacrtajte okomice na strane kuta
Dobili smo dva pravokutna trokuta: $ \ vartrokut OM ((H) _ (1)) $ i $ \ vartrokut OM ((H) _ (2)) $. Imaju zajedničku hipotenuzu $ OM $ i jednake kutove:

$ \ kut MO ((H) _ (1)) = \ kut MO ((H) _ (2)) $ po uvjetu (budući da je $ OM $ simetrala);

$ \ kut M ((H) _ (1)) O = \ kut M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ po konstrukciji;

$ \ kut OM ((H) _ (1)) = \ kut OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ kružnica - \ kut MO ((H) _ (1)) $, budući da je zbroj Oštri kutovi pravokutnog trokuta uvijek su 90 stupnjeva.

Prema tome, trokuti su jednaki po strani i dva susjedna kuta (vidi znakove jednakosti trokuta). Stoga, posebno, $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, t.j. udaljenosti od točke $ O $ do stranica kuta doista su jednake. Q.E.D. :)

2. Ako su udaljenosti jednake, tada točka leži na simetrali

Sada je situacija obrnuta. Neka su zadani kut $ O $ i točka $ M $ jednako udaljena od stranica ovog kuta:

Dokažimo da je zraka $ OM $ simetrala, tj. $ \ kut MO ((H) _ (1)) = \ kut MO ((H) _ (2)) $.

Dokaz. Za početak, nacrtajmo upravo ovu zraku $ OM $, inače neće biti ništa za dokazati:
Potrošio $ OM $ zraku unutar kuta
Opet smo dobili dva pravokutna trokuta: $ \ vartrokut OM ((H) _ (1)) $ i $ \ vartrokut OM ((H) _ (2)) $. Očito su jednaki jer:

Hipotenuza $ OM $ - ukupno;

Noge $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ po uvjetu (na kraju krajeva, točka $ M $ jednako je udaljena od stranica kuta);

Preostale noge su također jednake, jer po Pitagorinom teoremu $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Stoga su trokuti $ \ vartrokut OM ((H) _ (1)) $ i $ \ vartrikut OM ((H) _ (2)) $ na tri strane. Konkretno, njihovi su kutovi jednaki: $ \ kut MO ((H) _ (1)) = \ kut MO ((H) _ (2)) $. A to samo znači da je $ OM $ simetrala.

Na kraju dokaza, rezultirajuće jednake kutove označavamo crvenim lukovima:
Simetrala je podijelila $ \ kut ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ na dva jednaka

Kao što vidite, ništa komplicirano. Dokazali smo da je simetrala kuta mjesto točaka jednako udaljenih stranicama tog kuta. :)

Sada kada smo se manje-više odlučili za terminologiju, vrijeme je da prijeđemo na novu razinu. U sljedećoj lekciji analizirat ćemo složenija svojstva simetrale i naučiti kako ih koristiti za rješavanje stvarnih problema.

Simetrala trokuta je segment koji dijeli kut trokuta na dva jednaka kuta. Na primjer, ako je kut trokuta 120 0, crtajući simetralu, izgradit ćemo dva kuta po 60 0 svaki.

A budući da u trokutu postoje tri kuta, mogu se nacrtati tri simetrale. Svi imaju jednu graničnu točku. Ova točka je središte kružnice upisane u trokut. Na drugi način, ova točka presjeka naziva se središtem trokuta.

Kad se sijeku dvije simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta, dobije se kut od 90 0. Vanjski kut u trokutu je kut koji se nalazi uz unutarnji kut trokuta.

Riža. 1. Trokut s 3 simetrale

Simetrala dijeli suprotnu stranu na dva segmenta koji su povezani sa stranicama:

$$ (CL \ preko (LB)) = (AC \ preko (AB)) $$

Točke simetrale jednako su udaljene od stranica kuta, što znači da su na istoj udaljenosti od stranica kuta. To jest, ako iz bilo koje točke simetrale spustimo okomice na svaku stranu kuta trokuta, tada će te okomice biti jednake.

