Matematiksel Beklenti X Y. Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Her biri, ayrı olarak alınmış bir değer, dağıtım fonksiyonu ile tamamen belirlenir. Ayrıca, pratik görevleri çözmek için, ana özellikleri sunma yeteneğinin olduğu sayesinde birkaç sayısal özelliği bilmek için yeterlidir. rastgele değişken Kısa biçimde.

Bu değerler öncelikle yönlendirilir. beklenen değer ve dağılım .

Beklenen değer - Olasılık teorisindeki rastgele varyansın ortalama değeri. Nasıl olduğunu gösterir.

Çoğu. basit yol Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X (w), bul integralLebesgue Olasılıkla ilgili olarak R kaynak olasılıksal alan

Miktarın matematiksel beklentisini hala buluyorum İntegral lebesgue dan h. Olasılıkların dağılımı ile R H. Değerler X.:

nerede - olası tüm değerlerin seti X..

Fonksiyonların rastgele değişkenden matematiksel beklentisi X. Dağıtım yoluyla R H.. Örneğin, Eğer bir X. - Değerleri olan rastgele değer ve f (x) - Açık borelevskayaişlev H. , sonra:

Eğer bir F (x) - Dağıtım işlevi X.Sonra matematiksel beklenti hayal edildi İntegralLebesga - stiletes (veya Riemann - stilly):

bu durumda, entegriyet X. açısından ( * ) uzuv integraline karşılık gelir

Belirli durumlarda X. olası değerlerle ayrık bir dağılıma sahiptir x K., k \u003d 1, 2. ve olasılıklar, sonra

eğer bir X. Olasılık yoğunluğu ile kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir. p (x)T.

aynı zamanda varoluş matematiksel beklenti İlgili seri veya integralin mutlak yakınsama eşdeğerdir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

Kalıcı bir değerin matematiksel beklentisi bu büyüklüğe eşittir:

C.- Sabit;

M \u003d c.m [x]

Rastgele alınan değerlerin miktarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

Bağımsız rastgele alınan miktarların matematiksel beklentisi \u003d matematiksel beklentilerinin ürünü:

M \u003d m [x] + m [y]

eğer bir X. ve Y. Bağımsız.

bir sayı birleşirse:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: Tüm değerleri yenilebilir doğal sayılar; Her değer, olasılığı sıfır dışarıya eşittir.

1. Sırayla çiftini çevirin: x I. üzerinde p i..

2. Her çiftin ürününü katlıyoruz x ben p.

Eskiiçin n. = 4 :

Ayrık rastgele dağıtım fonksiyonu Adım, olası olumlu bir işarete sahip olan noktalarda bir sıçrama ile artar.

Misal:Formül tarafından matematiksel bir beklenti bulun.

Dağıtım yasası rastgele bir tutarı tamamen karakterize eder. Bununla birlikte, dağıtım yasası bilinmemektedir ve daha az bilgi ile sınırlı olmalıdır. Bazen rastgele bir değer toplamı olan sayıları kullanmak daha da karlı, bu sayılar denir sayısal özellikler rastgele değişken. Önemli bir sayısal karakteristik, matematiksel beklentiyi içerir.

Matematiksel beklenti, ayrıca rastgele değişkenin ortalama değerine eşit olarak gösterilecektir. Birçok görevi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk okdaki kırık nokta sayısının matematiksel beklentisinin, saniyeden daha büyük olduğu biliniyorsa, ortalama olarak ilk okların ikinciden daha fazla puan çaldığı ve bu nedenle daha iyi çekim yaptığı bilinmektedir.

Tanım4.1: Matematiksel beklenti Ayrık rastgele varyans, olası değerlerin olası değerlerinin olasılıkları için aradılar.

Rastgele bir değere izin ver X. sadece değerleri alabilir x 1, x 2, ... x nolasılıkları sırasıyla eşittir p 1, p 2, ... p n.Sonra matematiksel beklenti M (x.) Rastgele değişken X. Eşitlik ile belirlenir

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esley ayrık rastgele değer X. sayılabilir bir olası değer seti alır, sonra

ayrıca, eşitliğin sağ tarafındaki satır kesinlikle birleşirse, matematiksel beklenti var.

Misal.Olay sayısının matematiksel bir beklentisini bulun A.bir testte, bir olay olasılığı varsa A. eşit p..

Karar: Rastgele değer X. - Olay sayısı A. Bernoulli'nin dağılımı var.

Böylece, bir testteki olay sayısının matematiksel beklentisi bu olayın olasılığına eşittir..

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilmiş n. Rastgele bir değerde yapılan testler X. Kabul edilen m 1. Bir kez değer x 1, m 2. Bir kez değer x 2 ,…, m K. Bir kez değer x K., ve m 1 + m2 + ... + m k \u003d n. Sonra kabul edilen tüm değerlerin toplamı X., eşit x 1 m 1 + x 2 m2 + ... + x k m k .

Rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerlerin aritmetik ortalaması

Tutum m / n- göreceli frekans W i. Değerler x I.olayların olasılığına yaklaşık olarak eşit p i.nerede , yani

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı: matematiksel beklenti yaklaşık eşit (daha kesin olarak, test sayısı ne kadar büyükse) orta aritmetik gözlemlenen rastgele değerler.

Matematiksel beklentinin özellikleri

Özellik1:Kalıcı bir değerin matematiksel beklentisi en sabit olana eşittir

Özellik2:Matematiksel beklentinin bir işareti için kalıcı çarpan yapılabilir.

Tanım4.2: İki rastgele değişken aranan bağımsızBir tanesinin dağılımının yasası, alınan diğer değerin olası değerlerine bağlı değildir. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlıdır.

Tanım4.3: Birkaç rastgele değişken Aramak karşılıklı olarak bağımsızHerhangi bir sayının dağılımının yasaları, mümkün olan değerlerin kalan değerlerin olduğu bağlı değildir.

Özellik3:İki bağımsız rastgele değişkenin çalışmasının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Sonuç: Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin çalışmalarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Mülkiyet4:İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Sonuç: Birkaç rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Misal.Binom rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplayın X -etkinlik sayısı A. içinde n. deneyler.

Karar: Toplam sayısı X. Olay görünüşü A. Bu testlerde, bireysel testlerde olayların sayısından oluşur. Rastgele değişkenleri tanıtıyoruz X I. - İçindeki olayların sayısı bEN.- Bernoullievish olan testler matematiksel beklentilerle olan testler . Matematiksel beklentinin mülkiyetiyle

Böylece, beklenen değer binom dağılımı N ve P parametreleri NP'ye eşit.

Misal.Silahtan vururken hedefi vurma olasılığı p \u003d 0.6.10 atış üretildiğinde, toplam isabet sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Karar: Her atış diğer çekimlerin sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle dikkate alınan olaylar bağımsızdır ve bu nedenle istenen matematiksel beklentisidir.

Dağıtım yasalarına ek olarak rastgele değişkenler de tarif edilebilir sayısal özellikler .

Matematiksel beklenti Rasgele bir değişkenin m (x) ortalama değeri olarak adlandırılır.

Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi formül tarafından hesaplanır.

nerede – Rastgele değerler, p BEN -korkmuş.

Matematiksel beklentinin özelliklerini göz önünde bulundurun:

1. Constant'ın matematiksel beklentisi sabitine eşittir

2. Rasgele bir değişken, bir sayı k ile çarpılırsa, matematiksel beklenti aynı numarayı çarpıyor

M (kx) \u003d km (x)

3. Rastgele değişkenlerin miktarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + m (x 2) + ... + m (x n)

4. m (x 1 - x 2) \u003d m (x 1) - m (x 2)

5. Bağımsız rastgele değişkenler için x 1, x 2, ... x n İşin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d m (x 1) m (x 2) ... m (x n)

6. m (x - m (x)) \u003d m (x) - m (m (x)) \u003d m (x) - m (x) \u003d 0

Örnek 11'den rastgele bir değişken için matematiksel beklentiyi hesaplarız.

M (x) \u003d \u003d .

Örnek 12. X 1, x 2 rastgele değişkenlerin sırasıyla dağıtım yasaları verilmesine izin verin:

x 1 Tablo 2

x 2 Tablo 3

M (x 1) ve m (x 2) hesaplayın

M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 · 0,4 + 0.01 · 0.2 + 0.1 · 0.1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 \u003d 0

Hem rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri aynıdır - sıfırdır. Ancak, dağılımlarının niteliği farklıdır. X 1 değerleri matematiksel beklentilerinden çok az farklıysa, X 2'nin değerleri matematiksel beklentilerinden büyük ölçüde farklıdır ve bu sapmaların olasılıkları küçük değildir. Bu örnekler, ortalama değerin, hangi sapmaların hem daha küçük hem de en fazla olduğu için hangi sapmaların ortaya çıktığını belirlemenin imkansız olduğunu göstermektedir. Öyleyse, bir yıl boyunca iki yağış alanına düşmenin aynı ortalama değeri ile, bu alanların tarımsal işler için eşit derecede uygun olduğunu söylemek imkansızdır. Benzer şekilde, ortalama ücretler açısından, yüksek ve düşük ücretli çalışanların özgül ağırlığını yargılamak mümkün değildir. Bu nedenle, sayısal karakteristik tanıtılır - dağılım D (x) , rastgele bir değişkenin sapma derecesini ortalama değerinden karakterize eder:

D (x) \u003d m (x - m (x)) 2. (2)

Dispersiyon, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden kare sapmasının matematiksel beklentisidir. Ayrık bir rasgele değişken için, dispersiyon formülle hesaplanır:

D (x) \u003d = (3)

Dispersiyonun tanımından d (x) 0 olduğunu takip eder.

Dispersiyon özellikleri:

1. Dispersiyon sabiti sıfırdır

2. Rasgele değişken bir sayı K ile çarpılırsa, dispersiyon bu sayının karesine çarpacaktır.

D (KX) \u003d K 2 D (x)

3. D (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x)

4. Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler x 1, x 2, ... x N, miktar dispersiyonu dispersiyon miktarına eşittir.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d D (x 1) + D (x 2) + ... + d (x n)

Örnek 11'den rasgele bir değişken için dispersiyonu hesaplayın.

Matematiksel beklenti m (x) \u003d 1. Bu nedenle, formül (3) ile:

D (x) \u003d (0 - 1) 2 · 1/4 + (1 - 1) 2 · 1/2 + (2 - 1) 2 · 1/4 \u003d 1 · 1/4 + 1 · 1/4 \u003d 1/2

Mülkiyet 3'ü kullanırsanız, dağılımın hesaplanması daha kolay olduğunu unutmayın:

D (x) \u003d m (x 2) - m 2 (x).

Bu formül için X 1, x 2'den rastgele değişkenler için dispersiyonu hesaplayın. Hem rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri sıfırdır.

D (x 1) \u003d 0.01 · 0,1 + 0.0001 · 0,2 + 0.0001 · 0.2 + 0.01 · 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \u003d 0.00204.

D (x 2) \u003d (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Dispersiyon değerini sıfıra yaklaştırın, rasgele değişkenin ortalama değerine göre dağılımını küçültür.

Değer denir rivalthing sapma. Moda rasgele değişken X. ayrık tip MD. En büyük olasılığa karşılık gelen rastgele bir değişkenin değeri denir.

Moda rasgele değişken X. sürekli MD Tipi, F (x) maksimum olasılık dağılımının yoğunluğu olarak tanımlandığı şekilde geçerli bir numara olarak adlandırılır.

Medyan rastgele değişken X. sürekli tip Mn.denklemi tatmin eden geçerli bir sayı olarak adlandırılır

Olasılık teorisi, yalnızca daha yüksek eğitim kurumlarının öğrencileri tarafından öğrenilen matematiğin özel bir bölümüne sahiptir. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Normal dağılımla tanıdık, topluluğun entropisi, matematiksel beklenti ve ayrık rastgele değişkenin dağılımı ile tanışma beklentilerinden korkmuyorsunuz? O zaman bu konu çok ilginç olacak. Bilimin bu bölümünün birkaç temel temel kavramıyla tanışalım.

Temelleri hatırla

Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlasanız bile, makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Gerçek şu ki, temelleri açıkça anlamadan aşağıda düşünülen formüllerle çalışamayacağınızdır.

Yani bazıları var rastgele olay, Bazı deneyler. Eylemlerin bir sonucu olarak, birkaç sonuç alabiliriz - bazıları daha yaygın, diğerleri - daha az sıklıkla. Bir olayın olasılığı, aynı tipte elde edilen sonuçların sayısının olası toplam sayısına oranıdır. Sadece bu konseptin klasik tanımını bilmek, matematiksel beklenti ve sürekli rastgele değişkenlerin dağılımı çalışmasına devam edebilirsiniz.

Ortalama

Hala okulda matematik derslerinde, ortalama bir aritmetik ile çalışmaya başladınız. Bu kavram, olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılır ve bu nedenle tarafı atlamak imkansızdır. Şu anda bizim için bizim için ana şey, matematiksel beklenti formüllerinde karşılaşacağımız ve rastgele bir değişkenin dağılımı.

Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden gereken tek şey, mevcut her şeyi özetlemek ve sıradaki öğe sayısına bölünür. 1'den 9'a kadar sayılarımıza izin verin. Öğelerin miktarı 45'e eşit olacaktır ve bu değeri 9. Cevap: - 5.

Dağılım

Bilimsel dille konuşan, dağılma, ortalama aritmetikten elde edilen özelliğin elde edilen belirtilerinin ortalama sapmalarının meydana gelmesidir. Bir başlık Latin Letter D ile belirtilmiştir. Bunu hesaplamak için neye ihtiyacınız var? Sıra her bir elemanı için, mevcut sayı ile ortalama aritmetik arasındaki farkı hesaplarız ve kareye dikiziz. Değerler, bizim tarafımızdan değerlendirilebilecek olaylar tam olarak ortaya çıkacaktır. Sonra, elde edilen ve ayrılan her şeyi sıradaki öğelerin sayısına göre özetliyoruz. Beş sonuç varsa, beşi bölüşürüz.

Dispersiyon, görevleri çözerken başvuruda bulunulması gereken özelliklere sahiptir. Örneğin, x defalardaki rasgele değişkende bir artışla, dispersiyon, kare zamanlarda X'e artar (yani x x x x). Asla sıfırdan az olmaz ve değerlerin değişmesine bağlı değildir. eşit değer büyük veya daha küçük bir şekilde. Ek olarak, bağımsız testler için, dispersiyonun dispersiyon miktarına eşittir.

Şimdi ayrık rastgele varyansın ve matematiksel beklentilerin dağılımı örneklerini dikkate almamız gerekiyor.

Diyelim ki 21 deney harcadık ve 7 farklı sonuç aldı. Her biri sırasıyla, 1,2,2,3,4,4 ve 5 kez gözlemledik. Dispersiyon ne olacak?

İlk önce, aritmetik ortalamayı göz önünde bulundurun: elemanların toplamı, elbette 21'e eşittir. Bunu 7'ye böleriz, 3'ü verir. ve sonuçlar birlikte birlikte ekleyecektir. 12 yaşına girer. Şimdi numarayı öğelerin sayısına bölmek zorundayız ve her şey görünürdü. Ama bir sıkıntı var! Tartışalım.

Deney sayısına bağımlılık

Korominatördeki dispersiyonun hesaplanması sırasında iki sayıdan biri olabilir: ya n veya n-1. Burada n, deney sayısı veya dizideki eleman sayısının sayısıdır (bu esasen aynı). Bu neye bağlıdır?

Test sayısı yüzlerce ölçülürse, birimler ise N. paydayı yapmalıyız. Sınır bilim adamları oldukça sembolik bir şekilde tutmaya karar verdiler: bugün Şekil 30'a göre geçer. 30 deneyden az geçirirsek, miktarı N-1'deki ve daha fazlasına bölünür ve sonra N.

Bir görev

Dispersiyon ve matematiksel beklenti problemini çözerek örneğimize geri dönelim. N veya N-1'e bölmek için gerekli olan bir ara madde 12 elde ettik. Yaptığımız deneylerden bu yana, 30'dan az olan, ikinci seçeneği seçin. Yani, Cevap: Dispersiyon 12/2 \u003d 2'dir.

Beklenen değer

Bu makaleyi düşünmemiz gereken ikinci konseptine dönelim. Matematiksel beklenti, ilgili olası sonuçların eklenmesinin sonucudur, ilgili olasılıklarla çarpılır. Elde edilen değerin yanı sıra dispersiyon hesaplamasının sonucunun, yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir. tüm görevİçinde ne kadar sonuç dikkate alınmaz.

Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: sonucu alırız, olasılığını çarptığımız, ikinci, üçüncü sonuç için aynı ekleriz. Bu konsept ile ilgili her şey kolay hesaplanır. Örneğin, eşleştirme miktarı miktarı miktarın toplamına eşittir. İş için aynı şekilde alakalıdır. Böyle basit işlemler, her değerden olasılık teorisindeki her değerden uzak durmayı mümkün kılar. Görevi alalım ve bir kerede okuduğumuz kavramların önemini düşünelim. Ek olarak, teorikten rahatsız olduk - pratik yapmanın zamanı geldi.

Bir örnek daha

50 test harcadık ve 10 - 9'dan 9'a kadar sayı - sayıların çeşitli yüzdesinde göründük. Bu, sırasıyla:% 2,% 10,% 4,% 14,% 2,% 18,% 6,% 16,% 10,% 18. Olasılıklar elde etmek için, değerleri 100 başına yüzde olarak bölmek için gerekli olduğunu hatırlayın. Böylece, 0.02; 0.1, vb. Rastgele varyansın dağılımı ve matematiksel beklenti örneğini, soruna çözümün örneğini hayal edin.

Aritmetik ortalama, genç okuldan hatırladığım formül tarafından hesaplanır: 50/10 \u003d 5.

Şimdi olasılığı "parçalar halinde" çıktıların sayısına aktaracağız, böylece sayılacak daha uygundur. 1, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 9, 8, 5, 7, 1, 9, elde edilen değerden, ortalama aritmetik çıkarılır elde edilen sonuçların her biri meydana yerleştirildi. Bunu nasıl yapacağınıza bakın, birinci element örneğinde: 1 - 5 \u003d (-4). Sonraki: (-4) * (-4) \u003d 16. Kalan değerler için, bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, sonra eklendikten sonra 90 alırsınız.

Dispersiyon ve matematiksel beklentiyi hesaplamaya devam edin, 90'a N. N. N neden N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü gerçekleştirilen deney sayısı 30'u aşıyor. SO: 90/10 \u003d 9. Aldığımız dispersiyon. Başka bir numaranız varsa, umutsuzluğa girmeyin. Büyük olasılıkla hesaplanırken bir banal hata yaptınız. Yazılı olup, kesinlikle her şey yere girecek.

Son olarak, beklentinin formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları yapmayacağız, gerekli tüm prosedürleri tamamlayarak, yalnızca işleyebileceğiniz cevabı yazmayacağız. Materyalleşme 5.48'e eşit olacaktır. Yalnızca ilk öğelerin örneğinde işlemlerin nasıl yapıldığını hatırlayın: 0 * 0.02 + 1 * 0,1 ... vb. Gördüğünüz gibi, olasılığının sonucunun değerini çoğaltırız.

Sapma

Dispersiyon ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili olan başka bir kavram - ortalama ikinci dereceden sapma. Latin SD harfleri veya bir Yunan küçük harf "SIGMA" ile gösterilir. Bu kavram Değerlerin merkezi işaretten ne kadar ortalama saptığını gösterir. Anlamını bulmak için, hesaplamanız gerekir. kare kök Dağılımdan.

Bir program oluşturursanız normal dağılım Ve doğrudan ikinci dereceden sapma üzerinde görmek istiyorsunuz, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün, modun sola veya sağına (merkezi değer), yatay eksene dik olarak gerçekleştirin, böylece rakamların alanı eşit olmasına neden olur. Dağıtımın ortası ile yatay eksen üzerindeki ortaya çıkan projeksiyon arasındaki segmentin boyutu ikincil bir ikinci dereceden sapma olacaktır.

Yazılım

Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden görülebileceği gibi, dispersiyon ve matematiksel beklentinin hesaplanması, aritmetik bir bakış açısıyla en basit prosedür değildir. Zaman geçirmemek için, en yüksek kullanılan programı kullanmak mantıklıdır. eğitim Kurumları - "R" olarak adlandırılır. İstatistik ve olasılık teorisindeki birçok kavram için değerleri hesaplamanıza izin veren fonksiyonlara sahiptir.

Örneğin, vektör değerlerini belirtirsiniz. Bu aşağıdaki gibi yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

En sonunda

Dispersiyon ve matematiksel beklenti, başka bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana yılında, konunun incelenmesinin ilk aylarında zaten göz önünde bulundurulurlar. Bu en basit konseptlerin yanlış anlaşılmasının ve bunları hesaplamamasının yanlış anlaşılmasından dolayı, birçok öğrenci derhal programın arkasına geçmeye başlar ve daha sonra burslardan mahrum eden oturumun sonuçlarına dayanarak kötü işaretler elde etmektedir.

En az bir hafta yarım saatte pratik yapın, bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözmek. Ardından, olasılık teorisi üzerindeki herhangi bir kontrolde, yabancı ipuçları ve beşiksiz örnekleri kullanırsınız.

- 10 yenidoğan arasında çocuk sayısı.

Bu miktarın önceden bilinmemesi oldukça açıktır ve doğmuş bir sonraki düzine çocukta şöyle olabilir:

Ya çocuklar - bir ve sadece bir tane Listelenen seçeneklerden.

Ve formu korumak için biraz beden eğitimi:

- uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).

Bir spor ustası bile tahmin edemiyor :)

Ancak, hipotezleriniz?

2) Sürekli rasgele bir değer - alır her şey Bazı sonlu veya sonsuz boşluktan sayısal değerler.

Not : Eğitim literatüründe, DSV ve NSV'nin kısaltmaları

İlk önce ayrık rastgele değeri analiz edeceğiz, sonra - sürekli.

Ayrık rassal değişken

- bu uygunluk Bu büyüklüğün olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman kanun tablo tarafından kaydedilir:

Oldukça sık verilen terim kürek çekmek DağıtımAncak bazı durumlarda belirsiz geliyor ve bu yüzden "Hukuk" na uyacağım.

Ve şimdi Çok önemli bir an: Rastgele değerden beri Önce Vapur anlamlardan biri Sonra karşılık gelen olaylar formu tam grup Ve olaylarının olasılıklarının toplamı birine eşittir:

veya, eğer kayıt yaparsanız ortaya çıkar:

Örneğin, küp üzerine düşen noktaların olasılıklarının dağılımının yasası aşağıdaki gibidir:

Yorum yok.

Belki de ayrık rastgele değerin sadece "iyi" tamsayı değerlerini alabileceği izlenimine sahipsiniz. Yanılsamaya izin ver - herhangi bir olabilir:

Örnek 1.

Bazı oyun aşağıdaki Win dağıtım hukukuna sahiptir:

... Muhtemelen, bu tür görevleri hayal ettiniz :) Sırrı açığa vuracağım - ben de. Özellikle tamamlandıktan sonra alan teorisi.

Karar: Rasgele bir değer üç değerden sadece birini alabilir, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grupBöylece, olasılıklarının toplamı birine eşittir:

"Partizan" açıklayan:

- Böylece, koşullu birim kazanma olasılığı 0,4'tür.

Kontrol: Emin olmak için ne gerekiyordu.

Cevap:

Dağıtım yasasının bağımsız olması gerektiğinde nadir değildir. Bu kullanım için klasik olasılık tanımı, Çarpma Teoremleri / Etkinlik Eklemeleri Ve diğer cipsler terver:

Örnek 2.

Kutuda, aralarında 12 kazanan 50 piyango bileti var ve 2 tanesi 1000 ruble kazandı ve geri kalanı 100 ruble. Rasgele bir değişkenin dağıtımını - kazançlar boyutu, bir bilet, kutudan rastgele çıkarılırsa.

Karar: Fark ettiğiniz gibi, rastgele değişkenin değerleri, içine yerleştirilecek olan değerlerdir. arttıkça. Bu nedenle, en küçük kazançlarla başlıyoruz ve ruble.

Toplam plakalar 50 - 12 \u003d 38 ve klasik tanımı:
- Kefaretin öğrenilmiş bir bilet alınması olasılığı biraz olacaktır.

Davanın geri kalanıyla her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:

Kontrol: - Ve bu, bu tür görevlerin özellikle hoş bir anı!

Cevap: İkinci kazanım yasası:

Öz Çözümler için aşağıdaki görev:

Örnek 3.

Shooter'ın hedefe ulaşması olasılığı eşittir. Rastgele bir değişkenin dağılımını - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.

... onu özlediğini biliyordum :) hatırlıyorum Çarpma ve ek teoremler. Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Dağıtım yasası, rastgele bir tutarı tamamen açıklar, ancak, yalnızca bazılarını bilmek pratikte (ve bazen daha yararlı) yararlıdır. sayısal özellikler .

Ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Basit dilde, orta fiyatlı değer Birden fazla test tekrarı ile. Rasgele bir değer olasılıkla değerler alsın sırasıyla. Sonra bu rasgele değişkenin matematiksel beklentisi eşittir İşin miktarı İlgili olasılıklar üzerindeki tüm değerleri:

veya bükülmüş formda:

Örneğin, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini hesaplayın - bir oyun kabinine düşen nokta sayısı:

Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:

Soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu hiç oynamanın karlı mı? ... Hiçbir izlenimi kim var? Sonuçta, "offhdka" ve söyleyemezsiniz! Ancak bu soru kolayca cevaplandırılabilir, matematiksel beklentiyi hesaplamak, aslında - tartı Olasılıklarda, kazançlar:

Böylece, bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.

İzlenimler inanmayın - kamyon!

Evet, burada üst üste 10 ve hatta 20-30 kez kazanabilirsiniz, ancak uzun bir mesafede kaçınılmaz bir harabeyi bekliyoruz. Ve bu tür oyunları oynamanızı tavsiye etmem :) iyi, belki sadece eğlence uğruna.

Yukarıdakilerden, matematiksel beklentinin artık rastgele bir değer olmadığını izler.

Kendi kendine çalışma için yaratıcı görev:

Örnek 4.

Bay X, aşağıdaki sistemde bir Avrupa ruleti oynatır: sürekli olarak "kırmızı" için 100 ruble koyar. Rastgele bir değişkenin dağıtımını yapmak - kazancıları. Kazançların matematiksel beklemesini hesaplayın ve Kopecks'e yuvarlayın. kaç ortalama Sağlanan her yüzlerce bir oyuncuyu kaybeder mi?

referans : Avrupa ruleti 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (sıfır) içeriyor. "Kırmızı" bir oyuncunun durumunda, iki kat fazla ücret ödenir, aksi takdirde casino gelirine girer

Olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz pek çok rulet oyun sistemi vardır. Ancak, herhangi bir dağıtım ve tablo yasasına ihtiyacımız olmadığımız durum budur, çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tam olarak aynı olacağı tahmin edilmektedir. Sistemden sisteme sadece değişiyor