Görev. X ve Y'nin karşılık gelen aralıklarla X ve Y değerlerinin isabet sayısı tabloda gösterilir. Bu verilere göre, X başına X ve X başına doğrudan regresyon hatlarının seçici bir korelasyon katsayısı ve seçici denklemlerini bulun.
Karar

Misal. İki boyutlu rasgele değişkenin (X, Y) olasılık dağılımı bir tabloya ayarlanır. X, Y ve korelasyon katsayısı P (x, y) değerlerinin bileşenlerinin dağılımının yasalarını bulun.
İndirme Kararı

Görev. İki boyutlu ayrık değer (X, Y) Dağıtım Kanunu tarafından tanımlanır. X ve Y, kovaryans ve korelasyon katsayısı bileşenlerinin dağılımının yasalarını bulun.

İki boyutlu bir rastgele tutar ( X., Y.), olası değerlerin sayıları çiftleri ( x, U.). Bileşik X. ve Y.aynı anda form olarak kabul edilir sistem İki rastgele değişken.

İki boyutlu değer, rastgele bir nokta olarak geometrik olarak yorumlanabilir. M.(H.; Y.) yüzeyde xoy. Ya rastgele bir vektör olarak OM..

Ayrık Ayrık olan iki boyutlu değeri olarak adlandırılır.

Sürekli Sürekli olan iki boyutlu değeri olarak adlandırılır.

Dağıtım hukuku İki boyutlu rastgele değişkenin olasılıkları, olası değerler ile olasılıkları arasındaki yazışma denir.

Ayrık iki boyutlu rastgele değişkenin dağıtım kanunu, mümkündür: a) olası değerleri içeren çift girişi ve olasılıkları içeren bir tablo biçiminde; b) analitik olarak, örneğin bir dağıtım fonksiyonu biçiminde.

Dağıtım işlevi İki boyutlu rastgele değişkenin olasılıkları işlevi çağırır F (x, y)Her sayı çifti için tanımlama (x, y) olasılığı X. x'den daha az bir değer alacak ve aynı zamanda Y. daha az değer alacak y.:

F (x, y) \u003d p (x< x, Y < y).

Geometrik olarak, bu eşitlik aşağıdaki gibi yorumlanabilir: F (x, y) Rastgele bir nokta olasılığı vardır ( X, Y.) Bir köşe ile sonsuz bir kadranda düşecek ( x, y)Sola ve bu tepenin altına yerleştirilir.

Bazen "Dağıtım İşlevi" terimi yerine "Integral Fonksiyon" terimini kullanın.

Dağıtım fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Mülk 1.. Dağıtım fonksiyonu değerleri, çift eşitsizliği memnun eder

0 ≤ f (x, y) ≤ 1.

Mülk 2.. Dağıtım işlevi, her argüman için kesilmeyen bir işlevdir.:

F (x 2, y) ≥ f (x 1, y), x 2\u003e x 1 ise,

F (x, y2) ≥ F (x, y 1), Y2\u003e Y 1 ise.

Mülk 3.. Aşırı oranlar gerçekleşir:

1) f (-∞, y) \u003d 0,

3) f (-∞, -∞) \u003d 0,

2) f (x, -∞) \u003d 0,

4) f (∞, ∞) \u003d 1.

Emlak 4.. fakat) Altında=∞ sistem dağıtım fonksiyonu, X'in dağıtım fonksiyonu olur.:

F (x, ∞) \u003d f 1 (x).

b) X ile = ∞ sistem dağıtım fonksiyonu, Y'nin dağıtım fonksiyonu haline gelir:

F (∞, y) \u003d f2 (y).

Dağıtım fonksiyonunu kullanarak, rastgele bir noktanın olasılığını bir dikdörtgenin içinde bulabilirsiniz. x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Olasılıkın eklem dağılımının yoğunluğu (iki boyutlu olasılık yoğunluğu) Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenler, dağıtım fonksiyonundan ikinci karışık türev olarak adlandırılır:

Bazen "iki boyutlu olasılık yoğunluğu" terimi yerine, "diferansiyel sistem işlevi" terimi kullanılır.

