Definicija sinusa i kosinusa. Sinus, kosinus, tangent i kotangens - sve što trebate znati na ispitu iz matematike (2020.)
Učitelji smatraju da bi svaki učenik trebao znati izvoditi izračune, znati trigonometrijske formule, ali ne objašnjava svaki učitelj što su sinus i kosinus. Koje je njihovo značenje, gdje se koriste? Zašto govorimo o trokutima, a u udžbeniku je nacrtan krug? Pokušajmo povezati sve činjenice.
Školski predmet
Studij trigonometrije obično počinje u 7.-8. razredu srednje škole. U ovom trenutku učenicima se objašnjava što su sinus i kosinus, nudi im se rješavanje geometrijskih problema pomoću ovih funkcija. Kasnije se pojavljuju složenije formule i izrazi koje je potrebno transformirati na algebarski način (formule dvostrukog i polukuta, funkcije stepena), rad se izvodi s trigonometrijskim krugom.
Međutim, učitelji daleko od uvijek mogu jasno objasniti značenje korištenih pojmova i primjenjivost formula. Stoga učenik često ne vidi smisao u ovom predmetu, a zapamćene informacije brzo se zaborave. No, vrijedi jednom srednjoškolcu objasniti, primjerice, povezanost funkcije i oscilatornog gibanja, pa će se logična veza pamtiti dugi niz godina, a vicevi o beskorisnosti predmeta postat će prošlost .
Korištenje
Radi znatiželje, pogledajmo razne grane fizike. Želite li odrediti domet projektila? Ili izračunavate silu trenja između predmeta i određene površine? Ljuljanje njihala, promatranje zraka koje prolaze kroz staklo, računanje indukcije? Trigonometrijski koncepti pojavljuju se u gotovo svakoj formuli. Dakle, što su sinus i kosinus?
Definicije
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka prema istoj hipotenuzi. Ovdje nema apsolutno ništa komplicirano. Možda su učenici obično zbunjeni vrijednostima koje vide u trigonometrijskoj tablici, jer se tamo pojavljuju kvadratni korijeni. Da, nije baš zgodno iz njih dobiti decimalne razlomke, ali tko je rekao da bi svi brojevi u matematici trebali biti jednaki?
Zapravo, u knjigama trigonometrijskih zadataka možete pronaći smiješan savjet: većina odgovora ovdje je parna i u najgorem slučaju sadrži korijen od dva ili tri. Zaključak je jednostavan: ako u svom odgovoru dobijete razlomak "više katova", još jednom provjerite rješenje za pogreške u izračunima ili u zaključivanju. I vrlo vjerojatno ćete ih pronaći.
Stvari koje treba zapamtiti
Kao i svaka znanost, trigonometrija ima podatke koje treba naučiti.
Prvo, trebali biste zapamtiti numeričke vrijednosti za sinuse, kosinuse pravokutnog trokuta 0 i 90, kao i 30, 45 i 60 stupnjeva. Ovi pokazatelji nalaze se u devet od deset školskih problema. Zavirujući ove vrijednosti u udžbenik, izgubit ćete puno vremena, a ispit ili ispit uopće nećete imati gdje pogledati.
Treba imati na umu da vrijednost obje funkcije ne može biti veća od jedne. Ako bilo gdje u izračunu dobijete vrijednost izvan raspona 0-1, zaustavite se i ponovno riješite problem.
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednak je jedan. Ako ste već pronašli jednu od vrijednosti, upotrijebite ovu formulu da biste pronašli ostale.
Teoremi
U osnovnoj trigonometriji postoje dva glavna teorema: sinus i kosinus.
Prvi kaže da je omjer svake strane trokuta i sinusa suprotnog kuta isti. Drugi je da se kvadrat bilo koje strane može dobiti zbrajanjem kvadrata dviju preostalih stranica i oduzimanjem njihovog dvostrukog proizvoda, pomnoženog s kosinusom kuta koji leži između njih.
Dakle, ako zamijenimo vrijednost kuta od 90 stupnjeva u kosinusni teorem, dobivamo ... Pitagorin teorem. Sada, ako trebate izračunati površinu figure koja nije pravokutni trokut, više ne morate brinuti - dva razmatrana teorema značajno će pojednostaviti rješenje problema.
Ciljevi i ciljevi
Učenje trigonometrije postaje puno lakše kada shvatite jednu jednostavnu činjenicu: sve radnje koje izvodite usmjerene su na postizanje samo jednog cilja. Bilo koji parametri trokuta mogu se pronaći ako znate najmanje informacija o njemu - to može biti vrijednost jednog kuta i duljina dviju strana ili, na primjer, tri strane.
Za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta bilo kojeg kuta, ovi su podaci dovoljni, uz njihovu pomoć možete lako izračunati površinu figure. Gotovo uvijek je jedna od spomenutih vrijednosti potrebna kao odgovor, a možete ih pronaći pomoću istih formula.
Nedosljednosti u učenju trigonometrije
Jedno od nerazumljivih pitanja koje studenti radije izbjegavaju je pronalaženje veze između različitih pojmova u trigonometriji. Čini se da se trokuti koriste za proučavanje sinusa i kosinusa kutova, ali iz nekog razloga oznake se često nalaze na slici s krugom. Osim toga, postoji potpuno nerazumljiv graf nalik valovima koji se zove sinusoida, koji nema vanjsku sličnost ni s krugom ni s trokutima.
Štoviše, kutovi se mjere u stupnjevima, zatim u radijanima, a broj Pi, napisan jednostavno kao 3,14 (bez mjernih jedinica), iz nekog razloga se pojavljuje u formulama, što odgovara 180 stupnjeva. Kako se sve to povezuje jedno s drugim?
Jedinice
Zašto je Pi točno 3.14? Sjećate li se koje je ovo značenje? Ovo je broj polumjera koji stane u luk na pola kruga. Ako je promjer kruga 2 centimetra, opseg je 3,14 * 2, odnosno 6,28.
Druga točka: možda ste primijetili sličnost između riječi "radian" i "radius". Činjenica je da je jedan radijan brojčano jednak vrijednosti kuta ucrtanog iz središta kruga na luk duljine jednog polumjera.
Sada kombinirajmo stečeno znanje i shvatimo zašto je vrh na koordinatnoj osi u trigonometriji napisan "Pi na pola", a s lijeve strane - "Pi". Ovo je kutna vrijednost mjerena u radijanima, budući da je polukrug 180 stupnjeva ili 3,14 radijana. A gdje su stupnjevi, tu su i sinusi i kosinusi. Trokut je lako nacrtati iz željene točke, odgađajući segmente u središte i na koordinatnu os.
Pogledajmo u budućnost
Trigonometrija, koja se izučava u školi, bavi se pravocrtnim koordinatnim sustavom, gdje je, koliko god čudno zvučalo, ravna crta ravna linija.
Ali postoje i složeniji načini rada s prostorom: zbroj kutova trokuta ovdje će biti veći od 180 stupnjeva, a ravna crta u našem pogledu izgledat će kao pravi luk.
Prijeđimo s riječi na djela! Uzmi jabuku. Nožem napravite tri reza kako biste oblikovali trokut kada se gleda odozgo. Izvadite dobivenu krišku jabuke i pogledajte "rebra" gdje završava kora. Oni uopće nisu ravni. Voće u vašim rukama može se uvjetno nazvati okruglim, a sada zamislite koliko složene formule moraju biti, uz pomoć kojih možete pronaći područje izrezanog komada. Ali neki stručnjaci svakodnevno rješavaju takve probleme.
Trigonometrijske funkcije u životu
Jeste li primijetili da najkraća zračna ruta od točke A do točke B na površini našeg planeta ima izražen oblik luka? Razlog je jednostavan: Zemlja ima oblik lopte, što znači da ne možete puno izračunati uz pomoć trokuta - ovdje morate koristiti složenije formule.
Sinus/kosinus oštrog kuta ne može se izostaviti ni u jednoj stvari koja se odnosi na prostor. Zanimljivo je da se ovdje konvergira čitav niz čimbenika: trigonometrijske funkcije su potrebne za izračunavanje gibanja planeta po kružnicama, elipsama i raznim putanjama složenijih oblika; proces lansiranja raketa, satelita, šatlova, odvezivanja istraživačkih vozila; promatranje udaljenih zvijezda i proučavanje galaksija do kojih ljudi neće moći doći u dogledno vrijeme.
Općenito, polje za djelatnost osobe koja posjeduje trigonometriju vrlo je široko i, očito, s vremenom će se samo širiti.
Zaključak
Danas smo naučili, ili barem ponovili što su sinus i kosinus. To su pojmovi kojih se ne trebate bojati – samo želite, i shvatit ćete njihovo značenje. Zapamtite da trigonometrija nije cilj, već samo alat koji se može koristiti za zadovoljavanje stvarnih ljudskih potreba: graditi kuće, osigurati sigurnost u prometu, čak istraživati prostranstva svemira.
Doista, znanost se sama po sebi može činiti dosadnom, ali čim u njoj pronađete način za postizanje vlastitih ciljeva, samoostvarenje, proces učenja će postati zanimljiv, a vaša osobna motivacija će se povećati.
Kao domaći zadatak, pokušajte pronaći načine za primjenu trigonometrijskih funkcija na područje aktivnosti koje vas osobno zanima. Zamislite, uključite maštu i tada će se vjerojatno pokazati da će vam nova znanja biti od koristi u budućnosti. Osim toga, matematika je korisna za opći razvoj mišljenja.
| BD |- duljina luka kružnice sa središtem u točki A.
α
je kut izražen u radijanima.
sinus ( grijeh α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka | BC | na duljinu hipotenuze | AC |.
kosinus ( cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka | AB | na duljinu hipotenuze | AC |.
Prihvaćene oznake
;
;
.
;
;
.
Grafikon sinusne funkcije, y = sin x
Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x
Svojstva sinusa i kosinusa
Periodičnost
Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodično s točkom 2 π.
Paritet
Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.
Raspon definicija i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje
Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n je cijeli broj).
| y = grijeh x | y = cos x | |
| Područje definicije i kontinuiteta | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Raspon vrijednosti | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Uzlazni | ||
| Silazni | ||
| Maksimum, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nule, y = 0 | ||
| Točke presjeka s y-osi, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Osnovne formule
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa
Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku
;
;
Formule za umnožak sinusa i kosinusa
Formule zbroja i razlike
Izraz sinusa u terminima kosinusa
;
;
;
.
Kosinusni izraz u terminima sinusa
;
;
;
.
Tangentni izraz
; .
Jer, imamo:
;
.
u:
;
.
Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa
Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste složene varijable
;
Eulerova formula
Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija
;
;
Derivati
; ... Izvođenje formula>>>
Derivati n-tog reda:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekans, kosekans
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su inverzni sinus, odnosno inverzni kosinus.
Arcsin, arcsin
Arkosinus, arccos
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih institucija, "Lan", 2009.
Najjednostavniji trigonometrijski identiteti
Kvocijent dijeljenja sinusa alfa kuta s kosinusom istog kuta jednak je tangentu ovog kuta (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa alfa kuta sa sinusom istog kuta jednak je kotangensu istog kuta (Formula 2)
Sekans kuta jednak je jedinici podijeljenoj s kosinusom istog kuta (Formula 3)
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbroja kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbroj jedinice i tangenta kuta jednak je omjeru jedinice i kvadrata kosinusa tog kuta (Formula 5)
Jedinica plus kotangens kuta jednak je kvocijentu dijeljenja jedan sa sinusnim kvadratom ovog kuta (Formula 6)
Umnožak tangente i kotangensa istog kuta jednak je jedan (Formula 7).
Pretvaranje negativnih kutova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)
Kako biste se riješili negativne vrijednosti stupnja mjere kuta pri izračunu sinusa, kosinusa ili tangente, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) temeljene na načelima parnosti ili neparnosti trigonometrijskih funkcija.
kao što se vidi, kosinus a sekant je ravnomjerna funkcija, sinus, tangent i kotangens - neparne funkcije.
Sinus negativnog kuta jednak je negativnom sinusu tog istog pozitivnog kuta (minus sinus alfa).
Kosinus "minus alfa" dat će istu vrijednost kao kosinus kuta alfa.
Tangent minus alfa jednak je minus tangent alfa.
Formule redukcije dvostrukog kuta (sinus, kosinus, tangenta i kotangens dvostrukog kuta)
Ako trebate podijeliti kut na pola, ili obrnuto, prijeći iz dvostrukog kuta u jedan kut, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
Pretvorba dvostrukog kuta (sinus dvostrukog kuta, kosinus dvostrukog kuta i tangent dvostrukog kuta) do single javlja se prema sljedećim pravilima:
Dvostruki kutni sinus jednak dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog kuta
Dvostruki kutni kosinus jednak je razlici između kvadrata kosinusa jednog kuta i kvadrata sinusa tog kuta
Dvostruki kutni kosinus jednak dvostrukom kvadratu kosinusa jednog kuta minus jedan
Dvostruki kutni kosinus jednak jednom minus dvostrukom sinusnom kvadratu jednog kuta
Dvostruka kutna tangenta jednak je razlomku čiji je brojnik dvostruka tangenta jednog kuta, a nazivnik je jednak jedan minus tangens kvadrata jednog kuta.
Dvokutni kotangens jednak je razlomku čiji je brojnik kvadrat kotangensa jednog kuta minus jedan, a nazivnik je jednak dvostrukom kotangensu jednog kuta
Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule
Formule pretvorbe u nastavku mogu biti korisne kada trebate podijeliti argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tan α) s dva i smanjiti izraz na polovicu kuta. Iz vrijednosti α dobivamo α / 2.Ove formule se nazivaju univerzalne trigonometrijske zamjenske formule... Njihova vrijednost je u tome što se trigonometrijski izraz uz njihovu pomoć svodi na izraz tangente pola kuta, bez obzira na to koje su trigonometrijske funkcije (sin cos tg ctg) izvorno bile u izrazu. Nakon toga, jednadžba s tangentom polovice kuta je puno lakše riješiti.
Trigonometrijske transformacije pola kuta
Sljedeće su formule za trigonometrijsku pretvorbu pola kuta u cjelobrojnu vrijednost.Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α / 2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.
Trigonometrijske formule za zbrajanje kutova
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangent i kotangens zbroja kutova alfa i beta mogu se pretvoriti pomoću sljedećih pravila pretvorbe trigonometrijskih funkcija:
Tangent zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik zbroj tangenta prvog kuta i tangenta drugog kuta, a nazivnik je jedan minus umnožak tangenta prvog kuta i tangenta drugog kuta .
Tangenta razlike kutova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak razlici između tangenta smanjenog kuta i tangente oduzetog kuta, a nazivnik je jednak jedan plus umnožak tangenta tih kutova.
Kotangens zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku kotangensa ovih kutova plus jedan, a nazivnik je jednak razlici kotangensa drugog kuta i kotangensa prvog kuta.
Kotangens razlike kutova jednak je razlomku čiji je brojnik umnožak kotangensa ovih kutova minus jedan, a nazivnik je jednak zbroju kotangensa tih kutova.
Ovi trigonometrijski identiteti prikladni su za korištenje kada trebate izračunati, na primjer, tangent od 105 stupnjeva (tg 105). Ako ga predstavite kao tg (45 + 60), tada možete koristiti zadane identične transformacije tangente zbroja kutova, a zatim jednostavno zamijeniti tablične vrijednosti tangente 45 i tangente 60 stupnjeva.
Formule pretvorbe zbroja ili razlike za trigonometrijske funkcije
Izrazi koji predstavljaju zbroj oblika sin α + sin β mogu se transformirati pomoću sljedećih formula:
Formule trostrukog kuta - pretvoriti sin3α cos3α tg3α u sinα cosα tgα
Ponekad je potrebno transformirati trostruku vrijednost kuta tako da kut α umjesto 3α postane argument trigonometrijske funkcije.U ovom slučaju možete koristiti formule za transformaciju trostrukog kuta (identitete):
Transformacijske formule za umnožak trigonometrijskih funkcija
Ako postane potrebno transformirati umnožak sinusa različitih kutova kosinusa različitih kutova, ili čak umnožak sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:
U tom će se slučaju umnožak funkcija sinusa, kosinusa ili tangente različitih kutova pretvoriti u zbroj ili razliku.
Formule redukcije trigonometrijske funkcije
Tablicu za livenje trebate koristiti na sljedeći način. U retku odaberite funkciju koja nas zanima. Stupac sadrži kut. Na primjer, sinus kuta (α + 90) na sjecištu prvog retka i prvog stupca, saznajemo da je sin (α + 90) = cos α.
Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.
Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrirano u kontekstu geometrije.
U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene u smislu omjera stranica pravokutnog trokuta.
Definicije trigonometrijskih funkcija
Sinus kuta (sin α) je omjer kateta suprotnog ovom kutu i hipotenuze.
Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.
Kotangens kuta (c t g α) - omjer susjednog kraka prema suprotnom.
Ove su definicije dane za oštar kut pravokutnog trokuta!
Evo ilustracije.
U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.
Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.
Važno je zapamtiti!
Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijeli broj linija, odnosno ove funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.
Gore navedene definicije su za oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena na okvir od 0 do 90 stupnjeva. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.
U tom kontekstu možete dati definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.
Početna točka A s koordinatama (1, 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide do točke A 1. Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).
Sinus (sin) kuta rotacije
Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) kuta rotacije
Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x
Tangentni (tg) kut rotacije
Tangent kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x
Kotangens (ctg) kuta rotacije
Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y
Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon skretanja mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon skretanja ide u točku s nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran kada ordinata točke nestane.
Važno je zapamtiti!
Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α.
Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta jasno o čemu se radi.
Brojevi
Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?
Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja
Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.
Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu kuta rotacije od 10 π rad.
Postoji još jedan pristup određivanju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.
Bilo koji pravi broj t dodjeljuje se točka na jediničnoj kružnici sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangenta i kotangens definirani su kroz koordinate ove točke.
Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1, 0).
Pozitivan broj t
Negativan broj t odgovara točki do koje će ići početna točka ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu po kružnici i prijeđe put t.
Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.
Sinus (grijeh) od t
Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y
Kosinus (cos) broja t
Broj kosinusa t je apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x
Tangent (tg) broja t
Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t
Potonje definicije su konzistentne i ne proturječe definiciji danoj na početku ove klauzule. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje ide početna točka nakon rotacije za kut t radijan.
Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta
Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svim kutovima α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovara određena vrijednost tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kuta alfa, ili funkcije kutnog argumenta.
Slično, možete govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Za svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t... Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π k, k ∈ Z.
Osnovne funkcije trigonometrije
Sinus, kosinus, tangent i kotangens osnovne su trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (argumentom kuta ili numeričkim argumentom) imamo posla.
Vratimo se na podatke na samom početku definicija i kut alfa, koji leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama danim korištenjem omjera stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.
Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) povucimo okomicu na os apscise. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y). Duljina kraka nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.
Prema definiciji iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
To znači da je određivanje sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.
Slično se može prikazati kosinus, tangent i kotangens, korespondencija definicija.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Pojmovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, a neraskidivo su povezane s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno mišljenje. Zato trigonometrijski izračuni često uzrokuju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se detaljnije upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.
Pojmovi u trigonometriji
Da biste razumjeli osnovne pojmove trigonometrije, prvo morate odrediti što su pravokutni trokut i kut u kružnici i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutan. Povijesno gledano, ovu su figuru često koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.
Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i noge. Hipotenuza je stranica trokuta nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta je uvijek 180 stupnjeva.
Sferna trigonometrija je dio trigonometrije koji se ne izučava u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Posebnost trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.
Kutovi trokuta
U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer kraka suprotnog od željenog kuta i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Obje ove vrijednosti su uvijek manje od jedan, jer je hipotenuza uvijek duža od kraka.
Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, odnosno sinusa i kosinusa. Kotangens je, pak, omjer susjednog kraka željenog kuta i suprotnog kraka. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedan s vrijednošću tangente.
Jedinični krug
Jedinični krug u geometriji je kružnica čiji je polumjer jednak jedan. Takva se kružnica konstruira u kartezijanskom koordinatnom sustavu, dok se središte kružnice poklapa s ishodišnom točkom, a početni položaj vektora radijusa određen je duž pozitivnog smjera osi X (apscise). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscisa i ordinata. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i spuštanjem okomice s nje na os apscise, dobivamo pravokutni trokut formiran polumjerom na odabranu točku (označimo ga slovom C), povučenom okomicom na os X (točka presjeka označena je slovom G), a odsječak osi apscise između ishodišta (točka je označena slovom A) i točke presjeka G. Dobiveni trokut ACG je pravokutni kutni trokut upisan u kružnicu, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC su katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta osi apscise s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG / AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedan, ispada da je cos α = AG. Slično, sin α = CG.
Osim toga, znajući ove podatke, moguće je odrediti koordinatu točke C na kružnici, budući da je cos α = AG, a sin α = CG, što znači da točka C ima zadane koordinate (cos α; sin α). Znajući da je tangent jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α = y / x, a ctg α = x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, možete izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.
Izračuni i osnovne formule
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jedinični krug, možete izvesti vrijednosti tih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.
Najjednostavniji trigonometrijski identiteti
Jednadžbe u kojima je nepoznata vrijednost prisutna pod znakom trigonometrijske funkcije nazivaju se trigonometrijske. Identiteti s vrijednošću sin h = α, k je bilo koji cijeli broj:
- sin x = 0, x = πk.
- 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, | a | > 1, nema rješenja.
- sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.
Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:
- cos x = 0, x = π / 2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, | a | > 1, nema rješenja.
- cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.
Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:
- tg x = 0, x = π / 2 + πk.
- tg x = a, x = arktan α + πk.
Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:
- ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Formule za lijevanje
Ova kategorija konstantnih formula označava metode koje se mogu koristiti za prebacivanje s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta, odnosno za dovođenje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta bilo koje vrijednosti na odgovarajuće pokazatelje kut intervala od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.
Formule za pretvaranje funkcija za sinus kuta izgledaju ovako:
- sin (900 - α) = α;
- sin (900 + α) = cos α;
- grijeh (1800 - α) = sin α;
- sin (1800 + α) = -sin α;
- sin (2700 - α) = -cos α;
- sin (2700 + α) = -cos α;
- sin (3600 - α) = -sin α;
- sin (3600 + α) = sin α.
Za kosinus kuta:
- cos (900 - α) = sin α;
- cos (900 + α) = -sin α;
- cos (1800 - α) = -cos α;
- cos (1800 + α) = -cos α;
- cos (2700 - α) = -sin α;
- cos (2700 + α) = sin α;
- cos (3600 - α) = cos α;
- cos (3600 + α) = cos α.
Upotreba gornjih formula moguća je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može predstaviti kao vrijednost (π / 2 ± a) ili (3π / 2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:
- od grijeha do cos;
- od cos do grijeha;
- od tg do ctg;
- od ctg do tg.
Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može predstaviti kao (π ± a) ili (2π ± a).
Drugo, predznak reducirane funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav ostaje. Isto tako i s negativnim funkcijama.
Formule za zbrajanje
Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično nazivaju α i β.
Formule izgledaju ovako:
- sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Ove formule vrijede za sve vrijednosti kutova α i β.
Formule dvostrukog i trostrukog kuta
Trigonometrijske formule s dvostrukim i trostrukim kutom su formule koje povezuju funkcije kutova 2α i 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:
- sin2α = 2sinα * cosα.
- cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
- cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).
Prijelaz sa zbroja na proizvod
Uzimajući u obzir da je 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identičnost sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Slično, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).
Prelazak s posla na zbroj
Ove formule slijede iz identiteta prijelaza zbroja u proizvod:
- sinα * sinβ = 1/2 *;
- cosα * cosβ = 1/2 *;
- sinα * cosβ = 1/2 *.
Formule za smanjenje stupnja
U ovim identitetima, kvadratne i kubične snage sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:
- sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
- cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
- sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
- cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
- sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
- cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.
Univerzalna zamjena
Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta pola kuta.
- sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), dok je x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), gdje je x = π + 2πn;
- tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), gdje je x = π + 2πn;
- ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x = π + 2πn.
Posebni slučajevi
U nastavku su dati pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).
Privatno za sinus:
| Sin x vrijednost | X vrijednost |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 2 + 2πk |
| -1 | -π / 2 + 2πk |
| 1/2 | π / 6 + 2πk ili 5π / 6 + 2πk |
| -1/2 | -π / 6 + 2πk ili -5π / 6 + 2πk |
| √2/2 | π / 4 + 2πk ili 3π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | -π / 4 + 2πk ili -3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | π / 3 + 2πk ili 2π / 3 + 2πk |
| -√3/2 | -π / 3 + 2πk ili -2π / 3 + 2πk |
Kvocijent za kosinus su:
| Vrijednost Cos x | X vrijednost |
|---|---|
| 0 | π / 2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ± π / 3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π / 3 + 2πk |
| √2/2 | ± π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | ± π / 6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π / 6 + 2πk |
Privatno za tangentu:
| Tg x vrijednost | X vrijednost |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3/3 | π / 6 + πk |
| -√3/3 | -π / 6 + πk |
| √3 | π / 3 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
Privatno za kotangens:
| Ctg x vrijednost | X vrijednost |
|---|---|
| 0 | π / 2 + πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3 | π / 6 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
| √3/3 | π / 3 + πk |
| -√3/3 | -π / 3 + πk |
Teoremi
Teorem sinusa
Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Jednostavan teorem sinusa: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. U ovom slučaju, a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ su, redom, suprotni kutovi.
Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. U ovom identitetu R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.
Kosinusni teorem
Identitet se prikazuje na sljedeći način: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. U formuli a, b, c su stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranice a.
Teorem tangente
Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljine suprotnih stranica. Stranice su označene kao a, b, c, a odgovarajući suprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema tangente je: (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).
Kotangentni teorem
Povezuje polumjer kružnice upisane u trokut s duljinom njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C, redom, suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p je poluperimetar trokuta, sljedeći identiteti vrijedi:
- ctg A / 2 = (p-a) / r;
- ctg B / 2 = (p-b) / r;
- ctg C / 2 = (p-c) / r.
Primijenjena aplikacija
Trigonometrija nije samo teorijska znanost vezana uz matematičke formule. Njegova svojstva, teoreme i pravila koriste u praksi različite grane ljudske djelatnosti - astronomija, zračna i pomorska plovidba, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni rad, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.
Sinus, kosinus, tangenta i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, uz pomoć kojih možete matematički izraziti odnos kutova i duljina stranica u trokutu, te kroz identitete, teoreme i pravila pronaći tražene veličine.
Učitavam...