Rovnoramenný trojuholník. Podrobná teória s príkladmi (2020)

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka.
Znaky rovnoramenného trojuholníka.
Vzorce rovnoramenného trojuholníka:
- vzorce dĺžky strany;
- vzorce dĺžky rovnakých strán;
- vzorce pre výšku, medián, stred rovnoramenného trojuholníka.

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké. Tieto strany sú tzv bočné a tretia strana je základ.

AB = BC - bočné strany

AC - základňa

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka sú vyjadrené v 5 viet:

Veta 1. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.

Dôkaz vety:

Uvažujme rovnoramenné Δ ABC s nadáciou AS .

Strany sú rovnaké AB = slnko ,

Preto tie uhly na základni ∠ BАC = ∠ BCA .

Veta o osi, mediáne, výške nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka

Veta 2. V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a výška.
Veta 3. V rovnoramennom trojuholníku je stred pritiahnutý k základni os a výška.
Veta 4. V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni osou a stredom.

Dôkaz vety:

Dan Δ ABC .
Z bodu V držme výšku BD.
Trojuholník je rozdelený na Δ ABD a A CBD. Tieto trojuholníky sú rovnaké, pretože ich prepona a spoločná noha sú rovnaké ().
Priamy AS a BD sa nazývajú kolmé.
B Δ ABD a A BCD ∠ ZLE = ∠ BСD (z vety 1).
AB = BC - strany sú rovnaké.
strany AD = CD, odkedy bod D rozdelí segment na polovicu.
Preto Δ ABD = Δ BCD.
Stred, výška a medián sú jeden segment - BD

Výkon:

Výška rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu je stred a stred.
Medián rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu je výška a stred.
Stred rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu predstavuje stred a výšku.

Pamätajte! Pri riešení takýchto problémov znížte výšku k základni rovnoramenného trojuholníka. Rozdeliť ho na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

Veta 5. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Dôkaz vety:

Sú dané dve Δ ABC a Δ A 1 B 1 C 1. Strany AB = A 1 B 1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Dôkaz protirečením.

Nech sa trojuholníky nerovnajú (inak boli trojuholníky rovnaké v prvom atribúte).
Nech Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, ktorého vrchol C 2 leží v rovnakej polrovine s vrcholom C 1 vzhľadom na priamku A 1 B 1. Podľa predpokladu sa vrcholy C 1 a C 2 nezhodujú. Nech D je stred úsečky C 1 C 2. Δ A 1 C 1 C 2 a Δ B 1 C 1 C 2 sú rovnoramenné so spoločnou bázou C 1 C 2. Preto ich mediány A 1 D a B 1 D sú výšky. Čiary A1D a B1D sú teda kolmé na priamku C1C2. A 1 D a B 1 D majú rôzne body A 1 a B 1, preto sa nezhodujú. Ale cez bod D priamky C 1 C 2 možno nakresliť len jednu priamku, ktorá je naň kolmá.
Odtiaľ sme sa dostali k rozporu a dokázali sme vetu.

Znaky rovnoramenného trojuholníka

Ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké.
Súčet uhlov trojuholníka je 180°.
Ak je v trojuholníku, stred je stred alebo výška.
Ak je v trojuholníku, mediánom je stred alebo výška.
Ak je v trojuholníku, výška je stred alebo stred.

Vzorce rovnoramenného trojuholníka

b- bočná (základňa)
a- rovnaké strany
a - uhly na základni
b

Vzorce dĺžky strany(dôvod - b):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ alfa

Vzorce rovnakej dĺžky strany - (a):

a = \ frac (b) (2 \ sin (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ beta))
a = \ frac (b) (2 \ cos \ alfa)

L- výška = stred = stred
b- bočná (základňa)
a- rovnaké strany
a - uhly na základni
b - uhol, ktorý zvierajú rovnaké strany

Vzorce pre výšku, os a stred, cez stranu a uhol, ( L):

L = hriech a
L = \ frac (b) (2) * \ tg \ alfa
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ beta) / 2) = a \ cos (\ beta) / 2)

Vzorec výšky, osi a mediánu, cez strany, ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

b- bočná (základňa)
a- rovnaké strany
h- výška

Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska výšky h a základne b, ( S):

S = \ frac (1) (2) * bh

Výpočet výšky trojuholníka závisí od samotného obrázku (rovnomerný, rovnostranný, všestranný, obdĺžnikový). V praktickej geometrii sa zložité vzorce spravidla nevyskytujú. Stačí poznať všeobecný princíp výpočtov, aby bol univerzálne použiteľný pre všetky trojuholníky. Dnes vám predstavíme základné princípy výpočtu výšky postavy, výpočtové vzorce založené na vlastnostiach výšok trojuholníkov.

čo je výška?

Výška má niekoľko charakteristických vlastností

Bod, kde sa stretávajú všetky výšky, sa nazýva ortocentrum. Ak je trojuholník špicatý, potom je ortocentrum vnútri obrázku, ak je jeden z rohov tupý, potom je ortocentrum zvyčajne vonku.
V trojuholníku, kde jeden uhol je 90°, sú ortocentrum a vrchol rovnaké.
V závislosti od typu trojuholníka existuje niekoľko vzorcov, ako zistiť výšku trojuholníka.

Tradičná výpočtová technika

Ak p je polovica obvodu, potom a, b, c sú označenie strán požadovaného útvaru, h je výška, potom prvý a najjednoduchší vzorec bude vyzerať takto: h = 2 / a √p (pa) (pb) (pc) ...
V školských učebniciach často nájdete úlohy, v ktorých je známa hodnota jednej zo strán trojuholníka a hodnota uhla medzi touto stranou a základňou. Potom vzorec na výpočet výšky bude vyzerať takto: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Ak je uvedená plocha trojuholníka - S, ako aj dĺžka základne - a, výpočty budú čo najjednoduchšie. Výška sa zistí podľa vzorca: h = 2S / a.
Keď je daný polomer kružnice opísanej okolo obrazca, najprv vypočítame dĺžky jeho dvoch strán a potom pristúpime k výpočtu danej výšky trojuholníka. Na tento účel použijeme vzorec: h = b ∙ c / 2R, kde b a c sú dve strany trojuholníka, ktoré nie sú základňou, a R je polomer.

Ako zistiť výšku rovnoramenného trojuholníka?

Všetky strany tohto obrázku sú ekvivalentné, ich dĺžky sú rovnaké, preto budú rovnaké aj uhly na základni. Z toho vyplýva, že výšky, ktoré nakreslíme na podstavy, budú tiež rovnaké, sú to tiež stredy a stredy súčasne. Zjednodušene povedané, výška v rovnoramennom trojuholníku rozdeľuje základňu na dve časti. Trojuholník s pravým uhlom, ktorý sa ukázal po nakreslení výšky, budeme uvažovať pomocou Pytagorovej vety. Označme stranu ako a a základňu ako b, potom výšku h = ½ √4 a2 - b2.

Ako zistiť výšku rovnostranného trojuholníka?

Vzorec pre rovnostranný trojuholník (čísla, kde sú všetky strany rovnako veľké) možno nájsť na základe predchádzajúcich výpočtov. Je potrebné zmerať iba dĺžku jednej zo strán trojuholníka a označiť ju ako a. Potom sa výška odvodí podľa vzorca: h = √3 / 2 a.

Ako zistím výšku pravouhlého trojuholníka?

Ako viete, uhol v pravouhlom trojuholníku je 90 °. Výška znížená o jednu nohu je zároveň druhou nohou. Na nich budú ležať výšky trojuholníka s pravým uhlom. Ak chcete získať údaje o výške, musíte mierne transformovať existujúci pytagorovský vzorec, ktorý označuje nohy - a a b, a tiež zmerať dĺžku prepony - c.

Nájdite dĺžku nohy (strana, na ktorú bude výška kolmá): a = √ (c2 - b2). Dĺžka druhej vetvy sa zistí pomocou presne rovnakého vzorca: b = √ (c2 - b2). Potom môžete začať počítať výšku trojuholníka s pravým uhlom, pričom ste predtým vypočítali plochu obrázku - s. Hodnota výšky h = 2s / a.

Výpočty s všestranným trojuholníkom

Keď má všestranný trojuholník ostré rohy, je viditeľná výška znížená na základňu. Ak je trojuholník s tupým uhlom, výška môže byť mimo obrázku a musíte v ňom mentálne pokračovať, aby ste získali spojovací bod výšky a základne trojuholníka. Najjednoduchší spôsob, ako zmerať výšku, je vypočítať ju cez jednu zo strán a veľkosť uhlov. Vzorec vyzerá takto: h = b sin y + c sin ß.

Rovnoramenné je taký trojuholník, v ktorom sú dĺžky jeho dvoch strán navzájom rovnaké.

Pri riešení problémov k téme "Rovnoramenný trojuholník" je potrebné použiť nasledujúce známe vlastnosti:

1. Uhly ležiace oproti rovnakým stranám sú si navzájom rovné.
2. Stredy, stredy a výšky nakreslené z rovnakých uhlov sa navzájom rovnajú.
3. Stred, stred a výška nakreslené k základni rovnoramenného trojuholníka sa navzájom zhodujú.
4. Stred vpísanej kružnice a stred opísanej kružnice ležia vo výške, a teda na strednici a stredovej osi prikreslenej k základni.
5. Uhly, ktoré sú v rovnoramennom trojuholníku rovnaké, sú vždy ostré.

Trojuholník je rovnoramenný, ak má nasledovné znamenia:

1. Dva uhly trojuholníka sú rovnaké.
2. Výška zodpovedá mediánu.
3. Osa sa zhoduje s mediánom.
4. Výška sa zhoduje s osou.
5. Dve výšky trojuholníka sú rovnaké.
6. Dve osi trojuholníka sú rovnaké.
7. Dva stredy trojuholníka sú rovnaké.

Pozrime sa na niekoľko úloh na túto tému "Rovnoramenný trojuholník" a my im poskytneme podrobné riešenie.

Cieľ 1

V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni 8 a základňa označuje stranu ako 6: 5. Nájdite vzdialenosť od vrcholu trojuholníka je priesečník jeho priesečníkov.

Riešenie.

Nech je daný rovnoramenný trojuholník ABC (obr. 1).

1) Pretože AC: BC = 6: 5, AC = 6x a BC = 5x. VN - výška nakreslená k základni AC trojuholníka ABC.

Keďže bod H je stredom AC (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka), potom HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC2 = BH2 + HC2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;

x = 2, teda

AC = 6x = 6 2 = 12 a

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Keďže priesečník osi trojuholníka je stredom vpísanej kružnice, potom
OH = r. Polomer kružnice vpísanej do trojuholníka ABC nájdeme podľa vzorca

4) S ABC = 1/2* (AC* BH); S ABC = 1/2 * (12 * 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, potom OH = r = 48/16 = 3.

Preto VO = VN - OH; VO = 8 - 3 = 5.

odpoveď: 5.

Cieľ 2

Osa AD je nakreslená v rovnoramennom trojuholníku ABC. Plochy trojuholníkov ABD a ADC sa rovnajú 10 a 12. Nájdite plochu štvorca, trikrát zväčšeného, postaveného vo výške tohto trojuholníka, nakresleného k základni AC.

Riešenie.

Uvažujme trojuholník ABC - rovnoramenný, AD - os uhla A (obr. 2).

1) Napíšme obsahy trojuholníkov BAD a DAC:

S BAD = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Nájdite pomer plochy:

S BAD / S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB / AC.

Pretože S BAD = 10, S DAC = 12, potom 10/12 = AB / AC;

AB / AC = 5/6, potom nech AB = 5x a AC = 6x.

AH = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Z trojuholníka ABN - pravouhlý podľa Pytagorovej vety AB 2 = AN 2 + BN 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) SA ВС = 1/2 AS ВН; S A B C = 1/2 6x 4x = 12x 2.

Keďže S A BC = S ZLÉ + S DAC = 10 + 12 = 22, potom 22 = 12x 2;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Plocha štvorca sa rovná BH 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

odpoveď: 88.

Cieľ 3

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 4 a strana 8. Nájdite druhú mocninu výšky zníženej na stranu.

Riešenie.

V trojuholníku ABC - rovnoramenný BC = 8, AC = 4 (obr. 3).

1) VN - výška nakreslená k základni AC trojuholníka ABC.

Pretože bod H je stredom AC (podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka), potom HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Z trojuholníka VNS - pravouhlý podľa Pytagorovej vety VS 2 = VN 2 + NS 2;

64 = BH2 + 4;

3) S ABC = 1/2 (AC BH), ako aj S ABC = 1/2 (AM BC), potom prirovnajte pravé strany vzorcov, dostaneme

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC. BH) / BC;

AM = (√60 4) / 8 = (2√15 4) / 8 = √15.

odpoveď: 15.

Úloha 4.

V rovnoramennom trojuholníku sa základňa a výška, ktorá k nej klesá, rovnajú 16. Nájdite polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku.

Riešenie.

V trojuholníku ABC - rovnoramenná základňa AC = 16, BH = 16 - výška nakreslená k základni AC (obr. 4).

1) AH = HC = 8 (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka).

2) Z trojuholníka VNS - pravouhlého podľa Pytagorovej vety

BC2 = BH2 + HC2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Uvažujme trojuholník ABC: podľa sínusovej vety 2R = AB / sin C, kde R je polomer kružnice opísanej trojuholníku ABC.

sin C = BH / BC (z trojuholníka VNS podľa definície sínusu).

sin C = 16 / (8√5) = 2 / √5, potom 2R = 8√5 / (2 / √5);

2R = (8√5 √5) / 2; R = 10.

odpoveď: 10.

Úloha 5.

Dĺžka výšky nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka je 36 a polomer vpísanej kružnice je 10. Nájdite plochu trojuholníka.

Riešenie.

Nech je daný rovnoramenný trojuholník ABC.

1) Pretože stred vpísanej kružnice v trojuholníku je priesečníkom jej priesečníkov, potom O ϵ VN a AO je os uhla A a prúd OH = r = 10 (obr. 5).

2) VO = VN - OH; BO = 36 - 10 = 26.

3) Uvažujme trojuholník ABN. Podľa vety o osi uhla trojuholníka

AB/AN = VO/OH;

AB / AH = 26/10 = 13/5, potom nech AB = 13x a AH = 5x.

Podľa Pytagorovej vety AB 2 = AN 2 + BH 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 3) 2;

144x 2 = 144 9;

x = 3, potom AC = 2 AH = 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2* (AC* BH); S ABC = 1/2 * (36 * 30) = 540;

odpoveď: 540.

Úloha 6.

V rovnoramennom trojuholníku sú dve strany 5 a 20. Nájdite os uhla v základni trojuholníka.

Riešenie.

1) Predpokladajme, že strany trojuholníka sú 5 a základňa je 20.

Potom 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (obr. 6).

2) Nech LC = x, potom BL = 20 - x. Podľa vety o osi uhla trojuholníka

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 - x) / x,

potom 4x = 20 - x;

LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Použijeme vzorec pre osi uhla trojuholníka:

AL 2 = AB AC - BL LC,

potom AL2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;

odpoveď: 6.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť geometrické úlohy?
Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Keďže výška rovnoramenného trojuholníka, zníženého k základni, je osou aj stredom, rozdeľuje základňu a uhol na vrchole na dve rovnaké časti, čím vytvára pravouhlý trojuholník so stranami a a b / 2. Z Pytagorovej vety v takomto trojuholníku môžete nájsť samotnú základňu a potom vypočítať všetky ostatné možné údaje. (obr. 88.2) h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = a ^ 2 b = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Ak chcete vypočítať obvod rovnoramenného trojuholníka, pridajte základňu alebo vyššie uvedený radikál cez výšku k dvom bočným stranám. P = 2a + b = 2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Plocha rovnoramenného trojuholníka cez výšku a základňu sa podľa definície počíta ako polovica ich súčinu. Nahradením základne výrazom, ktorý jej zodpovedá, dostaneme plochu cez výšku a stranu rovnoramenného trojuholníka. S = hb / 2 = (h√ (a ^ 2-h ^ 2)) / 4

V rovnoramennom trojuholníku sú rovnaké nielen strany, ale aj uhly v základni, a keďže ich súčet je vždy 180 stupňov, možno nájsť ktorýkoľvek z uhlov, keď poznáme ten druhý. Prvý uhol vypočítame pomocou kosínusovej vety pre rovnaké strany a druhý môžeme nájsť pomocou rozdielu od 180. (obr. 88.1) cos⁡α = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / 2bc = (b ^ 2 + a ^ 2-a ^ 2) / 2ba = b ^ 2 / 2ba = b / 2a cos⁡β = (a ^ 2 + a ^ 2-b ^ 2) / (2a ^ 2) = (2a ^ 2 -b ^ 2) / (2a ^ 2) α = (180 ° -β) / 2 β = 180 ° -2α

Stredný stred a stred osi klesnuté na základňu sa zhodujú s výškou a bočné stredy, výšky a osi možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov pre rovnoramenné trojuholníky. Ak ich chcete vypočítať z hľadiska výšky a strany, musíte nahradiť základňu ekvivalentným výrazom. (obr. 88.3) m_a = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (a ^ 2 + 2b ^ 2) / 2

Výška znížená na bočnú stranu cez výšku znížená na základňu a bočnú stranu rovnoramenného trojuholníka. (obr. 88.8) h_a = (b√ ((4a ^ 2-b ^ 2))) / 2a = (√ (a ^ 2-h ^ 2) √ ((4a ^ 2-a ^ 2 + h ^ 2 ))) / 2a = √ ((a ^ 2-h ^ 2) (3a ^ 2 + h ^ 2)) / 2

Bočné osi môžu byť vyjadrené aj ako bočná strana a stredová výška trojuholníka. (obr. 88.4) l_a = √ (ab (2a + b) (a + ba)) / (a + b) = √ (a (a ^ 2-h ^ 2) (2a + √ (a ^ 2 -h ^ 2))) / (a + √ (a ^ 2-h ^ 2))

Stredná čiara je nakreslená rovnobežne s oboma stranami trojuholníka a spája stredy strán vo vzťahu k nej. Vždy sa teda ukáže, že sa rovná polovici strany rovnobežnej s ním. Namiesto neznámej bázy môžete nahradiť radikál použitý vo vzorci, aby ste našli stredovú čiaru cez výšku a stranu rovnoramenného trojuholníka (obr. 88.5) M_b = b / 2 = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2 M_a = a / 2

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného trojuholníka začína od bodu v priesečníku priesečníkov a ide kolmo na obe strany. Ak ho chcete nájsť cez výšku a stranu trojuholníka, musíte nahradiť základňu vo vzorci radikálom. (obr. 88.6) r = 1/2 √ (((a ^ 2-h ^ 2) (2a-√ (a ^ 2-h ^ 2))) / (2a + √ (a ^ 2-h ^ 2 )))

Polomer kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka je tiež odvodený zo všeobecného vzorca dosadením radikálu cez výšku a stranu namiesto základne. (obr. 88.7) R = a ^ 2 / √ (3a ^ 2-h ^ 2)