Eş-dağıtım yoğunluğu, gelen rastgele noktaların olasılık oranının, partilerle bir dikdörtgen haline getirilmesi olarak görülebilir. x. ve D. y. her iki taraf da sıfır için çaba gösterdiğinde, bu dikdörtgenin karesine; geometrik olarak denilen bir yüzey olarak yorumlanabilir yüzey dağılımı.

Dağıtım yoğunluğunu bilmek, dağıtım fonksiyonunu formülle bulabilirsiniz.

Gelen rastgele nokta (X, Y) bölgeye olan olasılığı eşitlik ile belirlenir.

İki boyutlu olasılık yoğunluğu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Mülk 1.. İki boyutlu olasılık yoğunluğu negatif değildir:

f (x, y) ≥ 0.

Mülk 2.. İki boyutlu olasılık yoğunluğundan sonsuz sınırlar ile çift dokunulmazlık integrali birliğe eşit :

Özellikle, mümkün olan tüm değerler (x, y) son bölgeye aitse, o zaman

226. Ayrık iki boyutlu rastgele değişkenin olasılık dağılımı ayarlandı:

Bileşenlerin dağıtım yasalarını bulun.

228. İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağıtım fonksiyonu ayarlanır.

Gelen rastgele bir nokta olasılığını bulun ( X, Y. x. = 0, x. \u003d P / 4, y. \u003d P / 6, y. \u003d P / 3.

229. Gelen rastgele bir nokta olasılığını bulun ( X, Y.) düz bir dikdörtgende x. = 1, x. = 2, y. = 3, y. \u003d 5, Dağıtım işlevi biliniyorsa

230. İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağıtım fonksiyonu ayarlanmıştır.

İki boyutlu sistem olasılığı yoğunluğunu bulun.

231. Çemberde x 2 + y2 ≤ r 2 iki boyutlu olasılık yoğunluğu; Dairenin dışında f (x, y) \u003d0. Bul: a) kalıcı C.; b) Gelen rastgele bir nokta olasılığı ( X, Y.) yarıçap aralığında r. \u003d 1 Koordinatların başında ortalanmışsa R. = 2.

232. İlk kadran, iki rastgele değişken sistemin dağılımının bir fonksiyonu verilir. F (x, y) \u003d 1 + 2 - X - 2 - Y + 2 - X- Y. Bulun: a) sistemin olasılığının iki boyutlu yoğunluğu; b) Gelen rastgele bir nokta olasılığı ( X, Y.) köşeleri olan bir üçgende A.(1; 3), B.(3; 3), C.(2; 8).

8.2. Olasılık bileşenlerinin dağıtımının şartlı yasaları
Ayrık İki Boyutlu Rastgele Değişken

Bileşenlere izin ver X. ve Y. Ayrık ve sırasıyla aşağıdaki olası değerlere sahip: x 1, x 2, ..., x n; y 1, y2, ..., y m.

Komponent X Koşullu Dağılımı için Y \u003d y j (J, tüm olası tüm değerler için aynı değeri korur.), Bir dizi koşullu olasılık olarak adlandırılır.

p (x 1 | y j), p (x 2 | y j), ..., p (x n | y j).

Benzer şekilde, Y'nin şartlı dağılımı

X ve Y bileşenlerinin koşullu olasılıkları formüllere göre hesaplanır.

Hesaplamaları kontrol etmek için, koşullu dağılımın olasılıklarının toplamının birine eşit olduğundan emin olmak önerilir.

233. Ayrık İki Boyutlu Rastgele Değişken ( X, Y.):

Bulun: a) Koşullu Dağıtım Kanunu X. şartıyla Y.\u003d 10; b) şartlı dağıtım hukuku Y. şartıyla X.=6.