Ako iz jednog vrha povučete medijan, simetralu i visinu, tada će medijan biti najduži segment, a visina najkraća.

Neka svojstva simetrale

U određenim vrstama trokuta simetrala ima posebna svojstva. To se prvenstveno odnosi na jednakokraki trokut. Ova figura ima dvije identične strane, a treća se zove baza.

Ako iz vrha kuta jednakokračnog trokuta povučemo simetralu na bazu, ona će imati svojstva i visine i medijana. Prema tome, duljina simetrale poklapa se s duljinom medijane i visine.

definicije:

Visina- okomica spuštena s vrha trokuta na suprotnu stranu ..
Medijan- segment koji spaja vrh trokuta i sredinu suprotne stranice.

Riža. 2. Simetrala u jednakokračnom trokutu

To vrijedi i za jednakostranični trokut, odnosno trokut u kojem su sve tri strane jednake.

Primjer zadatka

U trokutu ABC: BR je simetrala, gdje je AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Oduzmite duljinu treće stranice.

Riža. 3. Simetrala u trokutu

Riješenje:

Simetrala dijeli stranicu trokuta u određenom omjeru. Iskoristimo ovaj omjer i izrazimo AR. Tada ćemo duljinu treće stranice pronaći kao zbroj odsječaka na koje je ova stranica podijeljena simetralom.

$ (AB \ preko (BC)) = (AR \ preko (RC)) $
$ RC = (6 \ preko (4)) * 2 = 3 cm $

Tada je cijeli segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

U jednakokračnom trokutu simetrala povučena prema osnovici dijeli trokut na dva jednaka pravokutna trokuta.

Što smo naučili?

Nakon proučavanja teme simetrala, naučili smo da ona dijeli kut na dva jednaka kuta. A ako je nacrtana u jednakokračnom ili jednakostraničnom trokutu na bazu, tada će imati svojstva i medijana i visine u isto vrijeme.

Testirajte po temi

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.2. Ukupno primljenih ocjena: 157.

Simetrala trokuta je uobičajen geometrijski koncept koji ne uzrokuje posebne poteškoće u proučavanju. Poznavajući njegova svojstva, mnogi se problemi mogu riješiti bez većih poteškoća. Što je simetrala? Pokušat ćemo čitatelja upoznati sa svim tajnama ove matematičke linije.

U kontaktu s

Bit koncepta

Naziv koncepta proizašao je iz upotrebe riječi na latinskom, čije je značenje "bi" - dva, "sectio" - rez. Oni posebno ukazuju na geometrijsko značenje pojma - razbijanje prostora između zraka na dva jednaka dijela.

Simetrala trokuta je segment koji potječe od vrha lika, a drugi kraj nalazi se na njegovoj strani suprotnoj, dok prostor dijeli na dva jednaka dijela.

Za brzo asocijativno pamćenje matematičkih pojmova od strane učenika, mnogi učitelji koriste različitu terminologiju koja se prikazuje u stihovima ili asocijacijama. Naravno, ova se definicija preporuča starijoj djeci.

Kako se označava ova ravna crta? Ovdje se oslanjamo na pravila za označavanje segmenata ili zraka. Ako govorimo o oznaci simetrale kuta trokutaste figure, tada se obično piše kao segment čiji su krajevi vrh i točka presjeka sa stranom suprotnom od vrha... Štoviše, početak oznake napisan je upravo s vrha.

Pažnja! Koliko simetrala ima trokut? Odgovor je očit: ima onoliko koliko su tri vrha.

Svojstva

Osim definicije, u školskom udžbeniku možete pronaći ne toliko svojstava ovog geometrijskog koncepta. Prvo svojstvo simetrale trokuta, koje se upoznaje s učenicima, je središte upisanog, a drugo, izravno povezano s njim, je proporcionalnost segmenata. Zaključak je sljedeći:

Koja god da je linija razdjelnice, na njoj postoje točke koje jesu na istoj udaljenosti od strana koji čine prostor između greda.
Da bi se u trokutasti lik upisala kružnica, potrebno je odrediti točku u kojoj će se ti segmenti križati. Ovo je središnja točka kružnice.
Dijelovi stranice trokutastog geometrijskog lika, na koje ga razdjelna crta dijeli, su proporcionalno nagnutim stranicama.

Pokušat ćemo unijeti ostale značajke u sustav i iznijeti dodatne činjenice koje će pomoći u boljem razumijevanju prednosti ovog geometrijskog koncepta.

Duljina

Jedna od vrsta problema koja školarcima uzrokuje poteškoće je pronalaženje duljine simetrale kuta trokuta. Prva opcija, koja sadrži svoju duljinu, sadrži sljedeće podatke:

količina prostora između zraka, s čijeg vrha ovaj segment izlazi;
duljine stranica koje tvore ovaj kut.

Za rješavanje problema koristi se formula, čije je značenje pronaći omjer udvostručenog proizvoda vrijednosti stranica koje čine kut po kosinsu njegove polovice prema zbroju strana.

Razmotrimo konkretan primjer. Pretpostavimo da je zadan lik ABC, u kojem je segment povučen iz kuta A i siječe stranu BC u točki K. Vrijednost A je označena s Y. Na temelju toga, AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

Druga verzija problema, u kojoj se određuje duljina simetrale trokuta, sadrži sljedeće podatke:

značenja svih strana figure su poznata.

Prilikom rješavanja problema ove vrste, u početku odrediti poluopseg... Da biste to učinili, zbrojite vrijednosti svih strana i podijelite na pola: p = (AB + BC + AC) / 2. Zatim primjenjujemo računsku formulu, koja je korištena za određivanje duljine ovog segmenta u prethodnom zadatku. Potrebno je samo napraviti neke promjene u suštini formule u skladu s novim parametrima. Dakle, potrebno je pronaći omjer udvostručenog korijena drugog stupnja iz umnožaka duljina stranica koje su susjedne vrhu za polovicu perimetra i razlike između poluperimetra i duljine suprotna strana od zbroja stranica koje čine kut. To jest, AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Pažnja! Da biste lakše svladali gradivo, možete se pozvati na stripove dostupne na Internetu koji govore o "avanturama" ove ravne linije.

Posebni slučajevi

Simetrala pravokutnog trokuta ima sva opća svojstva. Ali treba napomenuti poseban slučaj, koji je svojstven samo njemu: kada se sijeku segmenti, čije su baze vrhovi oštrih pravokutnih trokuta, između zraka se dobiva 45 stupnjeva.

Simetrala jednakokračnog trokuta također ima svoje karakteristike:

Ako je baza ovog segmenta vrh suprotan bazi, onda jest i visina i medijan.
Ako su segmenti izvučeni iz vrhova uglova na bazi, tada su njihove duljine jednake jedna drugoj.

Sat geometrije, proučavamo svojstva simetrale

Svojstva simetrale trokuta

kolika je simetrala kuta?

