Formulirajte glavno svojstvo položaja točaka na ravnoj crti. Ravna linija u ravnini - potrebna informacija
Ravna crta na ravnini - potrebne informacije.
U ovom članku ćemo se zadržati na jednom od primarnih koncepata geometrije - konceptu ravne linije na ravnini. Najprije definirajmo osnovne pojmove i oznake. Zatim ćemo raspravljati o relativnom položaju pravca i točke, kao i dvije ravne linije na ravnini, te dati potrebne aksiome. U zaključku ćemo razmotriti načine definiranja ravne linije na ravnini i dati grafičke ilustracije.
Navigacija po stranici.
- Ravna crta na ravnini je pojam.
- Međusobni raspored ravne i točke.
- Međusobni raspored ravnih linija na ravnini.
- Metode za određivanje ravne linije na ravnini.
Ravna crta na ravnini je pojam.
Prije davanja koncepta ravne linije na ravnini, treba jasno razumjeti što je to ravnina. Koncept aviona omogućuje vam da dobijete, na primjer, ravnu površinu stola ili zid kuće. Međutim, treba imati na umu da su dimenzije tablice ograničene, a ravnina se proteže izvan tih granica u beskonačnost (kao da imamo proizvoljno veliki stol).
Ako uzmete dobro naoštrenu olovku i dodirnete je štapom na površinu "stola", tada dobivamo sliku točke. Ovako dobivamo ideja točke na ravnini.
Sada možete ići na koncept ravne linije na ravnini.
Stavili smo list čistog papira na površinu stola (na ravninu). Da bismo prikazali ravnu liniju, trebamo uzeti ravnalo i povući olovkom liniju koliko nam dopuštaju dimenzije ravnala i lista papira. Treba napomenuti da na taj način dobivamo samo dio ravne linije. Cijelu ravnu liniju, koja se proteže do beskonačnosti, možemo samo zamisliti.
Povratak na vrh stranice
Međusobni raspored ravne i točke.
Trebali bismo početi s aksiomom: na svakoj pravoj liniji i u svakoj ravnini postoje točke.
Uobičajeno je da se točke označavaju velikim latiničnim slovima, na primjer, točke A i F... Zauzvrat, ravne su linije označene malim latiničnim slovima, na primjer, ravne a i d.
moguće dvije opcije za relativni položaj ravne i točke na ravnini: ili točka leži na pravoj liniji (u ovom slučaju također kažu da pravac prolazi kroz točku), ili točka ne leži na pravoj liniji (također kažu da točka ne pripada ravnoj pravac ili pravac ne prolazi kroz točku).
Za označavanje da točka pripada određenoj ravnoj crti, koristi se simbol "". Na primjer, ako točka A leži na ravnoj liniji a, onda možete pisati. Ako točka A ne pripada izravnim a onda zapiši.
Točna je sljedeća tvrdnja: jedna ravna crta prolazi kroz bilo koje dvije točke.
Ova izjava je aksiomatska i treba je prihvatiti kao činjenicu. Osim toga, to je sasvim očito: označavamo dvije točke na papiru, nanosimo ravnalo na njih i nacrtamo ravnu liniju. Ravna crta koja prolazi kroz dvije određene točke (na primjer, kroz točke A i V), može se označiti s ova dva slova (u našem slučaju ravna linija AB ili VA).
Treba razumjeti da beskonačno mnogo različitih točaka leži na ravnoj liniji definiranoj na ravnini, a sve te točke leže u istoj ravnini. Ovu tvrdnju utvrđuje aksiom: ako dvije točke ravne linije leže u određenoj ravnini, tada sve točke ove ravne crte leže u ovoj ravnini.
Zove se skup svih točaka koje se nalaze između dviju točaka danih na ravnoj liniji, zajedno s tim točkama linijski segment ili jednostavno segment... Točke koje graniče liniju nazivaju se krajevi linije. Segment je označen s dva slova koja odgovaraju točkama krajeva segmenta. Na primjer, neka bodovi A i V su krajevi segmenta, onda se ovaj segment može označiti AB ili VA... Imajte na umu da se ova oznaka segmenta linije podudara s oznakom ravne linije. Kako biste izbjegli zabunu, preporučamo da oznaci dodate riječ "segment" ili "ravno".
Za kratko bilježenje pripadnosti i nepripadanja točke određenom segmentu koriste se svi isti simboli i. Da biste pokazali da određeni segment leži ili ne leži na ravnoj crti, koristite simbole i, respektivno. Na primjer, ako segment AB pripada izravnim a, može se ukratko napisati.
Također se treba zadržati na slučaju kada tri različite točke pripadaju istoj pravoj liniji. U ovom slučaju, jedna i samo jedna točka leži između druge dvije. Ova izjava je još jedan aksiom. Pustite bodove A, V i S leže na jednoj pravoj liniji, a točka V leži između točaka A i S... Tada možemo reći da bodovi A i S nalaze se na suprotnim stranama točke V... Također možete reći da bodovi V i S lezi na jednoj strani, a zatim pokazuje A i bodovi A i V ležati na jednoj strani točke S.
Radi potpunosti, imajte na umu da bilo koja točka na pravoj liniji dijeli ovu ravnu na dva dijela - dva zraka... Za ovaj slučaj je dan aksiom: proizvoljna točka O koja pripada pravoj liniji dijeli ovu ravnu na dvije zrake, a bilo koje dvije točke jedne zrake leže na istoj strani točke O, a bilo koje dvije točke različitih zraka nalaze se na suprotnim stranama točke O.
Povratak na vrh stranice
Ova publikacija pomoći će u sistematizaciji prethodno stečenog znanja, kao i pripremi za ispit ili test i njihovo uspješno polaganje.
2. Uvjet za pronalaženje tri točke na jednoj pravoj crti. Jednadžba ravne linije. Međusobni raspored točaka i pravac. Hrpa ravnih linija. Udaljenost od točke do linije
1. Neka su data tri boda A 1 (NS 1 , na 1), A 2 (NS 2 , na 2), A 3 (NS 3 , na 3), dakle uvjet za njihovo nalaženje na jednoj pravoj liniji:
bilo ( NS 2 – NS 1) (na 3 – na 1) – (NS 3 – x 1) (na 2 – na 1) = 0.
2. Neka su zadane dvije točke A 1 (NS 1 , na 1), A 2 (NS 2 , na 2), zatim y poravnanje ravne koja prolazi kroz ove dvije točke:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (x - x 1)(na 2 – na 1) = 0 ili ( x - x 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (na 2 – na 1).
3. Neka bude točka M (NS 1 , na 1) i neka ravna linija L predstavljena jednadžbom na = Oh + s. Jednadžba ravne koja prolazi paralelno s danom ravnom crtom L kroz ovu točku M:
y - y 1 = a(x - x 1).
Ako ravno L dano jednadžbom Oh + Vau + S M, opisan je jednadžbom A(x - x 1) + V(y - y 1) = 0.
Jednadžba ravne koja prolazi okomito na zadanu ravnu crtu L kroz ovu točku M:
y - y 1 = –(x - x 1) / a
a(y - y 1) = NS 1 – NS.
Ako ravno L dano jednadžbom Oh + Vau + S= 0, zatim ravna linija koja je paralelna s njom koja prolazi kroz točku M(NS 1 , na 1) je opisana jednadžbom A (y - y 1) – V(x - x 1) = 0.
4. Neka su date dvije točke A 1 (NS 1 , na 1), A 2 (NS 2 , na 2) i ravna linija zadana jednadžbom Oh + Vau + C = 0. Relativni položaj točaka u odnosu na ovu ravnu liniju:
1) bodovi A 1 , A 2 leže na jednoj strani ove ravne ako izrazi ( Oh 1 + Vau 1 + S) i ( Oh 2 + Vau 2 + S) imaju iste znakove;
2) bodovi A 1 ,A 2 leže na suprotnim stranama ove ravne ako izrazi ( Oh 1 + Vau 1 + S) i ( Oh 2 + Vau 2 + S) imaju različite predznake;
3) jedna ili obje točke A 1 , A 2 leže na ovoj liniji ako jedan ili oba izraza, redom ( Oh 1 + + Vau 1 + S) i ( Oh 2 + Vau 2 + S) uzeti nulu.
5. Centralna greda Je skup ravnih linija koje prolaze kroz jednu točku M (NS 1 , na 1) pozvan središte grede... Svaka od ravnih linija grede opisana je jednadžbom grede y - y 1 = Do(x - x 1) (parametar snopa Do za svaki redak svoj).
Sve ravne linije grede mogu se predstaviti jednadžbom: l(y - y 1) = m(x - x 1), gdje l, m- proizvoljni brojevi koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme.
Ako dvije ravne grede L 1 i L 2 odnosno imaju oblik ( A 1 NS + V 1 na+ S 1) = 0 i ( A 2 NS+ V 2 na+ S 2) = 0, tada jednadžba snopa: m 1 (A 1 NS + V 1 na + S 1) + m 2 (A 2 NS + V 2 na + S 2) = 0. Ako su ravni L 1 i L 2 sijeku, onda je snop središnji, ako su ravne linije paralelne, onda je snop paralelan.
6. Neka je dana bod M(NS 1 ,na 1) i ravna linija zadana jednadžbom Ax + Wu + C = 0. Udaljenost diz ovaj bodova M na ravno:
- 1. Osnovni pojmovi. Koordinatni sustavi. Prave linije i njihov relativni položaj
- 2. Uvjet za pronalaženje tri točke na jednoj pravoj crti. Jednadžba ravne linije. Međusobni raspored točaka i pravac. Hrpa ravnih linija. Udaljenost od točke do linije
Segment je dio ravne linije, koji se sastoji od svih točaka ove ravne linije koje leže između njezine dvije zadane točke. Te se točke nazivaju krajevi linija. Segment je označen naznakom njegovih krajeva.
Na slici 7, b odsječak AB dio je prave a. Točka M leži između točaka A i B, pa stoga pripada segmentu AB; točka K ne leži između točaka A i B, stoga ne pripada segmentu AB.
Aksiom (glavno svojstvo) položaja točaka na pravoj liniji formulira se na sljedeći način:
Od tri točke na pravoj liniji, jedna i samo jedna leži između druge dvije.
Sljedeći aksiom izražava osnovno svojstvo mjerenja odsječaka linija.
Svaki segment ima određenu duljinu, veću od nule. Duljina segmenta jednaka je zbroju duljina dijelova na koje je podijeljen bilo kojom točkom.
To znači da ako se na segmentu MK uzme bilo koja točka C, tada je duljina segmenta MK jednaka zbroju duljina odsječaka MC i SK (slika 7, c).
Duljina odsječka MK naziva se i udaljenost između točaka M i K.
Primjer 1. Na pravoj su dane tri točke O, P i M. Poznato je da. Leži li točka P između O i M? Može li točka B pripadati segmentu PM, ako? Objasnite odgovor.
Riješenje. Točka P leži između točaka O i M, ako provjerimo ispunjenje ovog uvjeta:. Zaključak: točka P leži između točaka O i M.
Točka B pripada segmentu PM ako leži između točaka P i M, odnosno provjeri:, i po uvjetu. Zaključak: točka B ne pripada segmentu PM.
Primjer 2. Je li moguće rasporediti 6, 7 i 8 odsječaka na ravnini tako da svaki od njih siječe točno tri druga?
Riješenje. 6 segmenata može se rasporediti tako (slika 8, o). Na ovaj način se također može rasporediti 8 segmenata (slika 8, b). 7 segmenata ne može se ovako rasporediti.
Dokažimo posljednju tvrdnju. Pretpostavimo da je takav raspored sedam linijskih segmenata moguć. Numerirajmo segmente i sastavimo takvu tablicu u ćeliji na sjecištu retka i stupca, stavimo “+” ako se segment siječe s j-tim, i “-” ako se ne siječe. Ako je i to postavljeno.Izbrojimo na dva načina koliko znakova ima u tablici.
S jedne strane, ima ih 3 u svakom retku, tako da postoje samo znakovi. S druge strane, tablica je ispunjena simetrično u odnosu na dijagonalu:
ako je u ćeliji C: j) također je u ćeliji. To znači da ukupan broj znakova mora biti paran. Dobili smo kontradikciju.
Ovdje smo koristili dokaz proturječnošću.
5. Ray.
Poluprava ili zraka je dio ravne linije, koji se sastoji od svih točaka ove ravne linije, koje leže s jedne strane njegove zadane točke. Ta se točka naziva početna točka poluprave ili početak zraka. Različite poluprave iste ravne sa zajedničkom početnom točkom nazivaju se komplementarne.
Poluravne se označavaju malim latiničnim slovima. Polupravac možete označiti s dva slova: početnim i nekim drugim slovom koje odgovara točki koja pripada polupravu. U ovom slučaju polazište se stavlja na prvo mjesto. Na primjer, na slici 9, a, prikazane su grede AB i AC koje su dodatne, na slici 9, b prikazane su grede MA, MB i greda c.
Sljedeći aksiom odražava glavno svojstvo odgađanja segmenata linija.
Na bilo kojoj polupravci od početne točke možete odgoditi segment zadane duljine, i to samo jedan.
Primjer. Date su vam dvije točke A i B. Koliko pravaca možete povući kroz točke A i B? Koliko zraka postoji na liniji AB s ishodištem u točki A, u točki B? Označite dvije točke na pravoj A B, različite od A i B. Pripadaju li segmentu AB?
Riješenje. 1) Prema aksiomu, uvijek možete povući ravnu liniju kroz točke A i B, i to samo jednu.
2) Na pravoj AB s ishodištem u točki A nalaze se dvije zrake koje se nazivaju dodatnim. Slično za točku B.
3) Odgovor ovisi o mjestu označenih točaka. Razmotrimo moguće slučajeve (slika 10). Jasno je da u slučaju a) točke pripadaju segmentu AB; u slučajevima b), c) jedan bod
pripada segmentu, a drugi ne; u slučajevima d) i e) točke M i N ne pripadaju segmentu AB.
6. Opseg. Krug.
Krug je oblik koji se sastoji od svih točaka na ravnini koje su na određenoj udaljenosti od određene točke. Ova točka se naziva središte kružnice.
Udaljenost od točaka kružnice do njenog središta naziva se polumjer kružnice. Svaki segment koji povezuje točku kružnice s njezinim središtem naziva se i radijus.
Odsječak koji spaja dvije točke kružnice naziva se tetiva. Tetiva koja prolazi kroz središte naziva se promjer.
Slika 11, a prikazuje kružnicu sa središtem u točki O. Segment OA je polumjer ove kružnice, BD je tetiva kružnice, CM je promjer kružnice.
Krug je lik koji se sastoji od svih točaka ravnine koje su udaljene od dane točke ne veće od zadane. Ta se točka naziva središte kružnice, a ta udaljenost naziva se polumjer kružnice. Granica kružnice je kružnica s istim središtem i polumjerom (slika 11, b).
Primjer. Koliki je najveći broj različitih dijelova koji nemaju zajedničkih točaka, osim svojih granica, ravnina se može podijeliti na: a) ravnu i kružnicu; b) dva kruga; c) tri kruga?
Riješenje. Prikažimo na slici slučajeve međusobnog rasporeda likova koji odgovaraju uvjetu. Zapišimo odgovor: a) četiri dijela (slika 12, o); b) četiri dijela (slika 12, b); c) osam dijelova (slika 12, c).
7. Poluravnina.
Formulirajmo još jedan aksiom geometrije.
Ravna linija dijeli ravninu na dvije poluravnine.
Na slici 13. pravac a dijeli ravninu na dvije poluravnine tako da svaka točka ravnine koja ne pripada ravnoj liniji o leži u jednoj od njih. Ova particija ima sljedeće svojstvo: ako krajevi nekog segmenta pripadaju jednoj poluravnini, tada se segment ne siječe ravnom linijom; ako krajevi segmenta pripadaju različitim poluravninama, tada se segment siječe ravnom linijom. Na slici 13. točke leže u jednoj od poluravnina na koju pravac a dijeli ravninu. Stoga se odsječak AB ne siječe s pravom a. Točke C i D leže u različitim poluravninama. Stoga segment CD siječe pravac a.
8. Kut. Mjera stupnja kuta.
Kut je lik koji se sastoji od točke – vrha kuta i dvije različite poluprave koje izlaze iz te točke – stranica kuta (slika 14.). Ako su strane kuta dodatne poluprave, tada se kut naziva nesavijenim.
Kut se označava ili označavanjem njegovog vrha, ili označavanjem njegovih strana, ili označavanjem tri točke; vrhova i dvije točke na stranama kuta. Riječ "kut" ponekad se zamjenjuje simbolom Z.
Kut na slici 14 može se označiti na tri načina:
Kažu da zraka c prolazi između stranica kuta ako izlazi iz njegova vrha i prelazi neki segment s krajevima na stranama kuta.
Na slici 15. zraka c prolazi između stranica kuta, dok siječe segment AB.
U slučaju ravnog kuta, svaka zraka koja izlazi iz njegovog vrha i osim njegovih stranica prolazi između strana kuta.
Kutovi se mjere u stupnjevima. Ako uzmete prošireni kut i podijelite ga sa 180 jednakih kutova, tada se mjera stupnja svakog od tih kutova naziva stupanj.
Osnovna svojstva mjerenja kutova izražena su u sljedećem aksiomu:
Svaki kut ima određenu mjeru stupnja, veću od nule. Spljošteni kut je 180°. Stupanjska mjera kuta jednaka je zbroju stupnjevanih mjera kutova na koje ga dijeli bilo koja zraka koja prolazi između njegovih stranica.
To znači da ako zraka c prolazi između strana kuta, onda je kut jednak zbroju kutova
Stupanj mjera kuta nalazi se pomoću kutomjera.
Kut jednak 90° naziva se pravi kut. Kut manji od 90° naziva se oštar kut. Kut veći od 90° i manji od 180° naziva se tupim.
Formulirajmo glavno svojstvo taloženja uglova.
Od bilo koje poluprave do određene poluravnine možete odgoditi kut s danom mjerom stupnja manjim od 180 °, i to samo jedan.
Razmotrimo polupravu a. Proširimo ga izvan početne točke A. Rezultirajuća ravna crta dijeli ravninu na dvije poluravnine. Slika 16 prikazuje kako se kutomjerom od pola pravca a do gornje poluravnine odvoji kut s zadanom mjerom stupnja od 60°.
Ako se dva ugla odvoje od zadane poluprave u jednu poluravninu, tada strana manjeg kuta, različita od zadane poluprave, prolazi između stranica većeg kuta.
Neka su kutovi, nacrtani iz zadane poluprave i u jednoj poluravnini, i neka je kut manji od kuta. Teorem 1.2 kaže da zraka b prolazi između stranica kuta (ac) (slika 17).
Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz njegovog vrha, prolazi između njegovih stranica i dijeli kut na pola. Na slici 18. zraka OM je simetrala kuta AOB.
U geometriji postoji koncept ravnog kuta. Ravni kut je dio ravnine omeđen dvjema različitim zrakama koje izlaze iz jedne točke. Te se zrake nazivaju stranicama kuta. S ovim stranama postoje dva ravna kuta. Nazivaju se komplementarnim. Na slici 19. zasjenjen je jedan od ravnih kutova sa stranicama a i b.
Ako je ravninski kut dio poluravnine, tada je njegova mjera stupnja mjera stupnja običnog kuta s istim stranicama. Ako ravninski kut sadrži poluravninu, tada je njegova mjera stupnja 360 ° - a, gdje je a mjera stupnja dodatnog ravninskog kuta.
Primjer. Greda a prolazi između stranica kuta jednakog 120 °. Pronađite kutove ako su njihove mjere stupnja 4:2.
Riješenje. Zraka a prolazi između stranica kuta, što znači, prema osnovnom svojstvu mjerenja kutova (vidi točku 8)
Budući da su mjere stupnja povezane kao 4: 2, onda
9. Susjedni i okomiti kutovi.
Dva kuta nazivaju se susjednima ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane tih kutova su dodatne poluprave. Na slici 20. uglovi su susjedni.
Zbroj susjednih kutova je 180°.
Teorem 1.3 implicira sljedeća svojstva:
1) ako su dva kuta jednaka, onda su kutovi koji su im susjedni jednaki;
2) kut koji se nalazi uz pravi kut je pravi kut;
3) kut koji se nalazi uz akutni je tup, a kut uz tup je oštar.
Dva kuta nazivaju se okomitima ako su strane jednog kuta komplementarne poluravne strane drugoga. Na slici 21, a uglovi su okomiti.
Vertikalni kutovi su jednaki.
Očito, dvije ravne crte koje se sijeku tvore susjedne i okomite kutove. Susjedni kutovi se međusobno nadopunjuju do 180 °. Kutna mjera manjeg od njih naziva se kut između ravnih linija.
Primjer. Na slici 21, b kut je 30. ° Koliki su kutovi AOK i
Riješenje. Kutovi COD i AOK su okomiti, dakle, prema teoremu 1.4, jednaki su, odnosno kut TYUK uz kut SOD znači, prema teoremu 1.3
10. Središnji i upisani kutovi.
Središnji kut u kružnici je ravan kut s vrhom u središtu. Dio kruga koji se nalazi unutar ravnog kuta naziva se kružni luk koji odgovara tom središnjem kutu. Stupanjska mjera luka kružnice je mjera stupnja odgovarajućeg središnjeg kuta.
Na slici 22. kut AOB je središnji kut kružnice, njegov vrh O je središte ove kružnice, a stranice OA i OB sijeku kružnicu. Luk AB dio je kružnice unutar središnjeg kuta.
Stupanjska mjera luka AB na slici 22 jednaka je stupnjskoj mjeri kuta AOB. Stupanjska mjera luka AB označena je AB.
Kut, čiji vrh leži na kružnici, a stranice sijeku ovu kružnicu, naziva se upisanim u kružnicu. Na slici 23 prikazani su upisani kutovi.
Kut upisan u kružnicu, čije stranice prolaze kroz dvije zadane točke kružnice, jednak je polovici kuta između polumjera povučenih u te točke, ili nadopunjuje ovu polovicu na 180 °.
Prilikom dokazivanja teorema 1. 5 potrebno je razmotriti tri različita slučaja, koji su prikazani na slici 23: jedna od stranica upisanog kuta prolazi središtem kružnice (slika 23, c); središte kružnice leži unutar upisanog kuta (slika 23, b); središte kružnice leži izvan upisanog kuta (slika 23, c).
Teorem 1.5 implicira sljedeću posljedicu: svi kutovi upisani u kružnicu, čije stranice prolaze kroz dvije zadane točke kružnice, a vrhovi leže s jedne strane ravne linije koja spaja te točke, jednaki su; upisani kutovi, čije stranice prolaze kroz krajeve promjera kružnice, su ravni.
Na slici 24. stranice upisanog kuta ABC prolaze kroz krajeve promjera AC, dakle
Primjer. Točke A, B i C leže na kružnici sa središtem O. Nađi kut AOC ako
Riješenje. Kut ABC, upisan u kružnicu, počiva na luku AC, a središnji kut ove kružnice (slika 25). , dakle, prema teoremu 1.5, a budući da je kut AOC središnji, njegova je mjera stupnja jednaka stupnjskoj mjeri luka AC, t.j.
11. Paralelne linije.
Dvije ravne na ravnini nazivaju se paralelne ako se ne sijeku.
Slika 26 prikazuje kako se pomoću kvadrata i ravnala povuče pravac 6 kroz zadanu točku B, paralelnu s danom ravnom crtom a.
Za označavanje paralelizma ravnih linija koristi se simbol II. Upis glasi: "Pravak a je paralelan s pravom b".
Aksiom paralelizma izražava glavno svojstvo paralelnih pravaca.
Kroz točku koja ne leži na danoj ravnoj liniji može se na ravninu povući najviše jedna ravna linija koja je paralelna s danom.
Dvije ravne linije, paralelne s trećom, paralelne su jedna s drugom.
Na slici 27. ravni a i b paralelni su s ravnom crtom c. Teorem 1. 6 kaže da.
Možete dokazati da kroz točku koja ne pripada ravnoj liniji možete povući ravnu liniju paralelnu danoj. Na slici 28. kroz točku A, koja ne pripada b, povučena je ravna crta a paralelna s pravom b.
Uspoređujući ovu tvrdnju i aksiom paralela, dolaze do važnog zaključka: na ravnini kroz točku koja ne leži na zadanoj ravnoj liniji, moguće je povući ravnu liniju paralelnu s njom, i to samo jednu liniju.
Aksiom paralelizma u Euklidovoj knjizi "Počeci se zvao" peti postulat. Drevni geometri pokušavali su dokazati jedinstvenost paralele. Ti neuspješni pokušaji nastavili su se više od 2000 godina, sve do 19. stoljeća.
Veliki ruski matematičar NI Lobačevski i, neovisno o njemu, mađarski matematičar J. Boyai pokazali su da je, uz pretpostavku da se kroz točku povuče nekoliko pravih paralelnih s danom, moguće konstruirati još jedan, jednako "točan" ne -Euklidska geometrija. Tako je nastala geometrija Lobačevskog.
Primjer teorema koji koristi koncept paralelizma, a njegov se dokaz temelji na paralelnom aksiomu, je Thalesov teorem. Tales iz Mileta bio je starogrčki matematičar koji je živio 625-547. PRIJE KRISTA NS.
Ako paralelne ravne crte koje sijeku stranice kuta odsijeku jednake segmente s jedne njegove strane, tada odsijeku jednake segmente s druge strane (Thalesov teorem).
Točke presjeka paralelnih ravnih linija neka se nalaze na jednoj od strana ugla i između njih (slika 29). Neka odgovarajuće točke presjeka ovih pravaca s drugom stranom kuta. Teorem 1.7 kaže da ako onda
Primjer 1. Može li se sedam pravaca sijeći u osam točaka?
Riješenje. Oni mogu. Na primjer, slika 30 prikazuje sedam takvih ravnih linija, od kojih su tri paralelne.
Primjer 2. Proizvoljni segment AC podijeljen je na 6 jednakih dijelova.
Riješenje. Nacrtajmo segment AC. Nacrtajmo iz točke A zraku AM koja ne leži na pravci AC. Na zraci AM iz točke A odvajamo sukcesivno 6 jednakih segmenata (slika 31). Krajevi segmenata će biti označeni. Točku sa segmentom spojimo s točkom C i kroz točke ćemo povući ravne linije paralelne s ravnom crtom. Točke presjeka ovih pravaca sa segmentom AC podijelit će ga na 6 jednakih dijelova (prema teoremu 1.7).
12. Znakovi paralelnosti ravnih linija.
Neka su AB i CD dva pravca. Neka je AC treći pravac koji siječe pravce AB i CD (slika 32, c). Izravni AC u odnosu na izravne AB i CD naziva se sekant. Pravi kutovi formirani tim pravim kutovima često se promatraju u parovima. Parovi kutova dobili su posebna imena. Dakle, ako točke B i D leže u istoj poluravni u odnosu na pravac AC, tada se kutovi BAC i DCA nazivaju unutarnjim jednostranim (slika 32, c). Ako točke B i D leže u različitim poluravninama u odnosu na pravac AC, tada se kutovi BAC i DCA nazivaju unutarnjim poprečno (slika 32, b).
Sekansa AC tvori s ravnim linijama AB i CD dva para unutarnjih jednostranih dva para unutarnjih križno ležećih kutova Sl. 32, c).
Ako su unutarnji križni kutovi jednaki ili je zbroj unutarnjih jednostranih kutova 180 °, tada su ravne linije paralelne.
Na slici 32, c, četiri para uglova su numerirana. Teorem 1.8 kaže da ako ili tada su pravci c i b paralelni. Teorem 1.8 također kaže da ako ili, tada su pravci a i b paralelni.
Teoremi 1.6 i 1.8 kriteriji su za paralelnost pravaca. Također je istinit i obrnut teorem teoremu 1.8.
Ako se dvije paralelne ravne crte sijeku trećom ravnom crtom, tada su unutarnji poprečni kutovi jednaki, a zbroj unutarnjih jednostranih kutova je 180 °.
Primjer. Jedan od unutarnjih jednostranih kutova, nastao na sjecištu dviju paralelnih ravnih linija treće ravne crte, 4 puta je veći od drugog. Čemu su ti kutovi jednaki?
Riješenje. Prema teoremu 1.9, zbroj unutarnjih jednostranih kutova za dva paralelna pravca i sekantu je 180°. Označimo ove kutove slovima a i P, tada je poznato da je a 4 puta veći, što znači da je onda
13. Okomite ravne crte.
Dvije ravne crte nazivaju se okomiti ako se sijeku pod pravim kutom (sl. 33).
Okomitost ravnih linija ispisuje se simbolom Upis glasi: "Pravak a je okomit na pravac b".
Okomito na danu ravnu crtu je odsječak ravne crte okomit na danu liniju, čija je krajnja točka njihova sjecišta. Ovaj kraj pravca naziva se baza okomice.
Na slici 34. okomita AB povučena je od točke A do pravca a. Točka B je baza okomice.
Kroz svaku točku ravne linije možete povući ravnu liniju okomitu na nju, i to samo jednu.
Iz bilo koje točke koja ne leži na ravnoj crti, možete ispustiti okomicu na ovu ravnu liniju, i to samo jednu.
Duljina okomice ispuštene iz zadane točke na ravnu crtu naziva se udaljenost od točke do ravne crte.
Udaljenost između paralelnih ravnih linija je udaljenost od bilo koje točke jedne ravne do druge ravne linije.
Neka je BA okomica ispuštena iz točke na pravoj a, a C - bilo koja točka ravne c, različita od A. Odsječak BC nazivamo nagnutim, povučen iz točke B u pravu a (slika 35) . Točka C naziva se baza kose. Odsječak AC naziva se kosa projekcija.
Ravna crta koja prolazi sredinom segmenta okomitog na njega naziva se središnja okomica.
Na slici 36. pravac a je okomit na segment AB i prolazi kroz točku C - sredinu segmenta AB, odnosno a je središnja okomica.
Primjer. Jednaki odsječci AD i CB, zatvoreni između paralelnih pravaca AC i BD, sijeku se u točki O. Dokažite to.
Riješenje. Povucimo iz točaka A do C okomice na pravac BD (slika 37). AK = CM kao razmak između paralelnih pravih, ZAKD i DSLYAV su pravokutni, oni
jednaki su po hipotenuzi i kraku (vidi T. 1.25), što znači jednakokračan (T. 1.19), što znači da slijedi iz jednakosti trokuta AKT) i CTAB da je, a zatim, tj. A. AOS jednakokračan , što znači
14. Tangenta na kružnicu. Dodirivanje kružnica.
Ravna crta koja prolazi kroz točku na kružnici okomitoj na polumjer povučen u tu točku naziva se tangentna linija. U ovom slučaju, ova točka kružnice naziva se točka dodira. Na slici 38. kroz točku A kružnice koja je okomita na polumjer OA povučena je ravna crta a. Pravac c tangenta je na kružnicu. Točka A je dodirna točka. Također možemo reći da kružnica dodiruje ravnu liniju a u točki A.
Kažu da se dvije kružnice koje imaju zajedničku točku dodiruju u ovoj točki ako u toj točki imaju zajedničku tangentu. Tangentnost kružnica naziva se unutarnjom ako središta kružnica leže s jedne strane njihove zajedničke tangente. Dodirivanje kružnica naziva se vanjskom ako središta kružnica leže na suprotnim stranama njihove zajedničke
tangens. Na slici 39, c, tangentnost kružnica je unutarnja, a na slici 39, b - vanjska.
Primjer 1. Konstruirajte kružnicu zadanog polumjera tangentu na zadanu ravnu crtu u danoj točki.
Riješenje. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen u točku tangente. Stoga središte željene kružnice leži na okomici na zadanu ravnu liniju koja prolazi kroz zadanu točku, a nalazi se od te točke na udaljenosti jednakoj polumjeru. Problem ima dva rješenja - dvije kružnice simetrične jedna drugoj u odnosu na zadanu ravnu crtu (slika 40).
Primjer 2. Dvije kružnice promjera 4 i 8 cm dodiruju se izvana. Kolika je udaljenost između središta tih kružnica?
Riješenje. Polumjeri kružnica OA i O, A okomiti su na zajedničku tangentu koja prolazi točkom A (slika 41). Stoga, vidi
15. Trokuti.
Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na jednoj pravoj crti i tri segmenta koji te točke spajaju u paru. Točke se nazivaju vrhovi trokuta, a odsjeci pravca nazivaju se stranice. Trokut je označen njegovim vrhovima. Umjesto riječi "trokut" koristi se simbol D.
Slika 42 prikazuje trokut ABC; A, B, C - vrhovi ovog trokuta; A B, BC i AC su njegove stranice.
Kut trokuta ABC u vrhu A je kut koji čine polupravci AB i AC. Određeni su i kutovi trokuta na vrhovima B do C..
Ako ravna crta koja ne prolazi ni kroz jedan vrh trokuta siječe jednu od njegovih stranica, tada siječe samo jednu od druge dvije stranice.
Visina trokuta ispuštena iz zadanog vrha naziva se okomica povučena iz tog vrha na ravnu liniju koja sadrži suprotnu stranu trokuta. Na slici 43, c, odsječak AD je visina oštrokutnog A. ABC, a na slici 43, b osnovica visine tupokutne točke D - leži na nastavku stranice BC.
Simetrala trokuta je segment simetrale kuta trokuta koji povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani. Na slici 44, segment AD je simetrala trokuta ABC.
Medijan trokuta povučen iz zadanog vrha je segment koji povezuje ovaj vrh sa sredinom
suprotnu stranu trokuta. Na slici 45, segment AD je medijan trokuta
Srednja linija trokuta je segment koji spaja sredine njegovih dviju strana.
Srednja crta trokuta, koja spaja sredine ovih dviju stranica, paralelna je i jednaka polovici treće strane.
Neka je DE srednja crta trokuta ABC (slika 46).
Teorem kaže da.
Nejednakost trokuta je svojstvo udaljenosti između tri točke, što je izraženo sljedećim teoremom:
Bez obzira na tri točke, udaljenost između bilo koje dvije od ovih točaka nije veća od zbroja udaljenosti od njih do treće točke.
Neka tri zadane točke. Relativni položaj tih točaka može biti različit: a) dvije točke od tri ili sve tri se podudaraju, u ovom slučaju je tvrdnja teorema očita; b) točke su različite i leže na jednoj pravoj liniji (slika 47, a), jedna od njih, na primjer B, leži između dvije druge, u ovom slučaju slijedi da svaka od tri udaljenosti nije veća od zbroj druga dva; c) točke ne leže
na jednoj ravnoj crti (slika 47, b), tada teorem 1.14 tvrdi da.
U slučaju c) tri točke A, B, C su vrhovi trokuta. Stoga je u bilo kojem trokutu svaka strana manja od zbroja druge dvije stranice.
Primjer 1. Postoji li trokut ABC sa stranicama: a); b)
Riješenje. Za stranice trokuta ABC moraju biti zadovoljene sljedeće nejednakosti:
U slučaju a) nejednakost (2) ne vrijedi, što znači da takav raspored točaka ne može biti; u slučaju b) vrijede nejednakosti, odnosno trokut postoji.
Primjer 2. Pronađite udaljenost između točaka A i razdvojenih preprekom.
Riješenje. Da bismo pronašli udaljenost, objesimo osnovu CD i nacrtamo ravne linije BC i AD (slika 48). Pronađite točku M - sredinu CD-a. Također provodimo MPAD. Iz toga slijedi da je PN srednja linija, t.j.
Mjerenjem PN nije teško pronaći AB.
16. Jednakost trokuta.
Kaže se da su dva odsječka jednaka ako imaju istu duljinu. Kaže se da su dva kuta jednaka ako imaju istu kutnu mjeru u stupnjevima.
Trokuti ABC i nazivaju se jednaki ako
To se ukratko izražava riječima: trokuti su jednaki ako imaju odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi su jednaki.
Formulirajmo glavno svojstvo postojanja jednakih trokuta (aksiom postojanja trokuta jednakog danom):
Bez obzira na trokut, na određenom mjestu u odnosu na zadanu polupravu postoji jednak trokut.
Postoje tri kriterija za jednakost trokuta:
Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki, odnosno dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti trokuta na dvije stranice i kuta između njih).
Ako su stranica i kutovi uz nju jednog trokuta jednaki strani i kutovima koji su uz nju susjedni drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti trokuta duž stranice i kutova susjednih njoj ).
Ako su tri strane jednog trokuta jednake, odnosno trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti trokuta na tri strane).
Primjer. Točke B i D leže u različitim poluravninama u odnosu na pravac AC (slika 49). Poznato je da Dokažite da
Riješenje. po uvjetu, a budući da se ti kutovi dobivaju oduzimanjem od jednakih kutova BCD i DAB jednakih kutova BC A i DAC. Osim toga, strana zvučnika je uobičajena u naznačenim trokutima. Ti su trokuti jednaki po strani i kutovima uz nju.
17. Jednakokračni trokut.
Trokut se naziva jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake. Te jednake stranice nazivaju se stranicama, a treća strana naziva se baza trokuta.
U trokutu znači da je ABC jednakokračan s bazom AC.
U jednakokračnom trokutu kutovi na bazi su jednaki.
Ako su dva kuta u trokutu jednaka, onda je on jednakokračan (suprotan teoremu T. 1.18).
U jednakokračnom trokutu, medijan povučen prema bazi je simetrala i visina.
Također možete dokazati da je u jednakokračnom trokutu visina povučena do baze simetrala i medijan. Slično, simetrala jednakokračnog trokuta, povučena iz vrha nasuprot bazi, je medijan i visina.
Trokut u kojem su sve strane jednake naziva se jednakostraničan.
Primjer. U trokutu ADB, kut D je 90°. Na nastavku stranice AD nalazi se segment (točka D leži između točaka A i C) (slika 51). Dokažite da je trokut ABC jednakokračan.
Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni.
Iz teorema 1.22 proizlazi da je vanjski kut trokuta veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.
Primjer. U trokutu
Simetrala AD ovog trokuta odsijeca od nje. Pronađite kutove ovog trokuta.
Riješenje. budući da je AD simetrala kuta A (vidi pododjeljak kao vanjski kut po teoremu o zbroju kutova
19. Pravokutni trokut. Pitagorin poučak.
Trokut se naziva pravokutnim ako ima pravi kut. Budući da je zbroj kutova trokuta 180°, onda pravokutni trokut ima samo jedan pravi kut. Druga dva kuta pravokutnog trokuta su oštra i nadopunjuju se do 90°. Strana pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza, a druge dvije stranice nazivaju se katete. ABC, prikazana na slici 54, pravokutna, ravna, hipotenuza, CB i BA - kraci.
Za pravokutne trokute možete formulirati vlastite kriterije jednakosti.
Ako su hipotenuza i oštar kut jednog pravokutnog trokuta, redom, jednaki hipotenuzi i oštrom kutu drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti za hipotenuzu i oštar kut).
Ako su krak i suprotni kut jednog pravokutnog trokuta jednaki kraku i suprotnom kutu drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti katete i suprotnog kuta).
Ako su hipotenuza i krak jednog pravokutnog trokuta respektivno jednaki hipotenuzi i kraku drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (znak jednakosti hipotenuze i kraka).
U pravokutnom trokutu s kutom od 30 °, krak suprotan kutu atoma je polovica sabirnice hipotenuze.
U trokutu ABC, prikazanom na slici, je ravna linija, Dakle, u ovom trokutu.
U pravokutnom trokutu vrijedi Pitagorin teorem, nazvan po starogrčkom znanstveniku Pitagori, koji je živio u 6. stoljeću. PRIJE KRISTA NS.
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta (Pitagorin teorem).
Neka je ABC zadani pravokutni trokut s pravim kutom C, kracima a i b i hipotenuzom c (slika 56). Teorem kaže da
Iz Pitagorinog teorema slijedi da je u pravokutnom trokutu bilo koja kateta manja od hipotenuze.
Iz Pitagorinog teorema proizlazi da ako se povuče okomica i kosi pravac iz jedne točke, tada je kosa veća od okomice; jednaki kosi imaju jednake projekcije; od dviju kosih, veći je onaj s većom projekcijom.
Na slici 57. od točke O do ravne a nacrtana je okomica OA i kosi OB, OS i OD, dok je na temelju navedenog: a)
Opseg pravokutnika KDMA je 18 cm
Primjer 3. U krugu polumjera 25 cm na jednoj strani njegova središta povučene su dvije paralelne tetive duljine 40 i 30 cm. Odredite udaljenost između tih tetiva.
Riješenje. Nacrtajmo polumjer OK, okomito na tetive AB i CD, spojimo središte kružnice O s točkama C, A, D i B (slika 60). Trokuti COD i AOB su jednakokračni, budući da su (kao polumjeri); OM i ON su visine ovih trokuta. Prema teoremu 1.20, svaka od visina je istovremeno medijan odgovarajućeg trokuta, tj.
Trokuti OCM i O AN su u njima pravokutni. ON i OM nalaze se po Pitagorinom teoremu.
20. Krugovi upisani u trokut i opisani oko trokuta.
Krug se naziva opisanim oko trokuta ako prolazi kroz sve njegove vrhove.
Središte kružnice opisane oko trokuta je sjecište okomica na stranice trokuta.
Na slici 61 opisana je kružnica oko trokuta ABC. Središte ove kružnice O je presjek srednjih okomica OM, ON i OJT, povučenih prema stranicama AB, BC i C A.
Krug se naziva upisanim u trokut ako dodiruje sve njegove strane.
Središte kružnice upisane u trokut je sjecište njegovih simetrala.
Na slici 62. kružnica je upisana u trokut ABC. Središte ove kružnice O je točka presjeka simetrala AO, BO i CO odgovarajućih kutova trokuta.
Primjer. U pravokutnom trokutu katete su 12 i 16 cm. Izračunajte polumjere: 1) upisanu kružnicu; 2) opisani krug.
Riješenje. 1) Neka je zadan trokut ABC, u kojem je središte upisane kružnice (slika 63, a). Opseg trokuta ABC jednak je zbroju udvostručene hipotenuze i promjera kružnice upisane u trokut (koristite definiciju tangente na kružnicu i jednakost pravokutnih trokuta AOM i AOK, MOC i LOC duž hipotenuza i krak).
Dakle, odakle, po Pitagorinom teoremu, t.j.
2) Središte kružnice opisane oko pravokutnog trokuta poklapa se sa sredinom hipotenuze, pa je polumjer opisane kružnice cm (slika 63, b).
Učitavam...