8.3. Yoğunluklar ve şartlı dağıtım yasalarını tanıtmak
Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenleri oluşturan

Bileşenlerden birinin dağıtım yoğunluğu eşittir uyumsuz ayrılmaz Eklem dağılım sisteminin yoğunluğunda sonsuz sınırlar ve diğerine karşılık gelen değişken bir bileşenin entegrasyonu:

Burada, bileşenlerin her birinin olası değerlerinin tüm sayısal eksene ait olduğu varsayılmaktadır; Olası değerler sonlu aralığa aitse, entegrasyonun sınırlarını uygun şekilde sınırlı sayıda kullanır.

X bileşeninin dağılımının koşullu yoğunluğu Belirli bir anlam için Y \u003d y. Eş-dağıtım yoğunluğu sisteminin dağılım yoğunluğu bileşenine oranını arayın Y.:

Benzer şekilde, bileşenin dağılımının koşullu yoğunluğu belirlenir Y.:

Rastgele değişkenlerin koşullu dağılım yoğunluğu ise X. ve Y. Koşulsuz yoğunluklarına eşit, o zaman bu değerler bağımsızdır.

Üniforma İki boyutlu sürekli rastgele değişkenin dağılımını arayın ( X, Y.) Bölgede tüm olası değerlere sahipseniz ( x, U.), Olasılık'ın ortak dağılım yoğunluğu sabit değer tasarrufu sağlar.

235. Sürekli iki boyutlu rasgele değişkenin (X, Y) eklem dağılımının yoğunluğu ayarlanmıştır.

Bulun: a) Bileşenlerin yoğunluk dağılımı; b) Dağıtımın oluşturulmasının koşullu yoğunlukları.

236. Sürekli iki boyutlu rastgele bir değişkenin eklem dağılımının yoğunluğu ( X, Y.)

Bul: a) Kalıcı çarpan C.; b) Bileşenlerin dağılımının yoğunluğu; c) Bileşenlerin koşullu yoğunluk dağılımı.

237. Sürekli İki Boyutlu Rastgele Değişken ( X, U.) Dikdörtgenin içindeki dikdörtgenin içinde, koordinatların ve partilerin 2A ve 2B'sinin başlangıcındaki simetri merkeziyle eşit şekilde dağıtılır, koordinat eksenlerine paraleldir. Bulun: a) sistemin olasılığının iki boyutlu yoğunluğu; b) Bileşenlerin dağılımının yoğunluğu.

238. Sürekli iki boyutlu rastgele değer ( X, U.) içeride eşit dağılmış dikdörtgen üçgen Köşeleri ile Ö.(0; 0), FAKAT(0; 8), İÇİNDE(8; 0). Bulun: a) sistemin olasılığının iki boyutlu yoğunluğu; b) Bileşenlerin yoğunluğu ve koşullu yoğunluk dağılımı.

8.4. Sürekli sistemin sayısal özellikleri
İki rastgele değişken

X ve Y Sürekli İki Boyutlu Rastgele Değişken (X, Y) bileşenlerinin dağıtım yoğunluğunu bilerek, matematiksel beklentilerini ve dispersiyonunu bulabilirler:

Bazen iki boyutlu olasılık yoğunluğu içeren formülleri kullanmak uygundur ( Çift integraller Sistemin olası değerleri alanında alınırlar):

İlk, tork n k, s sipariş k + S. Sistemler ( X, Y.) İşin matematiksel beklentisini arayın X k y s:

n k, s \u003d m.

Özellikle,

n 1.0 \u003d m (x), n 0.1 \u003d m (y).

Orta an m k, s sipariş k + S. Sistemler ( X, Y.) Sırasıyla, sapma çalışmalarının matematiksel beklentisini arayın. k.-y I. s.- ve dereceler:

m k, s \u003d m (k ∙ s).

Özellikle,

m 1.0 \u003d m \u003d 0, m 0.1 \u003d m \u003d 0;

m 2.0 \u003d m 2 \u003d d (x), m 0.2 \u003d m2 \u003d d (y);

Korelasyon torku m xu Sistemler ( X, Y.) merkez anı arayın m 1,1 Yaklaşık 1 + 1:

m xu \u003d m (∙).

