Jak udowodnić, że równość nie jest tożsamością. Tożsamość

Nauczyciel: Afonasova Irina Olegovna

Temat: algebra

Ocena: klasa 7

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału

Podmiot: Dowód tożsamości

Cele Lekcji:

1. Powtórz definicje tożsamości i identycznie równych wyrażeń, identyczne przekształcenie wyrażeń.
2. Kształtowanie umiejętności wyboru metody dowodzenia tożsamości metodą identycznej transformacji wyrażeń.
3. Wychować kultura komunikacyjna studenci.

Podczas zajęć

1 . Etap organizacyjny lekcji

Przed rozpoczęciem lekcji uczniowie w klasie są podzieleni na sześć grup. grupy badawcze mieszana kompozycja.

Nauczyciel : Cześć chłopaki, sugeruję pokój do nauki zamień się na chwilę wLaboratorium badawcze, a ty i ja w naukowcy-mistrzowie nauk matematycznych.

Ale każdy szanujący się naukowiec nieustannie rozwiązuje jakiś bardzo ważny problem, więc przede wszystkim musimy się dowiedzieć: nad jakim problemem będziemy dzisiaj pracować?

2. Ustalenie tematu lekcji

Aby to zrobić, rozważ wyrażenia 2x+y i 2xy. Znajdźmy wartości wyrażeń przy x=1 i y=2.

nauczyciel Proponuję iść do tablicy student i rozwiązać ten problem, orazsformułować wniosek: dla x=1 i y=2, wyrażenia przyjmują równe wartości (4).

Nauczyciel: Można jednak określić takie wartości zmiennych x i y, w których wartości tych wyrażeń nie są równe. Na przykład x=3, y=4.

Student stojąc przy tablicy sprawdza to.

Nauczyciel: Rozważmy teraz wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y. Znajdźmy wartości wyrażeń przy x=5 i y=4.

Student, stojąc przy tablicy: rozwiązuje problem, formułuje wniosek.

Nauczyciel: Dla dowolnych wartości wartości zmiennych te wyrażenia są równe? Jeśli tak, dlaczego?

Student odpowiedzi. (Odpowiedź: Tak, przez rozdzielną własność mnożenia).

Nauczyciel zaprasza klasę do zapamiętania nazwy takich wyrażeń, nazwy ich równości.

Następnie Slajd 1.

Następnie nauczyciel pyta: „Jaki jest temat dzisiejszej lekcji?”

Nauczyciel : Dzisiaj będziemy pracować nad „Dowód tożsamości”.

Zapisywany jest temat lekcji: „Dowód tożsamości” ( slajd2)

Nauczyciel : Dobra, teraz sprawdźmy sami. Na ekranie pojawią się równości, jeśli ta równość jest tożsamością, to proponuję podnieść rękę. ( slajd 3)

1. - (a - c) \u003d - a + c (tak)
2. a (b + c) \u003d av - ac (nie)
3. a - (c + c) \u003d a - c + c(Nie)
4. (a + c) - c \u003d a - c + c(Tak)
5. - (a + c) \u003d - a - c (tak)

3. Ustalenie celu lekcji

Nauczyciel : Cóż, teraz nadszedł czas, abyśmy z teoretyków zamienili się w praktycznych naukowców, ale w tym celu musimy dowiedzieć się, co należy wykorzystać, abyudowodnić tożsamość, a tutaj nie możemy się obejść literatura naukowa, odpowiedź na to pytanie znajdziemy na stronie 18 Twojego podręcznika. Uczniowie znajdują odpowiedź w podręczniku:„Aby udowodnić, że jakaś równość jest tożsamością, użyj identycznych przekształceń wyrażeń”. Członkowie innych grup okazują zgodę lub niezgodę na specjalne sygnały, o których była mowa powyżej. ( slajd 4)

Nauczyciel : Dobra robota, ale teraz pojawia się kolejne pytanie, co to jestkonwersja tożsamościowa wyrażeń?

„Zastąpienie jednego wyrażenia innym identycznie mu równym nazywa się identyczną transformacją wyrażenia”(nauczyciel zaprasza jednego z uczestników dowolnej grupy do odpowiedzi na to pytanie) ( slajd 5)

Nauczyciel : Więc jaki jest cel lekcji? Uczniowie wymieniają jeden z wyznaczonych celów: nauczyć się dowodzić tożsamości za pomocą identycznych przekształceń wyrażeń.

4. Identyfikacja metody dowodzenia tożsamości metodą identycznego przekształcenia wyrażeń

Nauczyciel: Teraz jesteśmy już „dojrzali” do praktyczna praca i proszę o zwrócenie uwagi na karta . Zadanie: „Udowodnij tożsamość”, każda grupa naukowców otrzymała przykład, który musi rozwiązać samodzielnie, jeśli pojawią się trudności, na ratunek przyjdą karty konsultacyjne.

Karty zadań

Karta 1

Karta 2

Karta 3

Karta 4

Karta 5

Karta 6

Teraz musimy chronić naszą pracę. (Prezentacja wykonanych prac przy tablicy, chętni członkowie grupy zabierają głos)

Nauczyciel : Świetnie, a teraz drodzy koledzy, czas podsumować, co trzeba zrobić, aby udowodnić, że równość to tożsamość? Szacunkowe odpowiedzi uczniów: ( slajd 6)

1. wypisać lewa strona równość, przekształć ją i upewnij się, że jest słuszna.
   lub
2. Napisz prawą stronę równania, przekształć ją i upewnij się, że jest równa lewej stronie.
   lub
3. Przekształć lewą i prawą stronę równości i upewnij się, że są one równe temu samemu wyrażeniu.

Nauczyciel : Jaki wniosek można wyciągnąć w przypadku, gdy wszystko, co przed chwilą powiedzieliśmy, się nie spełni? Sugerowana odpowiedź ucznia:Równość nie będzie identyczna.

5. Podsumowanie lekcji.

Czy osiągnęliśmy nasz cel? ….

Nauczyciel : Aby zdobyta wiedza była silna, będziemy kontynuować tę pracę w domu:Zadanie domowe(Slajd 7):

nr 691 (a), 692 (a), 715 (a), zadanie twórcze (do wyboru): * Dokonaj 3 równości, które będą stanowić tożsamość (zilustruj każdą metodę dowodu).

Nauczyciel : A teraz czas na kreatywność: W wierszu, który widzisz, wstaw brakujące słowa ( Slajd 8):

Są różne rodzaje równości, bracia,
I oczywiście wszyscy o tym wiedzą.
Tak - ze zmiennymi, tak - (numerycznie),
Złożona bardzo, bardzo (prosta),
Ale wśród równości jest szczególna klasa,
Opowiemy teraz o nim naszą historię.
Nazywa się równość (tożsamości).
Ale wciąż musimy to udowodnić.
Aby to zrobić, wystarczy wziąć
A równość to (konwersja)
Nie jest to oczywiście trudne, dowiemy się
Którą część musimy zmienić?
I może będziemy musieli zmienić oba,
Dzięki równości umysł nie jest trudny (do zrozumienia)
Hurra! Udało nam się zastosować naszą wiedzę
Zakończono konwersję równości.
I śmiało już mówimy odpowiedź:
Tak samo jest z tą tożsamością, czy nie!

Nauczyciel: Dzięki za lekcję!

Zapowiedź:

Karty zadań

Podpisy slajdów:

Definicja tożsamości: Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla wszelkich dopuszczalnych wartości jej zmiennych składowych. Definicja identycznie równych wyrażeń: Mówi się, że dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, są identycznie równe.

Dowód tożsamości

Przykłady tożsamości: - (a - c) \u003d - a + c a (b + c) \u003d ab - ac a - (b + c) \u003d a - c + c (a + c) - c \u003d a - c + c - (a + c) \u003d - a - c

Czego należy użyć do udowodnienia tożsamości? Aby udowodnić, że jakaś równość jest tożsamością lub, jak mówią inaczej, udowodnić tożsamość, stosuje się identyczne przekształcenia wyrażeń.

Transformacja tożsamości wyrażenia Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie z nim równym, nazywa się transformacją tożsamości wyrażenia.

Aby udowodnić, że równość jest tożsamością, musisz: Zapisz lewą stronę równości, przekształć ją i upewnij się, że jest równa prawej stronie. lub Napisz prawą stronę równości, przekształć ją i upewnij się, że jest równa lewej. lub Przekształć kolejno obie strony równości i upewnij się, że są one równe temu samemu wyrażeniu.

Praca domowa: nr 691 (a), nr 692 (a), nr 694, Zrób 3 równości, które będą tożsamością. *

Są różne rodzaje równości, bracia, I wszyscy oczywiście o tym wiedzą. Są - ze zmiennymi są - ... Bardzo, bardzo złożone ... . Ale wśród równości jest szczególna klasa. Teraz opowiemy o tym naszą historię. ... to się nazywa równość, ale musimy to jeszcze udowodnić. Aby to zrobić, wystarczy wziąć ORAZ równość to ... . Oczywiście nie będzie nam trudno dowiedzieć się, Którą część będziemy musieli zmienić, A może będziemy musieli zmienić obie, Przy równości formy nie jest trudno… Hurra! Udało się zastosować naszą wiedzę Zakończona transformacja równościowa. I śmiało już odpowiadamy: Czy to ta tożsamość, czy nie?

W procesie uczenia się studenci powinni rozwijać umiejętności dowodzenia tożsamości w następujący sposób.

Jeśli chcesz udowodnić, że A=B, to możesz

1. udowodnić, że A - B \u003d O,

2. udowodnić, że A/B = 1,

3. przekonwertuj A do formy B,

4. przekonwertuj B do formy A,

5. przekonwertuj A i B na ten sam formularz C.

Własności operacji arytmetycznych służą jako podstawa, na której budowane są dowody tożsamości. Czasami w dowodzie zaangażowane są pojęcia i metody geometryczne. Dowody geometryczne są nie tylko pouczające i ilustracyjne, ale także pomagają wzmocnić powiązania interdyscyplinarne.

Dowody tożsamości można podzielić na trzy typy, w zależności od tego, jak spełniają wymagania rygoru:

a) Nie do końca rygorystyczne rozumowanie, wymagające użycia metody indukcji matematycznej dla nadania im pełnego rygoru. Dowody te służą do wyprowadzenia reguły dla działań z wielomianami, własności stopni z wykładnikami naturalnymi. Na przykład,

a k a r = (a a······a) (a·······a) = a·······a = a k+p

k razy p razy k+r razy

b) W pełni rygorystyczne rozumowanie w oparciu o podstawowe własności operacji arytmetycznych i niekorzystanie z innych własności systemu numerycznego. Głównym obszarem zastosowania takich dowodów są tożsamości mnożenia zredukowanego. Wiele stwierdzeń wyrażonych wzorami skróconego mnożenia pozwala na ilustrację wizualno-geometryczną.

Przykład Dla tożsamości Nauczyciel może zaproponować następującą ilustrację:

c) Całkowicie rygorystyczne rozumowanie z wykorzystaniem warunków rozwiązalności równań postaci Ψ(x) = a, gdzie Ψ jest badaną funkcją elementarną. Takie dowody są typowe dla wyprowadzania własności stopnia z wykładnikiem wymiernym i funkcją logarytmiczną. Na przykład podczas udowadniania właściwości pierwiastka arytmetycznego

(1)

będziemy polegać na przeformułowaniu definicji arytmetyki pierwiastek kwadratowy: dla liczb nieujemnych x i y równość y =
oraz

y 2 = x są równoważne, więc (1) jest równoważne (
) 2 = (
) 2 (2). Skąd wynika, a w = (
) 2 (
) 2 = c.

Zastosowana tutaj metoda dowodu jest stosowana dość rzadko, należy jednak podkreślić, że główną ideą dowodu jest porównanie dwóch operacji (lub funkcji) - bezpośredniej i odwrotnej do niej, które zostaną użyte już w liceum.

Technologiczny łańcuch powstawania algorytmów i technik

identyczne przekształcenia wyrażeń w szkole głównej

Zadanie na wykład

Po przeanalizowaniu podręczników szkolnych sporządź tabelę identycznych równości, wskazując zbiór, na którym jest wykonywana.

Przykład
, М 1 – te , dla których f(x) ma sens.

Dowód tożsamości. W matematyce jest wiele pojęć. Jednym z nich jest tożsamość.

• Tożsamość to równość, która obowiązuje dla wszystkich wartości zawartych w niej zmiennych.

Niektóre tożsamości już znamy. Na przykład wszystkie skrócone formuły mnożenia są tożsamościami.

Udowodnij tożsamość- oznacza to ustalenie, że dla dowolnej dopuszczalnej wartości zmiennych jej lewa strona jest równa stronie prawej.

W algebrze jest ich kilka różne drogi dowody tożsamości.

Sposoby potwierdzania tożsamości

• lewa strona tożsamości. Jeśli w końcu dostaniemy właściwą stronę, to tożsamość jest uważana za sprawdzoną.
• Wykonaj równoważne przekształcenia prawą stronę tożsamości. Jeśli w końcu dostaniemy lewą stronę, to tożsamość uważa się za udowodnioną.
• Wykonaj równoważne przekształcenia lewa i prawa strona tożsamości. Jeśli w rezultacie otrzymamy ten sam wynik, tożsamość uważa się za udowodnioną.
• Odejmij lewą stronę od prawej strony tożsamości.
• Odejmij prawą stronę od lewej strony tożsamości. Wykonujemy równoważne przekształcenia na różnicy. A jeśli w końcu otrzymamy zero, to tożsamość uważa się za udowodnioną.

Należy również pamiętać, że tożsamość jest ważna tylko dla dopuszczalnych wartości zmiennych.

Jak widać, sposobów jest wiele. Wybór drogi w tym konkretnym przypadku zależy od tożsamości, którą musisz udowodnić. Kiedy będziesz udowadniać różne tożsamości, przyjdzie doświadczenie w wyborze metody dowodowej.

Spójrzmy na kilka prostych przykładów

Przykład 1

Udowodnij identyczność x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Decyzja.

Ponieważ po prawej stronie znajduje się małe wyrażenie, spróbujmy przekształcić lewą stronę równości.

• x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Przedstawiamy podobne terminy i wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasu.

• x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Otrzymaliśmy, że lewa strona po przekształceniach stała się taka sama jak prawa strona. Dlatego ta równość jest tożsamością.

Przykład 2

Udowodnij tożsamość a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Decyzja.

W ten przykład możesz to zrobić w następujący sposób. Otwórzmy nawiasy po prawej stronie równości.

• (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Widzimy, że po przekształceniach prawa strona równości stała się tym samym, co lewa strona równości. Dlatego ta równość jest tożsamością.

Cel nauki:

powtórzyć definicje równania, tożsamości;

nauczyć się rozróżniać pojęcia równania i tożsamości;

zidentyfikować sposoby potwierdzania tożsamości;

powtórz metody doprowadzenia jednomianu do postaci standardowej, dodawania wielomianów, mnożenia jednomianu przez wielomian podczas udowadniania tożsamości.

Cel rozwoju:

rozwijać kompetentną mowę matematyczną uczniów (wzbogacać i komplikować) słownictwo przy użyciu specjalnych terminów matematycznych),

rozwijać myślenie: umiejętność porównywania, analizowania, wyciągania analogii, przewidywania, wyciągania wniosków (przy wyborze sposobów potwierdzania tożsamości);

rozwijać kompetencje edukacyjne i poznawcze uczniów.

cel edukacyjny:

rozwijać umiejętność pracy w grupie, koordynować swoje działania z innymi uczestnikami procesu edukacyjnego;

pielęgnuj tolerancję.

Rodzaj lekcji: kompleksowe zastosowanie wiedzy.

Etapy lekcji: przygotowanie, zastosowanie wiedzy, wynik.

Granica wiedzy - ignorancja:

potrafi zastosować operacje redukcji jednomianu do postaci standardowej;

dodawanie wielomianów, mnożenie wielomianu przez wielomian.

Rozróżnij pojęcia równania i tożsamości;

przeprowadzić dowód tożsamości;

racjonalnie dobierać i stosować metody dowodzenia tożsamości.

Praca z przodu

Werbalny

wizualny

Zastosowanie wiedzy (zapewnienie przyswajania nowej wiedzy i metod działania na poziomie aplikacji w zmienionej sytuacji uczenia się)

Na podstawie przekształceń lewej i prawej części danego

matematyczna równość, identyfikacja sposobów potwierdzania tożsamości;

Zidentyfikuj racjonalną drogę spośród proponowanych i opracuj wybór racjonalnego rozwiązania w zależności od danego warunku tożsamości

Praca grupowa

Niezależna praca

Szukaj

Praktyczny

Wynik (analiza i ocena sukcesu w osiągnięciu celu)

Podsumowując pracę na lekcji, wykonując pracę indywidualną, gdzie proponuje się wybrać tożsamość spośród przedstawionych równości i udowodnić ją w dowolny z zaproponowanych sposobów (najlepiej racjonalnie);

Następnie uczniowie dokonują samooceny swojej pracy na lekcji według określonych (od początku lekcji) kryteriów.

Czołowy

Werbalny

Konspekt lekcji (krótko):

1. Etap (przygotowawczy)

Rozważmy zapis matematyczny: (przód praca)

Uczniowie klasy 7 z reguły wierzą, że jest to równanie i rozwiązując je, dostają równanie liniowe postaci: 0 x = 0, prawda dla dowolnego x.

Następnie nauczyciel pokazuje pracę innej klasy, a dzieci stają w obliczu sprzeczności – w pracy innej klasy uczniowie udowadniają, że tak jest.

Wniosek: należy zwrócić uwagę na fakt, że tę samą równość można uznać za tożsamość i za równanie. Zależy to od warunku danej pracy: jeśli wymagane jest ustalenie, przy jakiej wartości występuje równość zmiennej, to jest to- równanie. A jeśli chcesz udowodnić, że równość zachodzi dla dowolnych wartości zmiennych -tożsamość.

2. Etap (aplikacja)

Znajdowanie sposobów potwierdzania tożsamości: (Praca grupowa)

Wyrażenie napisane:

Zadanie praktyczne w grupach w celu określenia sposobów potwierdzania tożsamości:

Przestrzegaj zasad pracy w grupach (są one drukowane na tabliczkach umieszczanych przez nauczyciela w miejscach pracy uczniów)

Na papierze Whatman we wspólnej pracy dokonaj pewnych przekształceń według określonej technologii wskazanej w zadaniu dla grupy i udowodnij, że dane wyrażenie nie zależy od wartości zmiennych, co oznacza, że ​​jest tożsamością;

Wyjaśnij wykonaną pracę i zakończ: co? Ta metoda dowody tożsamości;

Grupa zadaniowa 1:

Przenieś prawą stronę równania na lewą stronę. Udowodnij, że to wyrażenie nie zależy od wartości zmiennych.

Grupa zadaniowa 2:

Przekształć lewą stronę równania. Udowodnij, że jest równe właściwemu, co oznacza, że ​​wyrażenie to nie zależy od wartości zmiennych.

Grupa zadaniowa 3:

Przekształć jednocześnie lewą i prawą stronę równania. Udowodnij, że ta równość nie zależy od wartości zmiennych.

Rozważając pracę wykonaną przez chłopaków w celu udowodnienia tożsamości, wygodnie jest przedstawić wyniki zastosowanych metod w postaci diagramów na osobnych kartkach papieru, ze wskaźnikiem liczbowym, aby w przyszłości te diagramy mogły być używane nie tylko w tej, ale także w innych lekcjach algebry.

3. Etap (wynik)

a) Tożsamości do wyboru racjonalnego rozwiązania: (przód praca)

5)