Paralelogram. Rovnobežník Ako nájsť nižšiu výšku rovnobežníka

Ako určiť výšku rovnobežníka so znalosťou niektorých jeho ďalších parametrov? Ako je plocha, dĺžky uhlopriečok a strán, veľkosť uhlov.

Budete potrebovať

• kalkulačka

Inštrukcie

Pri problémoch v geometrii, presnejšie v planimetrii a trigonometrii, je niekedy potrebné nájsť výšku rovnobežníka na základe daných hodnôt strán, uhlov, uhlopriečok atď.

Ak chcete nájsť výšku rovnobežníka, poznať jeho plochu a dĺžku základne, musíte použiť pravidlo na určenie plochy rovnobežníka. Ako viete, plocha rovnobežníka sa rovná súčinu výšky a dĺžky základne:

S - plocha rovnobežníka,

a - dĺžka základne rovnobežníka,

h je dĺžka výšky zníženej na stranu a (alebo na jej pokračovanie).

Z toho zistíme, že výška rovnobežníka sa bude rovnať ploche delenej dĺžkou základne:

Napríklad,

dané: plocha rovnobežníka je 50 cm2, základňa je 10 cm -

nájsť: výšku rovnobežníka.

h = 50/10 = 5 (cm).

Keďže výška rovnobežníka, časť podstavy a strana priľahlá k podstave tvoria pravouhlý trojuholník, na zistenie výšky rovnobežníka možno použiť niektoré pomery strán a uhly pravouhlých trojuholníkov.

Ak je strana rovnobežníka susediaca s výškou h (DE) známa d (AD) a uhol A (BAD) protiľahlý k výške, potom treba výpočet výšky rovnobežníka vynásobiť dĺžkou priľahlého rovnobežníka. vedľa sínusu opačného uhla:

napríklad, ak d = 10 cm a uhol A = 30 stupňov, potom

H = 10* sin (30°) = 10* 1/2 = 5 (cm).

Ak je v podmienkach úlohy špecifikovaná dĺžka strany rovnobežníka susediacej s výškou h (DE) a dĺžka časti podstavy odrezanej výškou (AE), potom výška rovnobežníka môže nájsť pomocou Pytagorovej vety:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, odkiaľ definujeme:

h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

tie. výška rovnobežníka sa rovná druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami dĺžky susednej strany a časti základne odrezanej výškou.

Napríklad, ak je dĺžka priľahlej strany 5 cm a dĺžka odrezanej časti základne je 3 cm, potom dĺžka výšky bude:

h = 5 (5^2-3^2) = 4 (cm).

Ak je známa dĺžka uhlopriečky (DВ) rovnobežníka susediaceho s výškou a dĺžka časti základne odrezanej výškou (BE), potom možno výšku rovnobežníka nájsť aj pomocou Pytagorovej vety. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, odkiaľ definujeme:

h = | ED | =? (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2),

tie. výška rovnobežníka sa rovná druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami dĺžky susednej uhlopriečky a odrezanej výšky (a uhlopriečky) časti podstavy.

Napríklad, ak je dĺžka priľahlej strany 5 cm a dĺžka odrezanej časti základne je 4 cm, potom dĺžka výšky bude:

h = 5 (5^2-4^2) = 3 (cm).

Výška mnohouholníka je úsečka priamky kolmá na jednu zo strán obrázku, ktorá ho spája s vrcholom protiľahlého rohu. V plochom konvexnom obrazci je niekoľko takýchto segmentov a ich dĺžky nie sú rovnaké, ak má aspoň jedna zo strán mnohouholníka inú veľkosť. Preto je v úlohách z kurzu geometrie niekedy potrebné určiť dĺžku väčšej výšky, napríklad trojuholníka alebo rovnobežníka.

Inštrukcie

Určte, ktorá z výšok mnohouholníka má mať najväčšiu dĺžku. V trojuholníku ide o segment klesnutý na najkratšiu stranu, takže ak sú v počiatočných podmienkach uvedené rozmery všetkých troch strán, nie je potrebné hádať.

Ak je v podmienkach okrem dĺžky najkratšej zo strán trojuholníka (a) uvedená aj plocha (S) obrazca, vzorec na výpočet najväčšej z výšok (H?) bude celkom jednoduché. Zdvojnásobte plochu a vydeľte výslednú hodnotu dĺžkou krátkej strany - to bude požadovaná výška: H? = 2 * S / a.

Bez toho, aby ste poznali plochu, ale mali dĺžky všetkých strán trojuholníka (a, b a c), môžete nájsť aj najdlhšiu z jeho výšok, ale bude tam oveľa viac matematických operácií. Začnite výpočtom pomocnej veličiny - polobvodu (p). Za týmto účelom pridajte dĺžky všetkých strán a rozdeľte výsledok na polovicu: p = (a + b + c) / 2.

Vynásobte semiperimeter trikrát rozdielom medzi ním a každou stranou: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Z výslednej hodnoty extrahujte druhú odmocninu? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) a nečudujte sa - na nájdenie plochy trojuholníka ste použili Heronov vzorec. Na určenie dĺžky najväčšej výšky zostáva nahradiť plochu vo vzorci z druhého kroku výsledným výrazom: H? = 2 *? (P* (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Veľká výška rovnobežníka (H?) sa vypočíta ešte jednoduchšie, ak je známa plocha tohto obrázku (S) a dĺžka jeho krátkej strany (a). Vydeľte prvú druhou a dostanete požadovaný výsledok: H? = S/a.

Ak poznáte hodnotu uhla (?) V niektorom z vrcholov rovnobežníka, ako aj dĺžky strán (a a b) zvierajúcich tento uhol, nebude veľmi ťažké nájsť najväčšiu z výšok . Za týmto účelom vynásobte hodnotu dlhej strany sínusom známeho uhla a výsledok vydeľte dĺžkou krátkej strany: H? = b * hriech (?) / a.

V ktorých sú protiľahlé strany rovnobežné. Ak má rovnobežník všetky uhly pravé, potom sa takýto rovnobežník nazýva obdĺžnik a obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami sa nazýva štvorec.

Všetky paralelogramy majú nasledujúce vlastnosti:

• opačné strany sú rovnaké:

  AB = CD a pred Kr = DA

• opačné uhly sú rovnaké:

  ∠ABC = ∠CDA a ∠ DAB = ∠BCD

• súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180 °:

  ∠ABC + ∠BCD= 180 °C
  ∠BCD + ∠CDA= 180 °C
  ∠CDA + ∠DAB= 180 °C
  ∠DAB + ∠ABC= 180 °C

• v priesečníku sú uhlopriečky rozdelené na polovicu:

  AO = OC a BO = OD

• každá uhlopriečka rozdeľuje rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky:

  Δ ABC = Δ CDA a A ABD = Δ BCD

• priesečník uhlopriečok je stredom symetrie rovnobežníka:

  Bod O je stredom symetrie.

Výška

Spodná strana rovnobežníka sa nazýva základ a kolmica spadnutá na základňu z akéhokoľvek bodu na opačnej strane je výška.

AD je základňa rovnobežníka, h- výška.

Výška vyjadruje vzdialenosť medzi protiľahlými stranami, takže definícia výšky môže byť formulovaná aj takto: výška rovnobežníka je kolmica spadnutá z ľubovoľného bodu na jednej strane na opačnú stranu.

Námestie

Ak chcete zmerať plochu rovnobežníka, môžete ho znázorniť ako obdĺžnik. Zvážte rovnobežník A B C D:

Vybudované výšky BE a CF vytvorte obdĺžnik EBCF a dva trojuholníky: Δ ABE a A DCF... Paralelogram A B C D pozostáva zo štvoruholníka EBCD a trojuholník ABE, obdĺžnik EBCF pozostáva z rovnakého štvoruholníka a trojuholníka DCF... Trojuholníky ABE a DCF sú rovnaké (podľa štvrtého kritéria rovnosti pravouhlých trojuholníkov), čo znamená, že plochy obdĺžnika s rovnobežníkom sú rovnaké, pretože sa skladajú z rovnakých častí.

Takže rovnobežník môže byť reprezentovaný ako obdĺžnik s rovnakou základňou a výškou. A keďže sa dĺžky základne a výška vynásobia, aby sa našla plocha obdĺžnika, znamená to, že na nájdenie plochy rovnobežníka musíte urobiť to isté:

námestie A B C D = AD · BE

Z tohto príkladu môžeme vyvodiť záver plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho základne podľa jeho výšky... Všeobecný vzorec:

S = ach

kde S je oblasť rovnobežníka, a- základňa, h- výška.

Nájdite uhlopriečku rovnobežníka nakreslenú z vrcholu tupého uhla a uhly, ktoré zviera so stranami rovnobežníka. Pomocou kosínusovej vety môžete nájsť osy rovnobežníka naprieč stranami. Ak poznáte hodnotu uhla (α) v ktoromkoľvek z vrcholov rovnobežníka, ako aj dĺžky strán (a a b), ktoré tvoria tento uhol, nebude veľmi ťažké nájsť najväčší z výšky.

Ak podmienky udávajú okrem dĺžky najkratšej zo strán trojuholníka (a) aj plochu (S) obrazca, vzorec na výpočet väčšej z výšok (Hₐ) bude celkom jednoduchý. Bez toho, aby ste poznali plochu, ale mali dĺžky všetkých strán trojuholníka (a, b a c), môžete nájsť aj najdlhšiu z jeho výšok, ale bude tam oveľa viac matematických operácií. Začnite výpočtom pomocnej veličiny - polobvodu (p). Za týmto účelom pridajte dĺžky všetkých strán a rozdeľte výsledok na polovicu: p = (a + b + c) / 2.

Z výslednej hodnoty extrahujte druhú odmocninu √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) a nečudujte sa - na zistenie obsahu trojuholníka ste použili Heronov vzorec. Na určenie dĺžky najväčšej výšky zostáva nahradiť plochu vo vzorci z druhého kroku výsledným výrazom: Hₐ = 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Poznámka. Toto je časť lekcie s úlohami z geometrie (časť rovnobežník). Pozri tiež: Vlastnosti a oblasť paralelogramu. Potom, keď poznáme jeden z uhlov, v závislosti od toho, aká výška bola zadaná, odpočítame ho od 180 stupňov, aby sme našli druhý. Pomocou rovnakej kosínusovej vety môžete nájsť uhol medzi uhlopriečkami v jednom zo štyroch trojuholníkov, ktoré tvoria, pričom strany sú polovicou uhlopriečok a jednou zo strán rovnobežníka.

Máme tu veľa ľudí, ktorí vám pomôžu.Aj moja posledná otázka bola vyriešená za menej ako 10 minút:D Každopádne, môžete jednoducho ísť a skúsiť pridať svoju otázku. Rovnobežník je typ štvoruholníka a výška je kolmica z vrcholu na opačnú stranu.

Vynásobte semiperimeter trikrát rozdielom medzi ním a každou stranou: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Za týmto účelom vynásobte hodnotu dlhej strany sínusom známeho uhla a výsledok vydeľte dĺžkou krátkej strany: Hₐ = b * sin (α) / a. Výsledky USE závisia nielen od vedomostí a zručností absolventa: dôležité je aj správne vyplniť ...

Bezplatná pomoc s domácimi úlohami

Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Musíte sa naučiť správne a ÚPLNE formulovať otázku. Je potrebné úplne napísať stav problému. Trojuholník sa považuje za rovnoramenný, pretože z vlastností osi a súčtu uhlov v trojuholníku vyplýva, že uhly v základni takéhoto trojuholníka sú zhodné. Prosím, pomôžte mi vyriešiť jeden problém.

Preto je v úlohách z kurzu geometrie niekedy potrebné určiť dĺžku väčšej výšky, napríklad trojuholníka alebo rovnobežníka. Obvod rovnobežníka, ak poznáme strany, vyzerá ako ich dvojnásobný súčet a plocha je súčinom výšky a strany, o ktorú je znížený.

Rovnobežník je štvoruholník s opačnými a párovo rovnobežnými stranami.

Výška rovnobežníka je čiara, ktorá je kolmá na jednu stranu rovnobežníka a spája túto stranu s opačným uhlom.

Aby sme zistili, ako zistiť dĺžku výšky rovnobežníka, obráťme sa na vzorce. Výška sa najčastejšie označuje písmenom h.

Spôsob hľadania výšky závisí od hodnôt, ktoré sú nám známe v úlohe. Zvážme rôzne metódy s konkrétnymi príkladmi.

Príklad 1

Udáva sa plocha (S) a dĺžka základne (a).

• Vzorec: h = S / a

Príklad: Plocha rovnobežníka je 100 cm 2, základňa, ku ktorej sa kreslí výška, je 20 cm. Nájdite výšku.

• h = 100/20 = 5
• Odpoveď: 5 cm

Príklad 2

Udáva sa dĺžka strany rovnobežníka susediacej s výškou (b) a uhol opačný k samotnej výške (a).

• Vzorec: h = b * sin a

Príklad: Označme náš rovnobežník písmenami ABCD, výška BE prechádza z uhla ABC na stranu AD. Dĺžka strany AB je 20 cm, uhol BAD je 30 stupňov. Nájdite výšku.

• h = 20 * hriech 30 ° = 20 * 0,5 = 10

Odpoveď: 10 cm

Príklad 3

Uvádza sa dĺžka strany rovnobežníka susediacej s výškou (n) a dĺžka strany odrezanej od základne (m).

• h = odmocnina z (n 2 - m 2)

Príklad: v rovnobežníku ABCD prebieha výška BE od uhla ABC po stranu AD. Dĺžka AB je 5 cm, dĺžka AE je 3 cm. Nájdite výšku.

• h = odmocnina z (AD 2 - AB 2)
• h = odmocnina z (5 2 -3 2) = 4
• Odpoveď: 4 cm

Príklad 4

Udáva sa dĺžka uhlopriečky siahajúcej z rovnakého uhla ako výška (d) a dĺžka strany odrezanej od základne (m).

• h = odmocnina z (d 2 - m 2)

Príklad: v rovnobežníku ABCD prebieha výška BE od uhla ABC po stranu AD. Uhlopriečka BD je 5 cm, dĺžka ED = 4 cm.

• h = odmocnina z (BD 2 - ED 2)
• h = odmocnina z (5 2 - 4 2) = 3
• Odpoveď: 3 cm

Ak je v úlohe potrebné nájsť veľkú výšku rovnobežníka, potom je potrebné vypočítať dĺžky oboch výšok a vybrať najväčšiu hodnotu.

Ako určiť výšku rovnobežníka so znalosťou niektorých jeho ďalších parametrov? Ako je plocha, dĺžky uhlopriečok a strán, veľkosť uhlov.

Budete potrebovať

• kalkulačka

Inštrukcie

1. V problémoch v geometrii alebo skôr v planimetrii a trigonometrii je niekedy potrebné nájsť výšku rovnobežníka na základe daných hodnôt strán, uhlov, uhlopriečok atď. Plocha rovnobežníka, ako je známe, sa rovná súčinu výšky a dĺžky základne: S = a * h, kde: S je plocha rovnobežníka, a je dĺžka základňa rovnobežníka, h je dĺžka výšky zníženej na stranu a, (alebo jej pokračovanie). že výška rovnobežníka sa bude rovnať ploche delenej dĺžkou základne: h = S / a Pre daný príklad: plocha rovnobežníka je 50 cm štvorcových, základňa je 10 cm; nájdite: výšku rovnobežníka h = 50/10 = 5 (cm).

2. Pretože výška rovnobežníka, časť základne a strana priľahlá k základni tvoria pravouhlý trojuholník, je dovolené použiť niektoré pomery strán a uhly pravouhlých trojuholníkov na zistenie výšky rovnobežníka. A ( BAD), potom pri výpočte výšky rovnobežníka musíte vynásobiť dĺžku priľahlej strany sínusom opačného uhla: h = d * sinA, povedzme, ak d = 10 cm a uhol A = 30 stupňov potom H = 10* sin (30?) = 10* 1/2 = 5 (cm).

3. Ak je v podmienkach úlohy daná dĺžka strany rovnobežníka susediacej s výškou h (DE) a dĺžka časti podstavy odrezanej výškou (AE), potom výška rovnobežníka môže možno nájsť pomocou Pytagorovej vety: | AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, odkiaľ definujeme: h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2), tj výška rovnobežníka sa rovná druhej odmocnine rozdielu medzi druhou mocninou dĺžky priľahlej strany a odrezanej výšky časti podstavy. Povedzme, že ak je dĺžka priľahlej strany 5 cm, a dĺžka odrezanej časti základne je 3 cm, potom dĺžka výšky bude: h =? (5 ^ 2- 3 ^ 2) = 4 (cm).

4. Ak je dĺžka uhlopriečky (DB) rovnobežníka susediacej s výškou a dĺžka časti základne (BE) odrezanej výškou slávne, potom možno výšku rovnobežníka nájsť aj pomocou Pytagorovej vety. : | BE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | BD | ^ 2, odkiaľ definujeme: h = | ED | =? (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2), t.j. výška rovnobežníka sa rovná druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami dĺžky susednej uhlopriečky a odrezanej výšky (a uhlopriečky) časti podstavy. Povedzme, že ak dĺžka susednej strana je 5 cm a dĺžka odrezanej časti základne je 4 cm, potom dĺžka výšky bude: h =? ( 5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

Výška mnohouholníka je priamka úsečka kolmá na jednu zo strán obrázku, ktorá ho spája s vrcholom protiľahlého rohu. Existuje niekoľko takýchto segmentov v plochom konvexnom obrazci a ich dĺžky nie sú identické, ak aspoň jedna zo strán mnohouholníka má dobrú veľkosť v porovnaní s ostatnými. V dôsledku toho je v úlohách z priebehu geometrie niekedy potrebné určiť dĺžku väčšej výšky, napríklad trojuholníka alebo rovnobežníka.

Inštrukcie

1. Určte, ktorá z výšok mnohouholníka má mať najväčšiu dĺžku. V trojuholníku je to segment znížený na najkratšiu stranu, takže ak počiatočné podmienky udávajú veľkosti všetkých 3 strán, nemusíte hádať.

2. Ak podmienky udávajú okrem dĺžky najkratšej zo strán trojuholníka (a) aj plochu (S) obrazca, vzorec na výpočet väčšej z výšok (H?) bude dosť primitívny. Zdvojnásobte plochu a vydeľte výslednú hodnotu dĺžkou krátkej strany - to bude požadovaná výška: H? = 2 * S / a.

3. Bez znalosti oblasti, ale s dĺžkami všetkých strán trojuholníka (a, b a c), je tiež dovolené nájsť najdlhšiu z jeho výšok, avšak matematické operácie budú oveľa enormnejšie. Začnite výpočtom pomocnej veličiny - polobvodu (p). Za týmto účelom pridajte dĺžky všetkých strán a rozdeľte celkovú sumu na polovicu: p = (a + b + c) / 2.

4. Vynásobte semiperimeter trikrát rozdielom medzi ním a ktoroukoľvek zo strán: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Z výslednej hodnoty extrahujte druhú odmocninu? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) a nečudujte sa - na nájdenie oblasti trojuholníka ste použili Heronov vzorec. Na určenie dĺžky najväčšej výšky zostáva nahradiť plochu vo vzorci z druhého kroku výsledným výrazom: H? = 2 *? (P* (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. Obrovská výška rovnobežníka (H?) Je ešte jednoduchšie vypočítať, ak je známa plocha tohto obrázku (S) a dĺžka jeho krátkej strany (a). Vydeľte prvú druhou a získajte požadovaný súčet: H? = S/a.

6. Ak poznáme hodnotu uhla (?) V niektorom z vrcholov rovnobežníka, ako aj dĺžky strán (a a b) zvierajúcich tento uhol, nebude ťažké nájsť ani najväčšiu z výšok. . Ak to chcete urobiť, vynásobte hodnotu dlhej strany sínusom známeho uhla a vydeľte súčet dĺžkou krátkej strany: H? = b * hriech (?) / a.

Podobné videá