Korelasyon katsayısı X ve Y değerleri, korelasyon şutunun bu miktarların ortalama ikinci dereceden sapmalarının ürününe oranı olarak adlandırılır:

r xy \u003d m xy / (s x s y).

Korelasyon Katsayısı - Boyutsuz Değer ve | r xy.| ≤ 1. Korelasyon katsayısı, yakınlığı değerlendirmek için kullanılır doğrusal bağlantı arasında X. ve Y.: Korelasyon katsayısının mutlak değerini birine yaklaştırın, bağlantı daha güçlüdür; Korelasyon katsayısının mutlak değeri sıfıra yaklaştırın, bağlantı zayıftır.

Korelasyonlu Korelasyonları sıfırdan farklı ise, iki rastgele değişken olarak adlandırılır.

Önemsiz Korelasyonları sıfır ise iki rastgele değişken çağrılır.

İki korelasyonlu değer de bağımlıdır; İki değer bağımlıysa, hem korelasyonlu hem de ilişkili olmayanlar olabilir. İki büyüklüğün bağımsızlığının, korozyon olmayanları takip ediyor, ancak korozyon dışı, bu değerlerin bağımsızlığı hakkında hala imkansızdır (bu değerlerin korozyonundan kaynaklanan normal dağıtılmış değerler için) bağımsızlık akışları).

X ve Y'nin sürekli değerleri için, korelasyon anı formüller tarafından bulunabilir:

239. Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenin (X, Y) eş-dağıtım yoğunluğu ayarlanmıştır:

Bulun: a) Matematiksel beklentiler; b) X ve Y bileşenlerinin dispersiyonları.

240. Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenin (X, Y) bir ortak dağıtım yoğunluğu ayarlanmıştır:

Matematiksel beklentileri ve dispersiyon bileşenlerini bulun.

241. Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenin bir ortak dağıtım yoğunluğu ayarlanmıştır ( X, y): f (x, y) \u003d 2 cosx rahat Kare 0 ≤ x. ≤P / 4, 0 ≤ y. ≤p / 4; Dış kare f (x, y) \u003d 0. Bileşenlerin matematiksel beklentilerini bulun.

242. Rastgele değişken sisteminin iki boyutlu olasılık yoğunluğu ise ( X, Y.) biri sadece bağlı olan iki fonksiyonun bir ürünü olarak gösterilebilir. x.ve diğer - sadece y., sonra değerler X. ve Y. Bağımsız.

243. Bunu kanıtlayın X. ve Y. Doğrusal bağımlılık ilişkilidir Y. = balta. + b., Korelasyon katsayısının mutlak değeri birine eşittir.

Karar. Korelasyon katsayısını belirlemek için,

r xy \u003d m xy / (s x s y).

m xu \u003d m (∙). (*)

Matematiksel beklentiyi buluruz Y.:

M (y) \u003d m \u003d am (x) + b. (**)

(**) 'in (**), temel dönüşümlerden sonra (**)

m xu \u003d AM 2 \u003d AD (x) \u003d 2 x olarak.

Hesaba katıldığında

Y - m (y) \u003d (AX + B) - (AM (x) + B) \u003d a,

dispersiyon bulmak Y.:

D (Y) \u003d m2 \u003d a 2 m2 \u003d a 2 s 2 x.

Buradan s y \u003d | a | s x. Sonuç olarak, korelasyon katsayısı

Eğer bir a. \u003e 0, sonra r xy. \u003d 1; Eğer bir a. < 0, то r xy. = –1.

Yani, | r xy.| \u003d 1, kanıtlamak için gerekli olan.

Tanım.Aynı ilköğretim etkinlik alanında iki rastgele değişken belirtilirse H. ve Y,ne sorulduğunu söylüyorlar İki boyutlu rastgele miktar (x, y) .

Misal. Makine pulları çelik fayans. Uzunluk kontrol edilir H. Ve genişlik Y.. - İki boyutlu St.

St. H. ve Y. Kendi dağıtım fonksiyonlarına ve diğer özelliklerine sahip olmak.

Tanım. İki boyutlu rasgele değişkenin (X, Y) dağılımının işlevi İşlev denir.

Tanım. Ayrık İki Boyutlu Rastgele Değişken'in Dağılımı Yasası (X, Y) tablo denir

İki boyutlu ayrık SV için.

Özellikleri:

2) Eğer öyleyse ; Eğer o zaman ;

4) - Dağıtım işlevi H.;

- Dağıtım işlevi Y.

İki boyutlu St.'nin değerlerini bir dikdörtgenin içine alma olasılığı:

Tanım. İki boyutlu rastgele miktar (X, y) aranan sürekli Dağıtım işlevi varsa sürekli açık ve her yere sahiptir (belki de sınırlı sayıda eğri hariç) 2. sıranın sürekli karışık özel türevi .

Tanım. İki boyutlu sürekli olasılıkların eklem dağılımının yoğunluğu İşlev denir.

Sonra, belli ki, .

Örnek 1. İki boyutlu sürekli ilişkili dağıtım fonksiyonu

Sonra dağıtım yoğunluğu

Örnek 2. İki boyutlu sürekli ilişkili dağıtım yoğunluğu

Dağıtım fonksiyonunu buluruz:

Özellikleri:

3) Herhangi bir alan için.

Eş-dağıtım yoğunluğunun bilinmesine izin verin. Ardından, iki boyutlu SV'nin bileşenlerinin her birinin dağıtım yoğunluğu aşağıdaki gibidir:

Örnek 2 (devam).

İki Boyutlu St. Bazı Yazarlar Çağrısının Dağıtım Yoğunluğu Bileşeni marjinalolasılık Dağıtım Dişleri .

Ayrık SV'nin bileşenlerinin koşullu yasaları.

Koşullu olasılık nerede.

Şartlı dağıtım hukuku H. İle:

Nereye benzer.

Koşullu bir dağıtım hukuku yapmak H. için Y \u003d.2.

Sonra şartlı dağıtım hukuku

Tanım. X bileşeninin dağılımının koşullu yoğunluğu belirli bir anlam için Y \u003d y. aranan.

Benzer şekilde:.

Tanım. Şartlı matematiksel Ayrık St. Y beklentisi Sonra burada - yukarıya bakın.

Dolayısıyla.

İçin sürekliSt. Y. .

Açıkçası, bir argüman işlevidir. h.. Bu özellik denir x'in regresyon işlevi .

Benzer şekilde belirlenmiş y üzerindeki regresyon fonksiyonu : .

Teorem 5. (bağımsız SV'nin dağıtım fonksiyonunda)

St. H.ve Y.

Corollary. Sürekli St. H.ve Y. eğer ve sadece ne zaman bağımsızdır.

Örnek 1'de. Sonuç olarak, St. H.ve Y.bağımsız.

İki boyutlu rasgele değişkenin bileşenlerinin sayısal özellikleri

Ayrık st.:

Sürekli SV için :.

Tüm SV için dispersiyon ve ikincil ikinci dereceden sapma, ABD tarafından bilinen aynı formüllerle belirlenir:

Tanım.Nokta denir merkez dağılımı İki Boyutlu St.

Tanım. Kovaryans (korelasyon torku) SV denir

Ayrık SV :.

Sürekli SV için :.

Hesaplama için formül:.

Bağımsız SV için.

Özelliklerin rahatsızlıkları boyutudur (bileşenlerin ölçüm biriminin karesi). Bu eksiklik bir sonraki değer ücretsizdir.

Tanım. Korelasyon katsayısı St. H. ve Y. aranan

Bağımsız SV için.

SV'nin herhangi bir çift için . Bilindi ki sonra ve sadece ne zaman, nerede.

Tanım. St. H. ve Y. aranan önemsiz , Eğer bir .

Korelasyonlar ile SV'nin bağımlılığı arasındaki ilişki:

- Eğer St. H. ve Y. korelasyonlu, yani , bağımlıdırlar; Zıt doğru değil;

- Eğer St. H. ve Y. Bağımsız, T. ; Karşılıklı doğru değil.

Not 1. Eğer St. H. ve Y. normal yasalara göre dağıtılmış ve , sonra onlar bağımsız.

Not 2. Pratik değer bir önlem olarak, bağımlılık sadece çiftin ortak dağılımı normal veya yaklaşık normal olduğunda haklı çıkarılır. Keyfi St. H. ve Y. Hatalı bir çıkışa gelebilir, yani. olabilir ne zaman bile H. ve Y. katı fonksiyonel bağımlılık ile ilişkili.

Note3. İÇİNDE matematiksel İstatistikler Korelasyon, genel olarak konuşmayan, kesinlikle işlevsel nitelikte olmayan değerler arasında olasılıksal (istatistiksel) bağımlılık denir. Korelasyon bağımlılığı, değerlerden biri sadece bu saniyede değil, aynı zamanda bir dizi rastgele faktöre de bağlı olduğunda veya bir dizi rastgele faktöre bağlı olduğunda veya bir veya başka bir değerin bağlı olduğu koşullar arasında, bunlar için genel koşullar var.

Örnek 4.Aziz için H. ve Y. Örnek 3'den .

Karar.

Örnek 5.İki boyutlu St.'nin ortak dağılımının yoğunluğu

Tanım 2.7. Bu bir çift rastgele sayısaldır (x, Y) veya koordinat düzleminin üzerine işaret (Şekil 2.11).

İncir. 2.11.

İki boyutlu bir rastgele değer, çok boyutlu bir rastgele değişken veya rastgele bir vektörün özel bir durumdur.

Tanım 2.8. Casual vektör - bu rastgele fonksiyon?, (/) Sonlu bir argümanın olası değerlerinin bir katı ile t herhangi bir anlamda olan değeri t. Bu rastgele bir değişkendir.

Koordinatları sürekli ve koordinatları ayrıksa, iki boyutlu rasgele bir değişken olarak adlandırılır.

İki boyutlu rastgele değişkenlerin dağıtım yasasını belirlemek için - bu, olası değerleri ile bu değerlerin olasılığı arasında bir yazışma oluşturmak anlamına gelir. Görev yöntemlerine göre, rastgele değişkenler sürekli ve ayrık, olmasına rağmen genel yöntemler Herhangi bir SV'nin dağıtım yasasını belirlemek.

Ayrık İki Boyutlu Rastgele Değişken

Ayrık iki boyutlu rastgele değişken, dağıtım tablosu kullanılarak ayarlanır (Tablo 2.1).

Tablo 2.1

SV dağıtım tablosu (eklem dağılımı) ( X., Y)

Tablonun elemanları formül tarafından belirlenir.

Dağıtım tablosu özelliklerinin özellikleri:

Her koordinat için dağıtım denir tek boyutluveya marjinal:

r 1> \u003d P (x \u003d .g,) - Marjinal dağılımı X.;

p ^ 2) = P (y \u003d y,) - St. U.'nin marjinal dağılımı.

İletişim ortak dağılımı X. ve y bir dizi olasılık verildi [P ()), ben = 1,..., n, J. = 1,..., t. (Dağıtım tablosu) ve marjinal dağılım.

Benzer şekilde St. p- 2) \u003d X. r, G.

Görev 2.14. Verilen:

Sürekli iki boyutlu rastgele değişken

/ (x, y) dxdy. - İki boyutlu bir rastgele değişken (x, y) için olasılık elemanı, rastgele varyansın (X, Y) tarafları olan bir dikdörtgenin olasılığıdır. cBC, DY. için dx, dy. -* 0:

f (x, y) - dağıtım yoğunluğu İki boyutlu rasgele değişken (x, y). Görev / (x, y) İki boyutlu rasgele değişkenin dağılımı hakkında tam bilgi veriyoruz.

Marjinal dağılımlar aşağıdaki gibi verilmiştir: X ile - SV X /, (X) dağılımının yoğunluğu; tarafından Y. - St.'nin dağılımının yoğunluğu f\u003e (Y).

İki boyutlu rasgele değişken dağılım fonksiyonunun dağıtım yasasını ayarlama

Ayrık veya sürekli iki boyutlu rastgele değişken için dağıtım kanunu belirlemenin evrensel bir yolu dağıtım fonksiyonudur. F (x, y).

Tanım 2.9. F (x, y) dağılımının işlevi - Olayların ortak görünümünün olasılığı (HU), yani. F (x 0, y n) \u003d \u003d P (H. y) Koordinat düzleminde terkedilmiş, M (x 0, y ve) (Şekil 2.12 bölgesindeki gölgede).

İncir. 2.12. Dağıtım fonksiyonunun gösterimi F ( x, y)

Özellikler fonksiyonu F (x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F (-OO, -OO) \u003d. F (x, -OO) \u003d F (-OO, y) \u003d. 0; F (oo, oo) \u003d 1;
• 3) F (x, y) - Her argüman için tutarsız;
• 4) F (x, y) - solda ve altında sürekli;
• 5) Dağılımların Tutarlılığı:

F (x, X: f (x, oo) \u003d F, (x); F (y, OO) - Marjinal Dağıtım Y f (oo y) \u003d f 2 (y).İletişim / (x, y) dan F (x, y):

Bir eklem yoğunluğunu marjinal ile birleştirin. Dana f (x, y). Marjinal dağıtım yoğunluğunu alıyoruz f (x), f 2 (y). "

İki boyutlu rastgele değişkenin bağımsız koordinatları durumu

Tanım 2.10. St. X.ve Ynevi'ye bağlı (NZ) Bu SV'nin her biriyle ilişkili herhangi bir olay bağımsızdır. NZ SV'nin tanımından:

• 1 ) Pij \u003d p x) pf
• 2 ) F (x, y) \u003d f l (x) f 2 (y).

Bağımsız için ortaya çıktı X. ve Y. Yaptım ben.

3 ) F (x, y) \u003d j (x) f, (y).

Bunu bağımsız için kanıtlıyoruz X. ve Y 2) 3). Kanıt, a) 2) yerine getirilsin), yani.

aynı zamanda F (x, y) \u003d F J. f (u, v) dudv, Nerede ve 3);

b) şimdi izin ver 3), sonra

şunlar. Doğru 2).

Görevleri düşünün.

Görev 2.15. Dağıtım aşağıdaki tabloda belirtilir:

Marjinal dağılımlar oluşturun:

Teslim almak P (x \u003d 3, W. = 4) = 0,17 * P (x \u003d 3) p (y \u003d 4) \u003d 0.1485 \u003d\u003e \u003d\u003e X. ve az gelişmiş.

Dağıtım işlevi:

Görev 2.16. Dağıtım aşağıdaki tabloda belirtilir:

Teslim almak P TL \u003d. 0.2 0.3 \u003d 0.06; P 12 \u003d 0,2? 0.7 \u003d 0.14; P 2L = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; P 22 - 0.8 0.7 \u003d 0.56 \u003d\u003e SV X. ve Y. Nz.

Görev 2.17. Dana / (x, y) \u003d. 1 / ME ЕХР | -0.5 (d "+ 2h +. 5 g / 2)]. Bulmak Oh) ve / Au) -

Karar

(Kendinizi düşünün).

$ (X, y) $ 'lık iki boyutlu rastgele değerinin.

Tanım 1.

İki boyutlu rastgele değişkenin (X, Y) $ 'nın dağılımının yasası, $ (x_i, \\ y_j) $ (x_i, \\ y_j) $ (Nerede $ x_i \\ epsilon x, \\ y_j \\ epsilon y $) ve onların olasılıkları $ p_ (ij) $.

En sık, iki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılımı yasası, tablo olarak kaydedilir (Tablo 1).

Şekil 1. İki boyutlu rasgele değişkenin dağılımının yasası.

Şimdi hatırla Bağımsız olayların olasılıklarının eklenmesinde teorem.

Teorem 1.

Sonlu sayıda bağımsız etkinlik miktarının olasılığı $ (\\ a) _1 $, $ (\\ a) _2 $, ..., $ \\ (\\ a) _N $ formül tarafından hesaplanır:

Bu formülü kullanarak, iki boyutlu rastgele bir değişkenin her bileşeni için dağıtım yasalarını alabilirsiniz, yani:

Buradan, iki boyutlu sistemin tüm olasılıklarının toplamının aşağıdaki forma sahip olduğunu takip edecektir:

İki boyutlu rastgele değişkenin dağıtım yasası kavramı ile ilgili sorunu (kademeli olarak) düşünün.

Örnek 1.

İki boyutlu rastgele değişkenin dağıtım yasası aşağıdaki gibidir:

Şekil 2.

Rastgele değişkenlerin dağılımının yasalarını, $ X, \\ Y $, $ X + Y $ ve her durumda, toplam olasılık biriminin eşitliğinin yerine getirilmesini sağlar.

1. İlk başta, rastgele rastgele bir değişkenin rastgele değişkeninin dağılımını bulun. $ X $ rasgele bir değer, $ X_1 \u003d 2, $ X_2 \u003d 3, $ X_3 \u003d 5 $ 'a değer alabilir. Dağıtımı bulmak için teorem 1'i kullanacağız.

İlk başta aşağıdaki gibi x_1 $ olasılıklarının miktarını bulun:

Figür 3.

Benzer şekilde, $ p \\ sol (x_2 \\ sağ) $ ve $ p \\ sol (x_3 \\ sağ) $ buluruz:

\ \

Şekil 4.

1. Şimdi $ Y $ 'ın rastgele değişkeninin dağılımını buluyoruz. Rastgele değer $ Y $ değer alabilir $ x_1 \u003d 1, $ x_2 \u003d 3, $ x_3 \u003d 4 $. Dağıtımı bulmak için teorem 1'i kullanacağız.

$ Y_1 $ olasılığının başında aşağıdaki gibi bulun:

Şekil 5.

Benzer şekilde, $ P \\ Sol (Y_2 \\ sağ) $ ve $ p \\ Sol (Y_3 \\ sağ) $ buluruz:

\ \

Bu, $ X $ değerinin dağılımı miktarının aşağıdaki forma sahip olduğu anlamına gelir:

Şekil 6.

Tam olasılık miktarının eşitliğini yerine getirmeyi kontrol edin:

1. $ X + Y $ rasgele değişkenin dağılımının yasasını bulmak için kalır.

$ Z $: $ z \u003d x + y $ ile rahatlık için belirtir.

Başlangıçta, bu değerin hangi değerlerin alabileceğini buluruz. Bunu yapmak için, ABD Doları ve $ y $ değerinin değerlerini eşleştireceğiz. Aşağıdaki değerleri elde ediyoruz: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Şimdi, tesadüfleri atarak, $ X + Y $ rastgele değerinin değerlerini alabildiğini elde ediyoruz. $ Z_1 \u003d 3, \\ z_2 \u003d 4, \\ z_3 \u003d 5, \\ z_4 \u003d 6, \\ z_5 \u003d 7, \\ z_6 \u003d 8, \\ z_7 \u003d 9. \\ $

$ P (z_1) $ bul. $ Z_1 $ değerinin bir olduğundan, şu şekildedir:

Şekil 7.

Benzer şekilde, $ P (Z_4) $ hariç, olasılıklar var:

Şimdi aşağıdaki gibi $ P (Z_4) $ bulacağız:

Şekil 8.

Böylece, $ Z $ değerinin dağılımı yasası aşağıdaki forma sahiptir:

Şekil 9.

Tam olasılık miktarının eşitliğini yerine getirmeyi kontrol edin: