Pojmovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, a neraskidivo su povezane s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno mišljenje. Zato trigonometrijski izračuni često uzrokuju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se detaljnije upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne pojmove trigonometrije, prvo morate odrediti što su pravokutni trokut i kut u kružnici i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutan. Povijesno gledano, ovu su figuru često koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i noge. Hipotenuza je stranica trokuta nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta je uvijek 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija je dio trigonometrije koji se ne izučava u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Posebnost trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer kraka suprotnog od željenog kuta i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Obje ove vrijednosti su uvijek manje od jedan, jer je hipotenuza uvijek duža od kraka.

Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, odnosno sinusa i kosinusa. Kotangens je, pak, omjer susjednog kraka željenog kuta i suprotnog kraka. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedan s vrijednošću tangente.

Jedinični krug

Jedinični krug u geometriji je kružnica čiji je polumjer jednak jedan. Takva se kružnica konstruira u kartezijanskom koordinatnom sustavu, dok se središte kružnice poklapa s ishodišnom točkom, a početni položaj vektora radijusa određen je duž pozitivnog smjera osi X (apscise). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscisa i ordinata. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i spuštanjem okomice s nje na os apscise, dobivamo pravokutni trokut formiran polumjerom na odabranu točku (označimo ga slovom C), povučenom okomicom na os X (točka presjeka označena je slovom G), a odsječak osi apscise između ishodišta (točka je označena slovom A) i točke presjeka G. Dobiveni trokut ACG je pravokutni kutni trokut upisan u kružnicu, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC su katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta osi apscise s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG / AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedan, ispada da je cos α = AG. Slično, sin α = CG.

Osim toga, znajući ove podatke, moguće je odrediti koordinatu točke C na kružnici, budući da je cos α = AG, a sin α = CG, što znači da točka C ima zadane koordinate (cos α; sin α). Znajući da je tangent jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α = y / x, a ctg α = x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, možete izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jedinični krug, možete izvesti vrijednosti tih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima je nepoznata vrijednost prisutna pod znakom trigonometrijske funkcije nazivaju se trigonometrijske. Identiteti s vrijednošću sin h = α, k je bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arktan α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule za lijevanje

Ova kategorija konstantnih formula označava metode koje se mogu koristiti za prebacivanje s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta, odnosno za dovođenje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta bilo koje vrijednosti na odgovarajuće pokazatelje kut intervala od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.

Formule za pretvaranje funkcija za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• grijeh (1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin (3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Upotreba gornjih formula moguća je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može predstaviti kao vrijednost (π / 2 ± a) ili (3π / 2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može predstaviti kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak reducirane funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav ostaje. Isto tako i s negativnim funkcijama.

Formule za zbrajanje

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično nazivaju α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve vrijednosti kutova α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule s dvostrukim i trostrukim kutom su formule koje povezuju funkcije kutova 2α i 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Prijelaz sa zbroja na proizvod

Uzimajući u obzir da je 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identičnost sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Slično, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Prelazak s posla na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta prijelaza zbroja u proizvod:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Formule za smanjenje stupnja

U ovim identitetima, kvadratne i kubične snage sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Univerzalna zamjena

Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta pola kuta.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), dok je x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), gdje je x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), gdje je x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x = π + 2πn.

Posebni slučajevi

U nastavku su dati pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Privatno za sinus:

Kvocijent za kosinus su:

Privatno za tangentu:

Privatno za kotangens:

Teoremi

Teorem sinusa

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Jednostavan teorem sinusa: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. U ovom slučaju, a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ su, redom, suprotni kutovi.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. U ovom identitetu R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na sljedeći način: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. U formuli a, b, c su stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranice a.

Teorem tangente

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljine suprotnih stranica. Stranice su označene kao a, b, c, a odgovarajući suprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema tangente je: (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Kotangentni teorem

Povezuje polumjer kružnice upisane u trokut s duljinom njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C, redom, suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p je poluperimetar trokuta, sljedeći identiteti vrijedi:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Primijenjena aplikacija

Trigonometrija nije samo teorijska znanost vezana uz matematičke formule. Njegova svojstva, teoreme i pravila koriste u praksi različite grane ljudske djelatnosti - astronomija, zračna i pomorska plovidba, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni rad, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangenta i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, uz pomoć kojih možete matematički izraziti odnos kutova i duljina stranica u trokutu, te kroz identitete, teoreme i pravila pronaći tražene veličine.

Tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije

Bilješka... Ova tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije koristi znak √ za označavanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka - simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu linije trigonometrijske funkcije. Na primjer, sinus 30 stupnjeva - potražite stupac s naslovom sin (sinus) i pronađite sjecište ovog stupca tablice s linijom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jednu sekundu. Slično, nalazimo kosinus 60 stupnjeva, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin (sinus) i retka od 60 stupnjeva, nalazimo vrijednost sin 60 = √3 / 2), itd. Na isti način se pronalaze vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta drugih "popularnih" kutova.

Sinus od pi, kosinus od pi, tangent od pi i drugi kutovi u radijanima

Tablica kosinusa, sinusa i tangenta u nastavku također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji argument dano u radijanima... Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kutova. Zahvaljujući tome, vrijednost popularnih kutova može se pretvoriti iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega očitamo njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π / 3 radijana.

Broj pi jedinstveno izražava ovisnost opsega o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijani su jednaki 180 stupnjeva.

Bilo koji broj izražen u pi (radijan) može se lako pretvoriti u mjeru stupnja zamjenom pi (π) sa 180.

Primjeri za:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dakle, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
dakle, tangent od pi je isti kao tangent od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta za kutove 0 - 360 stupnjeva (uobičajene vrijednosti)

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangenta (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada funkcija nema određeno značenje za ovu vrijednost mjere stupnja kuta. Ako nema crtice - ćelija je prazna, onda još nismo unijeli traženu vrijednost. Zanima nas koji zahtjevi korisnici dolaze do nas i dopunjuju tablicu novim vrijednostima, unatoč činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangenta najčešće susrećenih vrijednosti kutova sasvim dovoljni za riješiti većinu problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(numeričke vrijednosti "kao u Bradisovim tablicama")

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrirano u kontekstu geometrije.

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene u smislu omjera stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer kateta suprotnog ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) - omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove su definicije dane za oštar kut pravokutnog trokuta!

Evo ilustracije.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijeli broj linija, odnosno ove funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije su za oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena na okvir od 0 do 90 stupnjeva. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu možete dati definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1, 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide do točke A 1. Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangentni (tg) kut rotacije

Tangent kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon skretanja mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon skretanja ide u točku s nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran kada ordinata točke nestane.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta jasno o čemu se radi.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu kuta rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup određivanju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

Bilo koji pravi broj t dodjeljuje se točka na jediničnoj kružnici sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangenta i kotangens definirani su kroz koordinate ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1, 0).

Pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će ići početna točka ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu po kružnici i prijeđe put t.

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (grijeh) od t

Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) broja t

Broj kosinusa t je apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangent (tg) broja t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su konzistentne i ne proturječe definiciji danoj na početku ove klauzule. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje ide početna točka nakon rotacije za kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svim kutovima α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovara određena vrijednost tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kuta alfa, ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, možete govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Za svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t... Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π k, k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens osnovne su trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (argumentom kuta ili numeričkim argumentom) imamo posla.

Vratimo se na podatke na samom početku definicija i kut alfa, koji leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama danim korištenjem omjera stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) povucimo okomicu na os apscise. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y). Duljina kraka nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

Prema definiciji iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znači da je određivanje sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangent i kotangens, korespondencija definicija.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

1. Jedna od kateta pravokutnog trokuta je 25 cm. Izračunajte duljinu druge katete ako je kut uz poznatu katetu 36º.
   

   Riješenje:

   Prema definiciji, tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu jednaka je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka. Krak a = 25 cm susjedan je kutu α = 36º, a nepoznati krak b je suprotan. Zatim:

   $$ tg (\ alpha) = \ frac (b) (a) $$, dakle $$ b = a \ cdot tg (\ alpha) $$

   Napravimo zamjenu:

   $$ b = 25 \ cdot tg (36 ^ 0) = 25 \ cdot 0,727 = 18,175 cm $$

   Odgovor:

   $$ b = 18,175 cm $$

2. Izračunajte vrijednost izraza: $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ lijevo (\ frac (\ pi) (5) \ desno) $$
   

   Riješenje:

   Prilikom zamjene uzmite u obzir da se jedan od kutova mjeri u stupnjevima, a drugi u radijanima:

   $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ lijevo (\ frac (\ pi) (5) \ desno) = 2 + 0,213 - 0,727 ^ 2 \ približno 1,684 $$

   Odgovor:
3. Kako bi izračunao visinu Keopsove piramide, znanstvenik je čekao dok Sunce s mjesta na kojem se on nalazi ne dotakne njen vrh. Zatim je izmjerio kutnu visinu Sunca iznad horizonta, pokazalo se da je 21º, a udaljenost do piramide bila je 362 m. Kolika je njezina visina?
   

   Riješenje:

   Visina piramide H i udaljenost L do nje su katete pravokutnog trokuta čija je hipotenuza sunčeva zraka. Tada je tangenta kuta pod kojim se Sunce vidi na vrhu piramide:

   $$ tg \ alpha = \ frac (H) (L) $$, izračunavamo visinu transformacijom formule:

   $$ H = L \ cdot tg (\ alpha) = 362 \ cdot tg (21 ^ 0) = 138,96 $$

   Odgovor:

   $$ H = 138,96 $$

4. Nađi tg α ako je suprotna noga 6 cm, a susjedna 5 cm.
   

   Riješenje:

   A-priorat

   $$ tg \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ alpha = \ frac (6) (5) = 1,2 $$

   Dakle, kut je $$ \ alpha = 50 ^ (\ circ) $$.

   Odgovor:

   $$ tg \ alfa = 1,2 $$

5. Nađi tg α ako je suprotni krak 8 cm, a hipotenuza 10 cm.
   

   Riješenje:

   Koristeći Pitagorinu formulu, nalazimo susjedni krak trokuta:

   $$ a = \ sqrt ((c ^ 2 - b ^ 2)) $$

   $$ a = \ sqrt ((10 ^ 2 - 8 ^ 2)) = \ sqrt (36) = 6 \ cm $$

   A-priorat

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (8) (6) = 1,333 $$

   Dakle, kut je $$ \ alpha = 53 ^ (\ circ) $$.

   Odgovor:

   $$ tg \ alpha = 1,333 $$

6. Naći tg α ako je susjedni krak 2 puta veći od suprotnog, a hipotenuza je 5√5 cm.
   

   Riješenje:

   Koristeći Pitagorinu formulu, nalazimo noge trokuta:

   $$ c = \ sqrt ((b ^ 2 + 4b ^ 2)) = \ sqrt ((5b ^ 2)) = b \ sqrt (5) $$

   $$ b = \ frac (c) (\ sqrt (5)) = \ frac (5 \ sqrt (5)) (\ sqrt (5)) = 5 \ cm $$

   $$ a = 5 \ cdot 2 = 10 \ cm $$

   A-priorat

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (5) (10) = 0,5 $$

   Dakle, kut $$ \ alpha = 27 ^ (\ circ) $$.

   Odgovor:

   $$ tg \ alfa = 0,5 $$

7. Pronađite tan α ako je hipotenuza 12 cm, a kut β = 30 °.
   

   Riješenje:

   Nađimo nogu uz željeni kut. Poznato je da je noga koja leži nasuprot kuta od 30° jednaka polovici hipotenuze. Sredstva,

   $$ a = 6 \ cm $$

   Prema Pitagorinom teoremu, nalazimo nogu suprotnu od željenog kuta:

   $$ b = \ sqrt ((c ^ 2 + a ^ 2)) $$

   $$ b = \ sqrt ((144-36)) = \ sqrt (108) = 6 \ sqrt (3) $$

   A-priorat

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (6 \ sqrt (3)) (6) = \ sqrt (3) = 1,732 $$

   Dakle, kut je $$ \ alpha = 60 ^ (\ circ) $$.

   Odgovor:

   $$ tg \ alpha = 1,732 $$

8. Nađi tg α ako su suprotni i susjedni krak jednaki, a hipotenuza je 6√2cm.
   

   Riješenje:

   A-priorat

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = 1 $$

   Dakle, kut je $$ \ alpha = 45 ^ (\ circ) $$.

   Odgovor:

   Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog kuta

   Sinus, kosinus proizvoljnog kuta

   
   

   Da bismo razumjeli što su trigonometrijske funkcije, okrenimo se kružnici s jediničnim polumjerom. Ova kružnica je centrirana u ishodištu na koordinatnoj ravnini. Za određivanje zadanih funkcija koristit ćemo se radijus vektorom ILI koja počinje u središtu kružnice i točke R je točka kružnice. Ovaj radijus vektor tvori kut alfa s osi OH... Budući da kružnica ima polumjer jednak jedan, onda OP = R = 1.

   

   Ako iz točke R spustite okomicu na os OH, tada dobivamo pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom jedan.

   
   

   Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, tada se taj smjer naziva negativan, ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivan.

   

   
   

   Sinusni kut ILI, je ordinata točke R vektori na kružnici.

   To jest, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu Imati na površini.

   Kako je dobivena ova vrijednost? Budući da znamo da je sinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobivamo da je

   

   I od R = 1, onda sin (α) = y 0 .

   
   

   U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

   

   

   Sinus je pozitivan u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u trećoj i četvrtoj.

   Kosinusni kut zadanu kružnicu koju čini vektor radijusa ILI, je apscisa točke R vektori na kružnici.

   Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu NS na površini.

   
   

   Kosinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

   
   

   I od R = 1, onda cos (α) = x 0 .

   U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

   

   

   Kosinus je pozitivan u prvoj i četvrtoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u drugoj i trećoj.

   Tangensproizvoljan kut razmatra se omjer sinusa i kosinusa.

   Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.

   

   Sudeći po tim omjerima, može se razumjeti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod kutom od 90 stupnjeva. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

   

   Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.