Formulujte hlavnú vlastnosť umiestnenia bodov na priamke. Priama čiara v rovine – požadované informácie
Rovná čiara v rovine - potrebné informácie.
V tomto článku sa budeme zaoberať jedným z primárnych konceptov geometrie - konceptom priamky v rovine. Najprv si definujme základné pojmy a označenia. Ďalej budeme diskutovať o relatívnej polohe priamky a bodu, ako aj dvoch priamok v rovine a uvedieme potrebné axiómy. Na záver zvážime spôsoby definovania priamky v rovine a poskytneme grafické ilustrácie.
Navigácia na stránke.
- Priama čiara v rovine je pojem.
- Vzájomné usporiadanie priamky a bodu.
- Vzájomné usporiadanie priamych čiar v rovine.
- Metódy určenia priamky na rovine.
Priama čiara v rovine je pojem.
Pred predstavením pojmu priamka v rovine by ste mali jasne pochopiť, čo je rovina. Koncept lietadla umožňuje získať napríklad rovnú plochu stola alebo stenu domu. Treba si však uvedomiť, že rozmery stola sú obmedzené a rovina siaha za tieto hranice do nekonečna (akoby sme mali ľubovoľne veľký stôl).
Ak vezmete dobre naostrenú ceruzku a dotknete sa jej tyčou povrchu "stola", získame obraz bodu. Takto sa dostaneme predstava bodu na rovine.
Teraz môžete ísť do pojem priamka na rovine.
Na povrch stola (na rovinu) položíme list čistého papiera. Aby sme zobrazili rovnú čiaru, musíme si vziať pravítko a nakresliť čiaru ceruzkou tak ďaleko, ako to rozmery použitého pravítka a listu papiera dovoľujú. Treba si uvedomiť, že týmto spôsobom dostaneme len časť priamky. Celú priamku, tiahnucu sa do nekonečna, si môžeme len predstaviť.
Späť na začiatok stránky
Vzájomné usporiadanie priamky a bodu.
Mali by sme začať s axiómou: na každej priamke a v každej rovine sú body.
Je obvyklé označovať body veľkými latinskými písmenami, napríklad body A a F... Rovné čiary sú zase označené malými latinskými písmenami, napríklad rovné a a d.
možné dve možnosti pre vzájomnú polohu priamky a bodu v rovine: buď bod leží na priamke (v tomto prípade tiež hovoria, že bodom prechádza priamka), alebo bod neleží na priamke (tiež hovoria, že bod nepatrí do priamky čiara alebo priamka neprechádza bodom).
Na označenie, že bod patrí k určitej priamke, sa používa symbol "". Napríklad, ak bod A leží na priamke a, potom môžeš písať. Ak bod A nepatrí medzi priame a potom napíš.
Nasledujúce tvrdenie je pravdivé: jedna priamka prechádza ľubovoľnými dvoma bodmi.
Toto tvrdenie je axiómom a treba ho brať ako fakt. Okrem toho je to celkom zrejmé: označíme dva body na papieri, aplikujeme na ne pravítko a nakreslíme priamku. Priamka prechádzajúca cez dva určené body (napríklad cez body A a V), možno označiť týmito dvoma písmenami (v našom prípade priamkou AB alebo VA).
Malo by byť zrejmé, že nekonečne veľa rôznych bodov leží na priamke definovanej v rovine a všetky tieto body ležia v rovnakej rovine. Toto tvrdenie je založené na axióme: ak dva body priamky ležia v určitej rovine, potom všetky body tejto priamky ležia v tejto rovine.
Množina všetkých bodov nachádzajúcich sa medzi dvoma bodmi danými na priamke spolu s týmito bodmi sa nazýva úsečka alebo jednoducho segment... Body, ktoré vymedzujú čiaru, sa nazývajú konce čiar. Úsečka je označená dvoma písmenami zodpovedajúcimi bodom koncov úsečky. Napríklad nech body A a V sú konce segmentu, potom možno tento segment označiť AB alebo VA... Upozorňujeme, že toto označenie úsečky sa zhoduje s označením priamky. Aby nedošlo k zámene, odporúčame pridať k označeniu slovo „segment“ alebo „rovný“.
Na krátke zaznamenanie príslušnosti a nepatričnosti bodu k určitému segmentu sa používajú všetky rovnaké symboly a. Ak chcete ukázať, že určitý segment leží alebo neleží na priamke, použite symboly, resp. Napríklad, ak segment AB patrí k priamemu a, možno stručne napísať.
Malo by sa tiež zaoberať prípadom, keď tri rôzne body patria do rovnakej priamky. V tomto prípade leží iba jeden bod medzi ostatnými dvoma. Toto tvrdenie je ďalšou axiómou. Nechajte body A, V a S ležať na jednej priamke a bod V leží medzi bodmi A a S... Potom môžeme povedať, že body A a S sú na opačných stranách bodu V... Môžete tiež povedať, že body V a S lež na jednej strane a potom body A a body A a V ležať na jednej strane bodu S.
Pre úplnosť si všimnite, že ktorýkoľvek bod na priamke rozdeľuje túto priamku na dve časti – dve lúč... Pre tento prípad je daná axióma: ľubovoľný bod O príslušnosť k priamke rozdeľuje túto priamku na dva lúče a ľubovoľné dva body jedného lúča ležia na tej istej strane bodu O a akékoľvek dva body rôznych lúčov sú na opačných stranách bodu O.
Späť na začiatok stránky
Táto publikácia pomôže systematizovať predtým získané vedomosti, ako aj pripraviť sa na skúšku alebo test a úspešne ich absolvovať.
2. Podmienka nájdenia troch bodov na jednej priamke. Rovnica priamky. Vzájomné usporiadanie bodov a priamka. Hromada rovných čiar. Vzdialenosť od bodu k čiare
1. Nech sú dané tri body A 1 (NS 1 , pri 1), A 2 (NS 2 , pri 2), A 3 (NS 3 , pri 3), potom podmienkou ich nájdenia na jednej priamke:
buď ( NS 2 – NS 1) (pri 3 – pri 1) – (NS 3 – X 1) (pri 2 – pri 1) = 0.
2. Nech sú dané dva body A 1 (NS 1 , pri 1), A 2 (NS 2 , pri 2), potom y zarovnanie priamky prechádzajúcej cez tieto dva body:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (x - x 1)(pri 2 – pri 1) = 0 alebo ( x - x 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (pri 2 – pri 1).
3. Nech je tam pointa M (NS 1 , pri 1) a nejaká priamka L reprezentovaný rovnicou pri = Oh + s. Rovnica priamky prechádzajúcej rovnobežne s danou priamkou L cez tento bod M:
y - y 1 = a(x - x 1).
Ak je rovný L daný rovnicou Oh + Vábiť + S M, je opísaná rovnicou A(x - x 1) + V(y - y 1) = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej kolmo na danú priamku L cez tento bod M:
y - y 1 = –(x - x 1) / a
a(y - y 1) = NS 1 – NS.
Ak je rovný L daný rovnicou Oh + Vábiť + S= 0, potom priamka rovnobežná s ňou prechádzajúca bodom M(NS 1 , pri 1) je opísaná rovnicou A (y - y 1) – V(x - x 1) = 0.
4. Nech sú dané dva body A 1 (NS 1 , pri 1), A 2 (NS 2 , pri 2) a priamka daná rovnicou Oh + Vábiť + C = 0. Relatívna poloha bodov vzhľadom na túto priamku:
1) bodov A 1 , A 2 ležia na jednej strane tejto priamky, ak výrazy ( Oh 1 + Vábiť 1 + S) a ( Oh 2 + Vábiť 2 + S) majú rovnaké znaky;
2) body A 1 ,A 2 ležia na opačných stranách tejto priamky, ak výrazy ( Oh 1 + Vábiť 1 + S) a ( Oh 2 + Vábiť 2 + S) majú rôzne znaky;
3) jeden alebo oba body A 1 , A 2 leží na tomto riadku, ak jeden alebo obidva výrazy ( Oh 1 + + Vábiť 1 + S) a ( Oh 2 + Vábiť 2 + S) vezmite nulu.
5. Centrálny lúč Je množina priamych čiar prechádzajúcich jedným bodom M (NS 1 , pri 1) tzv stred lúča... Každá z priamych čiar lúča je opísaná rovnicou lúča y - y 1 = Komu(x - x 1) (parameter lúča Komu pre každý riadok vlastný).
Všetky priame čiary lúča možno znázorniť rovnicou: l(y - y 1) = m(x - x 1), kde l, m- ľubovoľné čísla, ktoré sa súčasne nerovnajú nule.
Ak dva priame lúče L 1 a L 2 majú tvar ( A 1 NS + V 1 pri+ S 1) = 0 a ( A 2 NS+ V 2 pri+ S 2) = 0, potom rovnica lúča: m 1 (A 1 NS + V 1 pri + S 1) + m 2 (A 2 NS + V 2 pri + S 2) = 0. Ak sú priamky L 1 a L 2 sa pretína, potom je zväzok stredový, ak sú priamky rovnobežné, potom je zväzok rovnobežný.
6. Nech je daný bod M(NS 1 ,pri 1) a priamka daná rovnicou Ax + Wu + C = 0. Vzdialenosť dod toto bodov M do rovnej:
- 1. Základné pojmy. Súradnicové systémy. Priame čiary a ich vzájomná poloha
- 2. Podmienka nájdenia troch bodov na jednej priamke. Rovnica priamky. Vzájomné usporiadanie bodov a priamka. Hromada rovných čiar. Vzdialenosť od bodu k čiare
Úsečka je časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky ležiacich medzi jej dvomi danými bodmi. Tieto body sa nazývajú konce čiar. Segment je označený vyznačením jeho koncov.
Na obrázku 7 b je segment AB súčasťou priamky a. Bod M leží medzi bodmi A a B, a preto patrí do segmentu AB; bod K neleží medzi bodmi A a B, preto nepatrí do segmentu AB.
Axióma (hlavná vlastnosť) umiestnenia bodov na priamke je formulovaná takto:
Z troch bodov na priamke leží jeden a len jeden medzi ostatnými dvoma.
Nasledujúca axióma vyjadruje základnú vlastnosť merania úsečiek.
Každý segment má určitú dĺžku, väčšiu ako nula. Dĺžka úsečky sa rovná súčtu dĺžok častí, na ktoré je rozdelená ktorýmkoľvek z jej bodov.
To znamená, že ak sa na segmente MK vezme ľubovoľný bod C, potom sa dĺžka segmentu MK rovná súčtu dĺžok segmentov MC a SK (obr. 7, c).
Dĺžka úseku MK sa nazýva aj vzdialenosť medzi bodmi M a K.
Príklad 1. Na priamke sú dané tri body O, P a M. Je známe, že. Leží bod P medzi O a M? Môže bod B patriť do segmentu PM, ak? Vysvetlite odpoveď.
Riešenie. Bod P leží medzi bodmi O a M, ak skontrolujeme splnenie tejto podmienky:. Záver: bod P leží medzi bodmi O a M.
Bod B patrí do segmentu PM, ak leží medzi bodmi P a M, teda kontrola:, a podľa podmienky. Záver: bod B nepatrí do segmentu PM.
Príklad 2. Je možné usporiadať 6, 7 a 8 úsečiek v rovine tak, aby každá z nich pretínala práve tri ďalšie?
Riešenie. Takto možno usporiadať 6 segmentov (obr. 8, o). Takto možno usporiadať aj 8 segmentov (obr. 8, b). 7 segmentov nie je možné takto usporiadať.
Dokážme posledné tvrdenie. Predpokladajme, že takéto usporiadanie siedmich úsečiek je možné. Očíslujme segmenty a zostavme takúto tabuľku do bunky na priesečníku riadka a stĺpca, ak sa segment pretína s j-tým, dáme „+“ a ak sa nepretína, dáme „-“. Ak je nastavené aj toto, spočítajme dvoma spôsobmi, koľko znakov je v tabuľke.
Na jednej strane sú v každom riadku 3, takže sú tam samé znaky. Na druhej strane je tabuľka vyplnená symetricky vzhľadom na uhlopriečku:
ak je v bunke C: j) je v bunke tiež. To znamená, že celkový počet znakov musí byť párny. Máme rozpor.
Tu sme použili dôkaz protirečením.
5. Ray.
Polopriama alebo polopriamka je časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky, ležiacich na jednej strane jej daného bodu. Tento bod sa nazýva počiatočný bod polpriamky alebo začiatok lúča. Rôzne polpriamky tej istej priamky so spoločným začiatočným bodom sa nazývajú komplementárne.
Polopriame sa označujú malými písmenami latinky. Polpriamku môžete označiť dvoma písmenami: začiatočným písmenom a iným písmenom zodpovedajúcim bodu patriacemu do polpriamky. V tomto prípade je na prvom mieste východiskový bod. Napríklad na obrázku 9 sú znázornené a, nosníky AB a AC, ktoré sú doplnkové, na obrázku 9 b sú znázornené nosníky MA, MB a nosník c.
Nasledujúca axióma odráža hlavnú vlastnosť odkladania úsečiek.
Na ľubovoľnej polpriamke od jej začiatočného bodu môžete odložiť segment danej dĺžky a iba jeden.
Príklad. Máte dva body A a B. Koľko čiar môžete nakresliť cez body A a B? Koľko lúčov je na priamke AB so začiatkom v bode A a v bode B? Označte dva body na priamke A B, odlišné od A a B. Patria do segmentu AB?
Riešenie. 1) Podľa axiómy môžete vždy nakresliť priamku cez body A a B a iba jeden.
2) Na priamke AB s počiatkom v bode A sú dva lúče, ktoré sa nazývajú dodatočné. Podobne pre bod B.
3) Odpoveď závisí od umiestnenia označených bodov. Uvažujme o možných prípadoch (obr. 10). Je zrejmé, že v prípade a) body patria do segmentu AB; v prípadoch b), c) jeden bod
patrí do segmentu a druhý nie; v prípadoch d) ae) body M a N nepatria do segmentu AB.
6. Obvod. Kruh.
Kruh je tvar, ktorý pozostáva zo všetkých bodov v rovine, ktoré sú v danej vzdialenosti od daného bodu. Tento bod sa nazýva stred kruhu.
Vzdialenosť od bodov kruhu k jeho stredu sa nazýva polomer kruhu. Akákoľvek úsečka spájajúca bod kruhu s jeho stredom sa nazýva aj polomer.
Úsečka spájajúca dva body kružnice sa nazýva tetiva. Tetiva prechádzajúca stredom sa nazýva priemer.
Obrázok 11, a zobrazuje kružnicu so stredom v bode O. Segment OA je polomer tejto kružnice, BD je tetiva kružnice, CM je priemer kružnice.
Kruh je obrazec, ktorý pozostáva zo všetkých bodov roviny, ktoré sú od daného bodu vzdialené nie viac ako daný bod. Tento bod sa nazýva stred kruhu a táto vzdialenosť sa nazýva polomer kruhu. Hranica kruhu je kruh s rovnakým stredom a polomerom (obr. 11, b).
Príklad. Aký je najväčší počet rôznych častí, ktoré nemajú spoločné body, okrem ich hraníc možno rovinu rozdeliť na: a) priamku a kružnicu; b) dva kruhy; c) tri kruhy?
Riešenie. Znázornime na obrázku prípady vzájomného usporiadania obrazcov zodpovedajúcich stavu. Zapíšme si odpoveď: a) štyri časti (obr. 12, o); b) štyri časti (obr. 12, b); c) osem častí (obr. 12, c).
7. Polrovina.
Sformulujme ešte jednu axiómu geometrie.
Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny.
Na obrázku 13 priamka a rozdeľuje rovinu na dve polroviny tak, že každý bod roviny, ktorý nepatrí do priamky o, leží v jednej z nich. Toto rozdelenie má nasledujúcu vlastnosť: ak konce niektorého segmentu patria do jednej polroviny, potom sa segment nepretína s priamkou; ak konce segmentu patria do rôznych polrovín, potom sa segment pretína s priamkou. Na obrázku 13 ležia body v jednej z polrovín, na ktoré priamka a rozdeľuje rovinu. Preto sa úsečka AB nepretína s priamkou a. Body C a D ležia v rôznych polrovinách. Preto segment CD pretína priamku a.
8. Uhol. Miera stupňa uhla.
Uhol je útvar, ktorý sa skladá z bodu - vrcholu uhla a dvoch rôznych polpriamok vychádzajúcich z tohto bodu - strán uhla (obr. 14). Ak sú strany rohu ďalšie polpriamky, potom sa uhol nazýva rozložený.
Uhol je označený buď označením jeho vrcholu, alebo označením jeho strán, alebo označením troch bodov; vrcholy a dva body po stranách rohu. Slovo „roh je niekedy nahradené symbolom Z.
Uhol na obrázku 14 možno označiť tromi spôsobmi:
Hovorí sa, že lúč c prechádza medzi stranami uhla, ak vychádza z jeho vrcholu a pretína nejaký segment s koncami na stranách uhla.
Na obrázku 15 prechádza lúč c medzi stranami uhla, keď pretína segment AB.
V prípade plochého rohu každý lúč vychádzajúci z jeho vrcholu a okrem jeho strán prechádza medzi stranami rohu.
Uhly sa merajú v stupňoch. Ak vezmete predĺžený uhol a vydelíte ho 180 rovnakými uhlami, potom miera každého z týchto uhlov sa nazýva stupeň.
Základné vlastnosti merania uhlov sú vyjadrené v nasledujúcej axióme:
Každý uhol má určitý stupeň, väčší ako nula. Sploštený uhol je 180°. Miera stupňov uhla sa rovná súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom prechádzajúcim medzi jeho stranami.
To znamená, že ak lúč c prechádza medzi stranami uhla, potom sa uhol rovná súčtu uhlov
Stupňová miera uhla sa zistí pomocou uhlomeru.
Uhol rovný 90 ° sa nazýva pravý uhol. Uhol menší ako 90 ° sa nazýva ostrý uhol. Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý.
Formulujme hlavnú vlastnosť ukladania rohov.
Z ľubovoľnej polpriamky do danej polroviny môžete posunúť uhol s danou mierou stupňov menej ako 180° a iba jeden.
Zvážte polpriamku a. Predĺžme ju za začiatočný bod A. Výsledná priamka rozdelí rovinu na dve polroviny. Obrázok 16 ukazuje, ako pomocou uhlomeru vyčleniť uhol s daným stupňom 60° od polpriamky a k hornej polrovine.
Ak sú dva rohy vyčlenené z danej polpriamky do jednej polroviny, potom strana menšieho uhla, odlišná od danej polpriamky, prechádza medzi stranami väčšieho uhla.
Nech sú uhly vykreslené z danej polpriamky a v jednej polrovine a nech je uhol menší ako uhol. Veta 1.2 hovorí, že lúč b prechádza medzi stranami uhla (ac) (obr. 17).
Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z jeho vrcholu, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu. Na obrázku 18 je lúč OM sektorom uhla AOB.
V geometrii existuje koncept plochého uhla. Rovinný uhol je časť roviny ohraničená dvoma rôznymi lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu. Tieto lúče sa nazývajú strany uhla. Tieto strany majú dva rovinné rohy. Nazývajú sa komplementárne. Na obrázku 19 je jeden z plochých rohov so stranami a a b vytieňovaný.
Ak je rovinný uhol súčasťou polroviny, potom jeho miera stupňa je mierou stupňa obyčajného uhla s rovnakými stranami. Ak rovinný uhol obsahuje polrovinu, potom jeho miera stupňa je 360 ° - a, kde a je miera stupňa dodatočného rovinného uhla.
Príklad. Lúč a prechádza medzi stranami pod uhlom rovným 120 °. Nájdite uhly, ak ich miera stupňov je 4: 2.
Riešenie. Lúč a prechádza medzi stranami uhla, čo znamená podľa základnej vlastnosti merania uhlov (pozri bod 8)
Keďže miera miery súvisí ako 4: 2, potom
9. Priľahlé a zvislé rohy.
Dva rohy sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú, a ostatné strany týchto rohov sú ďalšie polpriamky. Na obrázku 20 sú rohy priľahlé.
Súčet susedných uhlov je 180°.
Veta 1.3 predpokladá nasledujúce vlastnosti:
1) ak sú dva uhly rovnaké, potom sú uhly susediace s nimi rovnaké;
2) uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol;
3) uhol susediaci s ostrým je tupý a uhol susediaci s tupým je ostrý.
Dva rohy sa nazývajú zvislé, ak strany jedného rohu sú komplementárnymi polopriamymi stranami druhého. Na obrázku 21 sú rohy vertikálne.
Vertikálne uhly sú rovnaké.
Je zrejmé, že dve pretínajúce sa priame čiary tvoria susedné a vertikálne uhly. Susedné uhly sa navzájom dopĺňajú až do 180°. Uhlová miera menšieho z nich sa nazýva uhol medzi priamkami.
Príklad. Na obrázku 21, b, je uhol 30. ° Aké sú uhly AOK a
Riešenie. Uhly COD a AOK sú vertikálne, preto podľa vety 1.4 sú rovnaké, to znamená, že uhol TUK susedí s uhlom SOD, podľa vety 1.3
10. Stredové a popísané rohy.
Stredový uhol v kruhu je plochý uhol s vrcholom v jeho strede. Časť kruhu nachádzajúca sa vo vnútri plochého uhla sa nazýva kruhový oblúk zodpovedajúci tomuto stredovému uhlu. Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňa zodpovedajúceho stredového uhla.
Na obrázku 22 je uhol AOB stredový uhol kruhu, jeho vrchol O je stred tohto kruhu a strany OA a OB pretínajú kruh. Oblúk AB je súčasťou kruhu vo vnútri stredného rohu.
Miera stupňa oblúka AB na obrázku 22 sa rovná miere stupňa uhla AOB. Miera stupňa oblúka AB je označená AB.
Uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a strany túto kružnicu pretínajú, sa nazýva vpísaný do kruhu. Obrázok 23 znázorňuje vpísané uhly.
Uhol vpísaný do kruhu, ktorého strany prechádzajú cez dva dané body kruhu, sa rovná polovici uhla medzi polomermi nakreslenými k týmto bodom alebo dopĺňa túto polovicu na 180 °.
Pri dokazovaní vety 1. 5 je potrebné zvážiť tri rôzne prípady, ktoré sú znázornené na obrázku 23: jedna zo strán vpísaného uhla prechádza stredom kružnice (obrázok 23, c); stred kruhu leží vo vnútri vpísaného rohu (obr. 23, b); stred kruhu leží mimo vpísaného uhla (obr. 23, c).
Z vety 1.5 vyplýva nasledujúci dôsledok: všetky uhly vpísané do kruhu, ktorého strany prechádzajú cez dva dané body kruhu a vrcholy ležia na jednej strane priamky spájajúcej tieto body, sú rovnaké; vpísané uhly, ktorých strany prechádzajú koncami priemeru kružnice, sú rovné.
Na obrázku 24 teda strany vpísaného uhla ABC prechádzajú cez konce priemeru AC
Príklad. Body A, B a C ležia na kružnici so stredom O. Nájdite uhol AOC, ak
Riešenie. Uhol ABC, vpísaný do kruhu, spočíva na oblúku AC a stredovom uhle tohto kruhu (obr. 25). , teda podľa vety 1.5, a keďže uhol AOC je stredový, jeho miera stupňa sa rovná miere stupňa oblúka AC, t.j.
11. Rovnobežné čiary.
Dve priame čiary v rovine sa nazývajú rovnobežné, ak sa nepretínajú.
Obrázok 26 ukazuje, ako pomocou štvorca a pravítka nakreslite priamku 6 cez daný bod B, rovnobežnú s danou priamkou a.
Na označenie rovnobežnosti priamych čiar sa používa symbol II. Zápis znie: "Priamka a je rovnobežná s čiarou b".
Axióma rovnobežnosti vyjadruje hlavnú vlastnosť rovnobežiek.
Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno na rovinu viesť najviac jednu priamku rovnobežnú s danou.
Dve rovné čiary, rovnobežné s treťou, sú navzájom rovnobežné.
Na obrázku 27 sú priamky a a b rovnobežné s priamkou c. Veta 1. 6 tvrdí, že.
Môžete dokázať, že cez bod, ktorý nepatrí k priamke, môžete nakresliť priamku rovnobežnú s danou. Na obrázku 28 je priamka a vedená bodom A, ktorý nepatrí do b, rovnobežná s priamkou b.
Porovnaním tohto tvrdenia a axiómy rovnobežiek dospejú k dôležitému záveru: na rovine prechádzajúcej bodom, ktorý neleží na danej priamke, je možné nakresliť s ňou rovnobežnú priamku, a to iba jednu priamku.
Axióma paralelizmu v Euklidovej knihe „Začiatky sa nazývali“ piaty postulát. Starovekí geometri sa snažili dokázať jedinečnosť paralely. Tieto neúspešné pokusy pokračovali viac ako 2000 rokov až do 19. storočia.
Veľký ruský matematik NI Lobačevskij a nezávisle od neho maďarský matematik J. Boyai ukázali, že za predpokladu možnosti pretiahnuť bodom niekoľko rovnobežných čiar rovnobežných s daným bodom je možné zostrojiť ďalšie, rovnako „správne“ -Euklidovská geometria. Tak sa zrodila Lobačevského geometria.
Príkladom vety, ktorá používa koncept paralelizmu a jej dôkaz je založený na paralelnej axióme, je Thalesova veta. Thales of Miletus bol staroveký grécky matematik, ktorý žil v rokoch 625-547. pred Kr NS.
Ak rovnobežné priamky pretínajúce strany uhla odrežú rovnaké segmenty na jednej strane uhla, potom odrežú rovnaké segmenty na jeho druhej strane (Thalesova veta).
Nechajte priesečníky rovnobežných priamok na jednej zo strán rohu a ležia medzi nimi (obr. 29). Nechajte zodpovedajúce priesečníky týchto čiar s druhou stranou rohu. Veta 1.7 hovorí, že ak potom
Príklad 1. Môže sa sedem čiar pretínať v ôsmich bodoch?
Riešenie. Môžu. Napríklad obrázok 30 zobrazuje sedem takýchto priamych čiar, z ktorých tri sú rovnobežné.
Príklad 2. Ľubovoľný segment AC je rozdelený na 6 rovnakých častí.
Riešenie. Nakreslíme segment AC. Nakreslime z bodu A lúč AM, ktorý neleží na priamke AC. Na lúč AM z bodu A si postupne vyčleníme 6 rovnakých segmentov (obr. 31). Konce úsečiek budú označené. Spojte bod s úsečkou s bodom C a cez body nakreslíme rovné čiary rovnobežné s priamkou. Priesečníky týchto priamok s úsečkou AC ju rozdelia na 6 rovnakých častí (podľa vety 1.7).
12. Znaky rovnobežnosti priamok.
Nech AB a CD sú dve čiary. Nech AC je tretia priamka pretínajúca priamky AB a CD (obr. 32, c). Priamy AC vo vzťahu k priamemu AB a CD sa nazýva secant. Pravé uhly tvorené týmito pravými uhlami sa často pozerajú v pároch. Dvojice uhlov dostali špeciálne mená. Ak teda body B a D ležia v rovnakej polrovine vzhľadom na priamku AC, potom sa uhly BAC a DCA nazývajú vnútorné jednostranné (obr. 32, c). Ak body B a D ležia v rôznych polrovinách vzhľadom na priamku AC, potom sa uhly BAC a DCA nazývajú vnútorné krížovo (obr. 32, b).
Sečnica AC tvorí s priamkami AB a CD dva páry vnútorných jednostranných dva páry vnútorných krížovo ležiacich uhlov Obr. 32, c).
Ak sú vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké alebo súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 °, potom sú priamky rovnobežné.
Na obrázku 32, c, sú očíslované štyri páry rohov. Veta 1.8 hovorí, že ak alebo potom sú priamky c a b rovnobežné. Veta 1.8 tiež hovorí, že ak alebo, potom sú priamky a a b rovnobežné.
Vety 1.6 a 1.8 sú kritériá pre rovnobežnosť priamok. Platí aj opačná veta k vete 1.8.
Ak sú dve rovnobežné priamky pretínané treťou priamkou, potom sú vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké a súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 °.
Príklad. Jeden z vnútorných jednostranných rohov, vytvorený na priesečníku dvoch rovnobežných priamok tretej priamky, je 4-krát väčší ako druhý. Čomu sa tieto uhly rovnajú?
Riešenie. Podľa vety 1.9 je súčet vnútorných jednostranných uhlov pre dve rovnobežné priamky a sečnicu 180°. Označme tieto uhly písmenami a a P, potom je známe, že a je 4-krát viac, čo znamená, že potom So,
13. Kolmé priamky.
Dve priamky sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle (obr. 33).
Kolmosť priamych čiar sa zapisuje pomocou symbolu Zápis znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b".
Kolmý na danú priamku je úsek priamky kolmý na danú priamku, ktorý má koncový bod ich priesečníka. Tento koniec priamky sa nazýva základňa kolmice.
Na obrázku 34 je kolmica AB nakreslená z bodu A k priamke a. Bod B je základňou kolmice.
Cez každý bod priamky môžete nakresliť priamku kolmú na ňu, a to iba jednu.
Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na priamke, môžete pustiť kolmicu na túto priamku, a to iba jednu.
Dĺžka kolmice spadnutej z daného bodu na priamku sa nazýva vzdialenosť od bodu k priamke.
Vzdialenosť medzi rovnobežnými priamkami je vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu jednej priamky k inej priamke.
Nech BA je kolmica spadnutá z bodu na priamke a a C - ľubovoľný bod priamky c, okrem A. Úsečka BC sa nazýva naklonená, vedená z bodu B do priamky a (obr. 35). Bod C sa nazýva základňa šikmej. Segment AC sa nazýva šikmá projekcia.
Priamka prechádzajúca stredom segmentu, ktorý je na ňu kolmý, sa nazýva stredová kolmica.
Na obrázku 36 je priamka a kolmá na segment AB a prechádza bodom C - stredom segmentu AB, to znamená, že a je kolmý stred.
Príklad. Rovnaké úsečky AD a CB, uzavreté medzi rovnobežnými priamkami AC a BD, sa pretínajú v bode O. Dokážte to.
Riešenie. Narysujme z bodov A až C kolmice na priamku BD (obr. 37). AK = CM ako vzdialenosť medzi rovnobežnými priamkami, ZAKD a DSLYAV sú pravouhlé, oni
sú rovnaké v prepone a nohe (pozri T. 1.25), čo znamená rovnoramenné (T. 1.19), čo znamená, že z rovnosti trojuholníkov AKT) a CTAB vyplýva, že a potom, t.j. A. AOS je rovnoramenný , čo znamená
14. Dotyčnica ku kružnici. Dotyk kruhov.
Priamka prechádzajúca bodom na kružnici kolmej na polomer nakreslený do tohto bodu sa nazýva dotyčnica. V tomto prípade sa tento bod kruhu nazýva dotykový bod. Na obrázku 38 je priamka a nakreslená bodom A kružnice kolmým na polomer OA. Priamka c je dotyčnicou kružnice. Bod A je bod dotyku. Môžeme tiež povedať, že kruh sa dotýka priamky a v bode A.
Hovoria, že dva kruhy, ktoré majú spoločný bod, sa v tomto bode dotýkajú, ak majú v tomto bode spoločnú dotyčnicu. Dotyčnosť kružníc sa nazýva vnútorná, ak stredy kružníc ležia na jednej strane ich spoločnej dotyčnice. Dotyčnosť kružníc sa nazýva vonkajšia, ak stredy kružníc ležia na opačných stranách ich spoločnej
dotyčnica. Na obrázku 39 c je tangencia kruhov vnútorná a na obrázku 39 b - vonkajšia.
Príklad 1. Zostrojte kružnicu s daným polomerom dotyčnice k danej priamke v danom bode.
Riešenie. Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyčnice. Stred požadovaného kruhu teda leží na kolmici na danú priamku prechádzajúcu daným bodom a nachádza sa od tohto bodu vo vzdialenosti rovnajúcej sa polomeru. Úloha má dve riešenia - dve kružnice navzájom symetrické vzhľadom na danú priamku (obr. 40).
Príklad 2. Dva kruhy s priemerom 4 a 8 cm sa zvonka dotýkajú. Aká je vzdialenosť medzi stredmi týchto kruhov?
Riešenie. Polomery kružníc OA a O, A sú kolmé na spoločnú dotyčnicu prechádzajúcu bodom A (obr. 41). Preto pozri
15. Trojuholníky.
Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a troch segmentov, ktoré tieto body spájajú v pároch. Body sa nazývajú vrcholy trojuholníka a úsečky sa nazývajú strany. Trojuholník je označený jeho vrcholmi. Namiesto slova „trojuholník sa používa symbol D.
Obrázok 42 znázorňuje trojuholník ABC; A, B, C - vrcholy tohto trojuholníka; A B, BC a AC sú jeho strany.
Uhol trojuholníka ABC pri vrchole A je uhol, ktorý zvierajú polpriamky AB a AC. Určujú sa aj uhly trojuholníka vo vrcholoch B až C.
Ak priamka, ktorá neprechádza žiadnym z vrcholov trojuholníka, pretína jednu z jeho strán, potom pretína iba jednu zo zvyšných dvoch strán.
Výška trojuholníka spadnutého z daného vrcholu sa nazýva kolmica vedená z tohto vrcholu k priamke obsahujúcej opačnú stranu trojuholníka. Na obrázku 43, c, segment AD je výška ostrého uhla A. ABC, a na obrázku 43, b základňa výšky bodu tupého uhla D - leží na pokračovaní strany BC.
Osa trojuholníka je časť osy uhla trojuholníka, ktorá spája vrchol s bodom na opačnej strane. Na obrázku 44 je úsečka AD osou trojuholníka ABC.
Medián trojuholníka nakresleného z daného vrcholu je segment spájajúci tento vrchol so stredom
opačnej strane trojuholníka. Na obrázku 45 je segment AD stredom trojuholníka
Stredná čiara trojuholníka je segment, ktorý spája stredy jeho dvoch strán.
Stredná čiara trojuholníka, ktorá spája stredy týchto dvoch strán, je rovnobežná s polovicou tretej strany a rovná sa jej.
Nech DE je stredná čiara trojuholníka ABC (obr. 46).
Veta tvrdí, že.
Trojuholníková nerovnosť je vlastnosťou vzdialeností medzi tromi bodmi, ktorá je vyjadrená nasledujúcou vetou:
Bez ohľadu na tri body, vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma z týchto bodov nie je väčšia ako súčet vzdialeností od nich k tretiemu bodu.
Nechajte tri dané body. Vzájomná poloha týchto bodov môže byť rôzna: a) dva body z troch alebo všetky tri sa zhodujú, v tomto prípade je tvrdenie vety zrejmé; b) body sú rôzne a ležia na jednej priamke (obr. 47, a), jeden z nich, napríklad B, leží medzi dvoma ďalšími, z čoho v tomto prípade vyplýva, že každá z troch vzdialeností nie je väčšia ako súčet ostatných dvoch; c) body neklamú
na jednej priamke (obr. 47, b), potom Veta 1.14 tvrdí, že.
V prípade c) sú tri body A, B, C vrcholy trojuholníka. Preto v akomkoľvek trojuholníku je každá strana menšia ako súčet ostatných dvoch strán.
Príklad 1. Existuje trojuholník ABC so stranami: a); b)
Riešenie. Pre strany trojuholníka ABC musia byť splnené tieto nerovnosti:
V prípade a) neplatí nerovnosť (2), čo znamená, že takéto usporiadanie bodov nemôže byť; v prípade b) platia nerovnosti, teda trojuholník existuje.
Príklad 2. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi A a oddelenými prekážkou.
Riešenie. Na zistenie vzdialenosti zavesíme základ CD a nakreslíme rovné čiary BC a AD (obr. 48). Nájdite bod M - stred CD. Vykonávame aj MPAD. Z toho vyplýva, že PN je stredná čiara, t.j.
Meraním PN nie je ťažké nájsť AB.
16. Rovnosť trojuholníkov.
O dvoch úsečkách sa hovorí, že sú rovnaké, ak majú rovnakú dĺžku. Dva uhly sa považujú za rovnaké, ak majú rovnakú uhlovú mieru v stupňoch.
Trojuholníky ABC a sa nazývajú rovnaké if
Stručne je to vyjadrené slovami: trojuholníky sú rovnaké, ak majú zodpovedajúce strany a zodpovedajúce uhly sú rovnaké.
Formulujme hlavnú vlastnosť existencie rovnakých trojuholníkov (axióma existencie trojuholníka rovného danému):
Bez ohľadu na trojuholník je v danom mieste vzhľadom na danú polpriamku rovnaký trojuholník.
Pre rovnosť trojuholníkov existujú tri kritériá:
Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám a uhlu medzi nimi iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znamienko rovnosti trojuholníkov na dvoch stranách a uhol medzi nimi).
Ak sa strana a uhly, ktoré k nej priliehajú, jedného trojuholníka rovnajú strane a uhly priľahlé k nej druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znak rovnosti trojuholníkov pozdĺž strany a uhlov priľahlých k nej ).
Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znamienko rovnosti trojuholníkov na troch stranách).
Príklad. Body B a D ležia v rôznych polrovinách vzhľadom na priamku AC (obr. 49). Je známe, že to dokázať
Riešenie. podmienkou, a keďže tieto uhly sa získajú odčítaním rovnakých uhlov BCD a DAB od rovnakých uhlov BC A a DAC. Reproduktorová strana je navyše spoločná v naznačených trojuholníkoch. Tieto trojuholníky majú rovnakú stranu a uhly, ktoré k nim priliehajú.
17. Rovnoramenný trojuholník.
Trojuholník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké. Tieto rovnaké strany sa nazývajú strany a tretia strana sa nazýva základňa trojuholníka.
V trojuholníku znamená, že ABC je rovnoramenné so základňou AC.
V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.
Ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké, potom je rovnoramenný (opak vety T. 1.18).
V rovnoramennom trojuholníku je stred pritiahnutý k základni os a výška.
Môžete tiež dokázať, že v rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni osou a stredom. Podobne aj stred rovnoramenného trojuholníka, ktorý je nakreslený z vrcholu oproti základni, je stredom a výškou.
Trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké, sa nazýva rovnostranný.
Príklad. V trojuholníku ADB je uhol D 90°. Na pokračovaní strany AD je segment (bod D leží medzi bodmi A a C) (obr. 51). Dokážte, že trojuholník ABC je rovnoramenný.
Vonkajší roh trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
Z vety 1.22 vyplýva, že vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.
Príklad. V trojuholníku
Osa AD tohto trojuholníka sa od nej odreže Nájdite rohy tohto trojuholníka.
Riešenie. keďže AD je osou uhla A (pozri podsekciu ako vonkajší uhol podľa súčtu uhlov veta
19. Obdĺžnikový trojuholník. Pytagorova veta.
Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak má pravý uhol. Pretože súčet uhlov trojuholníka je 180 °, potom má pravouhlý trojuholník iba jeden pravý uhol. Ďalšie dva rohy pravouhlého trojuholníka sú ostré a navzájom sa dopĺňajú až o 90°. Strana pravouhlého trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva prepona, ďalšie dve strany sa nazývajú nohy. A ABC, znázornené na obrázku 54, pravouhlé, rovné, prepony, CB a BA - nohy.
Pre pravouhlé trojuholníky môžete formulovať svoje vlastné kritériá rovnosti.
Ak sa prepona a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú prepone a ostrému uhlu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znak rovnosti pre preponu a ostrý uhol).
Ak sa rameno a protiľahlý roh jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú ramenu a protiľahlému rohu druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znak rovnosti na ramene a protiľahlom rohu).
Ak sa prepona a rameno jedného pravouhlého trojuholníka zhodujú s preponou a ramenom druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (znak rovnosti pre preponu a rameno).
V pravouhlom trojuholníku s uhlom 30° je rameno protiľahlé k atómovému uhla polovicou prepony.
V trojuholníku ABC, znázornenom na obrázku, je priamka, teda v tomto trojuholníku.
V pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta pomenovaná po starogréckom vedcovi Pytagorasovi, ktorý žil v 6. storočí. pred Kr NS.
V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh (Pytagorova veta).
Nech ABC je daný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, ramenami a a b a preponou c (obr. 56). Veta tvrdí, že
Z Pytagorovej vety vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku je ktorákoľvek z ramien menšia ako prepona.
Z Pytagorovej vety vyplýva, že ak sa vedie kolmica a šikmá čiara z jedného bodu, potom je šikmina väčšia ako kolmica; rovnaké šikmé majú rovnaké projekcie; z dvoch šikmých, väčší je ten s väčším vyčnievaním.
Na obrázku 57 sú od bodu O k priamke a nakreslené kolmé OA a šikmé OB, OS a OD, pričom Na základe vyššie uvedeného: a)
Obvod KDMA obdĺžnika je 18 cm
Príklad 3. V kružnici s polomerom 25 cm sú na jednej strane od jej stredu nakreslené dve rovnobežné tetivy dlhé 40 a 30 cm Nájdite vzdialenosť medzi týmito tetivami.
Riešenie. Nakreslíme polomer OK, kolmo na tetivy AB a CD, spojíme stred kružnice O s bodmi C, A, D a B (obr. 60). Trojuholníky COD a AOB sú rovnoramenné, pretože (ako polomery); ОМ a ON sú výšky týchto trojuholníkov. Podľa vety 1.20 je každá z výšok súčasne mediánom príslušného trojuholníka, t.j.
Trojuholníky OCM a O AN sú v nich pravouhlé. ON a ОМ sa nachádzajú podľa Pytagorovej vety.
20. Kruhy vpísané do trojuholníka a opísané trojuholníku.
Kruh sa nazýva opísaný okolo trojuholníka, ak prechádza všetkými jeho vrcholmi.
Stred kružnice opísanej trojuholníku je priesečníkom kolmíc so stranami trojuholníka.
Na obrázku 61 je opísaný kruh okolo trojuholníka ABC. Stred tejto kružnice O je priesečníkom stredných kolmic ОМ, ON a OJT nakreslených v tomto poradí k stranám AB, BC a CA.
Kruh sa nazýva vpísaný do trojuholníka, ak sa dotýka všetkých jeho strán.
Stred kružnice vpísanej do trojuholníka je priesečníkom jej priesečníkov.
Na obrázku 62 je kruh vpísaný do trojuholníka ABC. Stred tejto kružnice O je priesečníkom priesečníkov AO, BO a CO zodpovedajúcich uhlov trojuholníka.
Príklad. V pravouhlom trojuholníku sú nohy 12 a 16 cm Vypočítajte polomery: 1) vpísaná kružnica; 2) opísaný kruh.
Riešenie. 1) Nech je daný trojuholník ABC, v ktorom je stred vpísanej kružnice (obr. 63, a). Obvod trojuholníka ABC sa rovná súčtu zdvojenej prepony a priemeru kružnice vpísanej do trojuholníka (použite definíciu dotyčnice ku kružnici a rovnosť pravouhlých trojuholníkov AOM a AOK, MOC a LOC pozdĺž prepona a noha).
Odkiaľ teda Pytagorovou vetou, t.j.
2) Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka sa zhoduje so stredom prepony, odkiaľ je polomer kružnice opísanej cm (obr. 63, b).
Načítava...