• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3); \ frac (16 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (2) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) + \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
  2. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (3) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) - \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ desno] \).
  3. a)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ sqrt (2) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ desno] \).
  4. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (7 \ pi) (6); \ frac (3 \ pi) (2); \ frac (5 \ pi) (2) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ sqrt (3) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ pi; \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
  5. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (11 \ pi) (2); - \ frac (16 \ pi) (3); - \ frac (14 \ pi) (3); - \ frac (9 \ pi) (2) \ ) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) + \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (11 \ pi) (2); -4 \ pi \ desno] \).
  6. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (23 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) -3 \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
  7. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) + \ sqrt (6) \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
• 1. a)\ ((- 1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (13 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b)
  2. a)
     b)\ (2 \ pi; 3 \ pi; \ frac (7 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) - \ sqrt (2) \ sin x = \ sin (2x) +1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ desno] \).
  3. a)\ (\ pi k, (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (3) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (3) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
  4. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); -3 \ pi; -2 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
  5. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (19 \ pi) (6); 3 \ pi; 2 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (2x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin (2x) + \ sqrt (3) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju praznini \ (\ lijevo \).
  6. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4); -2 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (3) \ desno) = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); - 2 \ pi \ desno] \).
• 1. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (4)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ desno] \).
  2. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (17 \ pi) (6) \)a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     b)
  3. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) - \ sqrt (3) \ cos (2x) = \ sin x + \ sqrt (3) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
  4. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (6)) - \ cos (2x) = \ sqrt (6) \ sin x +1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi; \ desno] \).
• 1. a)\ ((- 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k; \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; 5 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) -2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (3) \ cos x-2 \ ).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ desno] \).
  2. a)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (7 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) +2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (6) \ cos x + 2 \) ...
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; \ frac (-3 \ pi) (2) \ desno] \).
  3. a)\ (\ frac (3 \ pi) (2) +2 \ pi k, \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k, \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (6) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x - \ sqrt (3) \).
     b)
  4. a)\ (2 \ pi k; \ frac (\ pi) (2) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2) ;; - \ frac (5 \ pi) (2); -4 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (\ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
  5. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 2 \ pi; - \ pi; - \ frac (13 \ pi) (6) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x -2 \ sqrt (3) \) .
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ desno] \).
• 1. a)\ (\ pi k; - \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; - \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (6); - 2 \ pi; - \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt (2) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (4) \ desno) = \ cos x \).
     b)
  2. a)\ (\ pi k; \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k; \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (17 \ pi) (4); 3 \ pi; 4 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sqrt (6) \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (6) \ desno) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-2 \ pi; - \ frac (\ pi) (2) \ desno] \).
• 1. a)\ (\ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (3 \ pi; \ frac (10 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; \ frac (13 \ pi) (3) \) a) Riješite jednadžbu \ (4 \ sin ^ 3 x = 3 \ cos \ lijevo (x- \ frac (\ pi) (2) \ desno) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [3 \ pi; \ frac (9 \ pi) (2) \ desno] \).
  2. a)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (4); \ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin ^ 3 \ lijevo (x + \ frac (3 \ pi) (2) \ desno) + \ cos x = 0 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ desno] \).
• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (15 \ pi) (4); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (13 \ pi) (4); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (5 \ pi) (2); \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ cos ^ 3 x = \ sin \ lijevo (\ frac (\ pi) (2) -x \ desno) \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ desno] \).
  2. a)\ (\ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); - 3 \ pi; - \ frac (17 \ pi) (6); - \ frac (13 \ pi) (6); - 2 \ pi; \) a) Riješite jednadžbu \ (4 \ cos ^ 3 \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (2) \ desno) + \ sin x = 0 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4) \) a) Riješite jednadžbu \ (\ sin 2x + 2 \ sin \ lijevo (2x- \ frac (\ pi) (6) \ desno) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ desno] \).
• 1. a)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (6) \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) + \ cos (2x) = 1 + \ sqrt (3) \ cos x \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).
  2. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (8 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3); -2 \ pi \) a) Riješite jednadžbu \ (2 \ sqrt (3) \ sin \ lijevo (x + \ frac (\ pi) (3) \ desno) - \ cos (2x) = 3 \ cos x -1 \).
     b) Pronađite njegova rješenja koja pripadaju intervalu \ (\ lijevo [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ desno] \).

14 : Kutovi i udaljenosti u prostoru

• 1. \ (\ frac (420) (29) \)
     a)
     b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do prave \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 21, B_1C_1 = 16, BB_1 = 12 \).
  2. 12
     a) Dokažite da je kut \ (ABC_1 \) ravna crta.
     b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do pravca \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 15, B_1C_1 = 12, BB_1 = 16 \).
  3. \ (\ frac (120) (17) \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da je kut \ (ABC_1 \) ravna crta.
     b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do pravca \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 8, B_1C_1 = 9, BB_1 = 12 \).
  4. \ (\ frac (60) (13) \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da je kut \ (ABC_1 \) ravna crta.
     b) Pronađite udaljenost od točke \ (B \) do pravca \ (AC_1 \), ako je \ (AB = 12, B_1C_1 = 3, BB_1 = 4 \).
• 1. \ (\ arktan \ frac (17) (6) \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da je kut \ (ABC_1 \) ravna crta.
     b) Pronađite kut između ravne linije \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 8, B_1C_1 = 15, BB_1 = 6 \).
  2. \ (\ arktan \ frac (2) (3) \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da je kut \ (ABC_1 \) ravna crta.
     b) Nađite kut između ravne \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. 7.2 U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a)
     b) Pronađite udaljenost između pravih \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8 \).
  2. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Pronađite udaljenost između pravih \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), ako je \ (AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1 \).
• 1. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Nađite površinu bočne površine cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Nađite ukupnu površinu cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Pronađite volumen cilindra ako je \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
  2. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Nađite volumen cilindra ako je \ (AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10 \).
  3. U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \) i \ (B \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točke \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na kružnici druge baze i \ ( BB_1 \) je generator cilindra, a segment \ (AC_1 \) siječe os cilindra.
     a) Dokažite da su pravci \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) okomiti.
     b) Pronađite volumen cilindra ako je \ (AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20 \).
• 1. \ (\ sqrt (5) \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točka \ (C_1 \) se bira na kružnici druge baze, i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je kut \ (ACB \) jednak 30 stupnjeva.
     a) Dokažite da je kut između pravih \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) 45 stupnjeva.
     b) Pronađite udaljenost od točke B do ravne linije \ (AC_1 \) ako je \ (AB = \ sqrt (6), CC_1 = 2 \ sqrt (3) \).
• 1. \ (4 \ pi \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točka \ (C_1 \) se bira na kružnici druge baze, i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je kut \ (ACB \) 30 °, \ (AB = \ sqrt (2), CC_1 = 2 \).
     a) Dokažite da je kut između pravih \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) 45 stupnjeva.
     b) Pronađite volumen cilindra.
  2. \ (16 \ pi \) U cilindru je generatriksa okomita na ravninu baze. Točke \ (A \), \ (B \) i \ (C \) odabiru se na kružnici jedne od baza cilindra, a točka \ (C_1 \) se bira na kružnici druge baze, i \ (CC_1 \) je generator cilindra, a \ (AC \) - promjer baze. Poznato je da je kut \ (ACB \) jednak 45 °, \ (AB = 2 \ sqrt (2), CC_1 = 4 \).
     a) Dokažite da je kut između pravaca \ (AC_1 \) i \ (BC \) 60 stupnjeva.
     b) Pronađite volumen cilindra.
• 1. \ (2 \ sqrt (3) \) U kocki \ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) svi bridovi su 6.
     a) Dokažite da je kut između pravaca \ (AC \) i \ (BD_1 \) 60 °.
     b) Pronađite udaljenost između pravih \ (AC \) i \ (BD_1 \).
• 1. \ (\ frac (3 \ sqrt (22)) (5) \)
     a)
     b) Pronađite \ (QP \), gdje je \ (P \) presjek ravnine \ (MNK \) i ruba \ (SC \), ako je \ (AB = SK = 6 \) i \ (SA = 8 \).
• 1. \ (\ frac (24 \ sqrt (39)) (7) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su sredine bridova \ (AB \) i \ (BC \), redom. Na bočnom bridu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale sijeku u točki \ (Q \).
     a) Dokažite da točka \ (Q \) leži u visini piramide.
     b) Nađite volumen piramide \ (QMNB \) ako je \ (AB = 12, SA = 10 \) i \ (SK = 2 \).
• 1. \ (\ arctan 2 \ sqrt (11) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su sredine bridova \ (AB \) i \ (BC \), redom. Na bočnom bridu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale sijeku u točki \ (Q \).
     a) Dokažite da točka \ (Q \) leži u visini piramide.
     b) Nađite kut između ravnina \ (MNK \) i \ (ABC \), ako je \ (AB = 6, SA = 12 \) i \ (SK = 3 \).
• 1. \ (\ frac (162 \ sqrt (51)) (25) \) U pravilnoj piramidi \ (SABC \), točke \ (M \) i \ (N \) su sredine bridova \ (AB \) i \ (BC \), redom. Na bočnom bridu \ (SA \) označena je točka \ (K \). Presjek piramide ravninom \ (MNK \) je četverokut čije se dijagonale sijeku u točki \ (Q \).
     a) Dokažite da točka \ (Q \) leži u visini piramide.
     b) Nađite površinu presjeka piramide ravninom \ (MNK \), ako je \ (AB = 12, SA = 15 \) i \ (SK = 6 \).

15 : Nejednakosti

• 1. \ ((- \ infty; -12] \ šalica \ lijevo (- \ frac (35) (8); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _ (11) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (11) \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _ (11) \ lijevo (\ frac (x) (x + 5) +7 \ desno) \).
  2. \ ((- \ infty; -50] \ šalica \ lijevo (- \ frac (49) (8); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _ (5) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (5) \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _ (5) \ lijevo (\ frac (x) (x + 7) +7 \ desno) \).
  3. \ ((- \ infty; -27] \ šalica \ lijevo (- \ frac (80) (11); 0 \ desno] \) Riješite nejednadžbu \ (\ log _7 (11x ^ 2 + 10) - \ log _7 \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _7 \ lijevo (\ frac (x) (x + 8)) + 10 \ desno) \).
  4. \ ((- \ infty; -23] \ šalica \ lijevo (- \ frac (160) (17); 0 \ desno] \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (17x ^ 2 + 16) - \ log _2 \ lijevo (x ^ 2 + x + 1 \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (\ frac (x) (x + 10)) + 16 \ desno) \).
• 1. \ (\ lijevo [\ frac (\ sqrt (3)) (3); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log _2 (x \ sqrt (3)) - \ log _2 \ lijevo (\ frac (x) (x + 1) \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (3x ^ 2 + \ frac (1) (x) \ desno) \).
  2. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (4) \ desno) \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (\ sqrt (3)); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_3 (x \ sqrt (3)) - \ log_3 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_3 \ lijevo (9x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -4 \ desno) \).
  3. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (5) \ desno) \ šalica \ lijevo [\ frac (\ sqrt (2)) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_7 (x \ sqrt (2)) - \ log_7 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_7 \ lijevo (8x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -5 \ desno) \).
  4. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (\ sqrt (5)) \ desno] \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_2 (x \ sqrt (5)) - \ log_2 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_2 \ lijevo (5x ^ (2) + \ frac ( 1) (x) -2 \ desno) \).
  5. \ (\ lijevo (0; \ frac (1) (3) \ desno) \ šalica \ lijevo [\ frac (1) (2); 1 \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log_5 (2x) - \ log_5 \ lijevo (\ frac (x) (1-x) \ desno) \ leq \ log_5 \ lijevo (8x ^ (2) + \ frac (1) (x) ) -3 \ desno) \).
• 1. \ ((0; 1] \ šalica \ šalica \ lijevo \) Riješite nejednadžbu \ (\ log _5 (4-x) + \ log _5 \ lijevo (\ frac (1) (x) \ desno) \ leq \ log _5 \ lijevo (\ frac (1) (x) -x + 3 \ desno) \).
• 1. \ ((1; 1,5] \ šalica \ šalica \ šalica [3,5; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log _5 (x ^ 2 + 4) - \ log _5 \ lijevo (x ^ 2-x + 14 \ desno) \ geq \ log _5 \ lijevo (1- \ frac (1) (x)) \ desno) \).
  2. \ ((1; 1,5] \ šalica [4; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log _3 (x ^ 2 + 2) - \ log _3 \ lijevo (x ^ 2-x + 12 \ desno) \ geq \ log _3 \ lijevo (1- \ frac (1) (x)) \ desno) \).
  3. \ (\ lijevo (\ frac (1) (2); \ frac (2) (3) \ desno) \ šalica \ lijevo [5; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (2x ^ 2 + 4) - \ log _2 \ lijevo (x ^ 2-x + 10 \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (2- \ frac (1) (x)) \ desno) \).
• 1. \ ((- 3; -2] \ šalica \) Riješite nejednakost \ (\ log_2 \ lijevo (\ frac (3) (x) +2 \ desno) - \ log_2 (x + 3) \ leq \ log_2 \ lijevo (\ frac (x + 4) (x ^ 2)) \ desno) \).
  2. \ ([- 2; -1) \ šalica (0; 9] \) Riješite nejednakost \ (\ log_5 \ lijevo (\ frac (2) (x) +2 \ desno) - \ log_5 (x + 3) \ leq \ log_5 \ lijevo (\ frac (x + 6) (x ^ 2)) \ desno) \).
• 1. \ (\ lijevo (\ frac (\ sqrt (6)) (3); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _5 (3x ^ 2-2) - \ log _5 x
  2. \ (\ lijevo (\ frac (2) (5); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_3 (25x ^ 2-4) - \ log_3 x \ leq \ log_3 \ lijevo (26x ^ ​​2 + \ frac (17) (x) -10 \ desno) \).
  3. \ (\ lijevo (\ frac (5) (7); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_7 (49x ^ 2-25) - \ log_7 x \ leq \ log_7 \ lijevo (50x ^ 2- \ frac (9) (x) +10 \ desno) \).
• 1. \ (\ lijevo [- \ frac (1) (6); - \ frac (1) (24) \ desno) \ šalica (0; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log_5 (3x + 1) + \ log_5 \ lijevo (\ frac (1) (72x ^ (2)) + 1 \ desno) \ geq \ log_5 \ lijevo (\ frac (1) (24x) + 1 \ desno) \).
  2. \ (\ lijevo [- \ frac (1) (4); - \ frac (1) (16) \ desno) \ šalica (0; + \ infty) \) Riješite nejednakost \ (\ log_3 (2x + 1) + \ log_3 \ lijevo (\ frac (1) (32x ^ (2)) + 1 \ desno) \ geq \ log_3 \ lijevo (\ frac (1) (16x) + 1 \ desno) \).
• 1. \(1\) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (3-2x) +2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (1) (x) \ desno) \ leq \ log _2 \ lijevo (\ frac (1) (x ^ (2) ) ) -2x + 2 \ desno) \).
  2. \((1; 3] \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (2x + \ frac (4) (x-1) \ desno) \ geq 2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (3x-1) ) ( 2) \ desno) \).
  3. \ (\ lijevo [\ frac (1+ \ sqrt (5)) (2); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (x ^ 2 + \ frac (1) (x-1) \ desno) \ leq 2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (x) ^ 2 + x-1) (2) \ desno) \).
  4. \ (\ lijevo [2; + \ infty \ desno) \) Riješite nejednadžbu \ (2 \ log _2 (x) + \ log _2 \ lijevo (x + \ frac (1) (x ^ 2) \ desno) \ leq 2 \ log _2 \ lijevo (\ frac (x ^ 2 +) x) (2) \ desno) \).
• 1. \ (\ lijevo [\ frac (-5+ \ sqrt (41)) (8); \ frac (1) (2) \ desno) \) Riješite nejednadžbu \ (\ log _3 (1-2x) - \ log _3 \ lijevo (\ frac (1) (x) -2 \ desno) \ leq \ log _3 (4x ^ 2 + 6x-1) \).
• 1. \ (\ lijevo [\ frac (1) (6); \ frac (1) (2) \ desno) \) Riješite nejednakost \ (2 \ log _2 (1-2x) - \ log _2 \ lijevo (\ frac (1) (x) -2 \ desno) \ leq \ log _2 (4x ^ 2 + 6x-1) \) .
• 1. \ ((1; + \ infty) \) Riješite nejednadžbu \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ lijevo (2x + \ frac (4) (x-1) \ desno) \ geq \ log _2 \ lijevo (\ frac (3x-1)) (2 ) \ desno) \).
• 1. \ (\ lijevo [\ frac (11 + 3 \ sqrt (17)) (2); + \ infty \ desno) \) Riješite nejednakost \ (\ log_2 (4x ^ 2-1) - \ log_2 x \ leq \ log_2 \ lijevo (5x + \ frac (9) (x) -11 \ desno) \).

18 : Jednadžbe, nejednakosti, sustavi s parametrom

• 1. $$ \ lijevo (- \ frac (4) (3); - \ frac (3) (4) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (3) (4); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo ( 1; \ frac (4) (3) \ desno) $$

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-5) (x + ay-5a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 16 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

  2. $$ \ lijevo (- \ frac (3 \ sqrt (7)) (7); - \ frac (\ sqrt (7)) (3) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (\ sqrt (7)) (3); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; \ frac (3 \ sqrt (7)) (7) \ desno) $$

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-4) (x + ay-4a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  3. $$ \ lijevo (- \ frac (3 \ sqrt (5)) (2); - \ frac (2 \ sqrt (5)) (15) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (2 \ sqrt (5) )) (15); 1 \ desno) \ šalica \ lijevo (1; \ frac (3 \ sqrt (5)) (2) \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-7) (x + ay-7a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 45 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  4. $$ \ lijevo (-2 \ sqrt (2); - \ frac (\ sqrt (2)) (4) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (\ sqrt (2)) (4); 1 \ desno ) \ šalica \ lijevo (1; 2 \ sqrt (2) \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x + ay-3) (x + ay-3a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 8 \ kraj (niz ) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ šalica (0; 1.2) \ šalica (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2 + 2 (a-3) x-4ay + 5a ^ 2-6a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  2. $$ (4-3 \ sqrt2; 1- \ frac (2) (\ sqrt5)) \ cup (1- \ frac (2) (\ sqrt5); 1+ \ frac (2) (\ sqrt5)) \ cup (\ frac (2) (3) + \ sqrt2; 4 + 3 \ sqrt2) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4ax + 6x- (2a + 2) y + 5a ^ 2-10a + 1 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  3. $$ \ lijevo (- \ frac (2+ \ sqrt (2)) (3); -1 \ desno) \ šalica (-1; -0,6) \ šalica (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2 + 8a + 3 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  4. $$ \ lijevo (\ frac (2) (9); 2 \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2-8a + 4 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  5. $$ \ lijevo (3- \ sqrt2; \ frac (8) (5) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (8) (5); 2 \ desno) \ šalica \ lijevo (2; \ frac (3) + \ sqrt2) (2) \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-6 (a-2) x-2ay + 10a ^ 2 + 32-36a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  6. $$ (1- \ sqrt2; 0) \ šalica (0; 0,8) \ šalica (0,8; 2 \ sqrt2-2) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-2 (a-4) x-6ay + 10a ^ 2-8a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ (2; 4) \ šalica (6; + \ infty) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 10a-24 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ kraj (niz) \ kraj (matrica ) \ točno \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  2. $$ (2; 6-2 \ sqrt (2)) \ šalica (6 + 2 \ sqrt (2); + \ infty) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 12a-28 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ kraj (niz) \ kraj (matrica ) \ točno \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ \ lijevo (- \ frac (3) (14) (\ sqrt2-4); \ frac (3) (5) \ desno] \ šalica \ lijevo [1; \ frac (3) (14) (\ sqrt2 +4) \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-3 | \ kraj (niz) \ end (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  2. $$ (4-2 \ sqrt (2); \ frac (4) (3)) \ šalica (4; 4 + 2 \ sqrt (2)) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 2a-4 | \ kraj (niz) \ end (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  3. $$ (5- \ sqrt (2); 4) \ šalica (4; 5+ \ sqrt (2)) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = 2a-7 \\ x ^ 2 + y = | a-3 | \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  4. $$ \ lijevo (\ frac (1) (7) (4- \ sqrt2); \ frac (2) (5) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (2) (5); \ frac (1) (2) \ desno) \ šalica \ lijevo (\ frac (1) (2); \ frac (1) (7) (\ sqrt2 + 4) \ desno) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-2 | \ kraj (niz) \ end (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ \ lijevo (\ frac (-2- \ sqrt (2)) (3); -1 \ desno) \ šalica (-1; -0,6) \ šalica (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x- (2a + 2)) ^ 2+ (ya) ^ 2 = 1 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj ( niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  2. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ šalica (0; 1.2) \ šalica (1.2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) (x- (3-a)) ^ 2+ (y-2a) ^ 2 = 9 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ (- 9,25; -3) \ šalica (-3; 3) \ šalica (3; 9,25) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a + 3) x ^ 2 + 2ax + a-3 \\ x ^ 2 = y ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  2. $$ (- 4,25; -2) \ šalica (-2; 2) \ šalica (2; 4,25) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a + 2) x ^ 2-2ax + a-2 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

  3. $$ (- 4,25; -2) \ šalica (-2; 2) \ šalica (2; 4,25) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) y = (a-2) x ^ 2-2ax-2 + a \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ (- \ infty; -3) \ šalica (-3; 0) \ šalica (3; \ frac (25) (8)) $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je sustav

     \ (\ lijevo \ (\ početak (matrica) \ početak (niz) (lcl) ax ^ 2 + ay ^ 2- (2a-5) x + 2ay + 1 = 0 \\ x ^ 2 + y = xy + x \ kraj (niz) \ kraj (matrica) \ desno. \)

     Jednadžba ima točno četiri različita rješenja.

• 1. $$ \ lijevo [0; \ frac (2) (3) \ desno] $$ Pronađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih je jednadžba

     \ (\ sqrt (x + 2a-1) + \ sqrt (x-a) = 1 \)

     Ima barem jedno rješenje.

19 : Brojevi i njihova svojstva

HVALA

Projekti

1. "Yagubov.RF" [Učitelji]
2. "Yagubov.RF" [Matematika]

U zadatku broj 7 profila UPOTREBA razina u matematici je potrebno pokazati poznavanje derivacijskih i antiderivativnih funkcija. U većini slučajeva dovoljno je jednostavno definiranje pojmova i razumijevanje značenja izvedenice.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 7 USE iz matematike na razini profila

Prva varijanta zadatka (demo verzija 2018.)

Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y = f (x). Na apscisi je označeno devet točaka: x 1, x 2,…, x 9. Među tim točkama pronađite sve točke u kojima je derivacija funkcije y = f (x) negativna. U odgovoru navedite broj pronađenih bodova.

Algoritam rješenja:

1. Razmotrimo graf funkcije.
2. Tražimo točke u kojima funkcija opada.
3. Brojimo njihov broj.
4. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Na grafu funkcija povremeno raste, povremeno opada.

2. Kod onih intelektualaca kod kojih se funkcija smanjuje, derivacija ima negativne vrijednosti.

3. Ovi intervali sadrže točke x 3 , x 4 , x 5 , x devet . Postoje 4 takve točke.

Druga varijanta zadatka (od Yashchenka, br. 4)

Algoritam rješenja:

1. Razmotrimo graf funkcije.
2. Razmotrimo ponašanje funkcije u svakoj od točaka i predznak derivacije u njima.
3. Pronađite točke u najveća vrijednost izvedenica.
4. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Funkcija ima nekoliko intervala opadanja i povećanja.

2. Gdje se funkcija smanjuje. Izvod ima predznak minus. Među navedenima ima takvih točaka. Ali postoje točke na grafu u kojima se funkcija povećava. U njima je derivacija pozitivna. To su točke s apscisama -2 i 2.

3. Razmotrimo graf u točkama s x = -2 i x = 2. U točki x = 2 funkcija ide sve strmije, što znači da tangenta u ovoj točki ima veći nagib. Dakle, u točki s apscisom 2. Izvod ima najveću vrijednost.

Treća varijanta zadatka (od Yashchenka, br. 21)

Algoritam rješenja:

1. Izjednačimo jednadžbe tangente i funkcije.
2. Pojednostavljujemo rezultirajuću jednakost.
3. Pronađite diskriminant.
4. Odredite parametar a, u kojem je rješenje jedinstveno.
5. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Koordinate tangentne točke zadovoljavaju obje jednadžbe: tangentu i funkciju. Stoga možemo izjednačiti jednadžbe. Primit ćemo.

Program ispita, kao i prethodnih godina, sastavljen je od gradiva iz temeljnih matematičkih disciplina. Ulaznice će sadržavati matematičke, geometrijske i algebarske zadatke.

U KIM USE 2020 nema promjena u matematici na razini profila.

Značajke ispitnih zadataka iz matematike-2020

• Prilikom pripreme za ispit iz matematike (profil) obratite pozornost na osnovne zahtjeve ispitnog programa. Osmišljen je za provjeru znanja dubinskog programa: vektorskih i matematičkih modela, funkcija i logaritma, algebarskih jednadžbi i nejednadžbi.
• Vježbajte rješavanje zadataka odvojeno.
• Važno je pokazati nestandardno razmišljanje.

Struktura ispita

Zadaci Jedinstveni državni ispit profila matematika podijeljena u dva bloka.

1. Dio - kratki odgovori, uključuje 8 zadataka kojima se provjerava temeljna matematička obučenost i sposobnost primjene znanja iz matematike u svakodnevnom životu.
2. Dio - kratko i detaljne odgovore... Sastoji se od 11 zadataka, od kojih 4 zahtijevaju kratak odgovor, a 7 - prošireno obrazloženjem izvršenih radnji.

• Povećana složenost- zadaci 9-17 drugog dijela KIM-a.
• Visoka razina teškoće- problemi 18-19 -. Ovaj dio ispitnih zadataka provjerava ne samo razinu matematičkog znanja, već i prisutnost ili odsutnost kreativnog pristupa rješavanju suhoparnih "digitalnih" zadataka, kao i učinkovitost sposobnosti korištenja znanja i vještina kao stručnog alata. .

Važno! Stoga, prilikom pripreme za ispit, teoriju iz matematike uvijek učvrstite rješavanjem praktičnih zadataka.

Kako će bodovi biti raspoređeni

Zadaci prvog dijela KIM-a iz matematike su bliski ispitni testovi osnovna razina, dakle najbolji rezultat nemoguće ih je birati.

Bodovi za svaki zadatak iz matematike na profilnoj razini raspoređeni su na sljedeći način:

• za točne odgovore na zadatke br. 1-12 - po 1 bod;
• Broj 13-15 - po 2;
• Broj 16-17 - po 3;
• Broj 18-19 - po 4.

Trajanje ispita i pravila ponašanja na ispitu

Za završetak ispitnog rada -2020 učenik dodijeljen 3 sata 55 minuta(235 minuta).

Za to vrijeme učenik ne bi trebao:

• ponašati se bučno;
• koristiti gadgete i druga tehnička sredstva;
• otpisati;
• pokušavate pomoći drugima ili tražite pomoć za sebe.

Za takve radnje ispitivač može biti isključen iz publike.

Na Državni ispit matematika dopušteno donijeti uz vas samo ravnalo, ostatak materijala dobit ćete neposredno prije ispita. izdaje lokalno.

Učinkovita priprema je rješenje online testovi u matematici 2020. Odaberite i ostvarite maksimalan broj bodova!

Predstavljam rješenje 7. zadatka OGE-2016 iz informatike iz demo projekta. U usporedbi s demo iz 2015., zadatak 7 se nije promijenio. Ovo je zadatak o sposobnosti kodiranja i dekodiranja informacija (Encoding and decoding information). Odgovor na zadatak 7 je niz slova, koji treba upisati u polje za odgovor.

Snimka zaslona 7 zadatka.

Vježba:

Izviđač je prenio radiogram u stožer
– – – – – – – –
Ovaj radiogram sadrži niz slova u kojem se nalaze samo slova A, D, ZH, L, T. Svako slovo je kodirano Morseovom azbukom. Nema razdjelnika između kodova slova. Zapišite preneseni slijed slova u odgovoru.
Potrebni fragment Morseove azbuke prikazan je u nastavku.

Odgovor: __

Ovaj zadatak je najbolje raditi uzastopno, zatvarajući svaki mogući kod.
1. (-) - - - - - - -, prva dva mjesta mogu biti samo slovo A
2.
a) (-) (-) - - - - - -, sljedeća tri mjesta mogu biti slovo D
b) (-) (-) - - - - - -, ili jedna pozicija je slovo L, ali ako uzmemo sljedeću kombinaciju (-) (-) (-) - - - - -, (slovo T) onda ne biramo više što možemo (jednostavno ne postoje takve kombinacije koje počinju s dvije točke), dakle. nalazimo se u slijepoj ulici i zaključujemo da je ovaj put pogrešan
3. Vraćanje na opciju a)
(-) (-) (-) - - - - -, ovo je slovo Ž
4. (-) (-) (-) (-) - - - -, ovo je slovo L
5. (-) (-) (-) (-) (-) - - -, ovo je slovo D
6. (-) (-) (-) (-) (-) (-) - -, a ovo je slovo L
7. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) -, slovo A
8. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-), slovo L
9. Prikupljamo sva slova koja smo dobili: AJLDLAL.

Odgovor: AJLDLAL

Prosječno opće obrazovanje

UMK linija G.K. Muravin. Algebra i počeci matematičke analize (10-11) (dubinski)

Linija UMK Merzlyak. Algebra i počeci analize (10-11) (U)

Matematika

Priprema za ispit iz matematike ( razini profila): zadaci, rješenja i objašnjenja

Ispitni rad razina profila traje 3 sata 55 minuta (235 minuta).

Minimalni prag- 27 bodova.

Ispitni rad sastoji se od dva dijela koji se razlikuju po sadržaju, složenosti i broju zadataka.

Definirajuća karakteristika svakog dijela rada je oblik zadataka:

• 1. dio sadrži 8 zadataka (zadaci 1-8) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili konačnog decimalnog razlomka;
• 2. dio sadrži 4 zadatka (zadaci 9-12) s kratkim odgovorom u obliku cijelog broja ili završnog decimalnog razlomka i 7 zadataka (zadaci 13-19) s detaljnim odgovorom (potpuni zapis odluke s obrazloženjem radnji izvedena).

Panova Svetlana Anatolijevna, nastavnik matematike najviše kategorije škole, radno iskustvo 20 godina:

“Da bi dobio školsku svjedodžbu, maturant mora položiti dva obvezna ispita KORISTI Obrazac od kojih je jedna matematika. Sukladno Konceptu razvoja matematičkog obrazovanja u Ruska Federacija Ispit iz matematike podijeljen je u dvije razine: osnovnu i specijaliziranu. Danas ćemo razmotriti opcije za razinu profila."

Zadatak broj 1- provjerava sposobnost polaznika VSE-a za primjenu vještina stečenih u 5.-9. razredu osnovne matematike, u praktične aktivnosti... Sudionik mora imati računske vještine, znati raditi s racionalnim brojevima, znati zaokružiti decimale, moći pretvoriti jednu mjernu jedinicu u drugu.

Primjer 1. U stanu u kojem Petar živi postavljen je mjerač troškova hladna voda(brojač). Brojilo je 1. svibnja pokazalo potrošnju od 172 kubika. m vode, a 1. lipnja - 177 kubnih metara. m. Koji iznos bi Petar trebao platiti za hladnu vodu za svibanj, ako je cijena 1 kubični metar. m hladne vode je 34 rubalja 17 kopejki? Odgovor dajte u rubljama.

Riješenje:

1) Pronađimo količinu vode koja se troši mjesečno:

177 - 172 = 5 (kubičnih metara)

2) Pronađimo koliko će novca biti plaćeno za potrošenu vodu:

34,17 5 = 170,85 (trljanje)

Odgovor: 170,85.

Zadatak broj 2-jedan je od najjednostavnijih ispitnih zadataka. Većina maturanata s njim se uspješno nosi, što svjedoči o posjedovanju definicije pojma funkcije. Vrsta zadatka broj 2 prema kodifikatoru zahtjeva je zadatak za korištenje stečenih znanja i vještina u praktičnim aktivnostima i Svakidašnjica... Zadatak broj 2 sastoji se od opisa korištenjem funkcija različitih realnih odnosa između veličina i interpretacije njihovih grafova. Zadatak broj 2 testira sposobnost izdvajanja informacija predstavljenih u tablicama, dijagramima, grafikonima. Diplomanti moraju znati odrediti vrijednost funkcije po vrijednosti argumenta kada različiti putevi dodjeljivanje funkcije i opisivanje ponašanja i svojstava funkcije prema njenom rasporedu. Također je potrebno znati pronaći najveći odn najmanju vrijednost i graditi grafove naučenih funkcija. Učinjene pogreške su nasumične u čitanju iskaza problema, čitanju dijagrama.

# ADVERTISING_INSERT #

Primjer 2. Na slici je prikazana promjena tržišne vrijednosti jedne dionice rudarske tvrtke u prvoj polovici travnja 2017. godine. Poduzetnik je 7. travnja stekao 1000 dionica ove tvrtke. On je 10. travnja prodao tri četvrtine kupljenih dionica, a 13. travnja sve ostale. Koliko je poduzetnik izgubio kao rezultat ovih operacija?

Riješenje:

2) 1000 3/4 = 750 (dionica) - čine 3/4 svih kupljenih dionica.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubalji) - poduzetnik je nakon prodaje dobio 1000 dionica.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rubalji) - poslovni čovjek je izgubio kao rezultat svih operacija.