Sıfır matematiksel beklenti. Beklenti ve varyans

Matematiksel beklenti, tanım

Eş beklentisi biri temel kavramlar v matematiksel istatistik ve olasılık teorisi, değerlerin dağılımını karakterize eder veya olasılıklar rastgele değişken... Genellikle olarak ifade edilir ağırlıklı ortalama rastgele değişkenin tüm olası parametrelerinin Teknik analiz, araştırma alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. sayı serisi, sürekli ve sürekli süreçlerin incelenmesi. Riskleri değerlendirmede, finansal piyasalarda işlem yaparken fiyat göstergelerini tahmin etmede önemlidir, oyun taktiklerinin stratejilerinin ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır. kumar teorisi.

Şah mat beklentisi- bu rastgele bir değişkenin ortalama değeri, dağılım olasılıklar Rastgele değişken olasılık teorisinde dikkate alınır.

Eş beklentisi olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin bir ölçüsü. Rastgele bir değişkenin matematik beklentisi x belirtilen M (x).

Beklenen değer ( nüfus ortalaması) - bu

Eş beklentisi

Eş beklentisi olasılık teorisinde, bu rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Eş beklentisi rasgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının bu değerlerin olasılıklarıyla toplamıdır.

Nüfus ortalaması

Eş beklentisi Böyle bir çözümün büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde düşünülebilmesi koşuluyla, bir çözümden veya diğerinden ortalama fayda.

Eş beklentisi kumar teorisinde, bir spekülatörün her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. kumar dilinde spekülatörler buna bazen "avantaj" denir spekülatör"(Spekülatör için olumluysa) veya" kumarhane avantajı "(spekülatör için olumsuzsa).

Nüfus ortalaması

Eş beklentisi ortalama ile çarpılan kazanç başına kar kâr, eksi kayıp çarpı ortalama kayıp.

Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Rastgele bir değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri de beklenti matıdır. Rastgele değişkenler sistemi kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir rastgele değişkenler koleksiyonunu düşünün. Eğer - sistemin olası değerlerinden biriyse, olay Kolmogorov aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası değerleri için tanımlanan bir fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon, herhangi bir olayın olasılıklarını hesaplamanıza izin verir. Özellikle, ortak kanun kümeden değer alan ve rasgele değişkenlerin dağılımları, olasılıklarla verilir.

"Mat. beklenti ”, Pierre Simon the Marquis de Laplace (1795) tarafından tanıtıldı ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christian Huygens'in yazılarında kumar teorisinde ortaya çıkan“ kazancın beklenen değeri ” kavramından kaynaklandı. Bununla birlikte, bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnutii Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından verilmiştir.

Kanun rastgele sayısal değerlerin dağılımları (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), rastgele bir değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bir dizi problemde, sorulan soruyu cevaplamak için araştırılan miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve ondan olası sapması) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Kesikli bir rastgele değişkenin beklentisi, olası değerlerinin ürünlerinin karşılık gelen olasılıklarla toplamıdır. Bazen dostum. beklenti, ağırlıklı ortalama olarak adlandırılır, çünkü rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Büyük bir sayı deneyler. Beklenti matının tanımından, değerinin rasgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden daha az ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin beklentisi, rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Şah mat beklentisinin basit bir fiziksel anlam: bir birim kütle, bazı noktalara bir miktar kütle yerleştirdikten (ayrık bir dağılım için) veya belirli bir yoğunlukla "bulaştırdıktan" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) düz bir çizgiye yerleştirilirse, o zaman beklentiye karşılık gelen nokta düz çizginin "ağırlık merkezinin" koordinatı olacaktır.

Rastgele bir değişkenin ortalama değeri, sanki onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “darbenin orta noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” dediğimizde, rastgele bir değişkenin belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksendeki konum, yani "Pozisyonun karakterizasyonu".

Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden, en önemli rol, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan rastgele bir değişken beklentisi tarafından oynanır.

Rastgele bir değişken düşünün NS olası değerlerle x1, x2, ..., xn olasılıklarla p1, p2, ..., pn... Rastgele değişkenin değerlerinin apsis ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekiyor. hesaba katarak bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olmasıdır. Bu amaçla, değerlerin sözde "ağırlıklı ortalaması"nın kullanılması doğaldır. xi ve ortalama alma sırasındaki her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız. x hangisini belirteceğiz M | X |:

Bu ağırlıklı ortalamaya beklenti matı denir. Böylece, olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan mat kavramını ele aldık. beklentiler. Mat. bir rasgele değişkenin beklentisi, bir rasgele değişkenin tüm olası değerlerinin bu değerlerin olasılıkları ile çarpımlarının toplamıdır.

Mat. rastgele bir değişkenin beklentisi NSçok sayıda deneyle rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması ile bir tür ilişki ile ilişkilidir. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması (olasılıkta yakınsar) matına yaklaşır. beklemek. Frekans ve olasılık arasındaki ilişkinin varlığından, sonuç olarak aritmetik ortalama ve matematiksel beklenti arasında benzer bir ilişkinin varlığı çıkarılabilir. Gerçekten de, rastgele değişkeni düşünün NS bir dağıtım serisi ile karakterize edilir:

Üretilmesine izin ver n her birinde değerin olduğu bağımsız deneyler x belirli bir anlam kazanır. değeri varsayalım x1 ortaya çıktı m1 kez, değer x2 ortaya çıktı m2 zamanlar, genel anlamda xi mi kez ortaya çıktı. Beklenti matının aksine, X miktarının gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M | X | atayacağız M * | X |:

Deney sayısı arttıkça n Sıklık pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacak (olasılıkla yakınsak). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M | X | deney sayısı arttıkça, beklenen eşine yaklaşacaktır (olasılıkla yakınsak). Aritmetik ortalama ve mat arasındaki yukarıdaki bağlantı. beklenti, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.

Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, çok sayıda deney için belirli ortalamaların sabit olduğu gerçeğini belirttiğini zaten biliyoruz. Burada, aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle, sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele" hale gelir ve dengeleyici olarak sabit bir değere yaklaşır - mat. beklemek.

Çok sayıda deneyle ortalamaların kararlılık özelliğinin deneysel olarak doğrulanması kolaydır. Örneğin bir cismi laboratuvarda doğru bir terazide tartarken, tartım sonucunda her seferinde yeni bir değer elde ederiz; gözlem hatasını azaltmak için vücudu birkaç kez tartarız ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanırız. Deney (tartım) sayısında daha fazla bir artışla, aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğine ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeye son verdiğine ikna olmak kolaydır.

Unutulmamalıdır ki bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği mattır. beklenti - tüm rastgele değişkenler için mevcut değildir. Mat olan bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturabilirsiniz. karşılık gelen toplam veya integral ıraksadığından hiçbir beklenti yoktur. Bununla birlikte, uygulama için, bu tür vakalar önemli ölçüde ilgi çekici değildir. Genellikle ele aldığımız rastgele değişkenlerin sınırlı bir olası değerleri vardır ve elbette bir matematik beklentisi vardır.

