Nakreslite kruh pomocou rovnice. Kruh na súradnicovej rovine

Funkcia zostavenia

Dávame do pozornosti službu na kreslenie funkčných diagramov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos... Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete ho zadať ručne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno s grafom, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.

Výhody mapovania online

• Vizuálne zobrazenie zadaných funkcií
• Vytváranie veľmi zložitých grafov
• Vytváranie grafov, ktoré sú dané implicitne (napríklad elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Možnosť ukladania grafov a získavania odkazu na ne, ktorý bude dostupný každému na internete
• Ovládanie mierky, farba čiary
• Možnosť vykresľovania grafov po bodoch, pomocou konštánt
• Súčasná konštrukcia viacerých grafov funkcií
• Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ (\ theta))

S nami je jednoduché zostaviť online grafy rôznej zložitosti. Stavba sa vykonáva okamžite. Služba je žiadaná na vyhľadávanie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov pre ich ďalší pohyb vo wordovom dokumente ako ilustrácie pri riešení problémov, na analýzu behaviorálnych vlastností funkčných grafov. Optimálnym prehliadačom na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Fungovanie nie je zaručené s inými prehliadačmi.

Ak umiestnite kružnicu s číslom jednotky na súradnicovú rovinu, potom je možné nájsť súradnice pre jej body. Číselný kruh je umiestnený tak, že jeho stred sa zhoduje s východiskovým bodom roviny, teda s bodom O (0; 0).

Zvyčajne sú na kruhu s číslom jednotky označené body zodpovedajúce od začiatku na kruhu

• štvrtiny - 0 alebo 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• polovice - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• tretiny štvrtín - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Na súradnicovej rovine s vyššie uvedeným umiestnením jednotkovej kružnice môžete nájsť súradnice zodpovedajúce týmto bodom kružnice.

Súradnice koncov štvrtí sa dajú veľmi ľahko nájsť. V bode 0 kruhu je súradnica x 1 a y je 0. Dá sa to označiť ako A (0) = A (1; 0).

Koniec prvého štvrťroka bude umiestnený na kladnej osi y. Preto B (π / 2) = B (0; 1).

Koniec druhej štvrtiny je na zápornej poloosi: C (π) = C (-1; 0).

Koniec tretej štvrtiny: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

Ale ako zistíte súradnice stredov štvrtí? Za týmto účelom vytvorte pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je segment od stredu kruhu (alebo začiatku) do stredu štvrťkruhu. Toto je polomer kruhu. Keďže kruh je jednotkový, prepona je 1. Ďalej sa z bodu kruhu nakreslí kolmica na ľubovoľnú os. Nech je to smerom k osi x. Vznikne pravouhlý trojuholník, ktorého dĺžka nôh je súradnicami x a y bodu kružnice.

Štvrťkruh je 90º. A pol štvrtiny je 45 stupňov. Pretože prepona je nakreslená do stredu štvrtiny, uhol medzi preponou a ramenom siahajúcim od začiatku je 45°. Ale súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180º. Preto je uhol medzi preponou a druhou nohou tiež 45º. Ukazuje sa rovnoramenný pravouhlý trojuholník.

Z Pytagorovej vety dostaneme rovnicu x 2 + y 2 = 1 2. Keďže x = y a 1 2 = 1, rovnica sa zjednoduší na x 2 + x 2 = 1. Ak ju vyriešime, dostaneme x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.

Súradnice bodu sú teda M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

V súradniciach stredových bodov ostatných štvrtí sa zmenia iba znamienka a moduly hodnôt zostanú rovnaké, pretože pravouhlý trojuholník bude iba prevrátený. Dostaneme:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Pri určovaní súradníc tretích častí štvrtín kruhu sa zostavuje aj pravouhlý trojuholník. Ak vezmeme bod π / 6 a nakreslíme kolmicu na os x, potom uhol medzi preponou a nohou ležiacou na osi x bude 30º. Je známe, že noha ležiaca oproti uhlu 30 stupňov sa rovná polovici prepony. Takže sme našli súradnicu y, ktorá sa rovná ½.

Keď poznáme dĺžky prepony a jednej z nôh, podľa Pytagorovej vety nájdeme ďalšiu nohu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Teda Ti (π / 6) = T1 (√3 / 2; ½).

Pre bod druhej tretiny prvej štvrtiny (π / 3) je lepšie nakresliť kolmicu na os na os y. Potom bude uhol na začiatku súradníc tiež 30º. Tu sa súradnica x bude rovnať ½ a y √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

Pre ostatné body v tretích štvrťrokoch sa znamienka a poradie hodnôt súradníc zmenia. Všetky body, ktoré sú bližšie k osi x, budú mať súradnicu x modulo √3 / 2. Tie body, ktoré sú bližšie k osi y, budú mať hodnotu y √3 / 2 v absolútnej hodnote.
T3 ((2π) / 3) = T3 (-½; √3 / 2)
T4 ((5π) / 6) = T4 (-√3 / 2; ½)
T5 ((7π) / 6) = T5 (-√3 / 2; -½)
T6 ((4π) / 3) = T6 (-½; -√3 / 2)
T7 ((5π) / 3) = T7 (½; -√3 / 2)
T8 ((11π) / 6) = T8 (√3 / 2; -½)

Analytická geometria poskytuje jednotné techniky na riešenie geometrických problémov. Na tento účel sa všetky špecifikované a požadované body a čiary odkazujú na jeden súradnicový systém.

V súradnicovom systéme možno každý bod charakterizovať svojimi súradnicami a každú priamku rovnicou s dvoma neznámymi, ktorej grafom je táto priamka. Geometrický problém je teda zredukovaný na algebraický, kde sú všetky výpočtové techniky dobre vyvinuté.

Kruh je miesto bodov s jednou špecifickou vlastnosťou (každý bod kruhu je rovnako vzdialený od jedného bodu, ktorý sa nazýva stred). Rovnica kruhu musí odrážať túto vlastnosť, spĺňať túto podmienku.

Geometrický výklad rovnice kruhu je priamka kruhu.

Ak umiestnite kruh do súradnicového systému, potom všetky body kruhu spĺňajú jednu podmienku - vzdialenosť od nich k stredu kruhu musí byť rovnaká a rovná kruhu.

Kruh so stredom v bode A a polomer R dať do súradnicovej roviny.

Ak sú súradnice stred (a; b) a súradnice ľubovoľného bodu kruhu (x; y) , potom rovnica kruhu má tvar:

Ak sa štvorec polomeru kruhu rovná súčtu štvorcov rozdielov zodpovedajúcich súradníc ktoréhokoľvek bodu kruhu a jeho stredu, potom je táto rovnica rovnicou kruhu v plochom súradnicovom systéme.

Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatočným bodom, potom sa druhá mocnina polomeru kruhu rovná súčtu druhých mocnín súradníc ľubovoľného bodu na kruhu. V tomto prípade má rovnica kruhu tvar:

V dôsledku toho je každý geometrický útvar ako ťažisko bodov určený rovnicou spájajúcou súradnice jeho bodov. Naopak, rovnica spájajúca súradnice NS a pri , definujte priamku ako ťažisko bodov roviny, ktorej súradnice vyhovujú danej rovnici.

Príklady riešenia úloh o rovnici kruhu

Úloha. Prirovnajte daný kruh

Prirovnajte kružnicu so stredom O (2; -3) a polomerom 4.

Riešenie.
Obráťme sa na vzorec pre rovnicu kruhu:
R2 = (x-a)2 + (y-b) 2

Zapojme hodnoty do vzorca.
Polomer kruhu R = 4
Súradnice stredu kruhu (podľa potreby)
a = 2
b = -3

Dostaneme:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
alebo
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Úloha. Patrí bod do rovnice kruhu

Skontrolujte, či bod patrí A (2; 3) kruhová rovnica (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Riešenie.
Ak bod patrí do kruhu, potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu kruhu.
Aby sme skontrolovali, či bod s danými súradnicami patrí do kruhu, dosadíme súradnice bodu do rovnice daného kruhu.

V rovnici ( X - 2) 2 + (r + 3) 2 = 16
dosadíme podľa podmienky súradnice bodu A (2; 3), tzn
x = 2
y = 3

Overme si pravdivosť získanej rovnosti
(X - 2) 2 + (r + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 rovnosť je nesprávna

Takže daný bod Nepatrí daná rovnica kruhu.

Nech má kruh polomer , a jeho stred je v bode
... Bod
leží na kružnici práve vtedy, ak modul vektora
rovná sa , teda. Posledná rovnosť platí vtedy a len vtedy

Rovnica (1) je požadovaná rovnica kruhu.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom, kolmá na daný vektor

kolmo na vektor
.

Bod

a
kolmý. vektory
a
sú kolmé vtedy a len vtedy, ak ich bodový súčin je nula, tj
... Pomocou vzorca na výpočet skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami zapíšeme rovnicu požadovanej priamky v tvare

Pozrime sa na príklad. Nájdite rovnicu prechádzajúcej priamky

stred segmentu AB je kolmý na tento segment, ak sú súradnice bodov v tomto poradí rovné A (1; 6), B (5; 4).

Budeme argumentovať nasledovne. Aby sme našli rovnicu priamky, potrebujeme poznať bod, ktorým táto priamka prechádza, a vektor kolmý na túto priamku. Vektor kolmý na danú priamku bude vektor, keďže podľa zadania úlohy je priamka kolmá na úsečku AB. Bod
definovať z podmienky, že priamka prechádza stredom AB. Máme. Teda
a rovnica má tvar.

Ujasnime si otázku, či táto priamka prechádza bodom M (7; 3).

Máme teda, táto priamka neprechádza zadaným bodom.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom rovnobežne s daným vektorom

Nechajte čiaru prechádzať cez bod
paralelne s vektorom
.

Bod
leží na priamke práve vtedy, ak vektory
a
kolineárne. vektory
a
kolineárne vtedy a len vtedy, ak sú ich súradnice proporcionálne, tj

(3)

Výsledná rovnica je rovnicou požadovanej priamky.

Rovnica (3) môže byť reprezentovaná ako

, kde nadobúda akékoľvek hodnoty
.

Preto môžeme písať

, kde
(4)

Sústavu rovníc (4) nazývame parametrické rovnice priamky.

Pozrime sa na príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi. Rovnicu priamky môžeme zostrojiť, ak poznáme bod a vektor rovnobežný alebo kolmý naň. K dispozícii sú dva body. Ale ak dva body ležia na priamke, potom vektor, ktorý ich spája, bude rovnobežný s touto priamkou. Preto použijeme rovnicu (3) ako vektor
vektor
... Dostaneme

(5)

Rovnica (5) sa nazýva rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Všeobecná rovnica priamky

Definícia. Všeobecná rovnica priamky prvého rádu na rovine je rovnicou tvaru
, kde
.

Veta. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná vo forme rovnice priamky prvého rádu a každá rovnica priamky prvého rádu je rovnicou nejakej priamky v rovine.

Prvá časť tejto vety sa dá ľahko dokázať. Na ľubovoľnej priamke môžete určiť nejaký bod
vektor naň kolmý
... Potom podľa (2) rovnica takejto priamky má tvar. Označujeme
... Potom rovnica nadobudne tvar
.

Teraz prejdeme k druhej časti vety. Nech existuje rovnica
, kde
... Pre istotu predpokladáme
.

Prepíšme rovnicu takto:

;

Zvážte bod v rovine
, kde
... Potom má výsledná rovnica tvar a je rovnicou priamky prechádzajúcej bodom
kolmo na vektor
... Veta je dokázaná.

Počas dokazovania vety sme dokázali

Vyhlásenie. Ak existuje priamka rovnica tvaru
, potom vektor
kolmo na túto čiaru.

Rovnica formulára
sa nazýva všeobecná rovnica priamky v rovine.

Nech je rovná čiara
a bod
... Je potrebné určiť vzdialenosť od určeného bodu k priamke.

Zvážte svojvoľný bod
na priamke. Máme
... Vzdialenosť z bodu
na priamku sa rovná modulu vektorového premietania
na vektor
kolmo na túto čiaru. Máme

,

transformácia, dostaneme vzorec:

Nech sú dané dve priame čiary dané všeobecnými rovnicami

,
... Potom vektory

sú kolmé na prvú a druhú priamku. Injekcia
medzi priamkami sa rovná uhlu medzi vektormi
,
.

Potom vzorec na určenie uhla medzi priamkami je:

.

Podmienkou kolmosti priamych čiar je:

.

Čiary sú rovnobežné alebo sa zhodujú práve vtedy, ak sú vektory

kolineárne. V čom podmienka zhody priamok má tvar:
,

a podmienka neprítomnosti križovatky je napísaná takto:
... Posledné dve podmienky dokážte sami.

Preskúmajme povahu správania sa priamky podľa jej všeobecnej rovnice.

Nech je daná všeobecná rovnica priamky
... Ak
, potom priamka prechádza počiatkom.

Zvážte prípad, keď žiadny z koeficientov nie je rovný nule
... Rovnicu prepíšeme do tvaru:

,

,

Kde
... Poďme zistiť význam parametrov
... Nájdite priesečníky priamky so súradnicovými osami. o
máme
, a o
máme
... To jest
sú segmenty, ktoré sú na súradnicových osiach odrezané priamkou. Preto rovnica
sa nazýva rovnica priamky v segmentoch.

Kedy
máme

... Kedy
máme
... To znamená, že priamka bude rovnobežná s osou .

Pripomeň si to sklon priamky nazývaná dotyčnica uhla sklonu tejto priamky k osi
... Nechajte čiaru odrezať na osi oddiele a má sklon ... Nechajte bod
leží s týmto

Potom
==... A rovnica priamky bude napísaná vo forme

.

Nechajte čiaru prechádzať cez bod
a má sklon ... Nechajte bod
leží na tejto priamke.

Potom =
.

Výsledná rovnica sa nazýva rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom s daným sklonom.

Dané dva riadky
,
... Označujeme
- uhol medzi nimi. Nechať byť ,uhly sklonu k osi X zodpovedajúcich priamok

Potom
=
,
.

Potom má podmienka rovnobežnosti priamok tvar
a podmienka kolmosti

Na záver zvážime dva problémy.

Úloha ... Vrcholy trojuholníka ABC majú súradnice: A (4; 2), B (10; 10), C (20; 14).

Nájdite: a) rovnicu a dĺžku mediánu nakreslenú z vrcholu A;

b) rovnica a dĺžka výšky nakreslená od vrcholu A;

c) rovnica osi vytiahnutá z vrcholu A;

Definujme rovnicu mediánu AM.

Bod М () je stredom segmentu BC.

Potom , ... V dôsledku toho má bod M súradnice M (15; 17). Mediánová rovnica v jazyku analytickej geometrie je rovnica priamky prechádzajúcej bodom A (4; 2) rovnobežne s vektorom = (11; 15). Potom má rovnica mediánu tvar. Stredná dĺžka AM = .

Výšková rovnica AS je rovnica priamky prechádzajúcej bodom A (4; 2) kolmo na vektor = (10; 4). Výšková rovnica je potom 10 (x-4) +4 (y-2) = 0,5x + 2y-24 = 0.

Výška dĺžky je vzdialenosť od bodu A (4; 2) k čiare BC. Táto priamka prechádza bodom B (10; 10) rovnobežne s vektorom = (10; 4). Jeho rovnica má tvar , 2x-5r + 30 = 0. Vzdialenosť AS od bodu A (4; 2) k priamke BC sa teda rovná AS = .

Na určenie rovnice osy nájdeme vektor rovnobežný s touto priamkou. Využijeme na to vlastnosť kosoštvorcovej uhlopriečky. Ak z bodu A odložíme jednotkové vektory rovnako smerujúce od vektorov, potom vektor rovný ich súčtu bude rovnobežný s osou. Potom máme = +.

={6;8}, , ={16,12}, .

Potom = Vektor = (1; 1), kolineárny k danému, môže slúžiť ako smerový vektor požadovanej priamky. Potom rovnica požadovanej priamky videla alebo x-y-2 = 0.

Úloha. Rieka tečie v priamej línii prechádzajúcej bodmi A (4; 3) a B (20; 11). Červená čiapočka býva v bode C (4; 8) a jej stará mama v bode D (13; 20). Každé ráno si Červená čiapočka vezme z domu prázdne vedro, ide k rieke, naberie vodu a odnesie babke. Nájdite najkratšiu cestu pre Červenú čiapočku.

Nájdeme bod E, symetrický k babke, relatívne k rieke.

Aby sme to urobili, najprv nájdeme rovnicu priamky, pozdĺž ktorej rieka tečie. Túto rovnicu možno považovať za rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (4; 3) rovnobežne s vektorom. Potom rovnica priamky AB má tvar.

Ďalej nájdeme rovnicu priamky DE prechádzajúcej bodom D kolmým na AB. Možno ju považovať za rovnicu priamky prechádzajúcej bodom D, kolmým na vektor
... Máme

Teraz nájdeme bod S - priemet bodu D na priamku AB, ako priesečník priamok AB a DE. Máme systém rovníc

.

Preto má bod S súradnice S (18; 10).

Pretože S je stred segmentu DE, potom.

Podobne.

V dôsledku toho má bod E súradnice E (23; 0).

Nájdite rovnicu priamky CE, pričom poznáme súradnice dvoch bodov tejto priamky

Bod M nájdeme ako priesečník priamok AB a CE.

Máme systém rovníc

.

V dôsledku toho má bod M súradnice
.

Téma 2. Pojem rovnica povrchu v priestore. Sférická rovnica. Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom je kolmá na daný vektor. Všeobecná rovnica roviny a jej štúdium Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín. Vzdialenosť od bodu k rovine. Koncept priamkovej rovnice. Rovná čiara v priestore. Kanonické a parametrické rovnice priamky v priestore. Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny.

Najprv uvedieme definíciu pojmu rovnica povrchu v priestore.

Pustite do priestoru
daný nejaký povrch ... Rovnica
sa nazýva rovnica povrchu ak sú splnené dve podmienky:

1.za akýkoľvek bod
so súradnicami
ležiaci na povrchu je spokojný
, to znamená, že jeho súradnice spĺňajú rovnicu povrchu;

2.akýkoľvek bod
ktorých súradnice vyhovujú rovnici
, leží na linke.