Nacrtaj kružnicu pomoću jednadžbe. Krug na koordinatnoj ravnini

Funkcija izgradnje

Predstavljamo Vam uslugu za online crtanje funkcionalnih karata, na koju sva prava pripadaju tvrtki Desmos... Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete ga unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti crtanja online

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izrada vrlo složenih grafova
• Izrada grafova, danih implicitno (na primjer, elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola skale, boja linije
• Mogućnost crtanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
• Istovremena konstrukcija više grafova funkcija
• Ucrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ (\ theta))

S nama je lako izraditi grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja se obavlja trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikaz grafova za njihovo daljnje kretanje u Word dokumentu kao ilustracije pri rješavanju problema, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Optimalni preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici web-mjesta je Google Chrome. Rad nije zajamčen s drugim preglednicima.

Ako postavite krug jediničnog broja na koordinatnu ravninu, tada se mogu pronaći koordinate za njegove točke. Brojčani krug je postavljen tako da se njegovo središte poklapa s točkom ishodišta ravnine, odnosno točkom O (0; 0).

Obično su na kružnici s brojem jedinice označene točke koje odgovaraju ishodištu na kružnici

• četvrtine - 0 ili 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• sredine četvrtine - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• trećine četvrtina - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Na koordinatnoj ravnini s gornjim položajem jedinične kružnice na njoj možete pronaći koordinate koje odgovaraju tim točkama kružnice.

Koordinate krajeva četvrti vrlo je lako pronaći. U točki 0 kružnice, x koordinata je 1, a y je 0. Može se označiti kao A (0) = A (1; 0).

Kraj prve četvrtine bit će smješten na pozitivnoj y-osi. Dakle, B (π / 2) = B (0; 1).

Kraj druge četvrtine je na negativnoj poluosi: C (π) = C (-1; 0).

Kraj treće četvrtine: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

Ali kako pronaći koordinate središta četvrtina? Da biste to učinili, izgradite pravokutni trokut. Njegova hipotenuza je segment od središta kružnice (ili ishodišta) do sredine četvrtine kruga. Ovo je polumjer kružnice. Budući da je kružnica jedinica, hipotenuza je 1. Zatim se iz točke kružnice povlači okomica na bilo koju os. Neka je prema x-osi. Ispada pravokutni trokut, čije su duljine nogu x i y koordinate točke kruga.

Četvrtina kruga je 90º. A pola četvrtine je 45 stupnjeva. Budući da je hipotenuza povučena u točku sredine četvrtine, kut između hipotenuze i kraka koji se proteže od ishodišta iznosi 45º. Ali zbroj kutova bilo kojeg trokuta je 180º. Dakle, kut između hipotenuze i drugog kraka je također 45º. Ispada jednakokračni pravokutni trokut.

Iz Pitagorinog teorema dobivamo jednadžbu x 2 + y 2 = 1 2. Budući da je x = y i 1 2 = 1, jednadžba je pojednostavljena na x 2 + x 2 = 1. Rješavajući je, dobivamo x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.

Dakle, koordinate točke su M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

U koordinatama točaka središta drugih četvrti, samo će se predznaci promijeniti, a moduli vrijednosti će ostati isti, jer će pravokutni trokut biti samo obrnut. dobivamo:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Prilikom određivanja koordinata trećih dijelova četvrtine kružnice gradi se i pravokutni trokut. Ako uzmemo točku π / 6 i povučemo okomicu na os x, tada će kut između hipotenuze i kraka koji leži na osi x biti 30º. Poznato je da je noga koja leži nasuprot kuta od 30 stupnjeva jednaka polovici hipotenuze. Dakle, pronašli smo y-koordinatu, ona je jednaka ½.

Poznavajući duljine hipotenuze i jednog od kateta, prema Pitagorinom teoremu, nalazimo još jedan krak:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Dakle, T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

Za točku druge trećine prve četvrtine (π / 3), bolje je nacrtati okomitu os na os y. Tada će kut u ishodištu koordinata također biti 30º. Ovdje će x koordinata biti jednaka ½, a y √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

Za ostale točke u trećoj četvrtini promijenit će se predznaci i redoslijed vrijednosti koordinata. Sve točke koje su bliže x-osi imat će x-koordinatu po modulu √3 / 2. One točke koje su bliže y-osi imat će y-vrijednost od √3 / 2 u apsolutnoj vrijednosti.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

Analitička geometrija pruža jedinstvene tehnike za rješavanje geometrijskih problema. Da bi se to učinilo, sve navedene i tražene točke i pravci se odnose na jedan koordinatni sustav.

U koordinatnom sustavu svaka se točka može okarakterizirati svojim koordinatama, a svaki pravac jednadžbom s dvije nepoznanice, čiji je graf ovaj pravac. Dakle, geometrijski se problem svodi na algebarski, gdje su sve tehnike proračuna dobro razvijene.

Krug je mjesto točaka s jednim specifičnim svojstvom (svaka točka kružnice jednako je udaljena od jedne točke, koja se naziva središte). Jednadžba kružnice mora odražavati ovo svojstvo, zadovoljiti ovaj uvjet.

Geometrijska interpretacija jednadžbe kružnice je linija kružnice.

Ako stavite krug u koordinatni sustav, tada sve točke kružnice zadovoljavaju jedan uvjet - udaljenost od njih do središta kruga mora biti ista i jednaka kružnici.

Krug sa središtem u točki A i radijus R staviti u koordinatnu ravninu.

Ako su koordinate središta (a; b) , i koordinate bilo koje točke kružnice (x; y) , tada jednadžba kružnice ima oblik:

Ako je kvadrat polumjera kružnice jednak zbroju kvadrata razlika odgovarajućih koordinata bilo koje točke kružnice i njenog središta, tada je ova jednadžba jednadžba kružnice u ravnom koordinatnom sustavu.

Ako se središte kružnice podudara s početnom točkom, tada je kvadrat polumjera kružnice jednak zbroju kvadrata koordinata bilo koje točke na kružnici. U ovom slučaju, jednadžba kružnice ima oblik:

Prema tome, svaki geometrijski lik kao mjesto točaka određen je jednadžbom koja povezuje koordinate njegovih točaka. Obrnuto, jednadžba koja povezuje koordinate NS i na , definirati pravac kao mjesto točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu.

Primjeri rješavanja zadataka o jednadžbi kružnice

Zadatak. Izjednačiti zadanu kružnicu

Izjednačite kružnicu sa središtem O (2; -3) i polumjerom 4.

Riješenje.
Okrenimo se formuli za jednadžbu kružnice:
R2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Ubacimo vrijednosti u formulu.
Polumjer kružnice R = 4
Koordinate središta kruga (po potrebi)
a = 2
b = -3

dobivamo:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
ili
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Zadatak. Pripada li točka jednadžbi kružnice

Provjerite pripada li bod A (2; 3) jednadžba kružnice (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Riješenje.
Ako točka pripada kružnici, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu kružnice.
Da bismo provjerili pripada li točka sa zadanim koordinatama kružnici, u jednadžbu zadane kružnice zamjenjujemo koordinate točke.

U jednadžbi ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
zamjenjujemo, prema uvjetu, koordinate točke A (2; 3), tj
x = 2
y = 3

Provjerimo istinitost dobivene jednakosti
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 jednakost je pogrešna

Dakle, zadana točka ne pripada zadanu jednadžbu kružnice.

Neka kružnica ima polumjer , a njegovo središte je u točki
... Točka
leži na kružnici ako i samo ako je modul vektora
jednako je , to je. Posljednja jednakost vrijedi ako i samo ako

Jednadžba (1) je željena jednadžba kružnice.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku, okomita na zadani vektor

okomito na vektor
.

Točka

i
okomito. Vektori
i
su okomite ako i samo ako je njihov umnožak jednak nuli, tj
... Koristeći formulu za izračun skalarnog produkta vektora zadanih njihovim koordinatama, zapisujemo jednadžbu željene ravne u obliku

Pogledajmo primjer. Nađi jednadžbu ravne koja prolazi

sredina segmenta AB okomita je na ovaj segment ako su koordinate točaka jednake A (1; 6), B (5; 4).

Argumentirati ćemo na sljedeći način. Da bismo pronašli jednadžbu pravca, moramo znati točku kroz koju ovaj pravac prolazi, i vektor okomit na ovaj pravac. Vektor okomit na zadani pravac bit će vektor, budući da je, prema iskazu problema, pravac okomit na segment AB. Točka
definirati iz uvjeta da pravac prolazi sredinom AB. Imamo. Tako
a jednadžba poprima oblik.

Pojasnimo pitanje prolazi li ovaj pravac točkom M (7; 3).

Imamo, dakle, ovaj pravac ne prolazi kroz navedenu točku.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku paralelno s danim vektorom

Neka pravac prolazi kroz točku
paralelno s vektorom
.

Točka
leži na pravoj ako i samo ako su vektori
i
kolinearna. Vektori
i
kolinearne ako i samo ako su njihove koordinate proporcionalne, tj

(3)

Rezultirajuća jednadžba je jednadžba željene ravne linije.

Jednadžba (3) se može predstaviti kao

, gdje uzima bilo koje vrijednosti
.

Stoga možemo pisati

, gdje
(4)

Sustav jednadžbi (4) nazivamo parametarske jednadžbe ravne linije.

Pogledajmo primjer. Nađite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke. Jednadžbu ravne linije možemo konstruirati ako poznajemo točku i vektor paralelan ili okomit na nju. Dostupne su dvije točke. Ali ako dvije točke leže na ravnoj crti, tada će vektor koji ih povezuje bit će paralelan s ovom ravnom crtom. Stoga ćemo koristiti jednadžbu (3) uzimajući kao vektor
vektor
... dobivamo

(5)

Jednadžba (5) naziva se jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke.

Opća jednadžba ravne linije

Definicija. Opća jednadžba pravca prvog reda na ravnini je jednadžba oblika
, gdje
.

Teorema. Svaka ravna crta na ravnini može se dati u obliku jednadžbe pravca prvog reda, a svaka jednadžba pravca prvog reda je jednadžba neke ravne crte na ravnini.

Prvi dio ovog teorema lako je dokazati. Na bilo kojoj ravnoj crti možete odrediti neku točku
vektor okomit na njega
... Tada, prema (2), jednadžba takve ravne crte ima oblik. Označavamo
... Tada jednadžba poprima oblik
.

Sada prelazimo na drugi dio teorema. Neka postoji jednadžba
, gdje
... Zbog određenosti, pretpostavljamo
.

Prepišimo jednadžbu kao:

;

Razmotrite točku u avionu
, gdje
... Tada rezultirajuća jednadžba ima oblik i jednadžba je ravne koja prolazi kroz točku
okomito na vektor
... Teorem je dokazan.

Tijekom dokazivanja teorema smo usput dokazali

Izjava. Ako postoji jednadžba ravne linije oblika
, zatim vektor
okomito na ovu liniju.

Jednadžba oblika
naziva se opća jednadžba ravne na ravnini.

Neka bude ravna crta
i točka
... Potrebno je odrediti udaljenost od navedene točke do ravne linije.

Razmotrite proizvoljnu točku
na ravnoj liniji. Imamo
... Udaljenost od točke
na ravnu je jednak modulu vektorske projekcije
po vektoru
okomito na ovu liniju. Imamo

,

transformacija, dobivamo formulu:

Neka su zadane dvije ravne linije zadane općim jednadžbama

,
... Zatim vektori

su okomite na prvu i drugu ravnu liniju, respektivno. Injekcija
između ravnih linija jednak je kutu između vektora
,
.

Tada je formula za određivanje kuta između ravnih linija:

.

Uvjet okomitosti pravih je:

.

Pravci su paralelni ili se podudaraju ako i samo ako su vektori

kolinearna. Pri čemu uvjet za podudarnost ravnih linija ima oblik:
,

a uvjet izostanka raskrižja zapisuje se kao:
... Dokažite posljednja dva uvjeta sami.

Istražimo prirodu ponašanja ravne linije prema njezinoj općoj jednadžbi.

Neka je dana opća jednadžba pravca
... Ako
, tada pravac prolazi kroz ishodište.

Razmotrimo slučaj kada nijedan koeficijent nije jednak nuli
... Prepisujemo jednadžbu u obliku:

,

,

Gdje
... Otkrijmo značenje parametara
... Pronađite točke presjeka ravne s koordinatnim osi. Na
imamo
, i na
imamo
... To je
su segmenti koji su odsječeni ravnom linijom na koordinatnim osi. Stoga jednadžba
naziva se jednadžba ravne u segmentima.

Kada
imamo

... Kada
imamo
... To jest, ravna crta će biti paralelna s osi .

Prisjetite se toga nagib ravne linije naziva se tangenta kuta nagiba ove ravne crte prema osi
... Neka se linija odsiječe na osi odjeljak i ima nagib ... Pusti točku
leži s ovim

Zatim
==... I jednadžba ravne linije bit će zapisana u obliku

.

Neka pravac prolazi kroz točku
i ima nagib ... Pusti točku
leži na ovoj pravoj liniji.

Zatim =
.

Rezultirajuća jednadžba naziva se jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku s zadanim nagibom.

S obzirom na dva retka
,
... Označavamo
- kut između njih. Neka bude ,kutovi nagiba prema X-osi odgovarajućih ravnih linija

Zatim
=
,
.

Tada uvjet paralelnosti pravih ima oblik
, i uvjet okomitosti

U zaključku ćemo razmotriti dva problema.

Zadatak ... Vrhovi trokuta ABC imaju koordinate: A (4; 2), B (10; 10), C (20; 14).

Nađi: a) jednadžbu i duljinu medijana povučene iz vrha A;

b) jednadžba i duljina visine povučene od vrha A;

c) jednadžba simetrale izvučene iz vrha A;

Definirajmo jednadžbu medijana AM.

Točka M () je sredina segmenta BC.

Zatim , ... Prema tome, točka M ima koordinate M (15; 17). Jednadžba medijana u jeziku analitičke geometrije je jednadžba ravne koja prolazi točkom A (4; 2) paralelno s vektorom = (11; 15). Tada jednadžba medijana ima oblik. Medijan duljine AM = .

Visinska jednadžba AS je jednadžba ravne koja prolazi točkom A (4; 2) okomito na vektor = (10; 4). Tada je jednadžba visine 10 (x-4) +4 (y-2) = 0,5x + 2y-24 = 0.

Dužina visine je udaljenost od točke A (4; 2) do linije BC. Ovaj pravac prolazi točkom B (10; 10) paralelno s vektorom = (10; 4). Njegova jednadžba ima oblik , 2x-5y + 30 = 0. Udaljenost AS od točke A (4; 2) do pravca BC, dakle, jednaka je AS = .

Da bismo odredili jednadžbu simetrale, nalazimo vektor paralelan s ovom ravnom crtom. Da bismo to učinili, koristit ćemo svojstvo dijagonale romba. Ako iz točke A odložimo jedinične vektore jednako usmjerene od vektora, tada će vektor jednak njihovom zbroju biti paralelan simetrali. Tada imamo = +.

={6;8}, , ={16,12}, .

Tada = Vektor = (1; 1), kolinearan zadanom, može poslužiti kao vektor smjera željene ravne linije. Tada je jednadžba tražene ravne linije vidjela ili x-y-2 = 0.

Zadatak. Rijeka teče pravocrtno prolazeći kroz točke A (4; 3) i B (20; 11). Crvenkapica živi na točki C (4; 8), a njezina baka na točki D (13; 20). Svako jutro Crvenkapica od kuće uzme praznu kantu, ode do rijeke, zagrabi vodu i odnese je baki. Pronađite najkraću cestu za Crvenkapicu.

Nađimo točku E, simetričnu baki, u odnosu na rijeku.

Da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći jednadžbu ravne linije duž koje rijeka teče. Ova se jednadžba može smatrati jednadžbom ravne koja prolazi točkom A (4; 3) paralelno s vektorom. Tada jednadžba pravca AB ima oblik.

Zatim nalazimo jednadžbu ravne DE koja prolazi točkom D okomito na AB. Može se smatrati jednadžbom ravne linije koja prolazi točkom D, okomito na vektor
... Imamo

Sada nalazimo točku S - projekciju točke D na pravac AB, kao sjecište pravaca AB i DE. Imamo sustav jednadžbi

.

Prema tome, točka S ima koordinate S (18; 10).

Budući da je S središte segmenta DE, onda.

Također.

Prema tome, točka E ima koordinate E (23; 0).

Nađimo jednadžbu pravca CE, znajući koordinate dviju točaka ovog pravca

Točku M nalazimo kao sjecište pravaca AB i CE.

Imamo sustav jednadžbi

.

Prema tome, točka M ima koordinate
.

Tema 2. Pojam jednadžbe površine u prostoru. Jednadžba sfere. Jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomita je na dati vektor. Opća jednadžba ravnine i njezino proučavanje Uvjet paralelnosti dviju ravnina. Udaljenost od točke do ravnine. Koncept jednadžbe linije. Ravna linija u prostoru. Kanonske i parametarske jednadžbe ravne u prostoru. Jednadžbe ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke. Uvjeti za paralelnost i okomitost ravne i ravnine.

Najprije dajemo definiciju pojma jednadžbe površine u prostoru.

Pustite u svemir
s obzirom na neku površinu ... Jednadžba
naziva se jednadžba površine ako su ispunjena dva uvjeta:

1.za bilo koju točku
s koordinatama
ležanje na površini je zadovoljno
, odnosno njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu površine;

2.bilo koja točka
čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu
, leži na liniji.