Rastgele bir değişkenin konumunun en önemli özelliklerine ek olarak - beklenti matı - bazen pratikte pozisyonun diğer özellikleri, özellikle bir rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.

Rastgele bir değişkenin modu, onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller, sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenler için modu gösterir.

Dağılım poligonu (dağılım eğrisi) birden fazla maksimuma sahipse dağılıma "polimodal" denir.

Bazen ortada maksimum değil minimum olan dağılımlar vardır. Bu tür dağıtımlara "anti-modal" denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematik beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılımın simetrik ve modal olduğu (yani bir modun olduğu) ve bir matın olduğu durumlarda. beklenti, o zaman dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.

Konumun başka bir özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin medyanı olarak adlandırılır. Bu özellik, resmi olarak süreksiz bir değişken için belirlenebilmesine rağmen, genellikle yalnızca sürekli rastgele değişkenler için kullanılır. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin sınırladığı alanın yarıya bölündüğü noktanın apsisidir.

Simetrik bir mod dağılımı durumunda, medyan mat ile çakışır. beklenti ve moda.

Beklenti matı, rasgele değişkenin ortalama değeridir - rasgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal özelliği. En genel anlamıyla matematik, rastgele bir değişkenin beklentisidir. X (w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır r orijinal olasılık uzayında:

Mat. beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. NS olasılık dağılımına göre piksel büyüklükler x:

Doğal bir şekilde, sonsuz bir beklenti değerine sahip rastgele bir değişken kavramını tanımlayabilirsiniz. Tipik örnek bazı rastgele yürüyüşlerde geri dönüş sürelerine hizmet eder.

Matı kullanma. beklentiler, dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği tarafından belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi gibi), örneğin, bir üretici fonksiyon, bir karakteristik fonksiyon, herhangi bir düzenin momentleri, özellikle varyans, kovaryans.

Nüfus ortalaması

Beklenti matı, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin - kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatları - rolüne benzer. Konumun diğer özelliklerinden, dağılımın genel terimlerle tanımlandığı, - medyanlar, modlar, beklenti, daha büyük değerde ve buna karşılık gelen saçılma özelliği - dağılım - olasılık limit teoremlerinde farklıdır. teori. En büyük eksiksizlikle, beklenti matematiğinin anlamı, büyük sayılar yasası (Chebyshev'in eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası tarafından ortaya çıkar.

Nüfus ortalaması

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, bir zar atarken puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Genellikle pratikte, böyle bir miktar için şu soru ortaya çıkar: "ortalama olarak" hangi değeri alır? Büyük bir sayı testler? Riskli operasyonların her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Buna katılmanın (hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dördüncü kazanan bilet, ödül 300 ruble ve herhangi bir bilet - 100 ruble. Sonsuz sayıda katılımla, olan budur. Vakaların dörtte üçünde kaybedeceğiz, her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir - ortalama 25 ruble kaybederiz. Toplamda, harabemizin ortalama oranı bilet başına 25 ruble olacak.

Zarı atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezinde kayma yok vs.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçenek eşit derecede olası olduğundan, aptal bir aritmetik ortalama alırız ve 3.5 alırız. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir atışın 3.5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - peki, bu küpün böyle bir sayı ile hiçbir kenarı yok!

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi gösterilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımının bir tablosu var. X değeri, n olası değerden birini alabilir (üst satırda gösterilmiştir). Başka değerler olamaz. Aşağıdaki her olası değer, olasılığı ile etiketlenmiştir. Sağda, M (X)'in mat olarak adlandırıldığı bir formül var. beklemek. Bu değerin anlamı, çok sayıda denemeyle (büyük bir örneklemle), ortalama değerin tam da bu beklentiye yöneleceğidir.

Aynı oyun küpüne geri dönelim. Mat. atışta puan beklentisi 3.5'tir (inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. 4 ve 6 düştüler. Ortalama olarak, 5 çıktı, yani 3.5'ten uzak. Bir kez daha attılar, 3 düşürdüler yani ortalama (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333... Bir şekilde mattan uzak. beklentiler. Şimdi bu çılgın deneyi yapın - küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3.5 değilse, buna yakın olacaktır.

Şah matını sayalım. yukarıdaki piyangoyu bekliyorum. Plaka şöyle görünecek:

O zaman yukarıda belirlediğimiz gibi beklenti matematik olacaktır.

Başka bir şey, daha fazla seçenek olsaydı, aynı "parmaklarda" formül olmadan kullanmanın zor olacağıdır. Kaybedilen biletlerin %75'ine, kazanan biletlerin %20'sine ve ekstra kazanan biletlerin %5'ine sahip olduğunuzu varsayalım.

Şimdi, bazı özellikler eş beklentileridir.

Mat. beklenti lineerdir. Bunu kanıtlamak basit:

Şah mat işaretinin dışına sabit bir çarpanın yerleştirilmesine izin verilir. beklentiler, yani:

Bu, beklenti matının doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matın doğrusallığının bir başka sonucu. beklentiler:

yani dostum. rastgele değişkenlerin toplamının beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi rastgele bir değişkendir, eğer ilk değerler alabilseydi n ve m sırasıyla değerler, daha sonra XY nm değerleri alabilir. değerlerin her biri, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması gerçeğine göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Sürekli rastgele değişkenler, dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi özelliklere sahiptir. Aslında, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarının daha az sıklıkla alması durumunu karakterize eder. Örneğin, aşağıdaki grafiği göz önünde bulundurun:

Buraya x kendisi rastgele bir değişkendir, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneylerde, değer x genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. aşma şansı 3 veya daha az ol -3 daha ziyade tamamen teorik.

Dağılım yoğunluğu biliniyorsa, beklenti matematiği aşağıdaki gibi aranır:

Örneğin, düzgün bir dağılım olduğunu varsayalım:

Matı bulalım. beklenti:

Bu, sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, düzgün bir dağılıma sahip çok sayıda rasgele gerçek sayı alırsak, segmentin her biri |0; 1| , o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.

Ayrık rasgele değişkenler için geçerli olan beklenti matının özellikleri - doğrusallık, vb. burada da geçerlidir.

Matematiksel beklentinin diğer istatistiksel göstergelerle ilişkisi

V istatistiksel analiz, mat beklenti ile birlikte, fenomenlerin homojenliğini ve istikrarını yansıtan birbirine bağlı bir göstergeler sistemi vardır. süreçler... Varyasyon göstergelerinin genellikle bağımsız bir anlamı yoktur ve daha fazla veri analizi için kullanılır. İstisna, tekdüzeliği karakterize eden varyasyon katsayısıdır. veri değerli olan nedir istatistiksel karakteristik.

Değişkenlik veya kararlılık derecesi süreçlerİstatistik biliminde çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

karakterize eden en önemli gösterge değişkenlik rastgele değişken Dağılım, ki bu en yakından ve doğrudan mat ile ilgilidir. beklemek. Bu parametre diğer tiplerde aktif olarak kullanılmaktadır. istatistiksel analiz(hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi, vb.). Ortalama doğrusal sapma gibi, varyans da yayılmanın ölçüsünü yansıtır. veri ortalama civarında.

İşaretlerin dilini kelimelerin diline çevirmek faydalıdır. Varyansın, sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama hesaplanır, ardından her orijinal ile ortalama arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Fark bireysel değer ile ortalama arasındaki sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların münhasıran olması için karedir. pozitif sayılar ve olumlu ve olumsuz sapmaların özetlendiğinde karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek. Ardından, sapmaların kareleri ile aritmetik ortalamayı hesaplıyoruz. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalama dikkate alınır. Sihirli "varyans" kelimesinin çözümü sadece üç kelimede yatıyor.

Bununla birlikte, aritmetik ortalama gibi saf haliyle veya varyans kullanılmaz. Daha çok, diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan bir yardımcı ve ara göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu, orijinal verinin ölçü biriminin karesidir.

Nüfus ortalaması

Rastgele bir değişkeni ölçelim nörneğin, rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalamanın dağıtım işleviyle ilişkisi nasıldır?

yoksa atacak mıyız zarçok sayıda kez. Her atışta zardan düşecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da rastgele bir değerdir, ancak. büyük için nçok özel bir sayıya eğilimlidir - mat. beklemek mx... Bu durumda, Mx = 3.5.

Bu değer nasıl ortaya çıktı? Bırak girsin n denemeler n1 bir kez 1 puan düştü, n2 kez - 2 puan vb. O zaman bir puanın düşürüldüğü sonuçların sayısı:

Aynı şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığındaki sonuçlar için.

Şimdi, x rastgele değişkeninin dağılımlarını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., pk olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım.

Bir rasgele değişken x'in beklentisi Mx:

Matematik beklentisi her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Dolayısıyla ortalama ücreti tahmin etmek için medyan kavramını, yani medyandan daha az alan kişi sayısı gibi bir değeri kullanmak daha mantıklıdır. aylık maaş ve büyük, çakışıyor.

Rastgele değişken x'in x1 / 2'den küçük olma olasılığı p1 ve rastgele değişken x'in x1 / 2'den büyük olma olasılığı p2 aynıdır ve 1/2'ye eşittir. Medyan, tüm dağılımlar için kesin olarak belirlenmemiştir.

Standart veya Standart sapma istatistikte, gözlemsel verilerin veya kümelerin ortalamadan sapma derecesidir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verilerin ortalama etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, orijinal verilerin ondan çok uzakta olduğunu gösterir. standart sapma kare kök varyans adı verilen bir miktar. İlk verilerin ortalamadan sapan farklarının karelerinin toplamının ortalamasıdır. Rastgele bir değişkenin ortalama karekök sapmasına varyansın karekökü denir:

Örnek. Bir hedefe ateş ederken test koşulları altında, rastgele bir değişkenin varyansını ve standart sapmasını hesaplayın:

varyasyon- değişkenlik, popülasyon birimlerindeki özelliğin değerinin değişkenliği. Seçildi Sayısal değerlerİncelenen popülasyonda bulunan özelliklere değer seçenekleri denir. Nüfusun tam bir özelliği için ortalama değerin yetersizliği, ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyasyonunu) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmeyi mümkün kılan göstergelerle tamamlamayı gerekli kılar. Varyasyon katsayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Kaydırma varyasyonu(R), çalışılan popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farktır. Bu gösterge en çok Genel fikir gösterildiği gibi, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında fark sadece seçeneklerin sınırlayıcı değerleri arasında. Özelliğin aşırı değerlerine bağımlılık, varyasyon aralığına kararsız, rastgele bir karakter verir.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modulo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde beklenen değer

Eş beklentisi bir kumar spekülatörünün belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu, bir spekülatör için çok önemli bir kavramdır, çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesi için esastır. Beklenti şah matı aynı zamanda temel kartları ve oyun durumlarını analiz etmek için en uygun araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jeton oynuyorsunuz, ne gelirse gelsin her seferinde eşit olarak 1$ bahis oynuyorsunuz. Kuyruklar - kazanırsınız, turalar - kaybedersiniz. Tura gelme olasılığı bire birdir ve 1 ile 1 dolar arasında bahse girersiniz. Yani dostum beklentin sıfır çünkü Matematiksel olarak, iki atıştan sonra mı yoksa 200'den sonra mı önde olacağınızı veya kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saat içinde 500 kez yazı tura atabilirsiniz, ancak kazanmaz veya kaybetmezsiniz, çünkü şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir spekülatörün bakış açısından, böyle bir bahis sistemi fena değil. Ama bu sadece zaman kaybı.

Ama diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'a karşı 2$ bahse girmek istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. neden 50 sent? Ortalama olarak, bir bahis kazanır ve ikincisini kaybedersiniz. İlkini oyna ve 1$ kaybet, ikincisini oyna ve 2$ kazan. İki kez 1$ bahse girdiniz ve 1$ öndesiniz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 verdi sent.

Madeni para bir saat içinde 500 kez düşerse, saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü ortalama olarak birer birer kaybettin dolar 250 kez ve iki farkla kazandı dolar 250 kez. 500$ eksi 250$, toplam kazanç olan 250$'a eşittir. Bir bahiste ortalama olarak kazandığınız miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. 500 kez bir dolar bahsi yaparak 250 dolar kazandınız, bu da bahisten 50 sente eşittir.

Nüfus ortalaması

Mat. beklemenin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahse girmeye karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajıyla, diğer her şey eşit olduğunda, her koşulda 50 cent kazanırsınız. her bahis 1 dolar. Bir bahsi veya birkaç bahsi kazanmanız veya kaybetmeniz fark etmez, ancak maliyetleri sakin bir şekilde telafi etmek için yeterli paranız varsa. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel atışlarda beklentilerinizin toplamına ulaşacaktır.

En iyi sonucu olan (uzun vadede karlı olabilecek bir bahis) her bahis yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda kesinlikle bir şeyler kazanırsınız ve kaybetmeniz önemli değil bu elinde ya da değil. Tersine, en kötü sonucu olan bir bahis yaparsanız (uzun vadede karlı olmayan bir bahis), oranlar lehinize olmadığında, verilen elde kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.

Nüfus ortalaması

Beklentiniz olumluysa en iyi sonucu veren, oranlar sizden yanaysa olumlu olan bir bahis yaparsınız. En kötü sonuca sahip bir bahis oynadığınızda, oranlar size karşı olduğunda olumsuz bir beklentiniz olur. Ciddi spekülatörler, yalnızca en iyi sonucu veren bahisler oynarlar; en kötü durumda, katlanırlar. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanabilirsiniz. Tura gelme olasılığının gerçek oranı 1'e 1'dir, ancak bahis oranlarından dolayı 2'ye 1 alıyorsunuz. Bu durumda, oranlar sizin lehinize. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklenti ile kesinlikle en iyi sonucu alacaksınız.

İşte daha karmaşık bir montaj ilişkisi örneği. beklentiler. Arkadaşınız birden beşe kadar olan sayıları yazar ve sizin 1$'a karşı 5$'lık bahse girer ki gizli sayıyı siz belirleyemezsiniz. Böyle bir bahsi kabul etmeli misiniz? Burada beklenti nedir?

Ortalama olarak, dört kez yanılırsınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme şansınız 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetmeniz ihtimali vardır. Ancak, 1'e 4 kaybederseniz 5'e 1 kazanırsınız. Yani, oranlar lehinize, bahsi alabilir ve daha iyi bir sonuç umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez koyarsanız, ortalama olarak dört kez 1 dolar kaybedersiniz ve bir kez 5 dolar kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif bir beklenen değerle 1$ kazanacaksınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanacak olan bir spekülatör, oranları yakalıyor. Tersine, bahsinden daha az kazanmayı umduğunda, bahis oranlarını mahveder. Bahis yapan bir spekülatör, oranları yakalayıp yakalamadığına veya mahvetmesine bağlı olarak olumlu veya olumsuz beklentiye sahip olabilir.

4'e 1 kazanma olasılığı ile 10$ kazanmak için 50$ bahse girerseniz, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz, çünkü ortalama olarak, dört kez 10 dolar kazanırsınız ve bir kez 50 dolar kaybedersiniz, bu da bir bahis için kaybın 10 dolar olduğunu gösterir. Ama 10$ kazanmak için 30$ bahse girerseniz, aynı 4'e 1 kazanma şansıyla, o zaman bu durumda 2$'lık pozitif bir beklentiniz olur, çünkü 10 dolar için dört kez tekrar kazanırsınız ve bir kez 30 dolar kaybedersiniz, yani kâr 10 dolarda. Bu örnekler, ilk bahsin kötü, ikincisinin iyi olduğunu göstermektedir.

Mat. beklemek her şeyin odak noktasıdır oyun durumu... Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10 dolar kazanmak için 11 dolar bahse girmeye teşvik ettiğinde, her 10 dolar için 50 sent gibi olumlu bir beklentileri vardır. Kumarhane barbutta geçen çizgiden eşit miktarda para ödüyorsa, kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$'dır, çünkü Bu oyun, bu hatta bahis yapan herkesin ortalama olarak %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünyadaki kumarhane sahiplerine devasa karlar getiren bu görünüşte minimal olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, “binde bir yüzde Yeterince uzun bir mesafedeki negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecek. "

Poker oynarken matematiksel beklenti

Poker oyunu, beklenti matının teorisini ve özelliklerini kullanma açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Mat. Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde düşünülebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu, her zaman olumlu beklentilerle hamleleri kabul etmekle ilgilidir.

Nüfus ortalaması

Matın matematiksel anlamı. Poker oynarken beklentiler, bir karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibimizin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki turlarda hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Ticaret). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örneklemle, bir rasgele değişkenin ortalama değerinin kendi beklentisine yöneleceğini söyleyen büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Beklenti eşini hesaplamak için özel formüller arasında, pokerde en çok aşağıdaki formül geçerlidir:

Poker oynarken şah mat. Beklenti hem bahisler hem de çağrılar için hesaplanabilir. İlk durumda, ikinci durumda - potun kendi oranları - kat eşitliği dikkate alınmalıdır. Matı değerlendirirken. hamle beklerken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmayın. Bu nedenle, kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hareketten daha karlı bir karar olacaktır.

Nüfus ortalaması

Beklenti, aldığınız her risk için ne bekleyebileceğinizi (veya kaybedebileceğinizi) söyler. Kumarhaneler para kazanıyor paraçünkü mate, içinde oynanan tüm oyunların kumarhane lehine beklentisidir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle, müşterinin oyunlarını kaybetmesi beklenebilir. paraçünkü "olasılık" kumarhaneden yanadır. Bununla birlikte, profesyonel kumarhane spekülatörleri oyunlarını kısa sürelerle sınırlayarak, bahis oranlarını lehlerine artırmaktadır. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise çok sayıda kısa işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. dönem zaman. Beklenti, kazanmadaki kâr yüzdenizin çarpı ortalama kâr eksi kaybetme olasılığınızın ortalama kayıpla çarpımıdır.

Poker, mat beklentileri açısından da görülebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı bir pokerde tam bir kasa vurdunuz. Rakibinizin bahisleri. Teklifinizi yükseltirseniz, cevap vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle, yükseltmek en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız, kalan iki spekülatör kesinlikle katlanır. Ama ararsanız, sizden sonraki iki spekülatörün de aynısını yapacağından tamamen emin olacaksınız. Bahsi yükselttiğinizde, bir birim alırsınız ve sadece iki arama yaparsınız. Böylece, eşitleme size daha yüksek bir pozitif matematiksel beklenti verir ve en iyi taktiktir.

Mat. beklemek ayrıca pokerde hangi taktiklerin daha az faydalı olduğu ve hangilerinin daha fazla olduğu konusunda fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynarken, kaybınızın anteler dahil ortalama 75 sent olacağına inanıyorsanız, bu el oynanmalıdır çünkü bu, ante 1 dolar olduğunda katlamaktan daha iyidir.

Eşin özünü anlamak için bir başka önemli neden. Beklenti, bahsi kazanıp kazanmadığınızın size bir gönül rahatlığı vermesidir: iyi bir bahis yaptıysanız veya zamanında katlama yaptıysanız, daha zayıf spekülatörün yapabileceği belirli bir miktarda para kazandığınızı veya biriktirdiğinizi bileceksiniz. koruyamamak. Rakibinizin borsada daha güçlü bir kombinasyon yapmasına üzülüyorsanız, katlanmak çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte, bahis yapmak yerine oynamayarak biriktirdiğiniz para, gecelik veya aylık kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi arayacağını unutmayın ve "Pokerin Temel Teoremi" makalesinde de göreceğiniz gibi bu, avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu olduğunda mutlu olmalısın. Kaybeden bir elin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz, çünkü sizin yerinizdeki diğer spekülatörlerin çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Baştaki jeton oyunu ile örnekte belirtildiği gibi, saatlik kar oranı beklenti eşi ile bağlantılıdır ve bu kavramözellikle profesyonel spekülatörler için önemlidir. Poker oynayacağınız zaman, bir saatlik oyun içinde ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda, sezginize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecek, ancak biraz matematik de kullanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10$ bahse girdiğini ve ardından iki kartı değiş tokuş ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10$ bahse girdiklerinde yaklaşık 2$ kaybettiklerini düşünebilirsiniz. Her biri saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Geriye kalan dört spekülatörden birisiniz, yaklaşık olarak eşittir, yani bu dört spekülatör (ve onların arasında siz) 48 doları bölmeli ve her kar saat başına 12 dolar olacaktır. Bu durumda saatlik ücretiniz, üç kötü spekülatörün bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınızdır.

Nüfus ortalaması

Uzun bir süre boyunca, spekülatörün toplam kârı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok oynarsanız, o kadar çok kazanırsınız ve bunun tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız, o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak, saatlik kazancınızı en üst düzeye çıkarabilmeniz için, olumlu beklentilerinizi en üst düzeye çıkarabilecek veya olumsuz beklentileri olumsuz yönde etkileyebilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde pozitif matematiksel beklenti

Kartları nasıl sayacağınızı biliyorsanız, kumarhaneyi görmez ve sizi kovmazlarsa kumarhaneye karşı bir avantajınız olabilir. Kumarhaneler sarhoş spekülatörlere bayılır ve kart sayaçlarına dayanamaz. Avantaj, zamanla kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza izin verecektir. İyi yönetişim Sermaye, beklenti matının hesaplanmasını kullanırken avantajınızdan daha fazla kar elde etmenize ve kayıpları azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantaj olmadan, hayır kurumlarına para bağışlamaktan daha iyisin. Borsadaki oyunda avantaj, kayıptan daha fazla kar yaratan oyun sistemi tarafından verilir, aradaki fark Fiyat:% s ve komisyonlar. Numara sermaye yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtarmaz.

Olumlu bir beklenti, sıfırdan büyük bir değerle tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa, istatistiksel beklenti o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse, mat. beklenti de olumsuz olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa, durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfır ise, beklenti başabaştır. Yalnızca pozitif bir matematiksel beklentiye, makul bir oyun sistemine sahip olduğunuzda kazanabilirsiniz. Sezgiyle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve

Beklenti matı, finansal piyasalarda döviz ticaretinin uygulanmasında oldukça yaygın olarak talep edilen ve popüler bir istatistiksel göstergedir. pazarlar... Her şeyden önce, bu parametre başarıyı analiz etmek için kullanılır. Ticaret... Verilen değer ne kadar büyükse, çalışılan ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar fazla neden olduğunu tahmin etmek zor değil. tabii ki analiz İş tüccar tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Ancak, diğer kalite değerlendirme yöntemleriyle birlikte hesaplanan değer İş, analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Beklenti matı genellikle ticaret hesabı izleme hizmetlerinde hesaplanır, bu da mevduat üzerinde yapılan işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar olarak, kârsız ticaretlerin “uzak durmasını” kullanan stratejilerden bahsedilebilir. tüccarşans bir süre eşlik edebilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda, işte kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece beklenti ile gezinmek mümkün olmayacaktır.

ticarette Market beklenti eşi, çoğunlukla bir ticaret stratejisinin karlılığını tahmin ederken veya geliri tahmin ederken kullanılır tüccarönceki istatistiklerine göre ticaret.

Nüfus ortalaması

Para yönetimi açısından, olumsuz beklenti ile işlem yaparken herhangi bir şema olmadığını anlamak çok önemlidir. yönetmek kesinlikle yüksek kar getirebilecek para. Eğer oynamaya devam edersen değiş tokuş bu koşullar altında, yöntem ne olursa olsun yönetmek para ile, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun, hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Bu aksiyom, yalnızca olumsuz beklentiye sahip oyunlar veya takaslar için geçerli değildir, aynı zamanda eşit oranlı oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede fayda sağlama şansınız olan tek zaman, pozitif bir beklenen değere sahip işlemlere girdiğiniz zamandır.

Negatif beklenti ile pozitif beklenti arasındaki fark, yaşam ve ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da olumsuz olduğu önemli değil; önemli olan olumlu ya da olumsuz olmasıdır. Bu nedenle, yönetim konularını düşünmeden önce Başkent olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısın.

Eğer böyle bir oyununuz yoksa dünyadaki hiçbir para yönetimi sizi kurtaramaz. Öte yandan, olumlu bir beklentiniz varsa, iyi bir para yönetimi ile onu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Bu olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşme ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğu önemli değildir. Bir işlemde kontrat başına 10$ kazandıran bir sisteminiz varsa (komisyon ve slipaj düşüldükten sonra) yönetim teknikleri kullanılabilir. Başkent işlem başına ortalama 1.000$ kar gösteren bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirecek şekilde.

Önemli olan sistemin ne kadar karlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kar göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle yapılabilecek en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir matematiksel beklenti göstermesini sağlamaktır.

İleride pozitif bir matematiksel beklentiye sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini kısıtlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametre sayısını ortadan kaldırarak veya azaltarak değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralı azaltarak da elde edilir. Eklediğiniz her parametre, yaptığınız her kural, sistemde yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar sağlayacak oldukça ilkel ve basit bir sistem oluşturmanız gerekir. Yine, kârlı olduğu sürece sistemin ne kadar kârlı olduğunun önemli olmadığını anlamanız önemlidir. ticarette kazandığınız, Etkili yönetim para.

Nüfus ortalaması

Bir ticaret sistemi, para yönetiminin kullanılabilmesi için size olumlu bir matematiksel beklenti veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum kâr gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kuralları veya parametreleri olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak yeterince uzun süre çalışmayacaktır. Çoğu teknoloji meraklısı tüccarın sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin karını artırmak için enerji ve bilgisayar zamanını boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum karı elde etmenin güvenilirlik seviyesini artırmaya odaklayın.

Bilerek sermaye yönetimi sadece pozitif beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunudur, tüccar borsada alım satımın "kutsal kâsesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine, ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu öğrenebilir. olumlu beklentiler... Herhangi bir, hatta vasat ticaret yöntemlerine uygulanan doğru para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendisi yapacaktır.

Herhangi bir tüccarın işinde başarılı olması için en önemli üç görevi çözmesi gerekir: Başarılı anlaşmaların sayısının kaçınılmaz hataları ve yanlış hesaplamaları aşmasını sağlayın; Ticaret sisteminizi, para kazanma fırsatını mümkün olduğunca sık olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızın olumlu sonucunun istikrarını sağlamak.

Ve burada, biz çalışan tüccarlar, şah mat konusunda iyi yardımcı olabiliriz. beklenti. Olasılık teorisindeki bu terim anahtar terimlerden biridir. Yardımıyla, belirli bir rastgele değerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Tüm olası olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal edersek, rastgele bir değişkenin beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, etkinliğini değerlendirmek için, çoğunlukla kar (veya zarar) matı beklentisi kullanılır. Bu parametre, verilen kar ve zarar seviyelerinin ürünlerinin toplamı ve bunların meydana gelme olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm operasyonların %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalanının - %63'ünün - kârsız olacağını varsayar. Ayrıca, ortalama Gelir Başarılı bir anlaşmadan 7 dolar olacak ve ortalama kayıp 1.4 dolar olacak. Matı hesaplayalım. böyle bir sistemde bir ticaret bekliyorum:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama olarak 1.708 dolar alacağımızı söylüyor. Elde edilen verimlilik tahmini sıfırdan büyük olduğundan, böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Şah matın hesaplanması sonucunda beklenti olumsuz çıkarsa, bu zaten ortalama bir kayıptan bahseder ve bu yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kârın büyüklüğü de % şeklinde nispi bir değer olarak ifade edilebilir. Örneğin:

1 işlem için gelir yüzdesi - %5;

Başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;

1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

Başarısız anlaşmaların yüzdesi - %38;

Bu durumda, mat. bekleyiş şöyle olacak:

Yani, ortalama ticaret %1.96 üretecektir.

MO> 0 olduğu için, kârsız işlemlerin yaygınlığına rağmen, olumlu bir sonuç verecek bir sistem geliştirmek mümkündür.

Ancak beklemek tek başına yeterli değildir. Sistem çok az ticaret sinyali veriyorsa para kazanmak zordur. Bu durumda, banka faizi ile karşılaştırılabilir. Her işlemin ortalama yalnızca 0,50 ABD doları vermesine izin verin, ancak sistem yılda 1000 işlem varsayarsa ne olur? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok ciddi bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak şu çıkar ki, başka bir damgaİyi bir ticaret sistemi, kısa bir pozisyon tutma süresi olarak düşünülebilir.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru - Akademik İnternet Sözlüğü

matematik.ru - matematikte eğitim sitesi

nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim sitesi

webmath.ru - eğitim portalıöğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için.

exponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com - ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru - çok disiplinli bir bilgi kaynağı

poker-wiki.ru - ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru - Bilimsel Kütüphane seçilmiş doğa bilimleri yayınları

reshim.su - web sitesi LET'S SOLVE kurs kontrol görevleri

unfx.ru - UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

- - matematiksel beklenti Rastgele bir değişkenin sayısal özelliklerinden biri, genellikle teorik ortalaması olarak adlandırılır. Kesikli bir rasgele değişken X için, matematiksel ... ... Teknik çevirmen kılavuzu

BEKLENEN DEĞER- (beklenen değer) Bir ekonomik değişkenin alabileceği dağılımın ortalama değeri. рt, emtianın t anındaki fiyatı ise, matematiksel beklentisi belirtilir - Ept. Zamandaki noktayı belirtmek için ... ... Ekonomik Sözlük

Beklenen değer- rastgele değişkenin ortalama değeri. Matematiksel beklenti deterministik bir değerdir. Ortalama aritmetik değer Rastgele değişkenin gerçekleşmelerinin sayısı, matematiksel beklentinin bir tahminidir. Ortalama… … Resmi terminoloji - (ortalama değer), rastgele bir değişkenin sayısal bir özelliğidir. Bir olasılık uzayında bir rastgele değişken verilmişse (bkz. Olasılık teorisi), o zaman M. o. MX (veya EX), Lebesgue integrali olarak tanımlanır: burada ... Fiziksel ansiklopedi

BEKLENEN DEĞER- rastgele bir değişken, sayısal özelliğidir. Bir rasgele değişken X, bir F (x) dağıtım işlevine sahipse, M. o. niyet: . X dağılımı ayrık ise, M. o .:, burada x1, x2, ..., ayrı bir rastgele değişken X'in olası değerleridir; p1 ... jeolojik ansiklopedi

BEKLENEN DEĞER- İngilizce. beklenen değer; Almanca Erwartung matematik. Rastgele bir değişkenin stokastik ortalaması veya dağılım merkezi. Antinazi. Sosyoloji Ansiklopedisi, 2009 ... Sosyoloji Ansiklopedisi

Beklenen değer- Ayrıca bakınız: Koşullu beklenti Bir rasgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisi, bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı, olasılık teorisinde dikkate alınır. İngiliz edebiyatında ve matematiksel olarak ... ... Wikipedia

Beklenen değer- 1.14 Matematiksel beklenti Е (X) Burada kesikli bir rastgele değişkenin xi değerleri; p = P (X = xi); f(x) sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluğu * Bu ifade mutlak yakınsama anlamında varsa Kaynak ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

Kitabın

Sitemizin en iyi sunumu için çerezler kullanıyoruz. Bu siteyi kullanmaya devam ederek, bunu kabul etmiş olursunuz. Tamam

DSV karakteristikleri ve özellikleri. Matematiksel beklenti, varyans, standart sapma

Dağılım yasası, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder. Bununla birlikte, dağılım yasasını bulmak mümkün olmadığında veya bu gerekli olmadığında, kişi kendini rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri olarak adlandırılan değerleri bulmakla sınırlayabilir. Bu değerler, rastgele bir değişkenin değerlerinin etrafında gruplandırıldığı bazı ortalama değerleri ve bunların bu ortalama değer etrafındaki dağılım derecesini belirler.

matematiksel beklenti Kesikli bir rasgele değişken, bir rasgele değişkenin olası tüm değerlerinin, olasılıklarına göre ürünlerinin toplamıdır.

Eşitliğin sağındaki seriler mutlak yakınsaksa matematiksel beklenti vardır.

Olasılık açısından, matematiksel beklentinin, rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası bilinmektedir. Beklenen değeri bulun.

x
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Çözüm:

9.2 Matematiksel beklentinin özellikleri

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir.

2. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinin ötesinde çıkarılabilir.

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için geçerlidir.

4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için de geçerlidir.

n bağımsız test yapılsın, A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşit olsun.

Teorem. n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), her denemede olayın meydana gelme olasılığı ile deneme sayısının çarpımına eşittir.

Örnek. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, rastgele bir değişken Z'nin matematiksel beklentisini bulun: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Çözüm:

9.3 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Ancak, matematiksel beklenti rastgele bir süreci tam olarak karakterize edemez. Matematiksel beklentiye ek olarak, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentiden sapmasını karakterize eden bir değer girmek gerekir.

Bu sapma, rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir. Bu durumda sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır. Bunun nedeni, bazı olası sapmaların olumlu, diğerlerinin olumsuz olması ve karşılıklı geri ödemelerinin bir sonucu olarak sıfır elde edilmesidir.

Dispersiyon (dispersiyon) kesikli rastgele değişken, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.

Pratikte, varyansı hesaplamak için bu yöntem elverişsizdir, çünkü rastgele bir değişkenin çok sayıda değeri için hantal hesaplamalara yol açar.

Bu nedenle başka bir yöntem uygulanmaktadır.

Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir..

Kanıt. Matematiksel beklenti M (X) ve matematiksel beklenti M 2 (X)'in karesinin sabit değerler olduğunu dikkate alarak şunu yazabiliriz:

Örnek. Dağılım kanunu tarafından verilen kesikli bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

NS
2
r	0.2	0.3	0.1	0.4

Çözüm: .

9.4 Dağılımın özellikleri

1. Sabitin varyansı sıfırdır. ...

2. Sabit bir çarpanın karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir. ...

3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değerlerin varyanslarının toplamına eşittir. ...

4. İki bağımsız rastgele değişkenin farkının varyansı, bu değerlerin varyanslarının toplamına eşittir. ...

Teorem. Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının p sabit olduğu n bağımsız denemede bir A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısı ile gerçekleşme ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir. Her denemede bir olayın meydana gelmesi.

9.5 Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması

ortalama kare sapma rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir.

Teorem. Sonlu sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin toplamının standart sapması, bu değerlerin standart sapmalarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

Amaç 1. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0.9'dur. Ekilen dört tohumdan en az üçünün filizlenme olasılığı nedir?

Çözüm. olay olsun A- 4 tohum en az 3 tohum verecek; Etkinlik V- 4 tohum 3 tohum verecek; Etkinlik İLE BİRLİKTE- 4 tohumdan 4 tohum filizlenecek. Olasılıkların eklenmesi teoremi ile

olasılıklar
ve
kullanılan Bernoulli formülü ile belirlenir. sonraki vaka... bir dizi olsun NS Her biri için bir olayın meydana gelme olasılığının sabit ve eşit olduğu bağımsız testler r, ve bu olayın gerçekleşmeme olasılığı
... O halde olayın olma olasılığı A v NS testler tam olarak görünecek Bernoulli formülü ile hesaplanan kez

,

nerede
- kombinasyon sayısı NS tarafından elemanlar ... Sonra

olasılık arayışı

Amaç 2. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0.9'dur. Ekilen 400 tohumdan 350 tohum çıkma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılığı hesaplayın
Bernoulli formülünü kullanmak, hantal hesaplamalar nedeniyle zordur. Bu nedenle, yerel Laplace teoremini ifade eden yaklaşık bir formül uyguluyoruz:

,

nerede
ve
.

Sorun ifadesinden. Sonra

.

Tablo 1'deki uygulamaları buluyoruz. Aranan olasılık

Amaç 3. Buğday tohumlarının %0.02'si yabani otlardır. Rastgele 10.000 tohum seçildiğinde 6 yabancı ot tohumunun bulunma olasılığı nedir?

Çözüm. Düşük olasılık nedeniyle yerel Laplace teoreminin uygulanması
olasılığın kesin değerden önemli ölçüde sapmasına neden olur
... Bu nedenle küçük değerler için r hesaplamak
asimptotik Poisson formülünü uygulayın

, nerede .

Bu formül şu durumlarda kullanılır:
, ve daha az r ve dahası NS, sonuç o kadar doğru.

Sorunun durumuna göre
;
... Sonra

Görev 4. Buğday tohumlarının çimlenme oranı %90'dır. Ekilen 500 tohumdan 400 ila 440 tohum çıkma olasılığını bulun.

Çözüm. Bir olayın meydana gelme olasılığı ise A her biri içinde NS test sabit ve eşittir r, o zaman olasılık
hangi olay A En azından bu tür testlerde kez ve daha fazla değil süreleri, Laplace integral teoremi tarafından aşağıdaki formülle belirlenir:

, nerede

,
.

İşlev
Laplace fonksiyonu denir. Ekler (Tablo 2) için bu fonksiyonun değerlerini verir.
... NS
işlev
... Negatif değerlerle NS Laplace fonksiyonu tek olduğundan
... Laplace fonksiyonunu kullanarak şunları elde ederiz:

Sorunun durumuna göre. Yukarıdaki formülleri kullanarak buluruz
ve :

Görev 5. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilir NS:

2. Bul: 1) matematiksel beklenti; 2) varyans; 3) standart sapma.

Çözüm. 1) Kesikli bir rasgele değişkenin dağılım yasası tabloda verilmişse

2. İlk satırda x rastgele değişkeninin değerleri ve ikinci satırda - bu değerlerin olasılıkları verildiğinde, matematiksel beklenti formülle hesaplanır.

2) Dağılım
Ayrık rassal değişken NS rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani.

Bu değer, sapmanın karesinin ortalama beklenen değerini karakterize eder. NS itibaren
... Elimizdeki son formülden

Varyans
aşağıdaki özelliğe dayalı olarak başka bir şekilde bulunabilir: varyans
rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir NS ve matematiksel beklentisinin karesi
, yani

Hesaplamak
miktarın aşağıdaki dağıtım yasasını oluşturuyoruz
:

3) Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki saçılımını karakterize etmek için standart sapma tanıtılır.
rastgele değişken NS varyansın kareköküne eşit
, yani

.

Bu formülden şunları elde ederiz:

Görev 6. Sürekli rastgele değişken NS kümülatif dağılım fonksiyonu tarafından verilen

Bul: 1) diferansiyel dağılım fonksiyonu
; 2) matematiksel beklenti
; 3) varyans
.

Çözüm. 1) Diferansiyel dağıtım fonksiyonu
sürekli rastgele değişken NS kümülatif dağılım fonksiyonunun türevidir
, yani

.

Aranan diferansiyel fonksiyon aşağıdaki gibidir:

2) Sürekli bir rastgele değişken ise NS fonksiyon tarafından verilen
, daha sonra matematiksel beklentisi formül tarafından belirlenir

fonksiyon beri
NS
ve
sıfıra eşittir, o zaman elimizdeki son formülden

.

3) Dağılım
formül tarafından tanımlanan

Görev 7. Parçanın uzunluğu, 40 mm'lik bir matematiksel beklenti ve 3 mm'lik bir standart sapma ile normal olarak dağılmış bir rastgele değişkendir. Bul: 1) keyfi olarak alınan bir parçanın uzunluğunun 34 mm'den fazla ve 43 mm'den az olma olasılığı; 2) parçanın uzunluğunun matematiksel beklentisinden 1,5 mm'den fazla sapmama olasılığı.

Çözüm. 1) izin ver NS- parça uzunluğu. Eğer rastgele bir değişken NS diferansiyel fonksiyon tarafından verilen
, o zaman olasılık NS segmente ait değerleri alacaktır
, formül tarafından belirlenir

.

Kesin eşitsizliklerin gerçekleşme olasılığı
aynı formülle tanımlanır. Eğer rastgele bir değişken NS normal yasaya göre dağıtılır, daha sonra

, (1)

nerede
- Laplace işlevi,
.

Görevde. Sonra

2) Sorunun durumuna göre, nerede
... (1) yerine koyarsak,

. (2)

Formül (2)'den elimizde.

Yani, eğer sl. miktarın bir dağıtım yasası vardır, o zaman

aranan matematiksel beklentisi. eğer sl. nicelik sonsuz sayıda değere sahiptir, o zaman matematiksel beklenti, bu serinin mutlak yakınsaması şartıyla sonsuz bir serinin toplamı ile belirlenir (aksi takdirde matematiksel beklentinin olmadığını söylerler) .

İçin sürekli sl. olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) tarafından verilen değer, matematiksel beklenti integrali şeklinde belirlenir

bu integralin var olması şartıyla (eğer integral ıraksarsa matematiksel beklentinin olmadığını söylerler).

örnek 1... Dağıtılmış rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini belirleyelim. Poisson yasası... A-manastırı

veya belirtmek

Bu nedenle, parametre , Poisson rasgele değişkeninin dağılım yasasının belirlenmesi, bu miktarın ortalama değerine eşittir.

Örnek 2... Üstel dağılım yasasına sahip bir rastgele değişken için matematiksel beklenti şu şekildedir:

(f(x)'in sadece pozitif x için sıfırdan farklı olduğu gerçeğini dikkate alarak integraldeki limitleri alın).

Örnek 3... Dağıtım yasasına göre dağıtılan rastgele değişken Cauchy, ortalama değeri yoktur. Yok canım

Matematiksel beklenti özellikleri.

Mülk 1... Bir sabitin matematiksel beklentisi, bu sabitin kendisine eşittir.

Sabit C bu değeri bir olasılıkla alır ve tanım gereği M (C) = C × 1 = C

Mülk 2... Rastgele değişkenlerin cebirsel toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin cebirsel toplamına eşittir.

Kendimizi bu özelliği sadece iki ayrık rastgele değişkenin toplamı için kanıtlamakla sınırlandırıyoruz, yani. kanıtla

İki ayrık sl toplamının altında. Miktarlar sl olarak anlaşılır. Olasılıkla değerler alan bir nicelik

A-manastırı

koşulu altında hesaplanan bir olayın olasılığı nerededir. Son eşitliğin sağ tarafında, olayın tüm oluşumları listelenir, bu nedenle eşittir tam olasılık bir olayın meydana gelmesi, yani ... Aynı şekilde. Sonunda, elimizde

Mülk 3... İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Sahip olmak			…
Q			…
NS			…
r			…

Bu özelliğin kanıtlarını sadece ayrık miktarlar için veriyoruz. Sürekli rastgele değişkenler için benzer şekilde ispatlanır.

X ve Y bağımsız olsun ve dağıtım yasalarına sahip olsun.

Bu rastgele değişkenlerin ürünü, rastgele değişkenlerin bağımsızlığından dolayı olasılıkları eşit olan değerleri alan bir rastgele değişken olacaktır. Sonra

Sonuç... Sabit faktör, matematiksel beklenti işaretinin dışında alınabilir. Yani yüzyıl sabiti C, hangi değerin alınacağına bağlı değildir. X değeri, ardından özellik 3 ile

M (CX) = M (C) × M (X) = C × M (X)

Örnek... a ve b sabit ise, M (ax + b) = aM (x) + b.

Bağımsız test şemasında bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi.

Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı P'ye eşit olan n bağımsız deney gerçekleştirilsin. iki terimli yasa... Ancak, ortalama değerinin doğrudan hesaplanması zahmetlidir. Basitleştirmek için, gelecekte tekrar tekrar kullanacağımız genişlemeyi kullanacağız: Bir olayın n deneydeki oluşum sayısı, bir olayın ayrı deneylerdeki oluşum sayısından oluşur, yani.

nerede bir dağılım yasası vardır (olay verilen deneyimde meydana geldiyse 1 değerini ve olay verilen deneyimde ortaya çıkmadıysa 0 değerini alır).

r	1-r	r

Bu yüzden

onlar. n bağımsız deneyde bir olayın ortalama meydana gelme sayısı, deney sayısının bir deneyde bir olayın meydana gelme olasılığı ile çarpımına eşittir.

Örneğin, tek atışta bir hedefi vurma olasılığı 0,1 ise, 20 atışta ortalama isabet sayısı 20 × 0,1 = 2'dir.

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin ortalama değeridir.

Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası tüm değerlerinin ürünlerinin olasılıklarına göre toplamıdır:

Örnek.

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Çözüm: Matematiksel beklenti, X'in tüm olası değerlerinin çarpımlarının olasılıklarına göre toplamına eşittir:

M (X) = 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 = 6.

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için Excel'de hesaplamalar yapmak uygundur (özellikle çok fazla veri olduğunda), hazır bir şablon () kullanmanızı öneririz.

için örnek bağımsız karar(bir hesap makinesi kullanabilirsiniz).
Dağılım yasası tarafından verilen ayrık bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun:

X 0.21 0.54 0.61
p 0.1 0.5 0.4

Matematiksel beklenti aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Özellik 1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi en sabite eşittir: M (C) = C.

Özellik 2. Matematiksel beklenti işaretinin dışında bir sabit faktör alınabilir: M (CX) = CM (X).

Özellik 3. Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M (X1X2 ... Xn) = M (X1) M (X2) *. .. * M (Xn)

Özellik 4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, şu terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M (Xr + X2 + ... + Xn) = M (Xg) + M (X2) +… + M (Xn).

Problem 189. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, rastgele bir değişken Z'nin matematiksel beklentisini bulun: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;

Çözüm: Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak (toplamın matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir; sabit faktör matematiksel beklenti işaretinin dışına taşınabilir), M (Z) = M elde ederiz. (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.

190. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak şunları kanıtlayın: a) M (X - Y) = M (X) -M (Y); b) X-M (X) sapmasının matematiksel beklentisi sıfırdır.

191. Kesikli rastgele değişken X, üç olası değer alır: x1 = 4 Olasılıkla p1 = 0,5; xЗ = 6 P2 = 0.3 olasılıkla ve x3 p3 olasılıkla. Bul: x3 ve p3, M (X) = 8 olduğunu bilerek.

192. Ayrık bir rastgele değişken X'in olası değerlerinin bir listesi verilir: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, bu niceliğin ve karesinin matematiksel beklentileri de bilinir: M (X) = 0.1 , M (X ^ 2) = 0 ,dokuz. Olası değerlere karşılık gelen p1, p2, p3 olasılıklarını bulun xi

194. 10 parçalık bir parti, standart olmayan üç parça içerir. Rastgele iki parça seçildi. Kesikli bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun - seçilen ikisi arasındaki standart olmayan parçaların sayısı.

196. Toplam atış sayısı yirmi ise, her birinde iki zarda bir nokta görünen beş zarın bu tür atışlarının ayrı bir rastgele değişken X sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir: