Rozwiążę egzamin postęp geometryczny. Formuła n-tego członu postępu geometrycznego

Postęp geometryczny to ciąg liczb, którego pierwszy składnik jest niezerowy, a każdy następny składnik jest równy poprzedniemu składnikowi pomnożonemu przez tę samą niezerową liczbę. Postęp geometryczny oznaczany jest przez b1, b2, b3,…, bn,…

Własności postępu geometrycznego

Stosunek dowolnego elementu błędu geometrycznego do jego poprzedniego członu jest równy tej samej liczbie, to znaczy b2 / b1 = b3 / b2 = b4 / b3 =… = bn / b (n-1) = b (n + 1) / bn = …. Wynika to bezpośrednio z definicji postęp arytmetyczny... Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego. Zwykle mianownik postępu geometrycznego jest oznaczony literą q.

Jednym ze sposobów określenia ciągu geometrycznego jest określenie jego pierwszego członu b1 i mianownika błędu geometrycznego q. Na przykład b1 = 4, q = -2. Te dwa warunki definiują postęp geometryczny 4, -8, 16, -32,….

Jeśli q> 0 (q nie jest równe 1), to progresja jest ciągiem monotonicznym. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem monotonicznie rosnącym (b1 = 2, q = 2).

Jeżeli w błędzie geometrycznym mianownik wynosi q = 1, to wszystkie elementy postępu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się, że progresja jest ciągiem stałym.

Formuła n-tego członka progresji

Aby ciąg liczbowy (bn) był postępem geometrycznym, konieczne jest, aby każdy z jego elementów, począwszy od drugiego, był średnią geometryczną sąsiednich elementów. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie następującego równania - (b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2), dla dowolnego n> 0, gdzie n należy do zbioru liczby naturalne N.

Wzór na n-ty człon ciągu geometrycznego to:

bn = b1 * q ^ (n-1), gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Spójrzmy na prosty przykład:

W postępie geometrycznym b1 = 6, q = 3, n = 8 znajdź bn.

Wykorzystajmy wzór na n-ty wyraz postępu geometrycznego.

Progresje arytmetyczne i geometryczne

Informacje teoretyczne

Informacje teoretyczne

	Postęp arytmetyczny	Postęp geometryczny
Definicja	Postęp arytmetyczny n wywoływany jest ciąg, z którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy wyrazowi poprzedniemu dodanemu o tym samym numerze re (re- różnica progresji)	Postęp geometryczny b n jest ciągiem liczb niezerowych, z których każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę q (q jest mianownikiem progresji)
Formuła cykliczna	Dla każdego naturalnego nie a n + 1 = a n + d	Dla każdego naturalnego nie b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formuła N-tego terminu	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Charakterystyczna właściwość
Suma n-pierwszych członków

Przykłady zadań z komentarzami

Ćwiczenie 1

W postępie arytmetycznym ( n) 1 = -6, 2

Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 dni

Według warunku:

1= -6, więc 22= -6 + 21 dni.

Konieczne jest znalezienie różnicy między progresjami:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odpowiedź: 22 = -48.

Zadanie 2

Znajdź piąty wyraz postępu geometrycznego: -3; 6; ....

Pierwszy sposób (przy użyciu wzoru n-terminowego)

Zgodnie ze wzorem n-tego elementu ciągu geometrycznego:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Tak jak b 1 = -3,

Drugi sposób (przy użyciu formuły rekurencyjnej)

Ponieważ mianownik progresji wynosi -2 (q = -2), to:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź: b 5 = -48.

Zadanie 3

W postępie arytmetycznym ( a n) 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty termin tego progresji.

Dla ciągu arytmetycznego charakterystyczną własnością jest .

W związku z tym:

Zamieńmy dane do wzoru:

Odpowiedź: 95.

Zadanie 4

W postępie arytmetycznym ( za n) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.

Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:

Który z nich jest w tym przypadku wygodniejszy w użyciu?

Pod warunkiem znany jest wzór na n-ty wyraz oryginalnej progresji ( n) n= 3n - 4. Możesz natychmiast znaleźć i 1, i 16 bez znalezienia re. Dlatego użyjemy pierwszej formuły.

Odpowiedź: 368.

Zadanie 5

W postępie arytmetycznym ( n) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi termin w progresji.

Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21d.

Według stanu, jeśli 1= -6, to 22= -6 + 21 dni. Konieczne jest znalezienie różnicy między progresjami:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź: 22 = -48.

Zadanie 6

Zapisano kilka kolejnych elementów postępu geometrycznego:

Znajdź termin w ciągu oznaczonym literą x.

Przy rozwiązywaniu posługujemy się wzorem na n-ty wyraz b n = b 1 ∙ q n - 1 dla postępów geometrycznych. Pierwszy członek progresji. Aby znaleźć mianownik progresji q, musisz wziąć dowolny z podanych elementów progresji i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możesz wziąć i podzielić przez. Otrzymujemy, że q = 3. Zamiast n we wzorze podstawiamy 3, ponieważ konieczne jest znalezienie trzeciego wyrazu określonego przez postęp geometryczny.

Podstawiając znalezione wartości do formuły, otrzymujemy:

Odpowiedź:.

Zadanie 7

Z postępów arytmetycznych, podane przez wzór n-ty członek, wybierz ten, dla którego warunek jest spełniony 27 > 9:

Ponieważ dany warunek musi być spełniony w 27. semestrze progresji, podstawiamy 27 zamiast n w każdej z czterech progresji. W 4 progresji otrzymujemy:

Odpowiedź: 4.

Zadanie 8

W postępie arytmetycznym 1= 3, d = -1,5. Proszę wskazać największa wartość n dla których nierówność n > -6.

Postęp geometryczny to sekwencja liczbowa, której pierwszy składnik jest niezerowy, a każdy następny składnik jest równy poprzedniemu członowi pomnożonemu przez tę samą niezerową liczbę.

Postęp geometryczny jest oznaczony przez b1, b2, b3,…, bn,….

Stosunek dowolnego elementu błędu geometrycznego do jego poprzedniego członu jest równy tej samej liczbie, to znaczy b2 / b1 = b3 / b2 = b4 / b3 =… = bn / b (n-1) = b (n + 1) / bn = …. Wynika to bezpośrednio z definicji postępu arytmetycznego. Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego. Zwykle mianownik postępu geometrycznego jest oznaczony literą q.

Ciąg monotoniczny i stały

Jeśli q> 0 (q nie jest równe 1), to progresja wynosi monotonna sekwencja. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem monotonicznie rosnącym (b1 = 2, q = 2).

Jeżeli w błędzie geometrycznym mianownik wynosi q = 1, to wszystkie elementy postępu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się o progresji: stała sekwencja.

Formuła n-tego członu postępu geometrycznego

Aby ciąg liczbowy (bn) był postępem geometrycznym, konieczne jest, aby każdy z jego elementów, począwszy od drugiego, był średnią geometryczną sąsiednich elementów. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie następującego równania
(b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2), dla dowolnego n> 0, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Wzór na n-ty człon ciągu geometrycznego to:

bn = b1 * q ^ (n-1),

gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego to:

Sn = (bn * q - b1) / (q-1), gdzie q nie jest równe 1.

Spójrzmy na prosty przykład:

Znajdź Sn wykładniczo b1 = 6, q = 3, n = 8.

Aby znaleźć S8, używamy wzoru na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego.

S8 = (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) = 19 680.

Przykład postępu geometrycznego: 2, 6, 18, 54, 162.

Tutaj każdy termin po pierwszym jest 3 razy większy niż poprzedni. Oznacza to, że każdy kolejny wyraz jest wynikiem pomnożenia poprzedniego wyrazu przez 3:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

W naszym przykładzie, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy, trzeci przez drugi itd. otrzymujemy 3. Liczba 3 jest mianownikiem tego postępu geometrycznego.

Przykład:

Wróćmy do naszego ciągu geometrycznego 2, 6, 18, 54, 162. Weźmy czwarty wyraz i podnieśmy go do kwadratu:
54 2 = 2916.

Teraz pomnóżmy wyrazy po lewej i prawej stronie liczby 54:

18 162 = 2916.

Jak widać, kwadrat trzeciego wyrazu jest równy iloczynowi sąsiednich wyrazów drugiego i czwartego.

Przykład 1: Weź pewien ciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz to 2, a mianownik ciągu geometrycznego to 1,5. Konieczne jest znalezienie czwartego terminu tej progresji.

Dany:
b 1 = 2

q = 1,5
nie = 4

————
b 4 - ?

Decyzja.

Stosujemy formułę b n= b 1 q nie-1, wstawiając do niego odpowiednie wartości:
b 4 = 2 · 1,5 4 - 1 = 2 · 1,5 3 = 2 · 3,375 = 6,75.

Odpowiedź: Czwarty wyraz danego ciągu geometrycznego to liczba 6,75.

Przykład 2: Znajdźmy piąty wyraz postępu geometrycznego, jeśli pierwszy i trzeci wyraz to odpowiednio 12 i 192.

Dany:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Decyzja.

1) Najpierw musimy znaleźć mianownik postępu geometrycznego, bez którego nie da się rozwiązać problemu. W pierwszym kroku, korzystając z naszego wzoru, wyprowadzamy wzór na b 3:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Teraz możemy znaleźć mianownik postępu geometrycznego:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 lub -4.

2) Pozostaje znaleźć wartość b 5 .
Jeśli q= 4, to

b 5 = b 1 q 5 - 1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Gdy q= -4 wynik będzie taki sam. Tak więc problem ma jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: Piąty wyraz danego ciągu geometrycznego to liczba 3072.

Przykład: Znajdź sumę pierwszych pięciu wyrazów postępu geometrycznego ( b n), w którym pierwszy wyraz wynosi 2, a mianownik ciągu geometrycznego wynosi 3.

Dany:

b 1 = 2

q = 3

nie = 5
————
S 5 - ?

Decyzja.

Stosujemy drugi z dwóch powyższych:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Odpowiedź: Suma pierwszych pięciu elementów danego postępu geometrycznego wynosi 242.

Suma nieskończonego postępu geometrycznego.

Konieczne jest rozróżnienie pojęć „suma nieskończonego postępu geometrycznego” i „suma nie członkowie postępu geometrycznego ”. Drugie pojęcie odnosi się do dowolnego postępu geometrycznego, a pierwsze - tylko do takiego, w którym mianownik jest mniejszy niż 1 w wartości bezwzględnej.

Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego, to znaczy, że każdy wyraz różni się od poprzedniego o q razy. (Założymy, że q ≠ 1, w przeciwnym razie wszystko jest zbyt trywialne). Łatwo zauważyć, że ogólny wzór dla n-tego członu postępu geometrycznego to b n = b 1 q n - 1; terminy z liczbami b n i b m różnią się q n - m razy.

Już w środku Starożytny Egipt znał nie tylko arytmetykę, ale także postęp geometryczny. Na przykład, oto problem z papirusu Rynda: „Na siedmiu twarzach jest po siedem kotów; każdy kot zjada siedem myszy, każda mysz zjada siedem uszu, każde ucho może wyhodować siedem miar jęczmienia. Jak duże są liczby tej serii i ich suma?”

Figa. 1. Staroegipski problem postępu geometrycznego

Zadanie to powtarzano wielokrotnie z różnymi odmianami wśród innych narodów w innym czasie. Na przykład w napisanym w XIII wieku. „Księga liczydła” Leonarda z Pizy (Fibonacciego) ma problem polegający na tym, że do Rzymu zmierza 7 starych kobiet (oczywiście pielgrzymów), z których każdy ma 7 mułów, z których każdy ma 7 worków, z których każdy ma 7 bochenków, z których każdy ma 7 noży, z których każdy jest w 7 pochwach. Problem pyta, ile jest przedmiotów.

Suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Ten wzór można udowodnić na przykład w następujący sposób: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodaj do S n liczbę b 1 q n i uzyskaj:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn - 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq.

Stąd S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) i otrzymujemy wymaganą formułę.

Już na jednej z glinianych tabliczek starożytnego Babilonu, datowanej na VI wiek. pne e., zawiera sumę 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. To prawda, jak w wielu innych przypadkach, nie wiemy, gdzie ten fakt był znany Babilończykom .

Szybki wzrost postępu geometrycznego w wielu kulturach, w szczególności w Indiach, jest wielokrotnie używany jako wizualny symbol ogromu wszechświata. W znanej legendzie o pojawieniu się szachów lord daje wynalazcy możliwość samodzielnego wyboru nagrody i prosi o ilość ziaren pszenicy, które uzyskamy, jeśli umieścimy je na pierwszym kwadracie szachownicy, dwa na drugim, cztery na trzecim, osiem na czwartym i tak dalej, za każdym razem liczba się podwaja. Władyka myślał, że co najwyżej o kilka worków, ale przeliczył się. Łatwo zauważyć, że na wszystkie 64 kwadraty szachownicy wynalazca powinien otrzymać (2 64 - 1) ziarno, które jest wyrażone liczbą 20-cyfrową; nawet gdyby zasiano całą powierzchnię Ziemi, zebranie wymaganej ilości ziaren zajęłoby co najmniej 8 lat. Legenda ta bywa interpretowana jako wskazanie na niemal nieograniczone możliwości kryjące się w grze w szachy.

Łatwo zauważyć, że liczba ta ma rzeczywiście 20 cyfr:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (bardziej dokładne obliczenie daje 1,84 ∙ 10 19). Ale zastanawiam się, czy możesz dowiedzieć się, jaką cyfrą kończy się ten numer?

Postęp geometryczny wzrasta, jeśli mianownik jest większy niż 1 w wartości bezwzględnej, lub maleje, jeśli jest mniejszy niż jeden. W ten drugi przypadek liczba q n dla wystarczająco dużego n może stać się dowolnie mała. Podczas gdy rosnący postęp geometryczny rośnie nieoczekiwanie szybko, malejący zmniejsza się równie szybko.

Im większe n, tym słabsza liczba qn różni się od zera, a suma n wyrazów postępu geometrycznego S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) jest bliższa liczbie S = b 1 / ( 1 - q). (Tak rozumował na przykład F. Viet). Liczba S nazywana jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Niemniej jednak, przez wiele stuleci pytanie, jakie jest znaczenie sumowania CAŁEGO postępu geometrycznego, z jego nieskończoną liczbą terminów, nie było dla matematyków wystarczająco jasne.

Zmniejszający się postęp geometryczny można zaobserwować na przykład w aporiach Zenona „Halving” i „Achilles and the Turtle”. W pierwszym przypadku wyraźnie widać, że cała droga (zakładając długość 1) jest sumą nieskończonej liczby odcinków 1/2, 1/4, 1/8 itd. Czyli jest to oczywiście od punkt widzenia pomysłów na temat końcowa kwota nieskończony postęp geometryczny. A jednak – jak to możliwe?

Figa. 2. Progresja ze współczynnikiem 1/2

W aporii o Achillesie sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, ponieważ tutaj mianownik progresji wynosi nie 1/2, ale jakaś inna liczba. Załóżmy na przykład, że Achilles biegnie z prędkością v, żółw porusza się z prędkością u, a początkowa odległość między nimi jest równa l. Achilles przebiegnie ten dystans w czasie l/v, żółw w tym czasie przesunie się o dystans lu/v. Gdy Achilles przebiegnie ten odcinek, odległość między nim a żółwiem będzie równa l (u/v) 2 itd. Okazuje się, że dogonienie żółwia oznacza znalezienie sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem l i mianownik u / v. Ta suma – odcinek, którym Achilles w końcu pobiegnie do miejsca, w którym spotka żółwia – jest równa l/(1 – u/v) = lv/(v – u). Ale znowu, jak ten wynik należy interpretować i dlaczego ma to jakikolwiek sens, przez długi czas nie było jasne.

Figa. 3. Progresja geometryczna ze współczynnikiem 2/3

Suma postępu geometrycznego została wykorzystana przez Archimedesa do określenia pola powierzchni segmentu paraboli. Niech dany odcinek paraboli będzie ograniczony cięciwą AB, a styczna w punkcie D paraboli niech będzie równoległa do AB. Niech C będzie środkiem odcinka AB, E środkiem odcinka AC, F środkiem odcinka CB. Narysuj linie proste równoległe do DC przez punkty A, E, F, B; niech styczna narysowana w punkcie D, te proste przecinają się w punktach K, L, M, N. Narysujmy również segmenty AD i DB. Niech prosta EL przecina prostą AD w punkcie G i parabolę w punkcie H; linia FM przecina linię DB w punkcie Q i parabolę w punkcie R. Według ogólna teoria sekcje stożkowe, DC to średnica paraboli (to znaczy segmentu równoległego do jego osi); on i styczna w punkcie D mogą służyć jako osie współrzędnych x i y, w których równanie paraboli jest zapisane jako y 2 = 2px (x to odległość od D do dowolnego punktu o danej średnicy, y to długość równolegle do danej linii stycznej od tego punktu średnicy do pewnego punktu na samej paraboli).

Na mocy równania paraboli DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, a ponieważ DK = 2DL, to KA = 4LH. Ponieważ KA = 2LG, LH = HG. Obszar segmentu paraboli ADB jest równy powierzchni trójkąta ΔADB i połączonych obszarów segmentów AHD i DRB. Z kolei powierzchnia segmentu AHD jest podobnie równa powierzchni trójkąta AHD i pozostałych segmentów AH i HD, z których każdy można wykonać tę samą operację - podzielić na trójkąt (Δ) i dwa pozostałe segmenty (), itp.:

Powierzchnia trójkąta ΔAHD jest równa połowie powierzchni trójkąta ΔALD (mają wspólną podstawę AD, a wysokości różnią się o współczynnik 2), co z kolei jest równe połowie powierzchni trójkąt ΔAKD, a więc połowa powierzchni trójkąta ΔACD. Zatem powierzchnia trójkąta ΔAHD jest równa jednej czwartej powierzchni trójkąta ΔACD. Podobnie pole trójkąta DRB jest równe jednej czwartej pola trójkąta ΔDFB. Tak więc obszary trójkątów ΔAHD i ΔDRB razem wzięte są równe jednej czwartej powierzchni trójkąta ΔADB. Powtórzenie tej operacji zastosowanej do segmentów AH, HD, DR i RB również wybierze z nich trójkąty, których powierzchnia razem będzie 4 razy mniejsza niż powierzchnia trójkątów AHD i ΔDRB razem wziętych, co oznacza 16 razy mniej niż powierzchnia trójkąta ΔADB. Itp:

W ten sposób Archimedes dowiódł, że „każdy odcinek zawarty między linią prostą a parabolą to cztery trzecie trójkąta o tej samej podstawie i równej wysokości”.