Besectrix je štakor koji hoda u uglovima i dijeli kut.
Svojstva simetrale

a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2
la = bca1a2
Gdje:
pa nekako))
Ravni kut rasklopljenog kuta dijeli ga na 2 prava kuta
ovaj štakor se rascijepi
Simetrala (od latinskog bi - dvostruko, i sectio cutting) kuta je zraka s početkom na vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka dijela.
Simetrala (od latinskog bi - dvostruko, i sectio cutting) kuta je zraka s početkom na vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka dijela.
Simetrala je štakor koji trči u kutovima i dijeli kut po spolu.
kut dijeljenja zraka na 2 jednaka kuta
Simetrala je štakor koji trči oko uglova i siječe kut!
😉
Simetrala (od latinskog bi - dvostruko, i sectio cutting) kuta je zraka s početkom na vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka dijela.
Simetrala kuta (zajedno s njegovim nastavkom) je mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta (ili njihovih produžetaka).
Definicija. Simetrala kuta trokuta je segment simetrale tog kuta koji povezuje ovaj vrh s točkom na suprotnoj strani.
Bilo koja od tri simetrale unutarnjih kutova trokuta naziva se simetrala trokuta.
Simetrala kuta trokuta može označavati jednu od dvije stvari: zraka je simetrala ovog kuta ili segment simetrale ovog kuta prije nego što se siječe sa stranicom trokuta.
Svojstva simetrale
Simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dviju susjednih stranica.
Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta se točka naziva središte upisane kružnice.
Simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta su okomite.
Ako simetrala vanjskog kuta trokuta siječe nastavak suprotne stranice, tada je ADBD = ACBC.
Simetrale jednog unutarnjeg i dva vanjska ugla trokuta sijeku se u jednoj točki. Ova točka je središte jedne od tri kružnice ovog trokuta.
Osnove simetrala dvaju unutarnjih i jednog vanjskog ugla trokuta leže na istoj pravoj liniji ako simetrala vanjskog kuta nije paralelna sa suprotnom stranom trokuta.
Ako simetrale vanjskih kutova trokuta nisu paralelne sa suprotnim stranama, tada njihove baze leže na jednoj ravnoj crti.
a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + c # 8722; a)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2 # 8722;
la = bc # 8722; a1a2
Gdje:
la je simetrala na stranu a,
a, b, od strane trokuta prema vrhovima A, B, C, redom,
al, 2 segmenta na koje simetrala lc dijeli stranicu c,
unutarnji kutovi trokuta na vrhovima a, b, c, redom,
ha je visina trokuta spuštena na stranu a.
simetrala je pravac koja dijeli kut s palatom
Simetrala (od latinskog bi - dvostruko, i sectio cutting) kuta je zraka s početkom na vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka dijela.
Simetrala kuta (zajedno s njegovim nastavkom) je mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta (ili njihovih produžetaka).
Simetrala je štakor koji hoda u kutovima, prepolovi kut.
simetrala, takav štakor, prolazi oko uglova i dijeli kut na pogotke)
Dijeli kut na pola
crta koja ga (ugao) dijeli na pola.
Simetrala je štakor koji prolazi oko uglova i dijeli ih na pola.

Simetrala je pravac koja prepolovi kut.

Jeste li upoznali simetralu u zadatku? Pokušajte primijeniti jedno (a ponekad i nekoliko) od sljedećih nevjerojatnih svojstava.

1. Simetrala u jednakokračnom trokutu.

Ne bojite li se riječi "teorem"? Ako se bojite, onda - uzalud. Matematičari su navikli svaku tvrdnju koja se na neki način može izvesti iz drugih, jednostavnijih iskaza, nazivati teoremom.

Dakle, pažnja, teorem!

Dokažimo ovaj teorem, odnosno shvatit ćemo zašto je to tako? Pogledajte jednakokrake.

Pogledajmo ih pomno. A onda ćemo to vidjeti

- Općenito.

A to znači (radije, zapamtite prvi znak jednakosti trokuta!) To.

Pa što? Želiš li tako reći? I činjenica da još nismo pogledali treće strane i preostale kutove ovih trokuta.

Sad da vidimo. Jednom, onda apsolutno točno, pa čak i uz to.

Tako je ispalo da

podijelio je stranu na pola, odnosno ispostavilo se da je medijan
, što znači da su oba uključena, jer (pogledajte još jednom sliku).

Tako je ispalo da je simetrala i visina!

Ura! Teorem smo dokazali. Ali zamislite, to nije sve. Također je istina obrnuti teorem:

Dokaz? Pitate li se? Pročitajte sljedeću razinu teorije!

A ako nije zanimljivo, onda zapamti čvrsto:

Zašto ovo čvrsto pamtiti? Kako ovo može pomoći? Ali zamislite da imate zadatak:

dano: .

Pronaći: .

Odmah shvaćate, simetrala i, eto, podijelila je stranu na pola! (prema uvjetu...). Ako se čvrsto sjećate da se to događa samo u jednakokračni trokut, onda zaključiš što znači, napišeš odgovor:. Sjajno, zar ne? Naravno, neće svi zadaci biti tako laki, ali znanje će svakako pomoći!

A sada sljedeća nekretnina. Spreman?

2. Simetrala kuta je mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta.

Prestrašen? Zapravo, u redu je. Lijeni matematičari sakrili su četiri u dva retka. Dakle, što to znači, "simetrala - mjesto točaka"? To znači da se izvršavaju odmah. dvaizjave:

Ako točka leži na simetrali, tada su udaljenosti od nje do stranica kuta jednake.
Ako su u nekom trenutku udaljenosti do strana kuta jednake, onda je ova točka nužno leži na simetrali.

Vidite li razliku između tvrdnji 1 i 2? Ako ne, onda se sjetite Šeširdžija iz Alise u zemlji čudesa: "Dakle, još uvijek imate nešto dobro za reći, kao da su "vidim ono što jedem" i "jedem ono što vidim" jedno te isto!"

Dakle, moramo dokazati tvrdnje 1 i 2, a zatim tvrdnju: "simetrala je mjesto točaka jednako udaljenih od strana kuta" bit će dokazano!

Zašto je 1 istina?

Uzmite bilo koju točku na simetrali i imenujte je.

Spustimo okomice iz ove točke na strane kuta.

A sada ... pripremite se sjetiti se znakova jednakosti pravokutnih trokuta! Ako ste ih zaboravili, pogledajte dio.

Dakle ... dva pravokutna trokuta: i. Oni imaju:

Opća hipotenuza.
(jer - simetrala!)

To znači - po kutu i hipotenuzi. Stoga su odgovarajući kraci ovih trokuta jednaki! To je.

Dokazano je da je točka jednako (ili jednako) udaljena od strana kuta. Uz riješenu točku 1. Idemo sada na točku 2.

Zašto je 2 istina?

I spojite točkice i.

Dakle, to jest, leži na simetrali!

To je sve!

Kako se sve to može primijeniti na rješavanje problema? Na primjer, u problemima često postoji izraz: "Krug dodiruje strane kuta...". Pa, i moraš nešto pronaći.

To brzo shvatiš

I možete koristiti jednakost.

3. Tri simetrale u trokutu sijeku se u jednoj točki

Iz svojstva simetrale da je mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta, slijedi sljedeća tvrdnja:

Kako točno slijedi? Ali pogledajte: dvije će se simetrale sigurno sijeći, zar ne?

A treća simetrala bi mogla ići ovako:

Ali zapravo, sve je puno bolje!

Razmotrimo točku presjeka dviju simetrala. nazovimo to.

Što smo ovdje koristili oba puta? Da stavak 1, naravno! Ako točka leži na simetrali, tada je jednako udaljena od stranica kuta.

Tako je ispalo i.

Ali pažljivo pogledajte ove dvije jednakosti! Uostalom, iz njih proizlazi da i, prema tome,.

Ali sada će to krenuti u akciju točka 2: ako su udaljenosti do stranica kuta jednake, tada točka leži na simetrali ... koliki je kut? Pogledaj još jednom sliku:

i su udaljenosti do stranica kuta, a jednake su, što znači da točka leži na simetrali kuta. Treća simetrala je prošla kroz istu točku! Sve tri simetrale sijeku se u jednoj točki! I, kao dodatni poklon -

Radius upisana krugovima.

(Da biste bili sigurni, pogledajte drugu temu).

Pa, sada nikada nećete zaboraviti:

Točka presjeka simetrala trokuta je središte upisane kružnice.

Prelazimo na sljedeće svojstvo... Vau, a simetrala ima puno svojstava, zar ne? I to je sjajno, jer što je više svojstava, to je više alata za rješavanje problema o simetrali.

4. Simetrala i paralelizam, simetrala susjednih kutova

Činjenica da simetrala dijeli kut na pola, u nekim slučajevima dovodi do potpuno neočekivanih rezultata. Na primjer,

Slučaj 1

Sjajno, zar ne? Hajde da shvatimo zašto je to tako.

S jedne strane radimo simetralu!

Ali, s druge strane, poput križanja uglova (sjetite se teme).

A sada se ispostavilo da; izbaci sredinu:! - jednakokračan!

Slučaj 2

Zamislite trokut (ili pogledajte sliku)

Nastavimo stranu za bod. Sada imamo dva kuta:

- unutarnji kut
- vanjski kut - vani je, zar ne?

Dakle, sada je netko htio nacrtati ne jednu, već dvije simetrale odjednom: za i za. Što će se dogoditi?

I ispostavit će se pravokutan!

Začudo, upravo je to tako.

Razumijevanje.

Što mislite koliki je zbroj?

Naravno, jer svi zajedno čine takav kut da ispada ravna crta.

A sada zapamtite da su i simetrale i vidite da unutar kuta postoji točno pola iz zbroja sva četiri kuta: i - - to jest, točno. Također možete napisati jednadžbu:

Dakle, nevjerojatno, ali istinito:

Kut između simetrala unutarnjeg i vanjskog kuta trokuta je.

Slučaj 3

Vidite li da je ovdje sve isto kao i za unutarnje i vanjske kutove?

Ili razmislite još jednom zašto je to tako?

Opet, što se tiče susjednih uglova,

(kako se poklapaju na paralelnim bazama).

I opet, šminka točno pola od zbroja

Izlaz: Ako problem sadrži simetrale povezane kutova ili simetrala dotična kutovi paralelograma ili trapeza, tada u ovom zadatku sigurno uključen je pravokutni trokut, a možda čak i cijeli pravokutnik.

5. Simetrala i suprotna strana

Ispada da simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranu ne nekako, već na poseban i vrlo zanimljiv način:

To je:

Nevjerojatna činjenica, zar ne?

Sada ćemo dokazati ovu činjenicu, ali pripremite se: bit će malo teže nego prije.

Opet - svemirska šetnja - dogradnja!

Nacrtajmo ravnu liniju.

Za što? sad ćemo vidjeti.

Nastavite simetralu do sjecišta s ravnom crtom.

Zvuči poznato? Da, da, da, na isti način kao u stavku 4, slučaj 1 - ispada da (je simetrala)

Kao ležanje poprijeko

Znači - i ovo.

Pogledajmo sada trokute i.

Što možete reći o njima?

Oni su slični. Pa, da, imaju iste kutove kao i okomiti. Dakle, u dva kuta.

Sada imamo pravo napisati odnos odnosnih strana.

A sada ukratko:

Jao! Izgleda kao nešto, zar ne? Nije li to ono što smo htjeli dokazati? Da to je to!

Vidite kako se sjajno pokazao "svemirski put" - izgradnja dodatne ravne linije - bez toga se ništa ne bi dogodilo! I tako, to smo dokazali

Sada ga možete sigurno koristiti! Analizirajmo još jedno svojstvo simetrala kutova trokuta - ne brinite, sada je najteži dio završen - bit će lakše.

Shvaćamo to

Ovo znanje može se primijeniti u onim problemima u kojima su uključene dvije simetrale i zadan je samo kut, a željene vrijednosti se održavaju kroz ili, obrnuto, zadane, ali morate pronaći nešto uz sudjelovanje kuta.

Osnovno znanje o simetrali je završeno. Kombinirajući ove činjenice, pronaći ćete ključ za svaki problem simetrale!

BISEKTOR. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6: