Jednakokračan trokut. Detaljna teorija s primjerima (2020.)

Svojstva jednakokračnog trokuta.
Znakovi jednakokračnog trokuta.
Formule jednakokračnog trokuta:
- formule duljine strane;
- formule duljine jednakih stranica;
- formule za visinu, medijan, simetralu jednakokračnog trokuta.

Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake. Ove stranke se zovu bočno a treća strana je osnovu.

AB = BC - bočne strane

AC - baza

Svojstva jednakokračnog trokuta

Svojstva jednakokračnog trokuta izražavaju se u terminima 5 teorema:

Teorem 1. U jednakokračnom trokutu kutovi na bazi su jednaki.

Dokaz teorema:

Razmotrimo jednakokračnu Δ ABC s temeljom KAO .

Strane su jednake AB = Sunce ,

Prema tome, kutovi u bazi ∠ BAC = ∠ BCA .

Teorem o simetrali, medijani, visini, povučen na osnovicu jednakokračnog trokuta

Teorem 2. U jednakokračnom trokutu simetrala povučena prema bazi je medijan i visina.
Teorem 3. U jednakokračnom trokutu, medijan povučen prema bazi je simetrala i visina.
Teorem 4. U jednakokračnom trokutu visina povučena do baze je simetrala i medijan.

Dokaz teorema:

Dan Δ ABC .
Od točke V držimo visinu BD.
Trokut je podijeljen na Δ ABD i Δ CBD. Ti su trokuti jednaki jer hipotenuza i zajednički krak su im jednaki ().
Direktno KAO i BD nazivaju se okomiti.
B Δ ABD i Δ BCD ∠ LOŠE = ∠ BSD (iz teorema 1).
AB = BC - stranice su jednake.
Zabave OGLAS = CD, od točka D dijeli segment na pola.
Stoga Δ ABD = Δ BCD.
Simetrala, visina i medijan su jedan segment - BD

Izlaz:

Visina jednakokračnog trokuta, povučena do baze, je medijan i simetrala.
Medijan jednakokračnog trokuta, povučen do baze, je visina i simetrala.
Simetrala jednakokračnog trokuta, povučena u bazu, je medijan i visina.

Zapamtiti! Prilikom rješavanja takvih zadataka snizite visinu na bazu jednakokračnog trokuta. Podijeliti ga na dva jednaka pravokutna trokuta.

Teorem 5. Ako su tri strane jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

Dokaz teorema:

Zadana su dva Δ ABC i Δ A 1 B 1 C 1. Stranice AB = A 1 B 1; BC = B1C1; AC = A 1 C 1.

Dokaz kontradikcijom.

Neka trokuti nisu jednaki (inače su trokuti bili jednaki u prvom atributu).
Neka je Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, čiji vrh C 2 leži u istoj poluravni s vrhom C 1 u odnosu na ravnu liniju A 1 B 1. Po pretpostavci se vrhovi C 1 i C 2 ne podudaraju. Neka je D središte odsječka C 1 C 2. Δ A 1 C 1 C 2 i Δ B 1 C 1 C 2 su jednakokračne sa zajedničkom bazom C 1 C 2. Stoga su njihove medijane A 1 D i B 1 D visine. Dakle, pravci A 1 D i B 1 D okomite na pravac C 1 C 2. A 1 D i B 1 D imaju različite točke A 1 i B 1, dakle, ne podudaraju se. Ali kroz točku D ravne crte C 1 C 2 može se povući samo jedna ravna crta okomita na nju.
Odavde smo došli do kontradikcije i dokazali teorem.

Znakovi jednakokračnog trokuta

Ako su dva kuta u trokutu jednaka.
Zbroj kutova trokuta je 180°.
Ako je u trokutu, simetrala je medijan ili visina.
Ako je u trokutu, medijan je simetrala ili visina.
Ako je u trokutu, visina je medijan ili simetrala.

Formule jednakokračnog trokuta

b- strana (baza)
a- jednake strane
a - kutovi na bazi
b

Formule duljine strane(osnova - b):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ alfa

Formule jednake duljine stranica - (a):

a = \ frac (b) (2 \ sin (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ beta))
a = \ frac (b) (2 \ cos \ alpha)

L- visina = simetrala = medijan
b- strana (baza)
a- jednake strane
a - kutovi na bazi
b - kut koji čine jednake stranice

Formule za visinu, simetralu i medijan, kroz stranu i kut, ( L):

L = grijeh a
L = \ frac (b) (2) * \ tg \ alpha
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ beta) / 2) = a \ cos (\ beta) / 2)

Formula visine, simetrale i medijane, kroz stranice, ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

b- strana (baza)
a- jednake strane
h- visina

Formula za površinu trokuta u smislu visine h i baze b, ( S):

S = \ frac (1) (2) * bh

Izračun visine trokuta ovisi o samoj slici (jednakokračna, jednakostranična, svestrana, pravokutna). U praktičnoj geometriji složene formule u pravilu se ne pojavljuju. Dovoljno je poznavati opći princip proračuna kako bi mogao biti univerzalno primjenjiv za sve trokute. Danas ćemo vas upoznati s osnovnim principima izračunavanja visine figure, formulama za izračun na temelju svojstava visina trokuta.

Što je visina?

Visina ima nekoliko karakterističnih svojstava

Točka u kojoj se susreću sve visine naziva se ortocentar. Ako je trokut šiljast, ortocentar je unutar figure, ako je jedan od uglova tup, tada je ortocentar obično izvan.
U trokutu gdje je jedan kut 90°, ortocentar i vrh su isti.
Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko formula za pronalaženje visine trokuta.

Tradicionalno računalstvo

Ako je p polovica perimetra, tada su a, b, c oznaka stranica tražene figure, h je visina, tada će prva i najjednostavnija formula izgledati ovako: h = 2 / a √p (pa) (pb) (kom) ...
U školskim udžbenicima često možete pronaći zadatke u kojima je poznata vrijednost jedne od stranica trokuta i vrijednost kuta između ove stranice i baze. Tada će formula za izračun visine izgledati ovako: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Kada se zada površina trokuta - S, kao i duljina baze - a, izračuni će biti što jednostavniji. Visina se nalazi po formuli: h = 2S / a.
Kada je zadan polumjer kružnice opisane oko lika, prvo izračunamo duljine njegovih dviju stranica, a zatim prelazimo na izračunavanje zadane visine trokuta. Da bismo to učinili, koristimo formulu: h = b ∙ c / 2R, gdje su b i c dvije strane trokuta koje nisu baza, a R je polumjer.

Kako pronaći visinu jednakokračnog trokuta?

Sve strane ove figure su jednake, njihove su duljine jednake, stoga će i kutovi na bazi također biti jednaki. Iz ovoga slijedi da će i visine koje crtamo na bazama biti jednake, one su ujedno i medijane i simetrale. Jednostavno rečeno, visina u jednakokračnom trokutu dijeli bazu na dva dijela. Trokut s pravim kutom, koji se pokazao nakon crtanja visine, razmatrat će se pomoću Pitagorinog teorema. Označimo stranicu kao a, a bazu kao b, a zatim visinu h = ½ √4 a2 - b2.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trokuta?

Formula za jednakostranični trokut (brojevi gdje su sve strane jednake veličine) može se pronaći na temelju prethodnih izračuna. Potrebno je samo izmjeriti duljinu jedne od stranica trokuta i označiti je kao a. Tada se visina izračunava formulom: h = √3 / 2 a.

Kako mogu pronaći visinu pravokutnog trokuta?

Kao što znate, kut u pravokutnom trokutu je 90 °. Visina spuštena za jednu nogu ujedno je i druga noga. Na njima će ležati visine trokuta s pravim kutom. Da biste dobili podatke o visini, morate malo transformirati postojeću Pitagorinu formulu, označavajući noge - a i b, a također i mjerenje duljine hipotenuze - c.

Nađite duljinu noge (strane na koju će visina biti okomita): a = √ (c2 - b2). Duljina drugog kraka nalazi se pomoću potpuno iste formule: b = √ (c2 - b2). Nakon toga možete početi izračunavati visinu trokuta s pravim kutom, nakon što ste prethodno izračunali površinu figure - s. Vrijednost visine h = 2s / a.

Izračuni sa svestranim trokutom

Kada svestrani trokut ima oštre kutove, vidljiva je visina spuštena na bazu. Ako je trokut s tupim kutom, tada visina može biti izvan figure i morate je mentalno nastaviti kako biste dobili spojnu točku visine i baze trokuta. Najlakši način za mjerenje visine je izračunavanje kroz jednu od stranica i veličinu kutova. Formula izgleda ovako: h = b sin y + c sin ß.

Jednakokračni je takav trokut, u kojem su duljine njegovih dviju strana jednake jedna drugoj.

Prilikom rješavanja zadataka na temu "Jednakokračan trokut" potrebno je koristiti sljedeće dobro poznate Svojstva:

1. Kutovi koji leže nasuprot jednakih stranica jednaki su jedan drugome.
2. Simetrale, medijane i visine povučene iz jednakih kutova jednake su jedna drugoj.
3. Simetrala, medijan i visina, povučeni na bazu jednakokračnog trokuta, međusobno se podudaraju.
4. Središte upisane kružnice i središte opisane kružnice leže u visini, a time i na medijani i simetrali povučenoj bazi.
5. Kutovi koji su jednaki u jednakokračnom trokutu uvijek su oštri.

Trokut je jednakokračan ako ima sljedeće znakovi:

1. Dva kuta trokuta su jednaka.
2. Visina odgovara medijani.
3. Simetrala se poklapa sa medijanom.
4. Visina se poklapa sa simetralom.
5. Dvije visine trokuta su jednake.
6. Dvije simetrale trokuta su jednake.
7. Dvije medijane trokuta su jednake.

Razmotrimo nekoliko zadataka na temu "Jednakokračan trokut" a mi ćemo za njih dati detaljno rješenje.

Cilj 1.

U jednakokračnom trokutu visina povučena do baze je 8, a baza se odnosi na stranicu kao 6: 5. Nađite udaljenost od vrha trokuta točku presjeka njegovih simetrala.

Riješenje.

Neka je zadan jednakokračni trokut ABC (Sl. 1).

1) Budući da je AC: BC = 6: 5, AC = 6x i BC = 5x. VN - visina povučena do baze AC trokuta ABC.

Budući da je točka H sredina AC (po svojstvu jednakokračnog trokuta), onda je HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = BH 2 + HC 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;

x = 2, dakle

AC = 6x = 6 2 = 12 i

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Budući da je točka presjeka simetrala trokuta središte upisane kružnice, onda
OH = r. Polumjer kružnice upisane u trokut ABC nalazi se po formuli

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (12 * 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, tada je OH = r = 48/16 = 3.

Stoga VO = VN - OH; VO = 8 - 3 = 5.

Odgovor: 5.

Cilj 2.

U jednakokračnom trokutu ABC nacrtana je simetrala AD. Površine trokuta ABD i ADC jednake su 10 i 12. Nađite površinu kvadrata, tri puta uvećanog, izgrađenog na visini ovog trokuta, povučenog na bazu AC.

Riješenje.

Razmotrimo trokut ABC - jednakokračan, AD - simetralu kuta A (sl. 2).

1) Napišimo površine trokuta BAD i DAC:

S BAD = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Pronađite omjer površina:

S BAD / S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB / AC.

Budući da je S BAD = 10, S DAC = 12, tada je 10/12 = AB / AC;

AB / AC = 5/6, onda neka je AB = 5x i AC = 6x.

AH = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Iz trokuta ABN - pravokutnog prema Pitagorinom teoremu AB 2 = AN 2 + BN 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A VS = 1/2 AS VN; S A B C = 1/2 6x 4x = 12x 2.

Budući da je S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, onda je 22 = 12x 2;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Površina kvadrata je jednaka BH 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Odgovor: 88.

Cilj 3.

U jednakokračnom trokutu baza je 4, a stranica 8. Pronađite kvadrat visine spuštene na stranu.

Riješenje.

U trokutu ABC - jednakokračan BC = 8, AC = 4 (sl. 3).

1) VN - visina povučena do baze AC trokuta ABC.

Budući da je točka H sredina AC (po svojstvu jednakokračnog trokuta), onda je HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Iz trokuta VNS - pravokutnog prema Pitagorinom teoremu VS 2 = VN 2 + NS 2;

64 = BH 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 (AC BH), kao i S ABC = 1/2 (AM BC), zatim izjednačimo desne strane formule, dobivamo

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC · BH) / BC;

AM = (√60 4) / 8 = (2√15 4) / 8 = √15.

Odgovor: 15.

Zadatak 4.

U jednakokračnom trokutu baza i visina koja je na nju ispuštena jednake su 16. Nađite polumjer kružnice opisane oko ovog trokuta.

Riješenje.

U trokutu ABC - jednakokračna baza AC = 16, BH = 16 - visina povučena do osnovice AC (sl. 4).

1) AH = HC = 8 (po svojstvu jednakokračnog trokuta).

2) Iz trokuta VNS - pravokutnog prema Pitagorinom teoremu

BC 2 = BH 2 + HC 2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Promatrajmo trokut ABC: prema teoremu sinusa, 2R = AB / sin C, gdje je R polumjer kružnice opisane oko trokuta ABC.

sin C = BH / BC (iz VNS trokuta po definiciji sinusa).

sin C = 16 / (8√5) = 2 / √5, tada je 2R = 8√5 / (2 / √5);

2R = (8√5 √5) / 2; R = 10.

Odgovor: 10.

Zadatak 5.

Duljina visine povučene do baze jednakokračnog trokuta je 36, a polumjer upisane kružnice je 10. Nađite površinu trokuta.

Riješenje.

Neka je zadan jednakokračni trokut ABC.

1) Budući da je središte upisane kružnice u trokut presjecište njegovih simetrala, onda je O ϵ VN i AO je simetrala kuta A, a struja OH = r = 10 (sl. 5).

2) VO = VN - OH; BO = 36 - 10 = 26.

3) Razmotrimo trokut ABN. Po teoremu o simetrali kuta trokuta

AB / AN = VO / OH;

AB / AH = 26/10 = 13/5, onda neka je AB = 13x i AH = 5x.

Prema Pitagorinom teoremu, AB 2 = AN 2 + BH 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 3) 2;

144x 2 = 144 9;

x = 3, tada je AC = 2 AH = 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (36 * 30) = 540;

Odgovor: 540.

Zadatak 6.

U jednakokračnom trokutu dvije su stranice 5 i 20. Nađite simetralu kuta na bazi trokuta.

Riješenje.

1) Pretpostavimo da su stranice trokuta 5, a baza 20.

Zatim 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (sl. 6).

2) Neka je LC = x, tada je BL = 20 - x. Po teoremu o simetrali kuta trokuta

AB / AC = BL / LC;

20/5 = (20 - x) / x,

tada je 4x = 20 - x;

Dakle, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Koristimo formulu za simetralu kuta trokuta:

AL 2 = AB AC - BL LC,

tada je AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;

Odgovor: 6.

Imate još pitanja? Niste sigurni kako riješiti geometrijske probleme?
Za pomoć od učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Budući da je visina jednakokračnog trokuta, spuštena na bazu, i simetrala i medijana, ona dijeli bazu i kut na vrhu na dva jednaka dijela, tvoreći pravokutni trokut sa stranicama a i b / 2. Iz Pitagorinog teorema u takvom trokutu možete pronaći samu bazu, a zatim izračunati sve ostale moguće podatke. (sl. 88.2) h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = a ^ 2 b = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Da biste izračunali opseg jednakokračnog trokuta, dodajte bazu ili gornji radikal kroz visinu dvjema bočnim stranicama. P = 2a + b = 2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Površina jednakokračnog trokuta kroz visinu i bazu, po definiciji, izračunava se kao polovica njihovog proizvoda. Zamijenivši bazu s izrazom koji joj odgovara, dobivamo površinu kroz visinu i stranu jednakokračnog trokuta. S = hb / 2 = (h√ (a ^ 2-h ^ 2)) / 4

U jednakokračnom trokutu nisu jednake samo stranice, već i kutovi u osnovici, a budući da zbroj uvijek iznosi 180 stupnjeva, bilo koji od kutova se može naći poznavajući drugi. Prvi kut izračunava se kosinusnim teoremom danim za jednake stranice, a drugi se može pronaći kroz razliku od 180. (Slika 88.1) cos⁡α = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / 2bc = (b ^ 2 + a ^ 2-a ^ 2) / 2ba = b ^ 2 / 2ba = b / 2a cos⁡β = (a ^ 2 + a ^ 2-b ^ 2) / (2a ^ 2) = (2a ^ 2 -b ^ 2) / (2a ^ 2) α = (180 ° -β) / 2 β = 180 ° -2α

Središnja medijana i simetrala spuštena na bazu podudaraju se s visinom, a bočne medijane, visine i simetrale mogu se pronaći pomoću sljedećih formula za jednakokračne trokute. Da biste ih izračunali u smislu visine i strane, trebate zamijeniti bazu s njezinim ekvivalentnim izrazom. (sl. 88.3) m_a = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (a ^ 2 + 2b ^ 2) / 2

Visina spuštena na bočnu stranu kroz visinu spuštenu na bazu i bočnu stranu jednakokračnog trokuta. (sl. 88.8) h_a = (b√ ((4a ^ 2-b ^ 2))) / 2a = (√ (a ^ 2-h ^ 2) √ ((4a ^ 2-a ^ 2 + h ^ 2) ))) / 2a = √ ((a ^ 2-h ^ 2) (3a ^ 2 + h ^ 2)) / 2

Bočne simetrale se također mogu izraziti bočnom stranom i središnjom visinom trokuta. (sl. 88.4) l_a = √ (ab (2a + b) (a + ba)) / (a + b) = √ (a (a ^ 2-h ^ 2) (2a + √ (a ^ 2) -h ^ 2))) / (a + √ (a ^ 2-h ^ 2))

Srednja crta povučena je paralelno s obje strane trokuta, povezujući središnje točke strana u odnosu na nju. Dakle, uvijek ispada da je jednaka polovici stranice paralelne s njom. Umjesto nepoznate baze, možete zamijeniti radikal koji se koristi u formuli kako biste pronašli srednju liniju kroz visinu i stranu jednakokračnog trokuta (slika 88.5) M_b = b / 2 = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2 M_a = a / 2

Polumjer kružnice upisane u jednakokračni trokut počinje od točke na sjecištu simetrala i ide okomito na svaku stranu. Da biste ga pronašli kroz visinu i stranu trokuta, trebate zamijeniti bazu u formuli radikalom. (sl. 88.6) r = 1/2 √ (((a ^ 2-h ^ 2) (2a-√ (a ^ 2-h ^ 2))) / (2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) ) ))

Polumjer kružnice opisane oko jednakokračnog trokuta također se izvodi iz opće formule zamjenom radikala kroz visinu i stranu umjesto baze. (sl. 88.7) R = a ^ 2 / √ (3a ^ 2-h ^ 2)