Koordinat vektörleri kavramını ver. Vektörin koordinatlarını nasıl bulabilirsiniz?

Vektörin koordinatları

Değer denir absissue vektör ve numara onun düzenlemek

Temel düzlemde nasıl oluşur?

Temel uzayda nasıl oluşur?

Vektör alanın temeli, bu alandan sipariş edilen maksimum doğrusal olarak bağımsız vektörler sistemi denir.

Tanım sistemi A1, A2 vektörleri ,. . . , Vektör uzayından V, V vektörü A1, A2 vektörleriyle doğrusal olarak ifade edilirse, bu alanı oluşturma sistemi olarak adlandırılır. . . , Bir.

Sipariş edilen bir vektör sistemi, yalnızca bu alanı oluşturmanın doğrusal olarak bağımsız bir sistem olduğunda, vektör uzayının temelidir.

Dekaryan temel denir

E1, E2, E3 vektörleri karşılıklı olarak ortogonal ise ve modül bire eşittir, daha sonra onlar dikdörtgen bir kartezyen koordinat sisteminin ortalığı olarak adlandırılır ve temelin kendisi ortonormal bir dekartülerdir.

Kartezyen tabandaki vektörlerin koordinatlarının özelliklerini formüle edin

Nokta Koordinatları Nedir?

Koordinat uçaklarından gelen noktanın mesafeleri, noktanın koordinatları denir.
P 1 düzleminden 1 nokta A AA, başvuru noktası olarak adlandırılır ve A tarafından belirtir, A'dan 2 nokta P 2 - KOODİNAT NOKTASI VE NOT - UA, P 3'ten 3 puan Abscissa Point ve X A'yı gösterir.
Açıkçası, Z A'nın Uygulama Noktasının Koordinatı AA 1'in yüksekliği, A'daki emrin emrinin koordinatı AA 2'nin derinliğidir, Abscissa Point X A - Latheaa 3'ün koordinatıdır.

Vektörin koordinatları nasıl hesaplanırsa, sonunun koordinatları ve başlangıcı bilinirse

Koordinatları biliniyorsa, iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl hesaplayabilirsiniz?

AV (X1-X2; Y1-Y2) olduğunu biliyorsunuz.
Puan arasındaki mesafe vektörün uzunluğudur.

Rehber kosunikler nedir

Kosinüs rehberleri vektör - Bunlar, bu pozitif koordinat yarı akslarla oluşan açıların kosünyalarıdır.

Kılavuz Cosines kesinlikle vektör yönünü ayarlayın.

Eksen üzerindeki vektör projeksiyonu ne denir, çıkıntıların özelliklerini kanıtlar.

Vektörün projeksiyonu eksende l. () Eksendeki bileşenlerinin uzunluğu denir L. , bileşenin yönü eksen yönüyle çakışıyorsa, bir "artı" işareti ile alınır l.ve "eksi" işaretiyle, bileşenin yönü eksenin tersi yönü ise.

Eğer \u003d. , bu inanılıyor = .

Teorem I Eksendeki vektörün projeksiyonu, bu vektör ve Axis L arasındaki açının kosinüsündeki modülünün ürününe eşittir.

Kanıt. Vektör \u003d özgür olduğundan, BT'nin başlangıcının, eksende olduğu gibi olduğu varsayılabilir.(Şek. 34).

Köşe ise akut, sonra bileşenin yönü \u003d, vektör eksen yönü ile çakışıyor l.(Şekil 34, A).

Bu durumda biz var = + = . Eğer köşe (Şekil 34, b) , bileşenin bu yönü = vektör karşıt eksen yönü l. Sonra olsun \u003d \u003d cos (-) \u003d Çünkü.

Aynı - vektörde.

Vektörlerin skaler ürünü nedir

Skaler iş iki sıfır olmayan vektörler A ve B, bu uzunlukların ürününe eşit bir sayı olarak adlandırılır. vektörler Köşenin kosinüsünde aralarında.

Vektörlerin ortogonallığının durumunu formüle eder

Vektörlerin ortogonallığının durumu. Vektörün video A ve B. ortogonal (dik)Skaler ürünleri sıfırsa.

Vektörlerin bir skaler ürününün özelliklerini kanıtlamak

Vektörlerin Skaler Ürününün Özellikleri

Vektörün skaler ürünü her zaman sıfırdan büyük veya eşittir:

Vektörün skaler ürünü sıfıra eşittir ve yalnızca vektör sıfır vektöre eşitse:

bir · a \u003d 0<=> a \u003d 0.

Vektörin skaler ürünü, modülünün karesine eşittir:

Skaler Çarpma İletişiminin Çalışması:

İki sıfır olmayan iki vektörün skaler ürünü sıfırsa, o zaman bu vektör ortogonal:

a ≠ 0, B ≠ 0, A · B \u003d 0<=> A ┴ B.

(αa) · b \u003d α (A · b)
Skaler çarpma işlemi dağılımı:

(A + B) · c \u003d a · c + b · c

Skaler ürünün ekspresyonunu koordinatlar aracılığıyla getirin

Vektör özelliklerini formüle eder

Sadece 1 formül

Bu yukarıdan belirlenir.

Analitik Geometri

1. Teoremleri uçaktaki genel hat denkleminde kanıtlayın

2. Doğrudan uçakta genel denklemin çalışmasını yürütün

3. Düzlemdeki doğrudan denklemi açısal katsayılı olarak türetmek ve denklem eksenlerin üzerindeki segmentlerde

4. Kanonik denklemi düzlemdeki çizgiye çıkarın, parametrik denklemleri yazın, denklemin doğrudan iki belirtilen iki noktadan geçmesi

5. Düzlemde düzlemin üzerindeki açıyı nasıl belirlenir, eğer açısal bir katsayılı kanonik denklemler veya denklemler ile ayarlanırlarsa?

6. Doğrudan uçakta paralellik, tesadüf ve dikeysellik koşullarını çıkarın

7. Noktadan uçağın doğrudan üzerine olan mesafeyi hesaplamak için bir formül alın

8. Genel düzlem denklemindeki teoremleri kanıtlayın

9. Teoremi, uçak çiftinin karşılıklı konumu hakkında formüle edin ve kanıtlayın.

10. Genel bir uçak denklemi çalışması yapın

11. Düzlem denklemini segmentlerde ve uçağın denklemini iki ayar noktasından geçirin

12. Noktadan uçağa olan mesafeyi hesaplamak için bir formül alın

13. Uçaklar arasındaki açı nasıl?

14. Paralellik koşullarını ve iki düzlemin dikeyliğini giderir

15. Uzayda doğrudan uzayda doğrudan denklemlerin genel bir görünümünü kaydedin, doğrudan uzayda denklemlerin kanonik görüşünü elde etmek için

16. Parametrik denklemleri alandaki çizgiye, ayrıca iki yer noktasından doğrudan geçiş yapmak.

17. İki doğrudan uzayda açı nasıl olacak? Paralellik koşullarını ve doğrudan uzayda dikeysellik koşullarını kaydedin

18. Düz ve düzlem arasındaki açı nasıl belirlenir? Dik ve düzlemin dik ve paralelliği için koşulları kaydedin

19. İki doğrudan tek uçak ait olmak için koşulu alın

Matematiksel analiz

1. Bir fonksiyon nedir, işine gitmenin yolları nelerdir?

2. Farklı ve garip fonksiyonlar, çizelgelerini nasıl yapılır?

3. Periyodik ve Ters fonksiyonlar, çizelgeleri nasıl oluşturulur?

4. Grafiklerdeki resimde gösterge ve logaritmik fonksiyonlar a\u003e 1, a<1.

5. Uyumsuz bir bağımlılık nedir, grafik türü nedir?

6. Grafikleri Y \u003d ARCSINX, Y \u003d ARCCOSX, Y \u003d ARCTGX, Y \u003d ARCCTGX

7. İlkokul nedir? Ana temel fonksiyonların grafikleri

8. Y \u003d CF (X), Y \u003d F (CX), Y \u003d F (x) + C, Y \u003d F (X + C) formunun grafiklerini nasıl oluşturulur?

9. Sayısal sekans nedir, görevine gitmenin yolları nelerdir?

10. Monoton ve sınırlı bir sıra nedir?

11. Sıra limiti ne denir? Bu sayının bu sıranın sınırı olmadığı gerçeğinin tanımını kaydedin

12. Sıra sınırlarının özelliklerini formüle edin

13. Bağlantılı dizilerin iki temel özelliğini kanıtlamak

14. Bunlardan hangisi yakınsama için gerekli şartları verir?

15. Sıra'nın yakınsamanının yeterli bir koşulunu veren teoremi formüle edin.

16. Sıra sınırlarının özelliklerinden herhangi birini kanıtlayın

17. Sonsuz küçük (büyük) sekans nedir?

18. Sonsuz küçük dizilerin özelliklerini formüle edin

19. İşlevin sınırı nelerdir?

20. İşlevlerin sınırlarının özelliklerini formüle edin

21. Tek taraflı sınır denir?

22. İlk harika sınırı kaydedin ve sonucunu geri çekin

23. İkinci harika sınırı kaydedin ve soruşturmasını geri çekin

24. Hangi fonksiyonlar sonsuz küçük, sınırlı, sonsuz büyük?

25. Bunlardan herhangi birini ispatlamak için sonsuz küçük fonksiyonların özelliklerini formüle edin.

26. Sonsuz küçük işlevleri karşılaştırmak için hangi kavramlara tanıtılır, onlara tanımlar verin

27. Belirli bir noktada hangi işlevi sürekli olarak adlandırılır?

28. Süreklilik kriterlerini formüle edin ve molaların türlerini karakterize edin

29. Türev fonksiyonu sabit bir noktada nedir?

30. Tek taraflı türevlere ne denir?

31. Diferansiyel işlev nedir ve fonksiyonun artışıyla nasıl ilişkilidir?

32. Birinci ve ikinci türevlerin fiziksel anlamı

33. İşlevten türev fonksiyon nedir?

34. Türevlerin özelliklerini, ikisini kanıtlamak için (U + V) "ve (UV)"

35. Bir türev tablosu yazın, herhangi bir iki formülü ispatlayın

36. Türev ve diferansiyelin geometrik anlamı nedir?

37. Teğetsel ve normalden grafiğin denklemini çıkarın

38. Teorem'i türev kompleks fonksiyonu hakkında kanıtlayın

39. Bir ters fonksiyon türevi görüntüler (konumuna bir örnek verin)

40. Türevlerin hesaplanmasında teoremini haklı çıkarın

41. Tüm teoremleri farklı fonksiyonlar için ortalama olarak kanıtlayın

42. Lopital kuralını formüle edin ve kanıtlayın

43. Aralıkta artan ve azalan fonksiyonlara ne denir?

44. Teoremleri, artan fonksiyonla türevin bağlantısıyla kanıtlamaktadır.

45. Extremum'un Noktası Nedir?

46. \u200b\u200bİstenilen ekstremum koşulunu haklı çıkarın

47. Ekstremumun iki türünün iki türünü geri çekmek

48. Segmentteki işlevin en büyük ve en küçük değerlerini nasıl bulabilirsiniz?

49. Dışbükey ve içbükey işlev denir?

50. Bulge ve eşcinsellik fonksiyonunu nasıl araştırır? Enfeksiyon noktaları neye denir?

51. Asimptotlar - Tanımlar verin, nasıl bulacağınızı açıklayın

52. Bir türev (birinci ve ikinci) parametrik olarak belirtilen işlev bulmak için formülü türetmek.

53. Bir vektör işlevi nedir, evleri ve mekanik anlamı nedir?

54. Dairenin etrafındaki tek tip bir hareketle malzeme noktasının hız ve ivmesinin boyutu ve yönü ile karakterizedir.

55. Malzeme noktasının hız ve hızını ve hızını, daire etrafında düzensiz bir hareketle boyut ve yönündeki ivmesini belirtin.

56. Türetilmiş fonksiyonları Y \u003d E X, Y \u003d SINX, Y \u003d COSX, Y \u003d TGX, Y \u003d LNX, Y \u003d ARCSINX, Y \u003d ARCCOSX

Vektör koordinatları denir

Vektörin koordinatları Onlar projeksiyonlar ve bu vektör eksen üzerinde ve buna göre:

Değer denir absissue vektör ve numara onun düzenlemek. Vektörin koordinatları olduğu ve aşağıdaki gibi yazıldığı gerçeği :.

Başlamak için, belirli bir koordinat sisteminde vektör koordinatlarının belirlenmesini sağlayacağız. Bu kavramı tanıtmak için, dikdörtgen veya Dekaryan koordinat sistemini aradığımızı tanımlıyoruz.

Tanım 1.

Dikdörtgen Koordinat Sistemi Bir düzlemde veya uzayda karşılıklı dik eksenli bir doğrusal koordinat sistemidir.

Bir düzlükte bir dikdörtgen koordinat sisteminin bir düzlemdeki veya üç boyutlu alanda tanıtılmasını kullanarak, geometrik problemleri çözmede cebirsel yöntemleri kullanmak için, denklemler ve eşitsizlikleri kullanarak özellikleri ile birlikte geometrik figürleri tanımlamak mümkün hale gelir.

Böylece, belirtilen koordinat sistemi vektörlerine bağlanabiliriz. Bu, bazı görevleri çözme fırsatlarımızı önemli ölçüde genişletecektir.

Düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemi genellikle O x y, burada o x ve o y - koordinat ekseni ile gösterilir. O x ekseni abscissa ekseni olarak adlandırılır ve OH ekseni koordinat eksenidir (başka bir O Z ekseni, ve O X ve O Y'ye dik olan boşlukta görünür.

Örnek 1.

Böylece, IC → ve J →, OK ve OY'nin eksenlerinin pozitif yönleriyle sırasıyla çakışan yönünü sırasıyla çakışan yönünü sırasıyla örtüşen, düzlemde bir dikdörtgen Dekartistan koordinat sistemi Koşullu üniteye eşit ol, koordinat vektörleri alacağız. Yani, bu durumda, → ve j → koordinat vektörleri.

Koordinat vektörleri

Tanım 2.

Vektörler İ → ve j → belirli bir koordinat sistemi için koordinat vektörlerini mısır.

Örnek 2.

Koordinatların başlangıcından gelen dekorasyon keyfi vektör A →. Vektörler üzerindeki operasyonların geometrik olarak belirlenmesine dayanarak, vektör A → bir → \u003d a x · i → + a y · j →, katsayıların nerede olduğunu gösterebilir. X. ve Bir Y. - Yeminde olan tek kişi, benzersizlikleri sadece yöntemle pisliklerden kanıtlamak için yeterli.

Vektörün ayrışması

Tanım 3.

Vektörün ayrışması A → Koordinat vektörleri ile İ → ve j → yüzeyde → \u003d a x · i → + a y · j → formunun temsili olarak adlandırılır.

Tanım 4.

X ve A Y katsayıları uçaktaki bu koordinat sisteminde vektör koordinatları denir.

Bu koordinat sistemindeki vektörün koordinatları, virgül içindeki parantez içinde kayıt yaptırmak için alınırken, belirtilen koordinatlar, vektörel eşitlik belirtisinin tanımından ayrılmalıdır. Örneğin, bir → \u003d (2; 3) kaydetmek, bu koordinat sisteminde bir A → Koordinatlar (2; - 3) koordinatları (2; - 3) sahip olduğu anlamına gelir ve koordinat vektörleri I → ve j → a → \u003d 2 ile ayrışma olarak gösterilebileceği anlamına gelir. · İ → 3 · j →.

Yorum Yap

Vektör koordinatlarını başka bir sırayla kaydederseniz, kayıt koordinatlarının sırasının önemli olduğu belirtilmelidir, tamamen farklı bir vektör elde edersiniz.

Vektörin koordinatlarının tanımına dayanarak ve onların ayrışması, i → ve j → sırasıyla tekli vektörlerin (1; 0) ve (0; 1) koordinatları (1; 0) ve (0; 1) sahip olduğu açıktır. Aşağıdaki genişlemeler I → 1 · i → + 0 · j →; j → \u003d 0 · i → + 1 · j →.

Ayrıca bir sıfır vektör 0 → koordinatlarla (0; 0) ve ayrışma 0 → \u003d 0 · i → + 0 · j →.

Eşit ve zıt vektörler

Tanım 5.

Bir → ve b → eşit vektörler Ardından, kendi koordinatları eşit olduğunda.

Tanım 6.

Karşılıklı vektör Bunun karşısında vektör denir.

Bu vektörün koordinatlarının bu vektörün koordinatlarının tam tersi olacağını, yani - a → \u003d (- a x; a y).

Yukarıdakilerin tümü benzer şekilde, üç boyutlu alanda belirtilen dikdörtgen bir koordinat sistemi için de tanımlanabilir. Böyle bir koordinat sisteminde, I →, J →, K → ve keyfi bir vektörün koordinat vektörünün üçlüçü vardır, a → iki kişi tarafından açılır, ancak zaten üç koordinatta ve tek yönde \u003d AX · i → + AY · J → + AZ · K → ve bu ayrışmanın katsayıları (AX; AY; AZ) denir. bu (üç boyutlu) koordinat sisteminde vektörün koordinatları.

Bu nedenle, üç boyutlu alandaki koordinat vektörleri de 1 almak için alınır ve koordinatlar i → \u003d (1; 0; 0), j → \u003d (0; 1; 0), k → \u003d (0; 0; 1), sıfır vektör koordinatları da sıfır 0 → \u003d (0; 0; 0) eşittir ve bu durumda iki vektöre eşit olarak kabul edilecektir, eğer üç karşılık gelen üç koordinatın tümü A → \u003d B → ⇔ AX \u003d BX, AY'ye eşitse \u003d By, AZ \u003d BZ ve zıt vektörün koordinatları, bir → vektör a →, yani - A → \u003d (- AX; AY; - AZ) 'nin karşılık gelen vektör koordinatlarına karşıdır.

Bu tanıma girmek için, koordinatları ve koordinat koordinatlarını bu koordinat sisteminde göstermeniz gerekir.

Bazı dikdörtgen Dekaryan koordinat sistemini o x y verelim ve M (x m; y m) koordinatları olan keyfi bir M'ye ayarlanır.

Tanım 7.

Vektör → aranan yarıçap noktası M. .

Bu koordinat sisteminde hangi koordinatların yarıçapı-vektör noktasına sahip olduğunu tanımlıyoruz.

Vektör → Om → \u003d om x → + om y → \u003d xm · i → + ym · j →, burada m x ve m y, koordinat doğrudan öküz ve oyda M'nin projeksiyonları olduğu bir miktarına sahiptir. , sırasıyla (bu akıl yürütme, noktanın tanımından düz olarak izlenmesinden ve ben → ve j → - koordinat vektörleri, bu nedenle vektör → Bu koordinat sisteminde koordinatlar (x m; y m) sahiptir.

Diğer bir deyişle, yarıçap-vektör noktasının eş koordinatları, M'nin karşılık gelen koordinatlarına eşittir. Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde.

Benzer şekilde, üç boyutlu alanda, yarıçap-vektör noktası m (xm; ym; zm; zm; zm), OM → \u003d OM X → + OM Y → + OM Z → \u003d XM · I → + YM · J → + z iM · k →, bu nedenle → \u003d (x m; y m; z m).

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Hala vektörlerin uzayda düşünüldüğüne inanılıyordu. Bundan sonra, tüm vektörlerin uçakta düşünüldüğü için uyandırın. Ayrıca, koordinat sisteminin düzlemde ayarlandığını (bu konuda bahsetmiş olsa bile), yatay bir eksen ve dikey bir ekseni temsil etmesini varsayacağız. . Sonra her nokta
uçak bir çift sayının uygunluğuna konur.
koordinatları hangileridir. Geri, her sayı çifti
nokta düzlemine karşılık gelir, böyle bir çift sayı
koordinatları.

İlköğretim geometrisinden, uçakta iki nokta varsa, bilinmektedir.
ve
, Mesafe
bu noktalar arasında, formül tarafından koordinatları aracılığıyla ifade edilir.

Dekaryan koordinat sisteminin uçakta sorulmasına izin verin. Ort ekseni sembolü belirtiriz ve ort ekseni sembol . Projeksiyon keyfi vektör eksende sembolü belirtiriz
ve eksen üzerinde projeksiyon sembol
.

İzin vermek - Uçakta keyfi vektör. Aşağıdaki teorem gerçekleşir.

Teorem 22.

Herhangi bir vektör için uçakta birkaç sayı var

Burada
,
.

Kanıt.

Vektör verilsin . Biz vektör yazıyoruz koordinatların başlangıcından itibaren. Belirtmek vektör projeksiyon vektör eksende , Ve aracılığıyla vektör projeksiyon vektör eksende . Sonra, Şekil 21'den görülebileceği gibi, eşitlik var

Theorem 9'a göre,

İfade etmek
,
. Sonra alın

Öyleyse, herhangi bir vektör için kanıtlandı birkaç sayı var
öyle ki doğru eşitlik

Farklı bir vektör konumu ile eksenlerle ilgili olarak, kanıt benzerdir.

Tanım.

Bir çift sayı ve öyle ki
vektör koordinatları denir . Numara iCSO koordinatı olarak adlandırılır ve sayı oyuncu koordinatı.

Tanım.

Koordinat eksenleri
uçakta ortonormal bir temel denir. Herhangi bir vektörün temsili gibi
vektörün ayrışması denir temel
.

Doğrudan vektör koordinatlarının belirlenmesinden itibaren, vektörlerin koordinatları eşitse, vektörlerin kendileri eşit olduğunu takip eder. Karşıt ifade aynı zamanda adil.

Teorem.

Eşit vektörlerin eşit koordinatları var.

Kanıt.

ve
. Bunu kanıtlıyoruz
,
.

Vektörlerin eşitliğinden

Farz et ki
, fakat
.

Sonra
ve anlam
Bu doğru değil. Benzer şekilde, eğer
, fakat
T.
. Buradan
Bu doğru değil. Sonunda, bunu varsayarsan
ve
Sonra bunu alıyoruz

Bu vektörler anlamına gelir ve collineares. Ancak bu, dik olduğu gibi doğru değildir. Bu nedenle, bu kalır
,
Kanıtlaması gerektiği gibi.

Böylece, vektörün koordinatları tamamen vektörün kendisini tanımlar. Koordinatları bilmek ve vektör bir vektör inşa edebilirsin , Vektör çizimleri
ve
ve onları katlamak. Çok sık vektör koordinatlarının bir çift biçiminde belirtir ve yaz
. Böyle bir kayıt demek ki
.

Doğrudan vektörün koordinatlarının belirlenmesinden aşağıdaki teoremi takip eder.

Teorem.

Vektörler eklendiğinde, koordinatları katlanır ve vektör çoğaldığında, koordinatları bu sayı ile çarpılır. Bu ifadeler formunda kaydedilir.

Kanıt.

Teorem.

İzin vermek
ve vektör noktasının başlangıcı koordinatları var
ve vektörün sonu nokta
. Daha sonra, vektörün koordinatları aşağıdaki ilişkilerle uçlarının koordinatları ile ilişkilidir.

Kanıt.

İzin vermek
ve vektörün vektörün projeksiyonuna izin verin eksende eksen ile sonated (Bkz. Şekil 22). Sonra

t. aK Sayısal eksendeki segmentin uzunluğu olarak sağ uç eksi sol ucunun koordinatına eşittir. Eğer vektör

eksen kirlenmiştir (Şekil 23'teki gibi), o zaman

İncir. 23.

Eğer bir
, sonra bu durumda
ve sonra olsun

Böylece, vektörün herhangi bir düzenlemesi ile
koordinatının koordinat eksenlerine göre eşit

Benzer şekilde, bu kanıtlandı

Misal.

Dana vektörün uçlarının koordinatları
:
. Vektörin koordinatlarını bulun
.

Karar.

Aşağıdaki teorem, vektör uzunluğunun koordinatları boyunca bir ifadesini sağlar.

Teorem 15.

İzin vermek
.Sonra

Kanıt.

İzin vermek ve - vektör projeksiyon vektör eksende ve , sırasıyla. Daha sonra, Teorem 9'un ispatında gösterildiği gibi, eşitlik var

Aynı zamanda, vektörler ve karşılıklı dik. Bu vektörleri üçgenin kuralına göre eklerken, dikdörtgen bir üçgen elde ediyoruz (bkz. Şekil 24).

Pythagore'un teoremi var

Dolayısıyla

Misal.

.Bulmak .

Vektör kosinüs kılavuzları kavramını tanıtıyoruz.

Tanım.

Elinden gelmek
eksen ile oluşturur açı ve eksen ile açı (Bkz. Şekil 25).

Dolayısıyla

Herhangi bir vektör için eşitlik var

Nerede - ort vektör , yani, vektör izole uzunluğu, vektör ile kaplı T.

Vektör vektörün yönünü belirler . Onun koordinatları
ve
ilan vektör kılavuzu cosines . Vektör kosinüs kılavuzları, formüller tarafından koordinatlarıyla ifade edilebilir.

Bir oran var

Şimdiye kadar, bu paragraf tüm vektörlerin aynı uçakta bulunduğuna inanıyordu. Şimdi uzayda vektörler için bir genelleme yapın.

Eksenli kartiz koordinat sisteminin uzayda ayarlandığını varsayıyoruz. ,ve .

OTS Eksenleri ,ve sembolleri belirtiriz ,ve , sırasıyla (Şekil 26).

Uçaktaki vektörler için elde edilen tüm kavram ve formüllerin özetlendiği gösterilebilir.

İncir. 26.

uzayda vektörler. Troika vektörleri
uzayda ortonormal bir temel olarak adlandırılır.

İzin vermek ,ve - vektör projeksiyon vektör eksende ,ve , sırasıyla. Sonra

Sırayla

Eğer belirlersen

Eşitlik alıyoruz

Temel vektörlerden önce katsayılar ,ve vektörün koordinatları olarak adlandırılır . Böylece, herhangi bir vektör için uzayda üç sayı var. ,,Vektör koordinatları denir böyle ki bu vektör için doğru

Vektör bu durumda, formda da adlandırılır.
. Aynı zamanda, vektörün koordinatları bu vektörün koordinat eksenlerinde projeksiyonlarına eşittir.

nerede - Vektör arasındaki açı ve eksen ,- Vektör arasındaki açı ve eksen ,- Vektör arasındaki açı ve eksen .

Uzunluk vektör formül tarafından koordinatları ile ifade edilir.

Eşit vektörlerin eşit koordinatlara sahip olduğu adil ifadeler, vektörleri eklerken, koordinatları katlanır ve vektörün vektörü çarptığında, koordinatları bu sayı ile çarpılır.
,
ve
ilan vektör kılavuzu cosines . Vektör koordinatları formülleri ile ilişkilidirler

,
,
.

Dolayısıyla oranı

Vektörin uçları
koordinatları var
,
, sonra vektörün koordinatları
vektörin uçlarının koordinatları ile ilişkili ilişkiler ile ilişkili

Misal.

Puan
ve
. Vektörin koordinatlarını bulun
.

Absis ve yerlerin ekseninde denir koordinatlar vektör. Vektör koordinatları genellikle formda kabul edilir (x, y)Ve vektörün kendisi gibidir: \u003d (x, y).

İki boyutlu görevler için vektörün koordinatlarını belirlemek için formül.

İki boyutlu bir problem durumunda, bilinen vektör noktanın koordinatları A (x 1; 1) ve B (x. 2 ; y. 2 ) Hesaplayabilirsiniz:

\u003d (x 2 - x 1; y2 - Y 1).

Mekansal görevler için vektörün koordinatlarını belirlemek için formül.

Mekansal bir problem durumunda, bilinen vektör noktanın koordinatlarıA. (x 1; 1'de;z. 1 ) ve B. (x. 2 ; y. 2 ; z. 2 ) Formülü uygulayarak hesaplayabilirsiniz:

= (x. 2 - x. 1 ; y. 2 - y. 1 ; z. 2 - z. 1 ).

Koordinatlar, vektörün kapsamlı bir özelliğini verir, çünkü koordinatlar vektörün kendisi inşa etme fırsatı var. Koordinatları bilmek, hesaplamak kolay ve uzunluk vektör. (Özellik 3, aşağıda gösterilmiştir).

Vektör koordinatlarının özellikleri.

1. herhangi bir eşit vektörler Tek bir koordinat sisteminde eşit koordinatlar.

2. Koordinatlar collinear Vektörler Orantılı. Vektörlerin hiçbirinin sıfır olmaması şartıyla.

3. Herhangi bir vektörün uzunluğu karesi, karelerinin toplamına eşittir. koordinatlar.

4. Operasyonda vektörün çarpılması üzerinde geçerli numara Her koordinat bu numara ile çarpılır.

5. Vektörlerin oluşumu ile karşılık gelen miktarı hesaplarız vektörlerin koordinatları.

6. Skaler ürün İki vektör, kendi koordinatlarının ürünlerinin toplamına eşittir.

Vektörin koordinatlarını bulmak oldukça sıklıkla matematikte birçok görevin durumunu buldu. Vektörin koordinatlarını bulma yeteneği, benzer konularda diğer, daha karmaşık görevlerde size yardımcı olacaktır. Bu makalede, vektörün koordinatlarını ve birkaç görevin bulma formülüne bakacağız.

Uçakta vektörün koordinatlarını bulmak

Uçak nedir? Düzlem, iki boyutlu bir alan, iki boyutlu bir boşluk olarak kabul edilir (X ölçün ve Y ölçüsü). Örneğin, kağıt bir uçaktır. Masa yüzeyi - uçak. Bazı ideal olmayan figür (kare, üçgen, trapez) da bir uçaktır. Böylece, görev koşulunda ise, uçakta yatan vektörün koordinatlarını bulmanız gerekir, hemen X ve Y'yi hatırlayın. Bu vektörün koordinatlarını aşağıdaki gibi bulun: vektörün koordinatları \u003d (xb - xa; yb - xa). Formülden, uç noktasının koordinatlarının başlangıç \u200b\u200bnoktasının koordinatlarını gerektirdiği görülebilir.

Misal:

Vektör CD'si bir başlangıç \u200b\u200b(5; 6) ve sonlu (7; 8) koordinatları vardır.
Vektörin kendisinin koordinatlarını bulun.
Yukarıda belirtilen formülü kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ediyoruz: CD \u003d (7-5; 8-6) \u003d (2; 2).
Böylece, CD vektörün koordinatları \u003d (2; 2).
Buna göre, X koordinatı iki, Y koordinatı da ikisidir.

Uzayda vektör koordinatlarını bulma

Uzay nedir? Alan zaten üç boyutlu bir ölçümdür, burada 3 koordinat verilir: x, y, z. Uzayda yatan bir vektör bulmanız durumunda, formül pratik olarak değişmez. Sadece bir koordinat eklenir. Vektörü bulmak için, başlangıç \u200b\u200bkoordinatlarını almak için sonun koordinatlarından ihtiyacınız olan. Ab \u003d (xb - xa; yb - ya; zb - za)

Misal:

DF vektörü bir başlangıç \u200b\u200b(2; 3; 1) ve sonlu (1; 5; 2) sahiptir.
Yukarıda belirtilen formülü kullanarak, elde ettik: vektörün koordinatları DF \u003d (1-2; 5-3; 2-1) \u003d (-1; 2; 1).
Unutmayın, koordinat değeri negatif olabilir, bu konuda hiçbir sorun yoktur.

Online vektör koordinatları nasıl bulunur?

Bazı nedenlerden dolayı koordinatları bulmak istemiyorsanız, çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz. Başlamak için, vektörün boyutunu seçin. Vektörin boyutu ölçümlerinden sorumludur. Boyut 3, vektörün uzayda olduğu anlamına gelir, boyut 2 düzlemdedir. Ardından, noktaların koordinatlarını uygun alanlara yerleştirin ve program vektörün koordinatlarını belirleyecektir. Her şey çok basit.

Düğmeye tıklayarak, sayfa otomatik olarak aşağı kaydırır ve çözüm aşamalarıyla birlikte size doğru cevabı verir.

Bu konuyu iyi keşfetmeniz önerilir, çünkü vektörün kavramı sadece matematikte değil, aynı zamanda fizikte de bulunur. Bilgi Teknolojileri Fakültesi öğrencileri ayrıca vektörlerin temasını da keşfeder, ancak daha karmaşık bir seviyededir.