Belirli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun. beklenti formülü

DSV karakteristikleri ve özellikleri. Matematiksel beklenti, varyans, standart sapma

Dağılım yasası, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder. Ancak, dağıtım yasasını bulmak imkansız olduğunda veya bu gerekli olmadığında, kendinizi sayısal özellikler adı verilen değerleri bulmakla sınırlayabilirsiniz. rastgele değişken... Bu değerler, rastgele bir değişkenin değerlerinin etrafında gruplandığı bazı ortalama değerleri ve bunların bu ortalama değer etrafındaki dağılım derecesini belirler.

matematiksel beklenti Kesikli bir rasgele değişken, bir rasgele değişkenin olası tüm değerlerinin, olasılıklarına göre ürünlerinin toplamıdır.

Matematiksel beklenti, eşitliğin sağındaki seriler mutlak yakınsaksa vardır.

Olasılık açısından, matematiksel beklentinin, rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası bilinmektedir. Beklenen değeri bulun.

Çözüm:

9.2 Matematiksel beklentinin özellikleri

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir.

2. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinin ötesinde çıkarılabilir.

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için geçerlidir.

4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için de geçerlidir.

n bağımsız test yapılsın, A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşit olsun.

Teorem. n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), her denemede olayın meydana gelme olasılığı ile deneme sayısının çarpımına eşittir.

Örnek. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, rastgele bir değişken Z'nin matematiksel beklentisini bulun: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Çözüm:

9.3 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Ancak, matematiksel beklenti rastgele bir süreci tam olarak karakterize edemez. Matematiksel beklentiye ek olarak, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentiden sapmasını karakterize eden bir değer girmek gerekir.

Bu sapma, rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir. Bu durumda sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır. Bunun nedeni, bazı olası sapmaların olumlu, diğerlerinin olumsuz olması ve karşılıklı geri ödemelerinin bir sonucu olarak sıfır elde edilmesidir.

Dispersiyon (dispersiyon) kesikli bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.

Pratikte, varyansı hesaplamak için bu yöntem elverişsizdir, çünkü yol açar Büyük bir sayı hantal hesaplamalar için rastgele bir değişkenin değerleri.

Bu nedenle farklı bir yöntem kullanılmaktadır.

Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir..

Kanıt. Matematiksel beklenti M (X) ve matematiksel beklenti M 2 (X)'in karesinin sabit değerler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:

Örnek. Dağılım kanunu tarafından verilen kesikli bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

Çözüm: .

9.4 Dağılımın özellikleri

1. Sabitin varyansı sıfırdır. ...

2. Sabit faktörün karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir. ...

3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değerlerin varyanslarının toplamına eşittir. ...

4. İki bağımsız rastgele değişkenin farkının varyansı, bu değerlerin varyanslarının toplamına eşittir. ...

Teorem. Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının p sabit olduğu n bağımsız denemede bir A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısı ile gerçekleşme ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir. Her denemede bir olayın meydana gelmesi.

9.5 Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması

Ortalama kare sapma X rastgele değişkenine varyansın karekökü denir.

Teorem. Sonlu sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının standart sapması kare kök bu değerlerin standart sapmalarının karelerinin toplamından.

Dağılım yasası, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder. Ancak, dağıtım yasası genellikle bilinmez ve kişi kendini daha az bilgiyle sınırlamak zorundadır. Bazen toplamda rastgele bir değişkeni tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olur, bu tür sayılara denir. sayısal özellikler rastgele değişken. Matematiksel beklenti önemli sayısal özelliklerden biridir.

Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti, rastgele değişkenin ortalama değerine yaklaşık olarak eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcı tarafından nakavt edilen puan sayısının matematiksel beklentisinin ikincininkinden daha büyük olduğu biliniyorsa, o zaman ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve bu nedenle, ikinciden daha iyi vuruyor.

Tanım 4.1: matematiksel beklenti kesikli bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ürünlerinin olasılıklarına göre toplamı olarak adlandırılır.

Rastgele değişken olsun x sadece değerleri alabilir x 1, x 2, ... x n olasılıkları sırasıyla eşit olan s 1, s 2, ... s n. O zaman beklenti M (X) rastgele bir değişkenin x eşitlik ile tanımlanır

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n.

Ayrık bir rastgele değişken ise x sayılabilir bir dizi olası değer alır, ardından

,

üstelik eşitliğin sağındaki seri mutlak yakınsak ise beklenti vardır.

Örnek. Bir olayın beklenen oluşum sayısını bulun A bir denemede, eğer bir olayın olasılığı A eşittir P.

Çözüm: rastgele değer x- olayın meydana gelme sayısı A Bernoulli dağılımına sahiptir, bu nedenle

Böylece, bir denemede bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, bu olayın olasılığına eşittir.

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilmesine izin ver n rastgele değişkenin olduğu testler x kabul edilmiş m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x 2 ,…, mkçarpı değer x k, ve m 1 + m 2 +… + mk = n... Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı x, eşittir x 1 m 1 + x 2 m 2 +… + x k m k .

Rastgele bir değişken tarafından alınan tüm değerlerin aritmetik ortalaması olacaktır.

Davranış ben / n- göreceli frekans ben anlam x ben olayın gerçekleşme olasılığına yaklaşık olarak eşittir ben, nerede , Öyleyse

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı aşağıdaki gibidir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Matematiksel beklenti özellikleri

Mülk1:Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir

Mülk2:Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir.

Tanım 4.2: İki rastgele değişken arandı bağımsız, birinin dağılım yasası, diğerinin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi halde rastgele değişkenler bağımlıdır.

Tanım 4.3: Birkaç rastgele değişken arandı karşılıklı bağımsız, herhangi bir sayıdaki dağıtım yasaları, kalan miktarların olası değerlerine bağlı değilse.

Mülk3:İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Sonuç:Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Mülk4:İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Sonuç:Birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Örnek. Binom rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplıyoruz X - olayın tarihi A v n deneyler.

Çözüm: Toplam sayısı x olay görünüşleri A bu denemelerde, olayın bireysel denemelerde meydana gelme sayısının toplamıdır. Rastgele değişkenleri tanıtıyoruz X ben- olayın meydana gelme sayısı ben matematiksel beklenti ile Bernoulli rastgele değişkenleri olan th testi, burada ... Matematiksel beklentinin özelliği ile,

Böylece, n ve p parametreleriyle binom dağılımının matematiksel beklentisi, np'nin ürününe eşittir.

Örnek. Silahla ateş ederken hedefi vurma olasılığı p = 0.6. 10 atış yapılırsa toplam vuruş sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm: Her atıştaki vuruş, diğer atışların sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle söz konusu olaylar bağımsızdır ve dolayısıyla istenen matematiksel beklentidir.

Matematiksel beklenti, tanım

Eş beklentisi biri temel kavramlar v matematiksel istatistik ve olasılık teorisi, değerlerin dağılımını karakterize eder veya olasılıklar rastgele değişken. Genellikle olarak ifade edilir ağırlıklı ortalama rastgele değişkenin tüm olası parametrelerinin Teknik analiz, araştırma alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. sayı serisi, sürekli ve sürekli süreçlerin incelenmesi. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir, oyun taktiklerinin stratejilerinin ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır. kumar teorisi.

Şah mat bekliyor- bu rastgele bir değişkenin ortalama değeri, dağılım olasılıklar Rastgele değişken olasılık teorisinde dikkate alınır.

Eş beklentisi olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin bir ölçüsü. Rastgele bir değişkenin matematik beklentisi x belirtilen M (x).

Nüfus ortalaması

Eş beklentisi

Eş beklentisi olasılık teorisinde, bu rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Eş beklentisi rasgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının bu değerlerin olasılıklarıyla toplamıdır.

Nüfus ortalaması

Eş beklentisi Böyle bir çözümün büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde düşünülebilmesi koşuluyla, bir çözümden veya diğerinden ortalama fayda.

Eş beklentisi kumar teorisinde, bir spekülatörün her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. kumar dilinde spekülatörler buna bazen "avantaj" denir spekülatör"(Spekülatör için olumluysa) veya" kumarhane avantajı "(spekülatör için olumsuzsa).

Nüfus ortalaması

Ayrı ayrı alınan her değer, tamamen dağıtım fonksiyonu tarafından belirlenir. Ayrıca, pratik problemleri çözmek için, rastgele bir değişkenin ana özelliklerini kısa bir biçimde sunmayı mümkün kılan birkaç sayısal özelliği bilmek yeterlidir.

Bu değerler öncelikle beklenen değer ve dağılım .

Beklenen değer- olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olarak belirtilir.

en basit bir şekilde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X (w) olarak bul integralLebesgue olasılık ölçüsü ile ilgili olarak r orijinal olasılık uzayı

Bir değerin matematiksel beklentisini şu şekilde de bulabilirsiniz: Lebesgue integrali itibaren NS olasılık dağılımına göre PX büyüklükler x:

tüm olası değerlerin kümesi nerede x.

Rastgele bir değişkenin fonksiyonlarının matematiksel beklentisi x dağıtım yoluyla PX. Örneğin, Eğer x- değerleri olan rastgele bir değişken ve f(x)- açık borelişlev NS , sonra:

Eğer (x)- dağıtım işlevi x, o zaman matematiksel beklenti temsil edilebilir integralLebesgue - Stieltjes (veya Riemann - Stieltjes):

ayrıca, bütünleştirilebilirlik x anlamında ( * ) integralin sonluluğuna karşılık gelir

Özel durumlarda, eğer x sahip ayrık dağıtım olası değerlerle x k, k = 1, 2,. , ve olasılıklar, o zaman

Eğer x olasılık yoğunluğu ile kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir p (x), sonra

bu durumda, matematiksel bir beklentinin varlığı, karşılık gelen seri veya integralin mutlak yakınsamasına eşdeğerdir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

• Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu değere eşittir:

C- devamlı;

• M = C.M [X]

• Rastgele alınan değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

• Bağımsız rastgele niceliklerin çarpımının matematiksel beklentisi = matematiksel beklentilerinin çarpımı:

M = M [X] + M [Y]

Eğer x ve Y bağımsız.

seri yakınsarsa:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Kesikli rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri yeniden numaralandırılabilir doğal sayılar; her değeri sıfır olmayan bir olasılıkla eşitleyin.

1. Çiftleri sırayla çarpın: x benüzerinde ben.

2. Her çiftin ürününü ekleyin x ben p ben.

Örneğin, için n = 4 :

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu adım adım, olasılıkları pozitif bir işarete sahip olan noktalarda aniden artar.

Örnek: Formülden beklenen değeri bulun.

rastgele bir değer Her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişkene değişken denir. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ Türlerine göre, rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık ve sürekli.

Ayrık rassal değişken değerleri sayılabilir, yani sonlu veya sayılabilirden fazla olamayan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik, rastgele bir değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceği anlamına gelir.

örnek 1 ... Aşağıda, kesikli rastgele değişkenlere ilişkin bazı örnekler verilmiştir:

a) $ n $ atış ile hedefe isabet sayısı, burada olası değerler $ 0, \ 1, \ \ dots, \ n $'dır.

b) Madeni para atıldığında düşen arma sayısı, burada olası değerler $ 0, \ 1, \ \ dots, \ n $'dır.

c) Gemiye gelen gemi sayısı (sayılabilir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı yasası.

Ayrık rastgele değişken $ X $, $ x_1, \ dots, \ x_n $, olasılıkları $ p \ left (x_1 \ right), \ \ dots, \ p \ left (x_n \ right) $ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası... Kural olarak, bu yazışma, ilk satırda $ x_1, \ dots, \ x_n $ değerlerinin belirtildiği ve ikinci satırda $ p_1, \ dots, \ p_n $ olasılıklarının belirtildiği bir tablo kullanılarak ayarlanır. bu değerlere karşılık gelir.

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
X_i & x_1 & x_2 & \ noktalar & x_n \\
\ çizgi
p_i & p_1 & p_2 & \ noktalar & p_n \\
\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

Örnek 2 ... Rastgele değişken $ X $, atış sırasında düşen puanların sayısı olsun. zar... Böyle bir rastgele değişken $ X $, şu değerleri alabilir: $ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6 $ 'dır. Ardından $ X $ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ çizgi

\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

Yorum Yap... Ayrık rasgele değişkenin dağılım yasasında $ X $ olaylar $ 1, \ 2, \ \ dots, \ 6 $ tam bir olaylar grubu oluşturduğundan, toplam olasılıklar bire eşit olmalıdır, yani $ \ toplam (p_i) = 1 $.

2. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi"merkezi" anlamını belirler. Kesikli bir rastgele değişken için, beklenti, karşılık gelen $ p_1, \ dots, \ p_n $ olasılıkları ile $ x_1, \ dots, \ x_n $ değerlerinin ürünlerinin toplamı olarak hesaplanır, yani: $ M \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. İngiliz dili literatüründe $ E \ left (X \ right) $ için farklı bir gösterim kullanılmaktadır.

Matematiksel beklenti özellikleri$ M \ sol (X \ sağ) $:

1. $ M \ left (X \ right) $, en küçük ve en yüksek değerler rastgele değişken $ X $.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir, yani. $ M \ sol (C \ sağ) = C $.
3. Sabit faktör matematiksel beklenti işaretinin dışında alınabilir: $ M \ sol (CX \ sağ) = CM \ sol (X \ sağ) $.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $ M \ sol (X + Y \ sağ) = M \ sol (X \ sağ) + M \ sol (Y \ sağ) $.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $ M \ sol (XY \ sağ) = M \ sol (X \ sağ) M \ sol (Y \ sağ) $.

Örnek 3 ... $ X $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini örnek $ 2 $'dan bulalım.

$$ M \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ üzerinde (6)) + 2 \ cdot ((1) \ üzerinde (6)) ) +3 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 4 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 5 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 6 \ cdot ((1) ) \ üzeri (6)) = 3.5.$$

$ M \ left (X \ right) $ 'ın $ X $ rastgele değişkeninin en küçük (1 $) ve en büyük (6 $) değerleri arasına alındığını fark edebiliriz.

Örnek 4 ... $ X $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $ M \ left (X \ right) = 2 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 3X + 5 $ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $ M \ left (3X + 5 \ right) = M \ left (3X \ right) + M \ left (5 \ sağ) = 3M \ left (X \ right) + 5 = 3 \ elde ederiz. cdot 2 + 5 = 11 $.

Örnek 5 ... $ X $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $ M \ left (X \ right) = 4 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 2X-9 $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ M \ left (2X-9 \ right) = M \ left (2X \ right) -M \ left (9 \ sağ) = 2M \ left (X \ right) -9 = 2 \ cdot elde ederiz. 4 -9 = -1 $.

3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekillerde dağılabilir. Örneğin, iki öğrenci grubunda not ortalaması olasılık teorisindeki sınav için 4 olduğu ortaya çıktı, ancak bir grupta herkesin iyi olduğu, diğer grupta ise sadece C ve mükemmel öğrenciler olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasını gösterecek olan bir rastgele değişkenin böyle bir sayısal özelliğine ihtiyaç vardır. Bu özellik varyanstır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$ X $ şuna eşittir:

$$ D \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_i (\ sol (x_i-M \ sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2). \ $$

İngiliz dili literatüründe $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $ gösterimi kullanılır. Çok sık olarak $ D \ left (X \ right) $ varyansı $ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \) formülüyle hesaplanır sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2 $.

Dağılım özellikleri$ D \ sol (X \ sağ) $:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani. $ D \ sol (X \ sağ) \ ge 0 $.
2. Sabitin varyansı sıfıra eşittir, yani. $ D \ sol (C \ sağ) = 0 $.
3. Sabit faktör, karesi alınmış olması koşuluyla varyans işaretinden çıkarılabilir, yani. $ D \ sol (CX \ sağ) = C ^ 2B \ sol (X \ sağ) $.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $ D \ sol (X + Y \ sağ) = D \ sol (X \ sağ) + D \ sol (Y \ sağ) $.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $ D \ sol (X-Y \ sağ) = D \ sol (X \ sağ) + D \ sol (Y \ sağ) $.

Örnek 6 ... Örnek $ 2 $'dan $ X $ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$ D \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_i (\ sol (x_i-M \ sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2) = ((1) \ üzerinde (6)) \ cdot (\ sol (1-3,5 \ sağ)) ^ 2 + ((1) \ üst (6)) \ cdot (\ sol (2-3,5 \ sağ)) ^ 2+ \ nokta + ( (1) \ üzerinde (6)) \ cdot (\ sol (6-3,5 \ sağ)) ^ 2 = ((35) \ üzerinde (12)) \ yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 ... $ X $ rastgele değişkeninin varyansının $ D \ left (X \ right) = 2 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 4X + 1 $ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ D \ left (4X + 1 \ right) = D \ left (4X \ right) + D \ left (1 \ right) = 4 ^ 2D \ sol (X \ sağ) + 0 = buluyoruz 16D \ sol (X \ sağ) = 16 \ cdot 2 = 32 $.

Örnek 8 ... $ X $ rastgele değişkeninin varyansının $ D \ left (X \ right) = 3 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 3-2X $ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ sol (X \ sağ) = buluyoruz 4D \ sol (X \ sağ) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Kesikli bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi şeklinde temsil etmenin yolu tek değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır - dağıtım işlevi.

Dağıtım işlevi$ X $ rastgele değişkenine $ F \ left (x \ right) $ işlevi denir; bu, $ X $ rastgele değişkeninin sabit bir $ x $ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani, $ F \ sol (x \ sağ ) = P \ sol (X< x\right)$

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. $ 0 \ le F \ sol (x \ sağ) \ le 1 $.
2. $ X $ rastgele değişkeninin $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ aralığından değerler alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $ P \ sol (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ sol (x \ sağ) $ azalmaz.
4. $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ sol (x \ sağ) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ ila + \ infty) F \ sol (x \ sağ) = 1 \) $.

Örnek 9 ... Örnek $ 2 $'dan ayrık rastgele değişken $ X $'ın dağılım yasası için $ F \ sol (x \ sağ) $ dağılım fonksiyonunu bulalım.

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ çizgi
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

$ x \ le 1 $ ise, açıkçası, $ F \ sol (x \ sağ) = 0 $ ($ x = 1 için $ $ F \ sol (1 \ sağ) = P \ sol (X dahil)< 1\right)=0$).

1 dolar ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2 dolar ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3 dolar ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4 dolar ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5 dolar ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$ x> 6 $ ise, o zaman $ F \ sol (x \ sağ) = P \ sol (X = 1 \ sağ) + P \ sol (X = 2 \ sağ) + P \ sol (X = 3 \ sağ) + P \ sol (X = 4 \ sağ) + P \ sol (X = 5 \ sağ) + P \ sol (X = 6 \ sağ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.

Yani $ F (x) = \ sol \ (\ başla (matris)
0, \ için \ x \ le 1, \\
1/6, \ 1 için< x\le 2,\\
1/3, \ için \ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3 için< x\le 4,\\
2/3, \ için \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ için \ 4< x\le 5,\\
1, \ için \ x> 6.
\ bitiş (matris) \ sağ.