Stred uhla. Kompletné lekcie – znalostný hypermarket

Dnes to bude veľmi ľahká lekcia. Budeme uvažovať iba o jednom objekte - osnici uhla - a dokážeme jeho najdôležitejšiu vlastnosť, ktorá sa nám bude v budúcnosti veľmi hodiť.

Len sa neuvoľnite: niekedy študenti, ktorí chcú získať vysoké skóre na rovnakom OGE alebo USE, na prvej hodine, nedokážu ani presne formulovať definíciu osi.

A namiesto toho, aby sme robili skutočne zaujímavé úlohy, strácame čas takýmito jednoduchými vecami. Preto čítajte, pozri - a daj do prevádzky. :)

Na úvod trochu zvláštna otázka: čo je to uhol? Správne: uhol sú len dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu. Napríklad:

Príklady uhlov: ostrý, tupý a rovný

Ako vidíte na obrázku, rohy môžu byť ostré, tupé, rovné - na tom teraz nezáleží. Často je pre pohodlie na každom lúči označený ďalší bod a hovorí sa, že pred nami máme uhol $ AOB $ (napísaný ako $ \ uhol AOB $).

Zdá sa, že kapitán očividnosti naznačuje, že okrem lúčov $ OA $ a $ OB $ môžete vždy nakresliť veľa lúčov z bodu $ O $. Ale medzi nimi bude jedna špeciálna - je to on, kto sa nazýva bisektor.

Definícia. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu tohto uhla a pretína uhol.

Pre vyššie uvedené uhly budú osy vyzerať takto:

Príklady osí pre ostrý, tupý a pravý uhol

Keďže na skutočných výkresoch nie je vždy zrejmé, že určitý lúč (v našom prípade je to lúč $ OM $) rozdeľuje počiatočný uhol na dva rovnaké uhly, v geometrii je zvykom označovať rovnaké uhly rovnakým počtom oblúkov. (v našom výkrese je to 1 oblúk pre ostrý uhol, dva pre tupý, tri pre priamy).

Dobre, prišli sme na definíciu. Teraz musíte pochopiť, aké vlastnosti má bisector.

Hlavná vlastnosť osy uhla

V skutočnosti má bisector veľa vlastností. A určite sa na ne pozrieme v ďalšej lekcii. Ale je tu jeden trik, ktorý musíte hneď pochopiť:

Veta. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán daného uhla.

Preložené z matematiky do ruštiny to znamená dve skutočnosti naraz:

Akýkoľvek bod ležiaci na oske určitého uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán tohto uhla.
A naopak: ak bod leží v rovnakej vzdialenosti od strán daného uhla, potom je zaručené, že bude ležať na osi tohto uhla.

Pred dôkazom týchto tvrdení si vyjasnime jeden bod: čo sa v skutočnosti nazýva vzdialenosť od bodu k strane uhla? Tu nám pomôže stará dobrá definícia vzdialenosti od bodu k priamke:

Definícia. Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice vedenej z daného bodu k tejto priamke.

Uvažujme napríklad priamku $ l $ a bod $ A $, ktorý neleží na tejto priamke. Nakreslite kolmicu $ AH $, kde $ H \ v l $. Potom bude dĺžka tejto kolmice vzdialenosť od bodu $ A $ k priamke $ l $.

Grafické znázornenie vzdialenosti od bodu k čiare

Pretože uhol sú len dva lúče a každý lúč je kusom priamky, je ľahké určiť vzdialenosť od bodu k stranám uhla. Sú to len dve kolmice:

Určte vzdialenosť od bodu k stranám rohu

To je všetko! Teraz vieme, čo je vzdialenosť a čo je os. Preto je možné preukázať hlavnú vlastnosť.

Ako sme sľúbili, rozdeľme dôkaz na dve časti:

1. Vzdialenosti od bodu na osi k stranám uhla sú rovnaké

Uvažujme ľubovoľný uhol s vrcholom $ O $ a stredom $ OM $:

Dokážme, že práve tento bod $ M $ je v rovnakej vzdialenosti od strán rohu.

Dôkaz. Nakreslite kolmice z bodu $ M $ do strán rohu. Nazvime ich $ M ((H) _ (1)) $ a $ M ((H) _ (2)) $:
Nakreslite kolmice na strany rohu
Získali sme dva pravouhlé trojuholníky: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ a $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Majú spoločnú preponu $ OM $ a rovnaké uhly:

$ \ uhol MO ((H) _ (1)) = \ uhol MO ((H) _ (2)) $ podľa podmienky (keďže $ OM $ je os);

$ \ uhol M ((H) _ (1)) O = \ uhol M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ podľa konštrukcie;

$ \ uhol OM ((H) _ (1)) = \ uhol OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ uhol MO ((H) _ (1)) $, keďže súčet Ostré uhly pravouhlého trojuholníka sú vždy 90 stupňov.

V dôsledku toho sú trojuholníky rovnaké v stranách a dvoch susedných uhloch (pozri znaky rovnosti trojuholníkov). Preto najmä $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, t.j. vzdialenosti od bodu $ O $ k stranám rohu sú skutočne rovnaké. Q.E.D. :)

2. Ak sú vzdialenosti rovnaké, potom bod leží na osi

Teraz je situácia opačná. Nech je daný uhol $ O $ a bod $ M $ rovnako vzdialený od strán tohto uhla:

Dokážme, že lúč $ OM $ je osou, tj. $ \ uhol MO ((H) _ (1)) = \ uhol MO ((H) _ (2)) $.

Dôkaz. Na začiatok nakreslíme tento lúč $ OM $, inak nebude čo dokazovať:
Strávil lúč $ OM $ v rohu
Opäť sme dostali dva pravouhlé trojuholníky: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ a $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Zjavne sú si rovní, pretože:

Hypotenza $ OM $ - celkom;

Nohy $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ podľa podmienky (napokon, bod $ M $ je rovnako vzdialený od strán rohu);

Zvyšné nohy sú tiež rovnaké, pretože podľa Pytagorovej vety $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Preto sú trojuholníky $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ a $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ na troch stranách. Najmä ich uhly sú rovnaké: $ \ uhol MO ((H) _ (1)) = \ uhol MO ((H) _ (2)) $. A to znamená, že $ OM $ je stred.

Na záver dôkazu označíme výsledné rovnaké uhly červenými oblúkmi:
Osa rozdeľuje uhol $ \ ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ na dva rovnaké

Ako vidíte, nič zložité. Dokázali sme, že os uhla je miestom bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla. :)

Teraz, keď sme sa už viac-menej rozhodli pre terminológiu, je čas prejsť na novú úroveň. V nasledujúcej lekcii budeme analyzovať zložitejšie vlastnosti osi a naučíme sa ich používať na riešenie skutočných problémov.

Osa trojuholníka je úsečka, ktorá rozdeľuje uhol trojuholníka na dva rovnaké uhly. Napríklad, ak je uhol trojuholníka 120 0, potom nakreslíme osičku a vytvoríme dva uhly, každý s veľkosťou 60 0.

A keďže v trojuholníku sú tri uhly, možno nakresliť tri osi. Všetky majú jeden hraničný bod. Tento bod je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka. Iným spôsobom sa tento priesečník nazýva stred trojuholníka.

Keď sa pretnú dve osy vnútorného a vonkajšieho uhla, získa sa uhol 90°. Vonkajší roh trojuholníka je uhol susediaci s vnútorným rohom trojuholníka.

Ryža. 1. Trojuholník s 3 osami

Osa rozdeľuje opačnú stranu na dva úsečky, ktoré sú spojené so stranami:

$$ (CL \ over (LB)) = (AC \ over (AB)) $$

Body osi sú v rovnakej vzdialenosti od strán rohu, čo znamená, že sú v rovnakej vzdialenosti od strán rohu. To znamená, že ak z ktoréhokoľvek bodu osi znížime kolmice na každú stranu uhla trojuholníka, potom budú tieto kolmice rovnaké.

Ak nakreslíte stred, stred a výšku z jedného vrcholu, potom bude stredom najdlhší segment a výška bude najkratšia.

Niektoré vlastnosti osi

V určitých typoch trojuholníkov má stred špeciálne vlastnosti. To platí predovšetkým pre rovnoramenný trojuholník. Tento obrázok má dve rovnaké strany a tretia sa nazýva základňa.

Ak z vrcholu uhla rovnoramenného trojuholníka nakreslíte os k základni, potom bude mať vlastnosti výšky aj mediánu. V súlade s tým sa dĺžka osy zhoduje s dĺžkou mediánu a výšky.

Definície:

Výška- kolmica klesla z vrcholu trojuholníka na opačnú stranu.
Medián- segment, ktorý spája vrchol trojuholníka a stred protiľahlej strany.

Ryža. 2. Stred v rovnoramennom trojuholníku

To platí aj pre rovnostranný trojuholník, teda trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké.

Príklad úlohy

V trojuholníku ABC: BR je os, kde AB = 6 cm, BC = 4 cm a RC = 2 cm Odčítajte dĺžku tretej strany.

Ryža. 3. Stred v trojuholníku

Riešenie:

Osa rozdeľuje stranu trojuholníka v určitom pomere. Využime tento pomer a vyjadrime AR. Potom zistíme dĺžku tretej strany ako súčet segmentov, na ktoré bola táto strana rozdelená osou.

$ (AB \ cez (BC)) = (AR \ cez (RC)) $
$ RC = (6 \ nad (4)) * 2 = 3 cm $

Potom celý segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

V rovnoramennom trojuholníku rozdeľuje os nakreslená k základni trojuholník na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

Čo sme sa naučili?

Po preštudovaní témy osy sme sa dozvedeli, že rozdeľuje uhol na dva rovnaké uhly. A ak je nakreslený v rovnoramennom alebo rovnostrannom trojuholníku k základni, potom bude mať vlastnosti mediánu aj výšky súčasne.

Test podľa témy

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.2. Celkový počet získaných hodnotení: 157.

Bisector trojuholníka je bežný geometrický koncept, ktorý nespôsobuje žiadne zvláštne ťažkosti pri štúdiu. Vďaka znalostiam o jeho vlastnostiach sa mnohé problémy dajú vyriešiť bez väčších ťažkostí. Čo je to bisector? Pokúsime sa čitateľa zoznámiť so všetkými tajomstvami tejto matematickej línie.

V kontakte s

Podstata konceptu

Názov konceptu pochádza z používania slov v latinčine, ktorých význam je "bi" - dva, "sectio" - rez. Špecificky poukazujú na geometrický význam pojmu - rozbitie priestoru medzi lúčmi na dve rovnaké časti.

Osa trojuholníka je segment, ktorý vychádza z hornej časti obrázku a druhý koniec je umiestnený na opačnej strane, pričom priestor rozdeľuje na dve rovnaké časti.

Pre rýchle asociatívne zapamätanie si matematických pojmov študentmi mnohí učitelia používajú odlišnú terminológiu, ktorá sa zobrazuje vo veršoch alebo asociáciách. Samozrejme, táto definícia sa odporúča pre staršie deti.

Ako je označená táto priamka? Tu sa spoliehame na pravidlá pre označovanie segmentov alebo lúčov. Ak hovoríme o označení osy uhla trojuholníkovej postavy, potom sa zvyčajne píše ako segment, ktorého konce sú vrchol a priesečník so stranou protiľahlou k vrcholu... Navyše, začiatok označenia je napísaný presne zhora.

Pozor! Koľko osi má trojuholník? Odpoveď je zrejmá: je ich toľko, koľko sú tri vrcholy.

Vlastnosti

Okrem definície v školskej učebnici nenájdete toľko vlastností tohto geometrického pojmu. Prvou vlastnosťou osi trojuholníka, ktorá je predstavená školákom, je stred zapísaného a druhá, ktorá s ním priamo súvisí, je proporcionalita segmentov. Podstata je nasledovná:

Nech je deliaca čiara akákoľvek, sú na nej body, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od strán ktoré tvoria priestor medzi nosníkmi.
Aby bolo možné vpísať kruh do trojuholníkového obrazca, je potrebné určiť bod, v ktorom sa tieto segmenty pretínajú. Toto je stredový bod kruhu.
Časti strany trojuholníkového geometrického útvaru, na ktoré ho delí deliaca čiara, sú proporcionálne k uhlovým stranám.

Pokúsime sa vniesť do systému zvyšok funkcií a predstaviť ďalšie fakty, ktoré pomôžu lepšie pochopiť podstatu tohto geometrického konceptu.

Dĺžka

Jedným z typov problémov, ktoré školákom spôsobujú ťažkosti, je zistenie dĺžky osy uhla trojuholníka. Prvá možnosť, ktorá obsahuje jej dĺžku, obsahuje nasledujúce údaje:

množstvo priestoru medzi lúčmi, z ktorých vrchol vychádza tento segment;
dĺžky strán, ktoré tvoria tento uhol.

Na vyriešenie problému používa sa vzorec, ktorého významom je nájsť pomer zdvojeného súčinu hodnôt strán tvoriacich uhol kosínusom jeho polovice k súčtu strán.

Zoberme si konkrétny príklad. Predpokladajme, že je daný obrazec ABC, v ktorom je úsečka nakreslená z uhla A a pretína stranu BC v bode K. Hodnota A je označená Y. Na základe toho AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

Druhá verzia úlohy, v ktorej sa určuje dĺžka osy trojuholníka, obsahuje nasledujúce údaje:

významy všetkých strán obrazca sú známe.

Pri riešení problému tohto typu spočiatku určiť polobvod... Za týmto účelom pridajte hodnoty všetkých strán a rozdeľte ich na polovicu: p = (AB + BC + AC) / 2. Ďalej použijeme výpočtový vzorec, ktorý bol použitý na určenie dĺžky tohto segmentu v predchádzajúcej úlohe. V súlade s novými parametrami je potrebné vykonať iba niektoré zmeny v podstate vzorca. Je teda potrebné nájsť pomer zdvojeného odmocnina druhého stupňa zo súčinu dĺžok strán, ktoré k vrcholu priliehajú pol obvodu, a rozdielu medzi polovicou obvodu a dĺžkou protiľahlej strany. na súčet strán, ktoré tvoria uhol. To znamená, AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Pozor! Aby ste si uľahčili zvládnutie materiálu, môžete sa obrátiť na komické príbehy dostupné na internete, ktoré hovoria o „dobrodružstvách“ tejto priamky.

Špeciálne prípady

Osa pravouhlého trojuholníka má všetky všeobecné vlastnosti. Treba však poznamenať osobitný prípad, ktorý je mu vlastný: pri pretínaní segmentov, ktorých základňami sú vrcholy ostrých pravouhlých trojuholníkov, sa medzi lúčmi získa 45 stupňov.

Osa rovnoramenného trojuholníka má tiež svoje vlastné charakteristiky:

Ak je základňa tohto segmentu horná časť oproti základni, potom je výška aj medián.
Ak sú segmenty nakreslené z vrcholov rohov na základni, potom sa ich dĺžky navzájom rovnajú.

V lekcii geometrie študujeme vlastnosti stredovej osi

Vlastnosti osi trojuholníka

aká je os uhla?

Besectrix je potkan, ktorý chodí v rohoch a pretína roh.
Vlastnosti osi

a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2
la = bca1a2
Kde:
tak nejako))
Plochý uhol rozloženého uhla ho rozdeľuje na 2 pravé uhly
tento potkan sa rozdelí
Bisector (z latinského bi - dvojité a sectio rezanie) uhla je lúč so začiatkom na vrchole uhla, ktorý delí uhol na dve rovnaké časti.
Bisector (z latinského bi - dvojité a sectio rezanie) uhla je lúč so začiatkom na vrchole uhla, ktorý delí uhol na dve rovnaké časti.
Bisector je potkan, ktorý behá v rohoch a rozdeľuje roh podľa pohlavia.
uhol rozdelenia lúča na 2 rovnaké uhly
Bisector je potkan, ktorý behá okolo rohov a pretína roh!
😉
Bisector (z latinského bi - dvojité a sectio rezanie) uhla je lúč so začiatkom na vrchole uhla, ktorý delí uhol na dve rovnaké časti.
Osa uhla (spolu s jeho pokračovaním) je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán uhla (alebo ich predĺžení).
Definícia. Osa uhla trojuholníka je úsečka tohto uhla, ktorá spája tento vrchol s bodom na opačnej strane.
Ktorákoľvek z troch osi vnútorných uhlov trojuholníka sa nazýva osi trojuholníka.
Osa uhla trojuholníka môže označovať jednu z dvoch vecí: lúč je os tohto uhla alebo úsečka tohto uhla predtým, ako sa pretne so stranou trojuholníka.
Vlastnosti osi
Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.
Osy vnútorných rohov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.
Osy vnútorných a vonkajších rohov sú kolmé.
Ak os vonkajšieho rohu trojuholníka pretína pokračovanie opačnej strany, potom ADBD = ACBC.
Priečnice jedného vnútorného a dvoch vonkajších rohov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.
Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho rohu trojuholníka ležia na rovnakej priamke, ak osi vonkajšieho rohu nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.
Ak osy vonkajších rohov trojuholníka nie sú rovnobežné s protiľahlými stranami, potom ich základne ležia na jednej priamke.
a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + c # 8722; a)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2 # 8722;
la = bc # 8722; a1a2
Kde:
la je stred na stranu a,
a, b, zo strany trojuholníka oproti vrcholom A, B, C, resp.
al, a 2 segmenty, na ktoré os lc delí stranu c,
vnútorné uhly trojuholníka vo vrcholoch a, b, c, resp.
ha je výška trojuholníka spusteného na stranu a.
os je čiara, ktorá rozdeľuje uhol palom
Bisector (z latinského bi - dvojité a sectio rezanie) uhla je lúč so začiatkom na vrchole uhla, ktorý delí uhol na dve rovnaké časti.
Osa uhla (spolu s jeho pokračovaním) je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán uhla (alebo ich predĺžení).
Bisector je potkan, ktorý chodí v rohoch a znižuje uhol na polovicu.
stred, taký potkan, beží okolo rohov a rozdeľuje uhol na zásahy)
Rozdeľuje roh na polovicu
čiara, ktorá ho delí (roh) na polovicu.
Bisector je potkan, ktorý behá okolo rohov a delí ich na polovicu.

Bisector je priamka, ktorá znižuje uhol na polovicu.

Stretli ste v probléme bisektor? Skúste použiť jednu (a niekedy aj niekoľko) z nasledujúcich úžasných vlastností.

1. Stred v rovnoramennom trojuholníku.

Nebojíte sa slova „teorém“? Ak sa bojíte, potom - márne. Matematici zvyknú akékoľvek tvrdenie, ktoré sa dá nejako odvodiť z iných, jednoduchších tvrdení, nazývať vetou.

Takže, pozor, veta!

Poďme dokázať táto veta, to znamená, že pochopíme, prečo je to tak? Pozrite sa na rovnoramenné.

Poďme sa na ne pozrieť zblízka. A potom to uvidíme

- všeobecný.

A to znamená (radšej si zapamätajte prvý znak rovnosti trojuholníkov!) To.

No a čo? chceš to povedať? A skutočnosť, že sme sa ešte nepozreli na tretie strany a zostávajúce rohy týchto trojuholníkov.

Teraz sa pozrime. Raz, potom úplne presne a dokonca navyše,.

Tak sa to ukázalo

rozdelil stranu na polovicu, to znamená, že sa ukázal ako stredná
, čo znamená, že sú obe zapnuté, pretože (pozrite sa ešte raz na obrázok).

Tak sa ukázalo, že je to bisector a výška tiež!

Hurá! Dokázali sme vetu. Ale predstavte si, to nie je všetko. To je tiež pravda konverzná veta:

dôkaz? čuduješ sa? Prečítajte si ďalšiu úroveň teórie!

A ak nie zaujímavé, tak pamätaj pevne:

Prečo si to pevne zapamätať? Ako to môže pomôcť? Predstavte si však, že máte úlohu:

Vzhľadom na to: .

Nájsť: .

Okamžite si uvedomíte, bisector a, hľa, rozdelila stranu na polovicu! (podľa podmienok...). Ak si pevne pamätáte, že sa to stane iba v rovnoramennom trojuholníku, potom usúdite, čo to znamená, napíšete odpoveď:. Skvelé, nie? Samozrejme, nie všetky úlohy budú také jednoduché, ale znalosti určite pomôžu!

A teraz ďalšia nehnuteľnosť. pripravený?

2. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán uhla.

strach? Vlastne je to v poriadku. Leniví matematici schovali štyri do dvoch riadkov. Takže, čo to znamená, "Bisector - ťažisko bodov"? To znamená, že sú okamžite popravené. dvaVyhlásenia:

Ak bod leží na osi, potom sú vzdialenosti od neho k stranám uhla rovnaké.
Ak sú v určitom bode vzdialenosti od strán rohu rovnaké, potom tento bod nevyhnutne leží na osi.

Vidíte rozdiel medzi výrokmi 1 a 2? Ak nie, tak si spomeňte na Klobučníka z Alenky v krajine zázrakov: "Takže máš ešte niečo dobré povedať, ako keby" vidím, čo jem, "a" jem, čo vidím, "je jedno a to isté!"

Musíme teda dokázať tvrdenia 1 a 2 a potom tvrdenie: "Systém je ťažisko bodov v rovnakej vzdialenosti od strán rohu" bude preukázané!

Prečo je 1 pravda?

Vezmite ľubovoľný bod na osi a pomenujte ho.

Pustime kolmice z tohto bodu na strany rohu.

A teraz ... pripravte sa na zapamätanie si znakov rovnosti pravouhlých trojuholníkov! Ak ste ich zabudli, pozrite sa do sekcie.

Takže ... dva pravouhlé trojuholníky: a. Oni majú:

Všeobecná hypotenzia.
(pretože - osi!)

To znamená - podľa uhla a prepony. Preto sú zodpovedajúce nohy týchto trojuholníkov rovnaké! To jest.

Bolo dokázané, že bod je rovnako (alebo rovnako) vzdialený od strán rohu. S vyriešeným bodom 1. Teraz prejdime k bodu 2.

Prečo je 2 pravda?

A spojte bodky a.

Takže, to znamená, že leží na osi!

To je všetko!

Ako sa to všetko dá aplikovať na riešenie problémov? Napríklad v problémoch je často taká fráza: „Kruh sa dotýka strán rohu...“. No a treba si niečo nájsť.

Rýchlo si to uvedomíte

A môžete použiť rovnosť.

3. Tri osi v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode

Z vlastnosti osy byť miestom bodov rovnako vzdialených od strán uhla vyplýva nasledovné tvrdenie:

Ako presne to nasleduje? Ale pozrite sa: dve osi sa určite pretnú, však?

A tretia os by mohla vyzerať takto:

Ale v skutočnosti je všetko oveľa lepšie!

Uvažujme priesečník dvoch priesečníkov. Nazvime to.

Čo sme tu použili oba razy? Áno odsek 1, samozrejme! Ak bod leží na osi, potom je rovnako vzdialený od strán rohu.

Tak sa ukázalo a.

Ale pozorne sa pozrite na tieto dve rovnosti! Veď z nich vyplýva, že a teda,.

Ale teraz to pôjde do akcie bod 2: ak sú vzdialenosti strán uhla rovnaké, potom bod leží na osnici ... aký je uhol? Pozrite sa ešte raz na obrázok:

a sú vzdialenosti od strán uhla a sú rovnaké, čo znamená, že bod leží na oske uhla. Tretia os prešla rovnakým bodom! Všetky tri osi sa pretínajú v jednom bode! A ako ďalší darček -

Polomer zapísané kruhy.

(Pre istotu si pozrite inú tému).

Teraz už nikdy nezabudnete:

Priesečník osi trojuholníka je stredom vpísanej kružnice.

Prechod na ďalšiu nehnuteľnosť... Páni, a stred má veľa vlastností, však? A to je skvelé, pretože čím viac vlastností, tým viac nástrojov na riešenie problémov o osi.

4. Osa a rovnobežnosť, osy susedných uhlov

Skutočnosť, že os rozdeľuje uhol na polovicu, v niektorých prípadoch vedie k úplne neočakávaným výsledkom. Napríklad,

Prípad 1

Skvelé, nie? Poďme pochopiť, prečo je to tak.

Na jednej strane robíme bisektor!

Ale na druhej strane, ako sa križujú rohy (zapamätajte si tému).

A teraz sa ukazuje, že; vyhodiť stred :! - rovnoramenný!

Prípad 2

Predstavte si trojuholník (alebo sa pozrite na obrázok)

Pokračujme stranou pre bod. Teraz máme dva rohy:

- vnútorný roh
- vonkajší roh - je to vonku, však?

Takže teraz niekto chcel nakresliť nie jednu, ale dve osi naraz: pre a pre. Čo sa bude diať?

A ukáže sa obdĺžnikový!

Prekvapivo je to presne tento prípad.

Porozumenie.

Aká je podľa vás suma?

Samozrejme, pretože všetky spolu tvoria taký uhol, že sa ukáže ako priamka.

A teraz si to zapamätajte a ste osí a uvidíte, že vnútri rohu je presne to polovicu zo súčtu všetkých štyroch uhlov: a - - teda presne. Môžete tiež napísať rovnicu:

Takže neuveriteľné, ale pravdivé:

Uhol medzi osami vnútorného a vonkajšieho rohu trojuholníka je.

Prípad 3

Vidíte, že je tu všetko rovnaké ako pri vnútorných a vonkajších kútikoch?

Alebo sa znova zamyslite, prečo je to tak?

Opäť, pokiaľ ide o susedné rohy,

(ako sú spárované na paralelných základniach).

A opäť make up presne polovica zo sumy

Výkon: Ak problém obsahuje osy súvisiace uhly alebo osy príslušný uhly rovnobežníka alebo lichobežníka, potom v tomto probléme určite ide o pravouhlý trojuholník a možno aj o celý obdĺžnik.

5. Bisector a opačná strana

Ukazuje sa, že os uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu nie nejako, ale zvláštnym a veľmi zaujímavým spôsobom:

To je:

Úžasný fakt, však?

Teraz túto skutočnosť dokážeme, ale pripravte sa: bude to o niečo ťažšie ako predtým.

Opäť - výstup do vesmíru - dodatočná výstavba!

Nakreslíme rovnú čiaru.

Za čo? uvidíme teraz.

Pokračujte v osi až po priesečník s priamkou.

Znie to povedome? Áno, áno, áno, rovnakým spôsobom ako v odseku 4, prípad 1 - ukazuje sa, že (je osi)

Akoby ležal krížom krážom

Znamená - aj toto.

Teraz sa pozrime na trojuholníky a.

Čo o nich poviete?

Sú si podobné. Áno, majú rovnaké uhly ako vertikálne. Preto v dvoch rohoch.

Teraz máme právo napísať vzťah príslušných strán.

A teraz v krátkosti:

Ou! Vyzerá to na niečo, však? Nie je to to, čo sme chceli dokázať? Áno, to je ono!

Vidíte, ako skvele sa osvedčil „spacewalk“ – vybudovanie ďalšej priamky – bez toho by sa nič nestalo! A tak sme to dokázali

Teraz ho môžete bezpečne používať! Poďme analyzovať ešte jednu vlastnosť osi uhlov trojuholníka - nezľaknite sa, teraz je najťažšia časť za sebou - bude to jednoduchšie.

Chápeme to

Tieto znalosti možno použiť v tých problémoch, kde sú zapojené dve osy a je daný iba uhol a požadované hodnoty sú udržiavané alebo naopak dané, ale musíte nájsť niečo s účasťou uhla.

Základná znalosť osy je u konca. Spojením týchto faktov nájdete kľúč k akémukoľvek problému s osou!

BISECTOR. SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Veta 1:

Veta 2:

Veta 3:

Veta 4:

Veta 5:

Veta 6: