Aritmetik ortalamanın değeri ne olabilir? Sayıların aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması nasıl bulunur? basit aritmetik ortalama

) ve örnek ortalama (örnekler).

Üniversite YouTube'u

1 / 5
Veri setini belirtiyoruz x = (x 1 , x 2 , …, x n), daha sonra örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir ("" olarak telaffuz edilir) x bir çizgi ile ").
Yunan harfi μ, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ, olasılıklı ortalama veya matematiksel beklenti rastgele değişken... eğer küme x olasılık ortalaması μ olan rasgele sayıların bir koleksiyonudur, daha sonra herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ = E ( x ben) bu örneğin matematiksel beklentisidir.
Pratikte, μ ve arasındaki fark x ¯ (\ görüntü stili (\ bar (x)))μ'nin tipik bir değişken olması, çünkü popülasyonun tamamı yerine örneği görebiliyorsunuz. Bu nedenle, örneklem rastgele sunulursa (olasılık teorisi açısından), o zaman x ¯ (\ görüntü stili (\ bar (x)))(ama μ değil) örnek üzerinde bir olasılık dağılımıyla (ortalamanın olasılık dağılımı) rastgele bir değişken olarak ele alınabilir.
Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:
x ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ toplam _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)))
Örnekleri
- Üç sayı için onları ekleyin ve 3'e bölün:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ görüntü stili (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- Dört sayıyı toplayın ve 4'e bölün:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ görüntü stili (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Veya daha basitçe 5 + 5 = 10, 10: 2. 2 sayı eklediğimiz için yani kaç sayı topladığımızı o kadar çok sayıya böldük.

Sürekli rastgele değişken
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x)dx)
Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Aritmetik ortalama genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, sağlam bir istatistik değildir; bu, aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" güçlü bir şekilde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için, aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden elde edilen ortalama değerlerin (örneğin, medyan) merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir.
Klasik bir örnek, ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın geliri bu sayıya yakın olacak şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpıtır (aksine, medyan gelir böyle bir "direnir". ön yargı). Ancak, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modsal gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez). Bununla birlikte, "ortalama" ve "insanların çoğunluğu" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu gibi yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Medine, Washington'daki tüm sakinlerin yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir raporu, şaşırtıcı bir şekilde sonuç verecektir. Büyük sayı Bill Gates yüzünden. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.

Bileşik faiz

eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak, aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay, finanstaki yatırım getirisini hesaplarken ortaya çıkar.
Örneğin, hisse senetleri ilk yıl %10 düşerken ikinci yıl %30 arttıysa bu iki yıldaki “ortalama” artışı aritmetik ortalama (-10% + %30) olarak hesaplamak yanlış olur. / 2 = %10; bu durumda doğru ortalama değer, yıllık büyümenin yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 olduğu kümülatif yıllık büyüme oranı ile verilir.
Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha az bir sayıdan: hisse senedi başlangıçta 30 dolardı ve %10 düştüyse, ikinci yılın başında 27 dolardır. Hisse %30 yükselirse, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerinde. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10 ama stok 2 yılda sadece 5,1 dolar olduğu için ortalama %8,2'lik bir artış 35.1 dolarlık nihai sonucu veriyor:
[30$ (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30$ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1$]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak, gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36,3$].
2. yılın sonunda bileşik faiz: %90 * %130 = %117, yani toplam %17'lik bir artış ve yıllık ortalama bileşik faiz %117 ≈ %108.2 (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ yaklaşık %108,2 \%) yani yıllık ortalama %8,2 artış.. Bu sayı iki nedenle yanlış.

Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamadan sayısal aralığın ortasına doğru yapay olarak kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani ortalama olarak varyansı en az olan sayı (merkez nokta) seçilir. Ayrıca, çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1 ° ile 359 ° arasındaki modüler mesafe 358 ° değil 2 °'dir (359 ° ile 360 ° arasındaki bir daire üzerinde == 0 ° - bir derece, 0 ° ile 1 ° arasında - ayrıca toplamda 1 ° - 2 °).

Ortalamaların özü ve önemi.

Mutlak ve bağıl değerler.

Gruplama türleri.

Gruplamaların yardımıyla çözülen görevlere bağlı olarak, aşağıdaki türler ayırt edilir:

tipolojik

Yapısal

Analitik

Tipolojik olanın temel görevi, kalite ilişkileri açısından homojen olan grupları belirleyerek sosyo-ekonomik olguları sınıflandırmaktır.

Bu durumda, niteliksel homojenlik, incelenen mülkle ilgili olarak, toplamın tüm birimlerinin aynı gelişme yasasına uyması anlamında anlaşılır. Örneğin: ekonominin sektörlerindeki işletmelerin gruplandırılması.

Mutlak değer, bir sosyo-ekonomik olgunun boyutunu ifade eden bir göstergedir.

İstatistikte göreceli bir değer, fenomenler arasındaki nicel bir ilişkiyi ifade eden bir göstergedir. Bir mutlak değerin başka bir mutlak değere bölünmesiyle elde edilir. Karşılaştırma yaptığımız değere denir. temel veya karşılaştırma tabanı.

Mutlak nicelikler her zaman nicelik olarak adlandırılır.

Göreceli değerler oranlar, yüzdeler, ppm vb. ile ifade edilir.

Göreceli değer, karşılaştırılan değerin karşılaştırma tabanından kaç kez veya yüzde kaç oranında daha fazla veya daha az olduğunu gösterir.

İstatistikte 8 tür göreli değer vardır:

Ortalamalar, en yaygın özet istatistiklerden bazılarıdır. Azınlık birimlerden oluşan istatistiksel bir popülasyonu karakterize etmek için bir sayıya sahiptirler. Ortalama değerler, büyük sayılar yasası ile yakından ilgilidir. Bu bağımlılığın özü, çok sayıda gözlemle, genel istatistiklerden rastgele sapmaların birbirini iptal etmesi ve ortalama olarak istatistiksel bir düzenliliğin daha açık bir şekilde ortaya çıkması gerçeğinde yatmaktadır.

Yöntemi kullanma orta aşağıdaki ana görevler çözüldü:

1. Fenomenlerin gelişim düzeyinin özellikleri.

2. İki veya daha fazla seviyenin karşılaştırılması.

3. Sosyo-ekonomik fenomenlerin ilişkisinin incelenmesi.

4. Sosyo-ekonomik olguların uzaya yerleştirilmesinin analizi.

Bu zorlukların üstesinden gelmek için, istatistiksel metodoloji çeşitli ortalama türleri geliştirmiştir.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için metodolojiyi netleştirmek için aşağıdaki gösterimi kullanıyoruz:

X - aritmetik işareti

X (X1, X2, ... X3) - belirli bir özelliğin çeşitleri

n, popülasyondaki birim sayısıdır

Özelliğin ortalama değeri

Başlangıç verilerine bağlı olarak aritmetik ortalama iki şekilde hesaplanabilir:

1. İstatistiksel gözlem verileri gruplandırılmamışsa veya gruplandırılmış seçenekler aynı frekanslara sahipse, basit aritmetik ortalama hesaplanır:

2. Verilerde gruplandırılmış frekanslar farklıysa, ağırlıklı aritmetik ortalama hesaplanır:

Seçeneklerin sayısı (sıklığı)

frekansların toplamı

Aritmetik ortalama, kesikli ve aralıklı varyasyon serilerinde farklı şekilde hesaplanır.

Kesikli serilerde, özelliğin varyantları frekanslarla çarpılır, bu ürünler toplanır ve elde edilen ürünlerin toplamı frekansların toplamına bölünür.

Ayrık bir seride aritmetik ortalamayı hesaplamanın bir örneğini düşünün:

Aralık serilerinde, bir özelliğin değeri bilindiği gibi aralıklar şeklinde belirtilir, bu nedenle, aritmetik ortalamayı hesaplamadan önce, bir aralık serisinden ayrı bir seriye gitmeniz gerekir.

Karşılık gelen aralıkların ortası, Xi varyantları olarak kullanılır. Alt ve üst sınırların yarısı toplamı olarak tanımlanırlar.

Bir aralığın alt sınırı yoksa, ortası, üst sınır ile sonraki aralıkların değerinin yarısı arasındaki fark olarak belirlenir. Üst limitlerin yokluğunda, aralığın ortası, alt limitin toplamı ile bir önceki aralığın değerinin yarısı olarak belirlenir. Ayrık bir seriye geçişten sonra, yukarıda tartışılan metodolojiye göre başka hesaplamalar yapılır.

Eğer ağırlıklar fi mutlak terimlerle değil, göreceli terimlerle verilirse, aritmetik ortalamayı hesaplama formülü aşağıdaki gibi olacaktır:

pi - tüm frekansların toplamında varyantların frekanslarının yüzde kaç olduğunu gösteren yapının göreceli değerleri.

Yapının göreceli değerleri yüzde olarak değil, kesirlerde belirtilirse, aritmetik ortalama aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

Anlamına gelmek

Anlamına gelmek- bir dizi sayı veya fonksiyonun sayısal bir özelliği (matematikte); - değerlerinin en küçüğü ile en büyüğü arasında bir sayı.

Temel bilgiler

Ortalama değerler teorisinin oluşumunun başlangıç noktası, Pisagor okulu tarafından oranların incelenmesiydi. Aynı zamanda, ortalama büyüklük ve orantı kavramları arasında kesin bir ayrım yapılmadı. Aritmetik bir bakış açısıyla oranlar teorisinin gelişimine önemli bir ivme, Yunan matematikçiler - Geraslı Nicomachus (MS 1. yüzyılın sonu - 2. yüzyılın başı) ve İskenderiyeli Pappus (MS 3. yüzyıl) tarafından verildi. Ortalama kavramının gelişimindeki ilk aşama, ortalamanın sürekli bir oranın merkezi üyesi olarak kabul edilmeye başlandığı aşamadır. Ancak ilerlemenin merkezi anlamı olarak ortalama kavramı, birbirlerini takip ettikleri sıraya bakılmaksızın, bir n terim dizisine göre ortalama kavramını türetmeyi mümkün kılmaz. Bu amaçla, ortalamaların resmi bir genelleştirilmesine başvurmak gerekir. Bir sonraki aşama, sürekli oranlardan ilerlemelere geçiştir - aritmetik, geometrik ve harmonik ( İngilizce).

İstatistik tarihinde, ilk kez, ortalamaların yaygın olarak kullanılması, İngiliz bilim adamı W. Petty'nin adıyla ilişkilendirilir. W. Petty, ortalamayı ekonomik kategorilerle ilişkilendirerek istatistiksel bir anlam vermeye çalışan ilk kişilerden biriydi. Ancak Petty, ortalama büyüklük kavramını, izolasyonunu tanımlamadı. A. Quetelet, ortalama değerler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Ortalamalar teorisini tutarlı bir şekilde geliştiren ve bunun için matematiksel bir temel sağlamaya çalışan ilk kişilerden biriydi. A. Quetelet iki tür ortalamayı ayırt etti - aslında ortalamalar ve aritmetik ortalamalar. Aslında ortalamalar bir şeyi, gerçekten var olan bir sayıyı temsil eder. Aslında ortalamalar veya istatistiksel ortalamalar, aynı nitelikteki, içsel anlamlarında özdeş olan fenomenlerden çıkarılmalıdır. Aritmetik ortalamalar, homojen olmakla birlikte farklı birçok sayı hakkında mümkün olduğunca yakın bir fikir veren sayılardır.

Ortalama türlerinin her biri basit veya ağırlıklı ortalama şeklinde olabilir. Ortalama formun seçiminin doğruluğu, araştırma nesnesinin maddi doğasından kaynaklanmaktadır. Ortalaması alınan özelliğin tek tek değerleri tekrarlanmıyorsa basit ortalama formülleri kullanılır. Pratik araştırmalarda, incelenen özelliğin bireysel değerleri, çalışılan popülasyonun birimlerinde birkaç kez meydana geldiğinde, özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlanma sıklığı, hesaplanan güç ortalamaları formüllerinde bulunur. Bu durumda bunlara ağırlıklı ortalama formülleri denir.

Matematikte araçların hiyerarşisi
- bir fonksiyonun ortalama değeri, birçok yönden tanımlanan bir kavramdır.
  - Daha spesifik olarak, ancak isteğe bağlı işlevler temelinde, bir dizi sayı için Kolmogorov araçları belirlenir.
    - güç ortalaması, ϕ (x) = x α (\ displaystyle \ phi (x) = x ^ (\ alpha)) için Kolmogorov ortalamalarının özel bir durumudur. Çeşitli derecelerdeki ortalamalar, ortalamalar hakkında eşitsizlikle bağlantılıdır. En yaygın özel durumlar:
      1. aritmetik ortalama (α = 1 (\ displaystyle \ alpha = 1))
      2. karekök ortalama (α = 2 (\ displaystyle \ alpha = 2))
      3. harmonik ortalama (α = - 1 (\ displaystyle \ alpha = -1))
      4. α → 0 (\ displaystyle \ alpha \ to 0) olarak süreklilikle, geometrik ortalama yeniden tanımlanır, bu aynı zamanda ϕ (x) = log ⁡ x (\ displaystyle \ phi (x) = \ log x) için Kolmogorov ortalamasıdır
- Ağırlıklı ortalama - keyfi bir doğrusal kombinasyon durumunda ortalamanın genelleştirilmesi:
  - Ağırlıklı aritmetik ortalama.
  - Ağırlıklı geometrik ortalama.
  - Ağırlıklı harmonik ortalama.
- kronolojik ortalama - zamanla değişen, bir bütün olarak aynı birim veya popülasyon için bir özelliğin değerlerini özetler.
- a ¯ = a 1 - a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\ textstyle (\ bar (a)) = (\ frac (a_ (1) -a_ (2)) formülüyle tanımlanan logaritmik ortalama \ ln (a_ (1) / a_ (2))))) ısıtma mühendisliğinde kullanılır
- GOST 27905.4-88'e göre elektrik yalıtımında belirlenen logaritmik ortalama, l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + olarak tanımlanır. ... ... +. ... ... l o g a n a 1 + a 2 +. ... ... + bir (\ metin stili günlüğü (\ bar (a)) = (\ frac (\ günlük a_ (1) + loga_ (2) + ... + ... loga_ (n)) (a_ (1) + a_ ( 2) + ... + a_ (n)))) (herhangi bir taban için logaritma)
Olasılık teorisi ve istatistikte
Ana makale: Dağıtım merkezi göstergeleri
- parametrik olmayan araçlar - mod, medyan.
- bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisiyle aynıdır. Aslında, dağıtım fonksiyonunun ortalama değeridir.
Aritmetik ortalamanın işareti nedir?

Diyelim ki toplamı epsilon sermayesi ...

Ksenia

Aritmetik ortalama, gözlemlenen ve incelenen özelliklerin bireysel değerlerinin gruplandığı sınırdır, aritmetik ortalama, herhangi bir özelliğin değerlerinin toplamını popülasyondaki eleman sayısına bölme bölümüdür. İstatistikte, aritmetik ortalama genellikle özelliğin bireysel değerleri (veya deneyin belirli sonuçları) - x1, x2, x3 vb. ve toplam nitelik sayısı (veya deney sayısı) ile gösterilir. - n.
NS Büyük bir sayıölçümler, pozitif ve negatif rastgele hatalar eşit derecede yaygındır. Çoklu ölçümlerle herhangi fiziksel miktar aritmetik ortalamasını belirleyebilirsiniz. Çoklu ölçümler ayrıca, hem nihai sonuç hem de bireysel ölçümler için ölçüm doğruluğunu belirlemeyi, yani ölçülen değerin elde edilen sonucunun içinde bulunduğu sınırları bulmayı mümkün kılar.
Belirli bir miktarın n ölçümünde, n farklı değer elde ederiz. Ölçülen değerin gerçek değerine en yakın olanı, tüm ölçümlerin aritmetik ortalaması olacaktır.
Bireysel ölçümleri a \, az, a3, ..ap ile belirtirsek, ölçülen değerin aritmetik ortalama değeri aşağıdaki formülle belirlenir:
NS
n - + a + - + A'da „_ \ 1 a, -
a _ ------------------
= Y-^
^ J П
Bireysel ölçümlerin değerleri, aşağıdaki miktarlarla aritmetik ortalamadan a0 farklıdır:
Ölçülen değerin aritmetik ortalaması ile bireysel ölçümlerin değeri arasındaki farkların (Da ^ Dag, ...) mutlak değerlerine bireysel ölçümlerin mutlak hataları denir. Göreceli ölçüm hatasını belirlemek ve nihai sonucu kaydetmek için gerekli olan tüm ölçümlerin mutlak hatalarının aritmetik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır:
^-. (2)
Bu hataya ortalama mutlak ölçüm hatası denir. Mutlak hataların bir işaretini alarak, bilinçli olarak olası en büyük hatayı alırız.
aritmetik ne demek? Aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Aritmetik ortalamanın formülü?

Alex-89

Birkaç sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının sayılarına bölümüdür.

x cf - aritmetik ortalama

S - sayıların toplamı

n sayıların sayısıdır.

Örneğin, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının aritmetik ortalamasını bulmamız gerektiğini varsayalım.

Bunu yapmak için, onları toplamamız ve elde edilen miktarı 4'e bölmemiz gerekiyor:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Alsu - sh

Bir matematikçi olarak bu konuyla ilgili sorularla ilgileniyorum.

Sorunun tarihi ile başlayacağım. Ortalama değerler eski zamanlardan beri düşünülmüştür. Aritmetik ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama. Bu kavramlar önerilen Antik Yunan Pisagorcular.

Ve şimdi bizi ilgilendiren soru. İle ne denmek istenmiştir birkaç sayının aritmetik ortalaması:

Bu nedenle, sayıların aritmetik ortalamasını bulmak için tüm sayıları toplamanız ve elde edilen toplamı terim sayısına bölmeniz gerekir.

Formül gerçekleşir:

Örnek. Sayıların aritmetik ortalamasını bulun: 100, 175, 325.

Üç sayının aritmetik ortalamasını bulmak için formülü kullanalım (yani, n yerine 3 olacaktır; 3 sayının tümünü eklemeniz ve elde edilen toplamı sayılarına, yani 3'e bölmeniz gerekir). elimizde: x = (100 + 175 + 325) / 3 = 600/3 = 200.

Cevap: 200.

Aritmetik, matematiğin en temel dalı olarak kabul edilir ve sayılarla basit işlemleri inceler. Bu nedenle, aritmetik ortalamayı bulmak da çok kolaydır. Tanımla başlayalım. Aritmetik ortalama, aynı türden birkaç ardışık eylem için hangi sayının gerçeğe en yakın olduğunu gösteren bir değerdir. Örneğin, yüz metre koşarken, bir kişi her seferinde farklı bir süre gösterir, ancak ortalama değer, örneğin 12 saniye içinde olacaktır. Aritmetik ortalamayı bu şekilde bulmak, belirli bir serinin tüm sayılarının (yarışların sonuçları) sıralı toplamında ve bu toplamın bu yarışların sayısına (denemeler, sayılar) bölünmesinde azaltılır. Bir formül şeklinde, şöyle görünür:

Sarif = (X1 + X2 + .. + Xn) / n

Aritmetik ortalama, birkaç sayı arasındaki ortalamadır.

Örneğin, 2 ile 4 sayıları arasında ortalama sayı 3'tür.

Aritmetik ortalamayı bulmak için formül aşağıdaki gibidir:

Tüm sayıları toplamanız ve bu sayıların sayısına bölmeniz gerekir:

Örneğin 3 numaramız var: 2, 5 ve 8.

Aritmetik ortalamayı bulun:

X = (2 + 5 + 8) / 3 = 15/3 = 5

Aritmetik ortalamanın kapsamı yeterince geniştir.

Örneğin, bir doğru parçasının iki noktasının koordinatlarını bilerek, bu doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulun.

Örneğin, segment koordinatları: (X1, Y1, Z1) - (X2, Y2, Z2).

Bu parçanın ortasını X3, Y3, Z3 koordinatlarıyla belirleyelim.

Her koordinatın ortasını ayrı ayrı bulun:

güzel glade

Aritmetik ortalama, sayıların toplanıp sayılarına bölünmesidir, alınan cevap aritmetik ortalamadır.

Örneğin: Katya kumbaraya 50 ruble, Maxim 100 ruble ve Sasha kumbara 150 ruble koydu. Kumbarada 50 + 100 + 150 = 300 ruble, şimdi bu miktarı üçe bölüyoruz (parayı üç kişi koydu). Yani 300: 3 = 100 ruble. Bu 100 ruble, her biri bir kumbaraya konan aritmetik ortalama olacak.

Çok basit bir örnek var: bir kişi et yer, diğeri lahana yer ve ortalama olarak ikisi de lahana ruloları yer.

Ortalama maaş aynı şekilde hesaplanır ...

Aritmetik ortalama, verilenlerin ortalamasıdır ...

Onlar. basitçe, elimizde farklı uzunluktaki çubukların sayısı var ve bunların ortalama değerini bilmek istiyoruz.

Bunun için onları bir araya getirmemiz, uzun bir çubuk almamız ve ardından gerekli sayıda parçaya bölmemiz mantıklı.

Yani aritmetik ortalama çıkıyor.

Formül şu şekilde görüntülenir: Sa = (S (1) + .. S (n)) / n ..

kuş2014

Aritmetik ortalama, tüm değerlerin toplamıdır ve sayılarına bölünür.

Örneğin 2, 3, 5, 6 sayıları. 2+ 3+ 5 + 6 = 16 eklemeniz gerekiyor.

16'yı 4'e bölün ve 4'ü bulun.

4, bu sayıların aritmetik ortalamasıdır.

Azamatik

Aritmetik ortalama, aynı sayıların sayısına bölünen sayıların toplamıdır. Ve aritmetik ortalamayı bulmak çok basittir.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, sayıları almalı, toplamalı ve sayılarına bölmeliyiz.

Bir örnek verelim: 1, 3, 5, 7 sayıları verildiğinde bu sayıların aritmetik ortalamasını bulmamız gerekiyor.
- önce bu sayıları (1 + 3 + 5 + 7) toplarız ve 16 elde ederiz
- elde edilen sonucu 4'e (sayı) bölmemiz gerekiyor: 16/4 ve sonucu 4'ü alıyoruz.
Yani 1, 3, 5 ve 7 sayılarının aritmetik ortalaması 4'tür.

Aritmetik ortalama - belirtilen göstergeler arasındaki ortalama değer.

Tüm göstergelerin toplamının sayılarına bölünmesiyle bulunur.

Örneğin 200, 250, 180, 220 ve 230 gram ağırlığında 5 elmam var.

1 elmanın ortalama ağırlığını şu şekilde buluruz:
- tüm elmaların toplam ağırlığını arıyoruz (tüm göstergelerin toplamı) - 1080 grama eşittir,
- Toplam ağırlığı elma sayısına bölün 1080: 5 = 216 gram. Bu aritmetik ortalamadır.
Bu, istatistikte en sık kullanılan göstergedir.

yeşil hamur işleri

Bunu okuldan biliyoruz. Kimin iyi bir matematik öğretmeni varsa, bu basit eylemi ilk kez hatırlayabilirdi.

Aritmetik ortalamayı bulurken, mevcut tüm sayıları toplamak ve sayılarına bölmek gerekir.

Örneğin bir mağazadan 1 kg elma, 2 kg muz, 3 kg portakal ve 1 kg kivi aldım. Ortalama kaç kilo meyve aldım.

7/4 = 1.8 kilogram. Bu aritmetik ortalama olacaktır.

Biemont epu

Matematikte son testi nasıl geçtiğimi hatırlıyorum

Yani orada aritmetik ortalamayı bulmak gerekliydi.

Nazik insanların ne yapılması gerektiğini önermeleri iyi, aksi halde bu bir felaket.

Örneğin elimizde 4 numara var.

Sayıları toplayın ve sayılarına bölün (bu durumda, 4)

Örneğin sayılar 2,6,1,1. 2 + 6 + 1 + 1 ekleyin ve 4 = 2.5'e bölün.

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok. Yani aritmetik ortalama tüm sayıların ortalamasıdır.

Matematikte, sayıların aritmetik ortalaması (veya sadece ortalaması), belirli bir kümedeki tüm sayıların toplamının sayılarına bölümüdür. Bu, ortalamanın en genelleştirilmiş ve yaygın kavramıdır. Zaten anladığınız gibi, ortalama değeri bulmak için size verilen tüm sayıları toplamanız ve sonucu terim sayısına bölmeniz gerekir.

aritmetik ne demek?

Bir örnek alalım.

örnek 1... Verilen sayılar: 6, 7, 11. Ortalama değerlerini bulmanız gerekiyor.

Çözüm.

İlk önce, tüm bu sayıların toplamını bulalım.

Şimdi elde edilen toplamı terim sayısına bölelim. Sırasıyla üç terimimiz olduğundan, üçe böleceğiz.

Bu nedenle 6, 7 ve 11'in ortalaması 8'dir. Neden 8? Çünkü 6, 7 ve 11'in toplamı üç sekizli ile aynı olacaktır. Bu, resimde açıkça görülmektedir.

Ortalama, bir dizi sayının "hizalanmasını" biraz andırıyor. Gördüğünüz gibi, kalem yığınları bir seviye haline geldi.

Edinilen bilgileri pekiştirmek için başka bir örnek düşünelim.

Örnek 2. Verilen sayılar: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Bunların aritmetik ortalamasını bulmanız gerekir.

Çözüm.

miktarını buluyoruz.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Terim sayısına bölün (bu durumda - 15).

Bu nedenle, bu sayı dizisinin ortalama değeri 22'dir.

Şimdi düşünün negatif sayılar... Bunları nasıl özetleyeceğimizi hatırlayalım. Örneğin, 1 ve -4 olmak üzere iki numaranız var. Toplamlarını bulalım.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Bunu akılda tutarak, başka bir örnek düşünün.

Örnek 3. Bir dizi sayının ortalama değerini bulun: 3, -7, 5, 13, -2.

Çözüm.

Sayıların toplamını bulun.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

5 terim olduğu için elde edilen toplamı 5'e böleriz.

Bu nedenle 3, -7, 5, 13, -2 sayılarının aritmetik ortalaması 2.4'tür.

Teknolojik ilerleme zamanımızda, ortalama değeri bulmak için bilgisayar programlarını kullanmak çok daha uygundur. Microsoft Office Excel bunlardan biridir. Excel'de ortalamayı bulmak hızlı ve kolaydır. Ayrıca bu program, Microsoft Office yazılım paketine dahildir. Bu programı kullanarak aritmetik ortalamanın nasıl bulunacağına dair hızlı bir kılavuza bakalım.

Bir sayı dizisinin ortalama değerini hesaplamak için ORTALAMA işlevini kullanmanız gerekir. Bu işlevin sözdizimi şöyledir:
= Ortalama (argüman1, argüman2, ... argüman255)
burada argüman1, argüman2, ... argüman255 sayılar veya hücre referanslarıdır (hücreler, aralıklar ve diziler anlamına gelir).

Daha açık hale getirmek için, edinilen bilgileri deneyelim.
1. C1 - C6 hücrelerine 11, 12, 13, 14, 15, 16 sayılarını girin.
2. Üzerine tıklayarak C7 hücresini seçin. Bu hücrede ortalama değeri görüntüleyeceğiz.
3. Formüller sekmesine tıklayın.
4. Açılır listeyi açmak için Diğer İşlevler> İstatistik'i seçin.
5. ORTALAMA'yı seçin. Bundan sonra, bir iletişim kutusu açılmalıdır.
6. İletişim kutusunda aralığı ayarlamak için C1-C6 hücrelerini seçip oraya sürükleyin.
7. İşlemlerinizi "OK" tuşu ile onaylayın.
8. Her şeyi doğru yaptıysanız, C7 hücresinde yanıtınız olmalıdır - 13.7. C7 hücresine tıkladığınızda, formül çubuğunda (= Ortalama (C1: C6)) işlevi görüntülenecektir.
Bu işlevi muhasebe, faturalama veya çok uzun bir sayı dizisinin ortalamasını bulmanız gerektiğinde kullanmak çok uygundur. Bu nedenle, genellikle ofislerde ve büyük şirketler... Bu, kayıtları düzenli tutmanıza izin verir ve bir şeyi (örneğin, aylık ortalama geliri) hızlı bir şekilde hesaplamayı mümkün kılar. Ayrıca, Excel'i kullanarak işlevin ortalama değerini bulabilirsiniz.

Ortalama
Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. ortalama.
Ortalama(matematik ve istatistikte) bir sayı kümesi, sayılarına bölünen tüm sayıların toplamıdır. Merkezi eğilimin en yaygın ölçülerinden biridir.

Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalama ile birlikte) önerildi.

Aritmetik ortalamanın özel durumları, ortalama (genel popülasyonun) ve örnek ortalamadır (örnekler).

Tanıtım

Veri setini belirtiyoruz x = (x 1 , x 2 , …, x n), sonra örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), “ olarak telaffuz edilir x bir çizgi ile ").

Yunan harfi μ, tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ, olasılıklı ortalama veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. eğer küme x olasılık ortalaması μ olan rasgele sayıların bir koleksiyonudur, daha sonra herhangi bir örnek için x ben bu koleksiyondan μ = E ( x ben) bu örneğin matematiksel beklentisidir.

Pratikte, μ ve x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır, çünkü popülasyonun tamamından ziyade örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, örnek rastgele sunulursa (olasılık teorisi açısından), x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ama μ değil) örnek üzerinde bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir. (ortalamanın olasılık dağılımı).

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:
X ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ toplam _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)))
Eğer x rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti x bir miktarın tekrarlanan ölçümlerinde değerlerin aritmetik ortalaması olarak kabul edilebilir x... Bu, büyük sayılar yasasının bir tezahürüdür. Bu nedenle, örnek ortalama, bilinmeyen matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılır.

Temel cebirde ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. n+ 1 sayı ortalamanın üzerinde n sayılar, yalnızca yeni sayı eski ortalamadan büyükse ve yalnızca yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmezse, sayılar. Daha fazla n, yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçükse.

Güç ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı ortalamalar (örneğin, ağırlıklı aritmetik ortalama, ağırlıklı geometrik ortalama, ağırlıklı harmonik ortalama) dahil olmak üzere birkaç başka "ortalama" değeri olduğunu unutmayın.

Örnekleri
- Üç sayı için onları ekleyin ve 3'e bölün:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ görüntü stili (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- Dört sayıyı toplayın ve 4'e bölün:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ görüntü stili (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Veya daha basitçe 5 + 5 = 10, 10: 2. 2 sayı eklediğimiz için yani kaç sayı topladığımızı o kadar çok sayıya böldük.

Sürekli rastgele değişken

Sürekli olarak dağıtılmış bir miktar f (x) (\ displaystyle f (x)) için, segment [a; b] (\ displaystyle) belirli integral cinsinden tanımlanır:
F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x)dx)
Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği
Ana makale: İstatistikte sağlamlık
Aritmetik ortalama genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, sağlam bir istatistik değildir; bu, aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" güçlü bir şekilde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için, aritmetik ortalamanın "ortalama" kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden elde edilen ortalama değerlerin (örneğin, medyan) merkezi eğilimi daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir.

Klasik bir örnek, ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir, bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip daha fazla insan olduğu sonucuna yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın geliri bu sayıya yakın olacak şekilde yorumlanır. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile yüksek gelir, aritmetik ortalamayı güçlü bir şekilde çarpıtır (aksine, medyan gelir böyle bir "direnir". ön yargı). Ancak, bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modsal gelire yakın kişi sayısı hakkında hiçbir şey söylemez). Bununla birlikte, "ortalama" ve "insanların çoğunluğu" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu gibi yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Washington, Medine'deki tüm sakinlerin yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir hakkında bir rapor, Bill Gates nedeniyle şaşırtıcı derecede büyük bir rakam verecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3.17'dir ancak altı değerden beşi bu ortalamanın altındadır.

Bileşik faiz
Ana makale: Yatırım getirisi
eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak, aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman, bu olay, finanstaki yatırım getirisini hesaplarken ortaya çıkar.

Örneğin, hisse senetleri ilk yıl %10 düşerken ikinci yıl %30 arttıysa bu iki yıldaki “ortalama” artışı aritmetik ortalama (-10% + %30) olarak hesaplamak yanlış olur. / 2 = %10; bu durumda doğru ortalama değer, yıllık büyümenin yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 olduğu kümülatif yıllık büyüme oranı ile verilir.

Bunun nedeni, yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha az bir sayıdan: hisse senedi başlangıçta 30 dolardı ve %10 düştüyse, ikinci yılın başında 27 dolardır. Hisse %30 yükselirse, ikinci yılın sonunda 35,1 dolar değerinde. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10 ama stok 2 yılda sadece 5,1 dolar olduğu için ortalama %8,2'lik bir artış 35.1 dolarlık nihai sonucu veriyor:

[30$ (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30$ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1$]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak, gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36,3$].

2. Yıl sonundaki bileşik: %90 * %130 = toplam %17'lik bir artış için %117 ve %117'lik bir CAGR ≈ %108,2 (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ yaklaşık %108,2 \% ) yani yıllık ortalama %8,2 büyüme.

Talimatlar
Ana makale: Hedef istatistikleri
Döngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (örneğin faz veya açı) aritmetik ortalamasını hesaplarken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1 ° ve 359 ° ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 ° olur. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.
- İlk olarak, açısal standartlar yalnızca 0 ° ila 360 ° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Yani aynı sayı çifti (1 ° ve -1 °) veya (1 ° ve 719 °) olarak yazılabilir. Her çiftin ortalaması farklı olacaktır: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
- İkincisi, bu durumda, sayılar 0 ° 'den diğer herhangi bir değerden daha az saptığından (0 ° en az varyansa sahiptir) 0 ° (360°'ye eşdeğer) geometrik olarak daha iyi ortalama olacaktır. Karşılaştırmak:
  - 1 ° sayısı 0 ° 'den yalnızca 1 ° sapar;
  - 1 ° sayısı, hesaplanan 180 ° ortalamasından 179 ° sapar.
Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamadan sayısal aralığın ortasına doğru yapay olarak kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı bir şekilde hesaplanır, yani ortalama olarak varyansı en az olan sayı (merkez nokta) seçilir. Ayrıca, çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1 ° ile 359 ° arasındaki modüler mesafe 358 ° değil 2 °'dir (359 ° ile 360 ° arasındaki bir daire üzerinde == 0 ° - bir derece, 0 ° ile 1 ° arasında - ayrıca toplamda 1 ° - 2 °).

Ağırlıklı ortalama - nedir ve nasıl hesaplanır?

Matematik çalışma sürecinde, okul çocukları aritmetik ortalama kavramıyla tanışır. Daha sonra istatistik ve diğer bazı bilimlerde öğrenciler başka ortalama değerlerin hesaplanmasıyla karşı karşıya kalırlar. Ne olabilirler ve birbirlerinden nasıl farklıdırlar?

Ortalama değerler: anlam ve farklılıklar

Her zaman doğru göstergeler durumun anlaşılmasını sağlamaz. Belirli bir durumu değerlendirmek için bazen çok sayıda rakamı analiz etmek gerekir. Ve sonra ortalamalar kurtarmaya gelir. Durumu bir bütün olarak değerlendirmeyi mümkün kılarlar.

Okul günlerinden beri birçok yetişkin aritmetik ortalamanın varlığını hatırlar. Hesaplaması çok kolaydır - n üyeli bir dizinin toplamı n'ye bölünebilir. Yani, aritmetik ortalamayı 27, 22, 34 ve 37 değerleri dizisinde hesaplamanız gerekiyorsa, 4 değerden beri (27 + 22 + 34 + 37) / 4 ifadesini çözmeniz gerekir. hesaplamalarda kullanılır. Bu durumda, gerekli değer 30'a eşit olacaktır.

Genellikle, okul kursu çerçevesinde geometrik ortalama da incelenir. Bu değerin hesaplanması kökün çıkarılmasına dayanmaktadır. n. derece n terimlerinin ürününden. Aynı sayıları alırsak: 27, 22, 34 ve 37, o zaman hesaplamaların sonucu 29.4 olacaktır.

harmonik ortalama Kapsamlı okul genellikle bir çalışma konusu değildir. Bununla birlikte, oldukça sık kullanılır. Bu değer aritmetik ortalamanın tersidir ve n'nin bir bölümü olarak hesaplanır - değer sayısı ve toplamı 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Hesaplama için aynı sayı dizisini tekrar alırsak, harmonik 29.6 olacaktır.

Ağırlıklı ortalama: özellikler

Ancak yukarıdaki değerlerin tamamı her yerde kullanılamayabilir. Örneğin istatistikte, bazı ortalama değerler hesaplanırken, hesaplamalarda kullanılan her bir sayının "ağırlığı" önemli bir rol oynar. Sonuçlar daha fazla bilgiyi hesaba kattıkları için daha gösterge niteliğinde ve doğrudur. Bu değer grubuna topluca "ağırlıklı ortalama" denir. Okulda geçmiyorlar, bu yüzden üzerlerinde daha ayrıntılı durmaya değer.

Her şeyden önce, şu veya bu değerin "ağırlığı" ile ne kastedildiğini anlatmaya değer. Bunu açıklamanın en kolay yolu belirli bir örnekle. Hastanede her hastanın vücut ısısı günde iki kez ölçülmektedir. Hastanenin farklı bölümlerindeki 100 hastadan 44'ünün sıcaklığı normal olacak - 36.6 derece. Başka bir 30, artan bir değere sahip olacak - 37.2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 ve kalan iki - 40. Ve aritmetik ortalamayı alırsak, o zaman hastane için bu değer genel olarak 38'den fazla olacaktır. derece! Ancak hastaların neredeyse yarısı tamamen normal bir sıcaklığa sahiptir. Ve burada ağırlıklı ortalama değerini kullanmak daha doğru olacak ve her bir değerin "ağırlığı" kişi sayısı olacaktır. Bu durumda hesaplama sonucu 37.25 derece olacaktır. Fark açıktır.

Ağırlıklı ortalama hesaplamaları durumunda, "ağırlık", gönderi sayısı, belirli bir günde çalışan kişi sayısı, genel olarak ölçülebilen ve nihai sonucu etkileyebilecek herhangi bir şey olarak alınabilir.

çeşitleri

Ağırlıklı ortalama, makalenin başında tartışılan aritmetik ortalamaya karşılık gelir. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi ilk değer, hesaplamalarda kullanılan her bir sayının ağırlığını da hesaba katar. Ayrıca geometrik ve harmonik ağırlıklı ortalama değerler de vardır.

Sayı dizisinde kullanılan bir başka ilginç varyasyon daha var. Bu ağırlıklı hareketli ortalamadır. Eğilimlerin hesaplanması temel alınarak yapılır. Değerlerin kendilerine ve ağırlıklarına ek olarak, orada periyodiklik de kullanılır. Ve belirli bir zamanda ortalama değer hesaplanırken, önceki zaman aralıklarının değerleri de dikkate alınır.

Tüm bu değerleri hesaplamak o kadar da zor değil, ancak pratikte genellikle sadece olağan ağırlıklı ortalama kullanılıyor.

Hesaplama yöntemleri

Devasa bilgisayarlaşma çağında, ağırlıklı ortalamayı manuel olarak hesaplamaya gerek yoktur. Ancak, elde edilen sonuçları kontrol edebilmeniz ve gerekirse düzeltebilmeniz için hesaplama formülünü bilmek faydalı olacaktır.

Hesaplamayı düşünmenin en kolay yolu belirli bir örnektir.

Bu veya bu kazancı alan işçi sayısını dikkate alarak bu işletmedeki ortalama ücretin ne olduğunu bulmak gerekir.

Bu nedenle, ağırlıklı ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

x = (a 1 * w 1 + bir 2 * w 2 + ... + bir n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Örneğin, hesaplama şu şekilde olacaktır:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33.48

Açıkçası, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasında özel bir zorluk yoktur. Formüllerle en popüler uygulamalardan biri olan Excel'de bu değeri hesaplama formülü, SUMPRODUCT (sayı dizisi; ağırlık dizisi) / SUM (ağırlık dizisi) işlevine benziyor.

Excel'de ortalama nasıl bulunur?

Excel'de aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Vladimir09854

Çocuk oyuncağı. Excel'de ortalamayı bulmak için sadece 3 hücre gerekir. İlkinde bir sayı yazacağız, ikincisinde - başka. Ve üçüncü hücrede, bize birinci ve ikinci hücrelerden bu iki sayı arasındaki ortalama değeri verecek bir formülde çekiçleyeceğiz. 1 numaralı hücreye A1, 2 numaralı hücreye B1 denirse, formülü içeren hücrede aşağıdaki gibi yazmanız gerekir:

Bu formül, iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplar.

Hesaplarımızın güzelliği için, plaka şeklinde çizgili hücreleri seçebilirsiniz.

Excel'in kendisinde ortalama değeri belirleme işlevi de var, ancak eski moda yöntemi kullanıyorum ve ihtiyacım olan formülü giriyorum. Bu nedenle, Excel'in tam olarak ihtiyacım olduğu gibi hesaplayacağından ve bir tür yuvarlama yapamayacağından eminim.

M3sergey

Veriler hücrelere önceden girilmişse çok kolaydır. Sadece bir sayı ile ilgileniyorsanız, gerekli aralığı / aralıkları seçmeniz yeterlidir ve bu sayıların toplamının değeri, aritmetik ortalamaları ve sayıları durum çubuğunun sağ alt kısmında görünecektir.

Boş bir hücre seçebilir, "Otomatik Toplam" üçgenine (açılır liste) tıklayabilir ve orada "Ortalama"yı seçebilir ve ardından hesaplama için önerilen aralığı kabul edebilir veya kendinizinkini seçebilirsiniz.

Son olarak, formül çubuğunun ve hücre adresinin yanındaki İşlev Ekle'yi tıklatarak formülleri doğrudan kullanabilirsiniz. ORTALAMA işlevi "İstatistiksel" kategorisinde bulunur ve hem sayıları hem de hücre referanslarını vb. bağımsız değişken olarak kabul eder. Burada ayrıca daha karmaşık seçenekler de seçebilirsiniz, örneğin, ORTALAMA - koşula göre ortalamayı hesaplama.

Excel'de ortalamayı bulun oldukça basit bir görevdir. Burada bu ortalama değeri bazı formüllerde kullanmak isteyip istemediğinizi anlamanız gerekir.

Yalnızca değeri almanız gerekiyorsa, gerekli sayı aralığını seçmeniz yeterlidir, bundan sonra excel otomatik olarak ortalama değeri hesaplayacaktır - durum çubuğunda "Ortalama" başlığı altında görüntülenecektir.

Formüllerde elde edilen sonucu kullanmak istemeniz durumunda şunları yapabilirsiniz:

1) SUM işlevini kullanarak hücreleri toplayın ve hepsini sayı sayısına bölün.

2) Daha doğru bir seçenek, ORTALAMA adlı özel bir işlevi kullanmaktır. Bu işlevin argümanları, sıralı olarak belirtilen sayılar veya bir sayı aralığı olabilir.

Vladimir tikhonov

hesaplamaya katılacak değerleri daire içine alın, "Formüller" sekmesine tıklayın, orada solda "AutoSum" ve yanında aşağıyı gösteren bir üçgen göreceksiniz. bu üçgene tıklayın ve "Ortalama"yı seçin. Voila, bitti) çubuğun alt kısmında ortalamayı göreceksiniz :)

Ekaterina Mutalapova

En baştan ve sırayla başlayalım. ne anlama geliyor?

Ortalama, aritmetik ortalama olan bir değerdir, yani. bir sayı kümesi toplanarak ve ardından sayıların toplamını sayılarına bölerek hesaplanır. Örneğin, 2, 3, 6, 7, 2 sayıları için 4 olacaktır (20 sayılarının toplamı 5 sayılarına bölünür).

Şahsen benim için bir Excel elektronik tablosunda, en kolay yol = ORTALAMA formülünü kullanmaktı. Ortalama değeri hesaplamak için, tabloya veri girmeniz, veri sütununun altına = ORTALAMA () işlevini yazmanız ve parantez içinde veri sütununu vurgulayarak hücrelerdeki sayı aralığını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra, ENTER'a basın veya herhangi bir hücreye sol tıklayın. Sonuç, sütunun altındaki hücrede görüntülenecektir. Anlaşılmaz görünüyor, ama aslında birkaç dakika meselesi.

maceracı 2000

Ecxel'in programı çeşitlidir, bu nedenle ortalama değeri bulmanızı sağlayacak birkaç seçenek vardır:

İlk seçenek. Tüm hücreleri toplar ve sayılarına bölersiniz;

İkinci seçenek. Özel bir komut kullanın, gerekli hücreye "= ORTALAMA (ve ardından hücre aralığını belirtin)" formülünü yazın;

Üçüncü seçenek. Gerekli aralığı seçerseniz, aşağıdaki sayfada bu hücrelerdeki ortalama değerin de görüntülendiğini unutmayın.

Bu nedenle ortalama değeri bulmanın birçok yolu vardır, sizin için en iyisini seçmeniz ve sürekli kullanmanız yeterlidir.

Excel'de ORTALAMA işlevini kullanarak aritmetik asal ortalamayı hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için, bir dizi değerde sürmeniz gerekir. Eşittir'e basın ve aralarında ORTALAMA işlevinin seçildiği İstatistiksel Kategori'yi seçin.

Ayrıca, istatistiksel formülleri kullanarak, daha doğru kabul edilen ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplayabilirsiniz. Hesaplamak için gösterge değerlerine ve frekansa ihtiyacımız var.

Excel'de ortalama nasıl bulunur?

Durum aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki tablo var:
Kırmızı ile gölgelenen çubuklar, konuların notlarının sayısal değerlerini içerir. sütununda " Not ortalaması"ortalama değerlerini hesaplamak gerekiyor.
Sorun şu: Toplamda 60-70 madde var ve bunların bir kısmı başka bir sayfada.
Başka bir belgeye baktım, ortalama zaten hesaplanmış ve hücrede şöyle bir formül var.
= "sayfa adı"! | E12
ama kovulan bazı programcılar tarafından yapıldı.
Lütfen bana bunu kimin anladığını söyle.

Hektor

İşlevler satırına, sunulan "ORTALAMA" işlevlerinden eklersiniz ve örneğin Ivanov için nerede hesaplanmaları gerektiğini (B6: N6) seçersiniz. Komşu sayfaları tam olarak bilmiyorum ama kesinlikle standart Windows yardımında yer alıyor.
Bana bir Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyle

Lütfen bana Word'deki ortalama değeri nasıl hesaplayacağımı söyleyin. Yani reyting alan kişi sayısı değil, reytinglerin ortalaması.

Julia pavlova

Word makrolarla çok şey yapabilir. ALT + F11 tuşlarına basın ve bir makro programı yazın..
Ek olarak, Ekle-Nesne ..., Word belgesi içinde tablo içeren bir sayfa oluşturmak için Excel dahil olmak üzere diğer programları kullanmanıza izin verir.
Ancak bu durumda tablonun sütununa numaralarınızı yazmanız ve aynı sütunun alt hücresine ortalamayı girmeniz gerekiyor, değil mi?
Bunu yapmak için alttaki hücreye bir alan ekleyin.
Ekleme Alanı ... -Formül
alan içeriği
[= ORTALAMA (YUKARI)]
yukarıdaki yalancı hücrelerin toplamının ortalamasını verir.
Alan seçiliyse ve farenin sağ tuşuna basılırsa, sayılar değiştiyse Yenilenebilir,
alanın kodunu veya değerini görüntüleyin, kodu doğrudan alanda değiştirin.
Bir şeyler ters giderse, hücredeki tüm alanı silin ve yeniden oluşturun.
ORTALAMA ortalama anlamına gelir, YUKARI yaklaşık, yani yukarıdaki bir hücre sırası anlamına gelir.
Bütün bunları kendim bilmiyordum, ama elbette biraz düşünerek YARDIM'da kolayca buldum.

Çoğu durumda, veriler bir merkezi nokta etrafında toplanır. Bu nedenle, herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan üç sayısal özelliği sırayla ele alalım: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Ortalama

Aritmetik ortalama (genellikle sadece ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesinin sonucudur. Bir sayı örneği için X 1, X 2, ..., Xn, örnek ortalama (sembolü ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, veya

örnek ortalama nerede, n- örnek boyut, xben – i. elemanörnekleme.

Notu formatta veya formatta örnekler indirin

15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirisinin aritmetik ortalamasını hesaplamayı düşünün. yüksek seviye riski (Şekil 1).

Pirinç. 1. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi

Örnek ortalama şu şekilde hesaplanır:

Bu, özellikle banka veya kredi birliği mudilerinin aynı dönemde elde ettikleri gelirin %3-4'ü ile karşılaştırıldığında, iyi bir getiridir. Getirilerin değerlerini sıralarsanız, sekiz fonun getirisinin daha yüksek ve yedi - ortalamanın altında olduğunu görmek kolaydır. Aritmetik ortalama, düşük gelirli fonların yüksek gelirli fonları dengelemesi için bir denge noktası görevi görür. Numunenin tüm unsurları ortalamanın hesaplanmasına dahil edilir. Dağılım ortalamasının diğer tahminlerinin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.

Aritmetik ortalama ne zaman hesaplanır? Aritmetik ortalama, örneğin tüm elemanlarına bağlı olduğundan, uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri kümesini tanımlarken medyanı veya aritmetik ortalamayı ve medyanı belirtmek gerekir. Örneğin, RS Gelişen Büyüme fonu getirisini örneklemden çıkarırsanız, 14 fonun örnek ortalama getirisi neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşecektir.

Medyan

Medyan, sıralı bir sayı dizisinin medyanıdır. Dizi yinelenen sayılar içermiyorsa, öğelerinin yarısı medyandan daha az ve yarısından fazla olacaktır. Örnek uç değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine medyanı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce onu sipariş etmeniz gerekir.

Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır. n:
- Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n + 1) / 2 eleman.
- Numune çift sayıda eleman içeriyorsa, medyan numunenin iki ortalama elemanı arasındadır ve bu iki eleman üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.
15 çok yüksek riskli yatırım fonu getirisi örneğinin medyanını hesaplamak için önce orijinal verileri sipariş etmeniz gerekir (Şekil 2). O zaman medyan, örneğin orta elemanının sayısının karşısında olacaktır; örneğimizde # 8. Excel'in, sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi = MEDIANA () vardır.

Pirinç. 2. Medyan 15 fon

Yani medyan 6.5'tir. Bu, risk düzeyi çok yüksek olan fonların yarısının karlılığının 6,5'i, diğer yarısının karlılığının ise onu geçmediği anlamına gelir. 6,5 medyanının 6,08 ortalamasından çok daha yüksek olmadığını unutmayın.

RS Gelişen Büyüme fonunun getirisini örneklemden çıkarırsak, kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşer, yani aritmetik ortalama kadar önemli değildir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Medyan 14 fon

Moda

Terim ilk olarak 1894'te Pearson tarafından kullanılmıştır. Moda, örneklemde en sık görülen (en moda) sayıdır. Moda, örneğin, sürücülerin arabayı durdurmak için bir trafik sinyaline verdiği tipik tepkiyi iyi tanımlar. Moda kullanımının klasik bir örneği, üretilen ayakkabı partisinin boyutunu veya duvar kağıdının rengini seçmektir. Bir dağılımın birkaç modu varsa, bunun çok modlu veya çok modlu olduğu söylenir (iki veya daha fazla "tepe"ye sahiptir). Dağılımın çok modluluğu, incelenen değişkenin doğası hakkında önemli bilgiler sağlar. Örneğin, kamuoyu yoklamalarında, bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk kesinlikle birkaç farklı görüşün olduğu anlamına gelebilir. Çok modluluk aynı zamanda örneğin homojen olmadığının ve gözlemlerin muhtemelen iki veya daha fazla "üst üste binen" dağılım tarafından üretildiğinin bir göstergesi olarak hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modayı etkilemez. Sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için, örneğin, yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisinin göstergeleri için, moda bazen hiç yoktur (veya mantıklı değildir). Bu göstergeler çok çeşitli değerler alabildiğinden, tekrarlanan değerler son derece nadirdir.

çeyrekler

Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini tanımlarken verilerin dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan sıralı bir diziyi ikiye bölerken (dizi elemanlarının %50'si medyandan daha az ve %50 daha fazladır), çeyrekler sıralı veri setini dört parçaya böler. Q 1, medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. Q 1'in ilk çeyreği, numuneyi iki parçaya bölen sayıdır: Elementlerin %25'i daha azdır ve %75'i - ilkinden daha fazlaçeyrek.

Üçüncü çeyrek, Q 3, aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen sayıdır: Elementlerin %75'i daha az ve %25'i üçüncü çeyrekten fazladır.

Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için = QUARTILE (dizi; parça) işlevi kullanıldı. Excel2010 sürümünden başlayarak, iki işlev geçerlidir:
- = QUARTILE.INC (dizi, kısım)
- = QUARTILE.HRC (dizi, kısım)
Bu iki fonksiyon çok az Farklı anlamlar(şekil 4). Örneğin, 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örneğin çeyreklerini hesaplarken, QUARTILE.INCL ve QUARTILE.EXCL için sırasıyla Q 1 = 1.8 veya –0.7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi şuna karşılık gelir: modern fonksiyon DAİRE DAHİL. Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanması gerekmez.

Pirinç. 4. Excel'de çeyreklerin hesaplanması

Tekrar vurgulayalım. Excel, tek boyutlu için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri rastgele bir değişkenin değerlerini içeren. Frekansa dayalı bir tahsis için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.

geometrik ortalama

Aritmetik ortalamadan farklı olarak geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenizi sağlar. Geometrik ortalama köktür n-işten gelen derece n değerler (Excel'de = SRGEOM işlevi kullanılır):

G= (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n

Benzer bir parametre - getiri oranının geometrik ortalaması - aşağıdaki formülle belirlenir:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,

nerede Ri- için getiri oranı ben inci zaman dilimi.

Örneğin, ilk yatırımın 100.000 $ olduğunu varsayalım, ilk yılın sonunda 50.000 $ seviyesine düşer ve ikinci yılın sonunda orijinal 100.000 $'a geri döner.Bunun üzerindeki getiri oranı İlk ve nihai fonlar birbirine eşit olduğundan, iki yıllık bir süre boyunca yatırım 0'a eşittir. Ancak aritmetik ortalama yıllık oranlar kâr = (–0.5 + 1) / 2 = 0.25 veya %25, çünkü ilk yıldaki kâr oranı R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = –0.5 ve ikinci R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, iki yıl için kâr oranının geometrik ortalaması: G = [(1–0.5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. Bu nedenle, geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha doğrusu değişikliklerin yokluğunu) aritmetik ortalamadan daha doğru bir şekilde yansıtır.

İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından daha küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durumlar hariç. İkincisi, özellikleri göz önünde bulundurarak sağ üçgen, ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Dik açılı bir üçgenin hipotenüse indirilmiş yüksekliği, bacakların hipotenüse olan izdüşümleri arasındaki orantılı ortalamadır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) segmentin geometrik ortalamasını oluşturmanın geometrik bir yolunu verir: çapta olduğu gibi bu iki segmentin toplamı üzerinde bir daire oluşturmanız gerekir, ardından bağlantı noktasından kesişme noktasına olan yükseklik geri yüklenir. daire istenen değeri verecektir:

Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan çizim)

Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği, varyasyon veri varyansının derecesini karakterize eder. İki farklı numune hem ortalama değerlerde hem de varyasyonlarda farklılık gösterebilir. Ancak, Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de gösterildiği gibi, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara sahip olabilir veya aynı ortalamalara ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki poligon B'ye karşılık gelen veriler. 7, poligon A'nın üzerinde bulunduğu verilerden çok daha az değişir.

Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklinde dağılım

Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı dağılıma sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Veri varyasyonunun beş tahmini vardır:
- kapsam,
- çeyrekler arası aralık,
- dağılım,
- standart sapma,
- varyasyon katsayısı.
Sallanmak

Aralık, örneğin en büyük ve en küçük öğeleri arasındaki farktır:

Kaydır = XMaks - XMin.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örneklem aralığı, sıralı bir dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18.5 - (–6.1) = 24,6. Yani çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirisi arasındaki fark %24,6'dır.

Span, verilerin genel dağılımını ölçer. Örnek boyutu, verilerin genel dağılımının çok basit bir tahmini olsa da, zayıf yönü, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıldığını hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil de açıkça görülmektedir. 8, aynı açıklığa sahip örnekleri gösterir. B Ölçeği, numunenin en az bir uç değer içermesi durumunda, numune aralığının, verilerin dağılımının çok kesin olmayan bir tahmini olduğunu gösterir.

Pirinç. 8. Aynı aralıkta üç örneğin karşılaştırılması; üçgen, terazinin desteğini sembolize eder ve konumu numunenin ortalamasına karşılık gelir

Çeyrekler arası aralık

Çeyrekler arası veya ortalama aralık, örneğin üçüncü ve ilk çeyreği arasındaki farktır:

Çeyrekler arası aralık = Q 3 - Q 1

Bu değer, elementlerin %50'sinin yayılmasını tahmin etmeyi mümkün kılar ve ekstrem elementlerin etkisini hesaba katmaz. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerinin bir örneğinin çeyrekler arası aralığı, Şekil 2'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, DÖRTLÜ.HRC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 - (–0,7) = 10,5. 9.8 ve –0.7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.

Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1 veya daha fazla olacak herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q3'ten daha fazla. Toplam nicel özellikler Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi ölçümlere sağlam ölçüler denir.

Aralık ve çeyrekler arası aralık, sırasıyla örneğin genel ve ortalama varyansının bir tahminini sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin nasıl dağıldığını hesaba katmaz. Dağılım ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu metrikler, verilerin ortalama etrafında dalgalanma derecesinin bir tahminini sağlar. örnek varyans her bir numune elemanı ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için, örnek varyansı (S 2 sembolü ile gösterilir, aşağıdaki formülle verilir:

Genel olarak, numune varyansı, numunedeki öğeler ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının numune boyutu eksi bire eşit bir değere bölümüdür:

nerede - aritmetik ortalama, n- örnek boyut, X ben - benörnek eleman x... 2007'den önceki Excel'de, örnek varyansını hesaplamak için = VARP () işlevi kullanılıyordu; 2010'dan beri = VARV () işlevi kullanılmaktadır.

Verilerin yayılmasının en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmini, standart örnek sapması... Bu gösterge S sembolü ile gösterilir ve şuna eşittir: kare kökörnek varyansından:

2007'den önceki Excel'de, standart örnek sapmasını hesaplamak için = STDEV () işlevi kullanılırken, 2010'dan beri = STDEV.V () işlevi kullanılmaktadır. Bu fonksiyonların hesaplanması için veri seti sırasız olabilir.

Ne örnek varyansı ne de standart örnek sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, örneğin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Bu son derece olasılık dışı durumda, yayılma ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.

Sayısal veriler doğası gereği uçucudur. Herhangi bir değişken sette alabilir Farklı anlamlar... Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve kayıp oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği kümülatif olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin dağılımını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.

Varyans ve standart sapma, verilerin ortalama etrafındaki yayılmasını tahmin etmenize, başka bir deyişle, örnekteki kaç öğenin ortalamadan daha az olduğunu ve kaçının daha fazla olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dağılım bazı değerli matematiksel özellikler... Bununla birlikte, değeri, ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, varyansın doğal tahmini, ortak ölçü birimleriyle ifade edilen standart sapmadır - gelir yüzdesi, dolar veya inç.

Standart sapma, örnek öğelerin ortalama etrafındaki dalgalanma miktarını tahmin etmenizi sağlar. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlenen değerlerin çoğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığındadır. Bu nedenle, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri yığınının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun getirisinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklı olmadığı anlamına gelir (yani, aşağıdaki aralıkta dalgalanmalar). - S= 6,2 - 6,6 = -0.4 ila + S= 12.8). Aslında bu aralıkta, beş yıllık ortalama %53,3'lük fon (15'ten 8'i) yıllık getiri yatıyor.

Pirinç. 9. Standart örnek sapması

Farkların karesi eklendiğinde, ortalamadan uzak olan numunenin daha yakın olan numuneden daha fazla ağırlık kazandığına dikkat edin. Bu özellik, aritmetik ortalamanın genellikle bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için kullanılmasının ana nedenidir.

varyasyon katsayısı

Yayılımın önceki tahminlerinden farklı olarak, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Ham verilerle değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV ile gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalamaya göre dağılımını ölçer. Varyasyon katsayısı, aritmetik ortalamaya bölünen ve %100 ile çarpılan standart sapmaya eşittir:

nerede S- standart örnek sapması, - örnek ortalama.

Varyasyon katsayısı, öğeleri farklı ölçüm birimlerinde ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım müdürü kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken, dikkate alınması gereken iki tür kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound olarak) ve hacmi (fit küp olarak). 200 torbalık bir numune için, ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapması 3,9 pound, ortalama torba hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapması 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Çantaların ağırlık ve hacmindeki farkı nasıl karşılaştırırsınız?

Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yönetici bu değerlerin göreli dağılımını karşılaştırmalıdır. Ağırlık varyasyon katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim varyasyon katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Bu nedenle, paket hacmindeki nispi yayılma, ağırlıklarındaki nispi yayılmadan çok daha büyüktür.

dağıtım formu

Numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. Bu iki gösterge çakışırsa, değişken simetrik olarak dağılmış olarak kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri medyandan büyükse, dağılımı pozitif bir çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse, değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek bir değere yükseldiğinde pozitif çarpıklık meydana gelir. yüksek değerler... Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık oluşur. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılır, böylece değişkenin yüksek ve düşük değerleri birbirini dengeler.

Pirinç. 10. Üç tür dağıtım

A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, alışılmadık derecede düşük değerlerin neden olduğu uzun bir kuyruk ve sola eğriliği göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalamayı sola kaydırır ve medyandan daha az olur. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağılmıştır. Dağılımın sol ve sağ yarısı onların ayna görüntüleridir. Yüksek ve düşük değerler birbirini dengeler ve ortalama ve medyan eşittir. B ölçeğindeki veriler pozitif çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin neden olduğu uzun bir kuyruk ve sağa doğru bir eğriliği göstermektedir. Bu çok yüksek değerler ortalamayı sağa kaydırır ve medyandan daha büyük olur.

Excel'de, eklenti kullanılarak açıklayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi... Menüden geçmek Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam... Pencerede Tanımlayıcı istatistikler belirttiğinizden emin olun Giriş aralığı(şek. 11). Orijinal verilerle aynı sayfada tanımlayıcı istatistikleri görmek istiyorsanız, radyo düğmesini seçin. Çıkış Aralığı ve çıktı istatistiklerinin sol üst köşesinin yerleştirilmesi gereken hücreyi belirtin (örneğimizde $ C $ 1). Verileri yeni bir sayfaya veya yeni kitap, uygun radyo düğmesini seçmeniz yeterlidir. yanındaki kutucuğu işaretleyin Özet istatistikler... İsteğe bağlı olarak da seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,en küçük veen büyük.

Mevduat varsa Veri alanında analiz görüntülenen bir simgeniz yok Veri analizi, önce eklentiyi yüklemelisiniz Analiz paketi(bkz: örneğin).

Pirinç. 11. Eklenti kullanılarak hesaplanan, çok yüksek risk seviyelerine sahip fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisinin tanımlayıcı istatistikleri Veri analizi Excel programları

Excel, yukarıda tartışılan çeşitli istatistikleri hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( Aralık), minimum, maksimum ve numune boyutu ( Kontrol). Ayrıca Excel, bizim için yeni olan bazı istatistikleri hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hataörnek boyutunun kareköküne bölünen standart sapmaya eşittir. asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örneğin elemanları ile ortalama arasındaki farkların küpüne bağlı olan bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına karşı ortalama etrafındaki göreli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek ile dördüncü güce yükseltilmiş ortalama arasındaki farklara bağlıdır.

Bir popülasyon için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılması ve şekli, numuneden belirlenen özelliklerdir. Ancak, veri kümesi şunları içeriyorsa sayısal ölçümler tüm genel popülasyon, parametrelerini hesaplayabilirsiniz. Bu parametreler, genel popülasyonun matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını içerir.

Beklenen değer genel nüfusun tüm değerlerinin toplamının genel nüfusun büyüklüğüne bölünmesine eşittir:

nerede µ - beklenen değer, xben- ben-bir değişkenin gözlemi x, n- genel nüfusun hacmi. Excel, matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlevi kullanır: = ORTALAMA ().

Nüfus değişimi genel popülasyonun elemanları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin genel nüfusun büyüklüğüne bölünmesi:

nerede 2- genel popülasyonun varyansı. 2007'den önceki Excel'de, 2010 = VAR.G () olduğundan, bir popülasyonun varyansını hesaplamak için = VARP () işlevi kullanılır.

Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:

2007'den önceki Excel'de, 2010 = STDEV.Y () olduğundan, popülasyon standart sapmasını hesaplamak için = STDEVP () işlevi kullanılır. Popülasyonun varyansı ve standart sapması için formüllerin, örnek varyansı ve standart sapmayı hesaplamak için kullanılan formüllerden farklı olduğuna dikkat edin. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 ve S kesrin paydası n - 1 ve parametreleri hesaplarken 2 ve σ - genel nüfusun hacmi n.

temel kural

Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklıklı veri kümelerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani aşağıda), negatif çarpıklıklı veri kümelerinde bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) bulunur. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım belirgin bir çarpıklığa sahip değilse ve veriler belirli bir ağırlık merkezi etrafında toplanmışsa, değişkenliği değerlendirmek için bir genel kural uygulanabilir; bu kural şu şekildedir: verilerin çan şeklinde bir dağılımı varsa, yaklaşık %68'dir. gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden en fazla iki standart sapmadır ve gözlemlerin %99.7'si matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla değildir.

Böylece, ortalama etrafındaki ortalama varyasyonun bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Çan şeklindeki dağılımlar için, yirmide yalnızca bir değerin matematiksel beklentiden ikiden fazla standart sapma ile farklı olduğu genel bir kuraldan çıkar. Bu nedenle, aralığın dışındaki değerler µ ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ek olarak, 1000 gözlemden sadece üçü, matematiksel beklentiden üçten fazla standart sapma ile farklılık gösterir. Böylece aralığın dışındaki değerler µ ± 3σ neredeyse her zaman aykırı değerlerdir. Çok çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Biename-Chebyshev ampirik kuralı uygulanabilir.

Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Biename ve Chebyshev bağımsız olarak keşfettiler faydalı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekli ne olursa olsun, uzaklığı geçmeyen gözlemlerin yüzdesinin olduğunu buldular. k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ 2) * %100.

örneğin, eğer k= 2, Biename-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 - (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta olması gerektiğini belirtir µ ± 2σ... Bu kural herkes için geçerlidir k birden büyük. Biename-Chebyshev kuralı çok geneldir ve her türlü dağıtım için geçerlidir. Matematiksel beklentiye olan mesafenin aşmadığı minimum gözlem sayısını gösterir. set değeri... Bununla birlikte, dağılım çan şeklindeyse, temel kural, beklenen değer etrafındaki veri konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.

Frekans tabanlı bir dağılım için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Orijinal veriler mevcut değilse, frekans tahsisi tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, standart sapma, çeyrekler gibi nicel dağılım göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplayabilirsiniz.

Örnek veriler bir frekans dağılımı şeklinde sunulursa, her sınıf içindeki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık bir değeri hesaplanabilir:

nerede - örnek ortalama, n- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, ile birlikte- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, m j- orta nokta J-sınıfa git, FJ karşılık gelen frekans mı J sınıf.

Frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için ayrıca her sınıf içindeki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında ortalandığı varsayılır.

Serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rusya nüfusunun ortalama kişi başına para gelirine göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyrek hesaplamasını ele alalım (Şekil 12).

Pirinç. 12. Aylık ortalama kişi başına ortalama para geliri ile Rusya nüfusunun payı, ruble

Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için şu formülü kullanabilirsiniz:

burada Q1 ilk çeyreğin değeridir, хQ1 ilk çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık kümülatif frekans tarafından belirlenir, birincisi %25'i aşar); i aralığın boyutudur; Σf, tüm örneğin frekanslarının toplamıdır; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1-1, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır; fQ1, alt çeyreği içeren aralığın frekansıdır. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve yerine ¾ kullanmanız gerektiğinden farklıdır.

Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek, kümülatif frekansı %26.4 olan 7000.1 - 10.000 aralığındadır. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif sıklığı %13.4, alt çeyreği içeren aralığın sıklığı %13.0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 ruble.

Tanımlayıcı istatistiklerle ilgili tuzaklar

Bu gönderide, ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını tahmin eden çeşitli istatistikleri kullanarak bir veri kümesini nasıl tanımlayacağımıza baktık. Bir sonraki adım, veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına dönüyoruz. Araştırmacıyı bekleyen iki hata vardır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.

15 çok yüksek riskli yatırım fonunun performans analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen objektif sonuçlara yol açtı: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri var, fon getirilerinin dağılımı -6.1 ile 18,5 arasında değişiyor ve ortalama getiri 6.08'dir. Veri analizinin nesnelliği sağlanır doğru seçim dağılımın toplam nicel göstergeleri. Verilerin ortalamasını ve yayılmasını tahmin etmek için çeşitli yöntemler göz önüne alındı, avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Verilerinizin dağılımı biraz çarpıksa, aritmetik ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verilerin yayılmasını daha doğru bir şekilde karakterize ediyor: standart sapma mı yoksa aralık mı? Biri dağılımın pozitif bir çarpıklığına işaret etmeli mi?

Öte yandan, veri yorumlama öznel bir süreçtir. Farklı insanlar aynı sonuçları yorumlayarak farklı sonuçlara varır. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi, çok yüksek düzeyde risk içeren 15 fonun ortalama yıllık karlılığının toplam göstergelerini iyi olarak görüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle, öznellik dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.

Etik konular

Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyolar, televizyonlar ve internet aracılığıyla yayılan bilgilere eleştirel yaklaşılmalıdır. Zamanla, yalnızca sonuçlar hakkında değil, aynı zamanda araştırmanın amaçları, konusu ve nesnelliği hakkında da şüpheci olmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz politikacı Benjamin Disraeli, hepsinden daha iyisini söyledi: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, bariz yalanlar ve istatistikler."

Notta belirtildiği gibi, raporlanacak sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir sunum veya yazılı bir rapor yapılırken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunum arasında ayrım yapın. Bunu yapmak için, konuşmacının niyetlerinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri cahilce ve bazen de - bilerek kaçırır (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça asimetrik verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların üzerini örtmek de haksızlıktır.

Yöneticiler için Levin ve diğer İstatistikler kitabının kullanılmış materyalleri. - E.: Williams, 2004 .-- s. 178-209

QUARTILE işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk için korundu

Sayısal bir dizinin tüm üyeleri toplanarak ve toplamın üye sayısına bölünmesiyle elde edilir. Örneğin, 7, 20, 152 ve 305'in aritmetik değeri 484/4 = 121'dir. Ancak ortalama, sayıların dağılımını yargılamamıza izin vermez. karşılaştırmak: geometrik ortalama.

İşletme. açıklayıcı sözlük... - M.: "INFRA-M", Yayınevi "Ves Mir". Graham Betts, Barry Braindley, S. Williams ve ark. Genel sürüm: İktisat Doktoru Osadchaya I.M.. 1998 .

"ARITHMETİK ORTALAMA" nın diğer sözlüklerde ne olduğunu görün: