Trigonometrik fonksiyonlar için dönüşüm formülleri. Temel trigonometri formülleri

Trigonometride birçok formül vardır.

Bunları mekanik olarak ezberlemek çok zor, neredeyse imkansız. Sınıfta, birçok okul çocuğu ve öğrenci, ders kitaplarının ve defterlerin son kağıtlarında, duvarlarda posterlerde, beşiklerde ve son olarak çıktılar kullanır. Sınav ne olacak?

Ancak bu formüllere daha yakından bakarsanız hepsinin birbiriyle bağlantılı olduğunu ve belirli bir simetriye sahip olduğunu göreceksiniz. Bunları tanımları ve özellikleri açısından inceleyelim. trigonometrik fonksiyonlar gerçekten ezberlemeye değer minimumu belirlemek için.

Grup I. Temel kimlikler

günah 2 a + cos 2 a = 1;

tga = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tga · ctga = 1;

1 + tg 2 a = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 a = _____ 1 günah 2 α.

Bu grup en basit ve en popüler formülleri içerir. Öğrencilerin çoğu onları tanıyor. Ancak hala zorluklar varsa, o zaman ilk üç formülü hatırlamak için zihinsel olarak hayal edin. sağ üçgen bire eşit bir hipotenüs ile. O zaman bacakları sırasıyla sinüs tanımına göre sinα (karşı bacağın hipotenüse oranı) ve kosinüs tanımına göre cosα'ya (bitişik bacağın hipotenüse oranı) eşit olacaktır.

İlk formül, böyle bir üçgen için Pisagor teoremidir - bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine (1 2 = 1) eşittir, ikinci ve üçüncü tanjantın tanımlarıdır (orantısı). bitişik olana zıt bacak) ve kotanjant (bitişik bacağın zıt olana oranı).
Tanjant ve kotanjantın çarpımı 1'dir, çünkü kesir olarak yazılan kotanjant (üçüncü formül) ters çevrilmiş bir tanjanttır (iki numaralı formül). Bu arada, ikinci değerlendirme, bir kotanjantlı sonraki tüm uzun formülleri ezberlenmesi gereken formül sayısından çıkarmayı mümkün kılar. eğer herhangi birinde zor görev ctgα ile karşılaşacaksınız, sadece bir kesir ile değiştirin ___ 1 tgα ve teğet için formülleri kullanın.

Son iki formülün önceden sembolik olarak ezberlenmesine gerek yoktur. Daha az yaygındırlar. Ve gerekirse, bunları her zaman bir taslağa yeniden yazdırabilirsiniz. Bunu yapmak için, tanımlarının tanjantı veya kontağı yerine bir kesir (sırasıyla ikinci ve üçüncü formüller) ile ikame etmek ve ifadeyi azaltmak yeterlidir. ortak payda... Ancak, tanjant ve kosinüsün karelerini ve kotanjant ve sinüs karelerini birbirine bağlayan bu tür formüllerin var olduğunu hatırlamak önemlidir. Aksi takdirde, belirli bir sorunu çözmek için hangi dönüşümlerin gerekli olduğunu tahmin edemezsiniz.

Grup II. Toplama formülleri

günah (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

günah (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Trigonometrik fonksiyonların tek / çift eşlik özelliklerini hatırlayın:

günah (−α) = - günah (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).

Tüm trigonometrik fonksiyonlardan sadece kosinüs çift fonksiyondur ve argüman (açı) işareti değiştiğinde işaretini değiştirmez, fonksiyonların geri kalanı tektir. Fonksiyonun tuhaflığı, aslında, eksi işaretinin fonksiyon işaretinin dışında eklenip çıkarılabileceği anlamına gelir. Bu nedenle, iki açı farkı olan bir trigonometrik ifadeye rastlarsanız, bunu her zaman pozitif ve negatif açıların toplamı olarak anlayabilirsiniz.

Örneğin, günah ( x- 30º) = günah ( x+ (-30º)).
Daha sonra, iki açının toplamı için formülü kullanırız ve işaretlerle ilgileniriz:
günah ( x+ (-30º)) = günah x· Cos (-30º) + cos x Günah (-30º) =
= günah x· Cos30º - çünkü x· Sin30º.

Böylece açı farkını içeren tüm formüller ilk ezberleme sırasında kolayca atlanabilir. O zaman onları nasıl geri yükleyeceğinizi öğrenmeye değer. Genel görünümönce taslakta, sonra zihinsel olarak.

Örneğin, tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Bu, gelecekte belirli bir görevi trigonometriden çözmek için hangi dönüşümlerin uygulanması gerektiğini hızlı bir şekilde tahmin etmeye yardımcı olacaktır.

Sh grubu. Çoklu Argüman Formülleri

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2a = cos 2 a - sin 2 a;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg2α;

sin3α = 3sinα - 4sin 3α;

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.

Çift açının sinüsü ve kosinüsü için formül kullanma ihtiyacı, tanjant için de oldukça sık ortaya çıkar. Bu formüller ezbere bilinmelidir. Ayrıca, onları ezberlemede hiçbir zorluk yoktur. İlk olarak, formüller kısadır. İkincisi, 2α = α + α olduğu gerçeğine dayanarak, önceki grubun formüllerine göre kontrol edilmeleri kolaydır.
Örneğin:
günah (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
günah (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Bununla birlikte, önceki formülleri değil, bu formülleri hızlı bir şekilde öğrendiyseniz, tersini yapabilirsiniz: çift açı için karşılık gelen formülü kullanarak iki açının toplamı formülünü hatırlayabilirsiniz.

Örneğin, iki açının toplamının kosinüsü için bir formüle ihtiyacınız varsa:
1) çift açının kosinüs formülünü hatırlayın: cos2 x= çünkü 2 x- günah 2 x;
2) uzun boyarız: çünkü ( x + x) = çünkü xçünkü x- günah x Günah x;
3) birini değiştirin NSα ile, ikincisi β ile: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

Toplamın sinüsü ve toplamın tanjantı için formülleri geri yüklemek için aynı şekilde çalışın. KULLANIM gibi kritik durumlarda, bilinen ilk çeyreği kullanarak geri yüklenen formüllerin doğruluğunu kontrol edin: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Önceki formülün kontrol edilmesi (3. satırda değiştirilerek elde edilir):
İzin vermek α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
sonra cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
değerleri formülde değiştiririz: 0 = (1/2) √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, hata bulunamadı.

Bence üçlü açı formüllerinin özel olarak "sıkıştırılması" gerekmiyor. Sınav gibi sınavlarda oldukça nadirdirler. Yukarıdaki formüllerden kolayca çıkarılabilirler, çünkü sin3α = günah (2α + α). Ve bir nedenden dolayı hala bu formülleri ezbere öğrenmesi gereken öğrenciler için, onların belirli "simetrilerine" dikkat etmelerini ve formülleri değil, anımsatıcı kuralları ezberlemeni tavsiye ederim. Örneğin, sayıların iki formülde "33433433" vb.

IV grubu. Toplam / fark - ürüne

sinα + sinβ = 2 günah α + β ____ 2çünkü α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 günah α - β ____ 2çünkü α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2çünkü α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = -2 günah α - β ____ 2 Günah α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = günah (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = günah (α - β) ________ cosα cosβ .

Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının tek özelliklerini kullanarak: günah (−α) = - günah (α); tg (−α) = - tg (α),
iki fonksiyonun farkları için formülleri, toplamları için formüllere indirgemek mümkündür. Örneğin,

sin90º - sin30º = sin90º + günah (-30º) = 2 · günah 90º + (-30º) __________ 2çünkü 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

Bu nedenle, sinüs ve teğet farkı formüllerinin hemen ezbere öğrenilmesi gerekmez.
Kosinüslerin toplamı ve farkı ile durum daha karmaşıktır. Bu formüller birbirinin yerine kullanılamaz. Ancak yine kosinüsün paritesini kullanarak aşağıdaki kuralları hatırlayabilirsiniz.

cosα + cosβ toplamı, açıların işaretindeki herhangi bir değişiklik için işaretini değiştiremez, bu nedenle ürün aynı zamanda çift işlevlerden oluşmalıdır, yani. iki kosinüs.

cosα - cosβ farkının işareti, fonksiyonların kendi değerlerine bağlıdır, bu da ürünün işaretinin açıların oranına bağlı olması gerektiği anlamına gelir, bu nedenle ürün tek işlevlerden oluşmalıdır, yani. iki sinüs.

Yine de bu formül grubu ezberlenmesi en kolay olan değildir. Bu, daha az tıkınmanın daha iyi olduğu, ancak daha fazlasını kontrol etmenin daha iyi olduğu durumdur. Sorumlu sınavda formülde hata yapmamak için önce mutlaka bir taslağa yazın ve iki şekilde kontrol edin. İlk önce, β = α ve β = −α ikameleriyle, daha sonra asal açılar için bilinen fonksiyonların değerleriyle. Bunun için yukarıdaki örnekte olduğu gibi 90º ve 30º almak en iyisidir, çünkü bu değerlerin yarı toplamı ve yarı farkı yine basit açılar verir ve eşitliğin nasıl bir özdeşlik haline geldiğini kolayca görebilirsiniz. doğru seçenek için. Veya tam tersine, bir hata yaptıysanız yürütülmez.

Örnek cosα - cosβ = 2 günah formülünü kontrol etme α - β ____ 2 Günah α + β ____ 2 kosinüs farkı için bir hata ile !

1) β = α olsun, sonra cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2 Günah α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) β = - α, sonra cosα - cos (- α) = 2 sin olsun α - (−α) _______ 2 Günah α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.

Bu kontroller, formüldeki işlevlerin doğru kullanıldığını gösterdi, ancak kimliğin 0 ≡ 0 biçiminde olması nedeniyle, işaretli veya katsayılı bir hata gözden kaçabilir. Üçüncü kontrolü yapıyoruz.

3) α = 90º, β = 30º, sonra cos90º - cos30º = 2 · günah olsun 90º - 30º ________ 2 Günah 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · günah60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Hata gerçekten tabeladaydı ve sadece çalışmadan önceki tabeladaydı.

Grup V. Ürün - toplamda / farkta

sinα sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Günah (α - β) + günah (α + β))).

Beşinci formül grubunun adı, bu formüllerin önceki grubun tam tersi olduğunu gösterir. Bu durumda, formülü bir taslakta geri yüklemek, onu yeniden öğrenmekten daha kolay olduğu ve "kafanızda karışıklık" yaratma riskini artırdığı açıktır. Formülün daha hızlı bir şekilde kurtarılması için odaklanmanın mantıklı olduğu tek şey aşağıdaki eşitliklerdir (kontrol edin):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Düşünmek örnek: sin5 ürününü dönüştürmeniz gerekiyor x Cos3 x iki trigonometrik fonksiyonun toplamına dönüştürülür.
Ürün hem sinüs hem de kosinüs içerdiğinden, daha önce öğrendiğimiz sinüs toplamı formülünü bir önceki gruptan alıp bir taslağa yazıyoruz.

sinα + sinβ = 2 günah α + β ____ 2çünkü α - β ____ 2

5 olsun x = α + β ____ 2 ve 3 x = α - β ____ 2, sonra α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Taslaktaki formülde, α ve β değişkenleri cinsinden ifade edilen açıların değerlerini, değişken cinsinden ifade edilen açıların değerleri ile değiştiririz. x.
alırız günah8 x+ günah2 x= 2 günah5 x Cos3 x

Eşitliğin her iki parçasını da 2'ye bölüyoruz ve temiz kopyaya sağdan sola yazıyoruz. günah5 x Cos3 x = 1 _ 2 (günah8 x+ günah2 x). Cevap hazır.

Egzersiz olarak: Ders kitabında neden toplamı / farkı 6'nın ürününe ve tersini (ürünü toplam veya farka dönüştürmek için) dönüştürmek için sadece 3 formül olduğunu açıklayın?

VI grubu. Derece azaltma formülleri

çünkü 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

günah 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

çünkü 3 a = 3cosα + cos3α ____________ 4;

günah 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Bu grubun ilk iki formülüne çok ihtiyaç var. Seviye dahil trigonometrik denklemleri çözerken sıklıkla kullanılırlar. birleşik sınav, ayrıca trigonometrik türdeki integralleri içeren integralleri hesaplarken.

Bir sonraki "tek katlı" formda bunları hatırlamak daha kolay olabilir.
2cos 2 a = 1 + cos2a;
2 günah 2 α = 1 - cos2α,
ve her zaman kafanızda veya taslakta 2'ye bölebilirsiniz.

Sınavlarda aşağıdaki iki formülün (fonksiyon küpleri ile) kullanılması ihtiyacı çok daha az yaygındır. Farklı bir ortamda, taslağı kullanmak için her zaman zamanınız olacaktır. Bu durumda, aşağıdaki seçenekler mümkündür:
1) III grubunun son iki formülünü hatırlıyorsanız, bunları basit dönüşümlerle sin 3 α ve cos 3 α'yı ifade etmek için kullanın.
2) Bu grubun son iki formülünde, ezberlenmesine katkıda bulunan simetri unsurlarını fark ederseniz, formüllerin "çizimlerini" taslak üzerine yazın ve ana açıların değerlerine göre kontrol edin.
3) Dereceyi düşürmek için bu tür formüllerin var olduğu gerçeğine ek olarak, onlar hakkında hiçbir şey bilmiyorsanız, sorunu sin 3 α = sin 2 α · sinα ve diğer öğrenilenlere dayanarak aşamalı olarak çözün. formüller. Bir kare için derece küçültme formülleri ve bir ürünü toplama dönüştürmek için bir formül gerekli olacaktır.

VII grubu. Yarım argüman

günah α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

çünkü α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

Bu formül grubunu ders kitaplarında ve referans kitaplarında sunuldukları biçimde ezberlemede bir anlam görmüyorum. bunu anlarsan α, 2α'nın yarısıdır, o zaman bu hızlı bir şekilde çıkarmak için yeterlidir istenilen formül dereceyi azaltmak için ilk iki formüle dayalı yarım argüman.

Bu aynı zamanda, formülü sinüs ifadesinin karşılık gelen kosinüs ifadesine bölünmesiyle elde edilen yarım açının tanjantı için de geçerlidir.

Sadece alırken unutmayın kare kök bir işaret koy ± .

VIII grubu. evrensel ikame

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);

cosα = 1 - bronz 2 (α / 2) __________ 1 + bronz 2 (α / 2);

tga = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Bu formüller, her türlü trigonometrik problemi çözmek için son derece yararlı olabilir. Karmaşık trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere indirgeyen değişken değişiklikler yapmanızı sağlayan "tek argüman - tek işlev" ilkesinin uygulanmasına izin verirler. Bu ikamenin evrensel olarak adlandırılması sebepsiz değildir.
İlk iki formülü öğrenmeliyiz. Üçüncüsü, tgα = tanjant tanımına göre ilk ikisini birbirine bölerek elde edilebilir. sinα ___ cosα

IX grubu. Döküm formülleri.

Bu trigonometrik formül grubunu anlamak için

X grubu. Büyük açılar için değerler.

İlk çeyreğin ana açıları için trigonometrik fonksiyonların değerleri verilmiştir.

Yani yaparız çıktı: Trigonometri formüllerini bilmek gerekir. Daha büyük daha iyi. Ancak zamanlarını ve çabalarını neye harcamalı - problem çözme sürecinde formülleri ezberlemek veya restorasyonlarını yapmak, herkes kendi başına karar vermelidir.

Trigonometri formüllerini kullanmak için bir görev örneği

Denklemi çözün günah5 x Cos3 x- günah8 x Cos6 x = 0.

bizde iki farklı günah fonksiyonları() ve cos () ve dört! farklı argümanlar 5 x, 3x, 8x ve 6 x... Ön dönüşümler olmadan, en basit trigonometrik denklem türlerine indirgemek işe yaramaz. Bu nedenle, önce çarpımları fonksiyonların toplamları veya farklılıkları ile değiştirmeye çalışıyoruz.
Bunu yukarıdaki örnekte olduğu gibi yapıyoruz (bkz. bölüm).

günah (5 x + 3x) + günah (5 x − 3x) = 2 günah5 x Cos3 x
günah8 x+ günah2 x= 2 günah5 x Cos3 x

günah (8 x + 6x) + günah (8 x − 6x) = 2 günah8 x Cos6 x
günah14 x+ günah2 x= 2 günah8 x Cos6 x

Bu eşitliklerden elde edilen ürünleri ifade ederek, bunları denklemde yerine koyarız. Alırız:

(günah8 x+ günah2 x) / 2 - (sin14 x+ günah2 x)/2 = 0.

Denklemin her iki tarafını da 2 ile çarpar, parantezleri açar ve benzer terimleri veririz.

günah8 x+ günah2 x- günah14 x- günah2 x = 0;
günah8 x- günah14 x = 0.

Denklem çok daha basit hale geldi ama bu şekilde çözün sin8 x= günah14 x, bu nedenle 8 x = 14x+ T periyodudur, bu periyodun anlamını bilmediğimiz için yanlıştır. Bu nedenle, herhangi bir ifadede faktörleri karşılaştırmanın kolay olduğu eşitliğin sağ tarafında 0 olduğu gerçeğini kullanacağız.
sin8'i genişletmek için x- günah14 x faktörlere göre, farktan ürüne gitmeniz gerekir. Bunu yapmak için, sinüslerin farkı formülünü veya yine sinüslerin toplamı ve sinüs fonksiyonunun tuhaflığı formülünü kullanabilirsiniz (bölümdeki örneğe bakın).

günah8 x- günah14 x= günah8 x+ günah (-14 x) = 2 günah 8x + (−14x) __________ 2 çünkü 8x − (−14x) __________ 2 = günah (-3 x) Cos11 x= -sin3 x Cos11 x.

Yani denklem sin8 x- günah14 x= 0, sin3 denklemine eşdeğerdir x Cos11 x= 0, bu da en basit iki denklem sin3 kümesine eşdeğerdir x= 0 ve cos11 x= 0. İkincisini çözerek, iki seri yanıt elde ederiz.
x 1 = π n/3, nϵZ
x 2 = π / 22 + π k/11, kϵZ

Metinde bir hata veya yazım hatası bulursanız, lütfen bunu bize bildirin. e [e-posta korumalı] ... Çok minnettar kalırım.

Dikkat, © matematik... Materyallerin diğer sitelerde doğrudan kopyalanması yasaktır. Bağlantılar ekleyin.

Tüm bağımsız değişken değerleri için yürütme (ortak kapsamdan).

Evrensel ikame formülleri.

Bu formüllerle, bir argümanın çeşitli trigonometrik fonksiyonlarını içeren herhangi bir ifadeyi, bir fonksiyonun rasyonel bir ifadesine dönüştürmek kolaydır. tg (α / 2):

Toplamları ürünlere ve ürünleri toplamlara dönüştürmek için formüller.

Daha önce, bu formüller hesaplamaları basitleştirmek için kullanılıyordu. Logaritmik tablolar ve daha sonra - slayt kuralı kullanılarak hesaplanır, çünkü logaritmalar sayıları çarpmak için en uygunudur. Bu nedenle, her bir ilk ifade, logaritmayı almaya uygun bir forma, yani ürünlere indirgenmiştir. Örneğin:

2 günah α günah B = çünkü (α - B) - çünkü (α + B);

2 çünkü α çünkü B = çünkü (α - B) + çünkü (α + B);

2 günah α çünkü B = günah (α - B) + günah (α + B).

özellikle hangi açı için,

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının formülleri yukarıdakilerden kolaylıkla türetilebilir.

Derece azaltma formülleri.

günah 2 a = (1 - cos 2α) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2α) / 2;
günah 3α = (3 günahα - günah 3α )/4;	çünkü 3 a = (3 çünküα + çünkü 3α )/4.

Bu formülleri kullanmak trigonometrik denklemler daha fazla denkleme kolayca indirgenir düşük dereceler... Azaltma formülleri daha fazlası için aynı şekilde türetilir. yüksek dereceler günah ve çünkü.

Trigonometrik fonksiyonların aynı argümandan biri cinsinden ifadesi.

Kökün önündeki işaret açının çeyreğine bağlıdır α .

Bazı sorunları çözmek için, fonksiyonların dönüşümlerini gerçekleştirmeyi çok daha kolay hale getirecek bir trigonometrik kimlikler tablosu faydalı olacaktır:

En basit trigonometrik kimlikler

Alfa açısının sinüsünün aynı açının kosinüsüne bölünmesinin bölümü bu açının tanjantına eşittir (Formül 1). En basit trigonometrik özdeşliklerin dönüşümünün doğruluğunun kanıtına da bakınız.
Alfa açısının kosinüsünü aynı açının sinüsüne bölme bölümü, aynı açının kotanjantına eşittir (Formül 2)
açı sekantı bire eşittir aynı açının kosinüsüne bölünür (Formül 3)
Aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı bire eşittir (Formül 4). ayrıca kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamının ispatına da bakınız.
Bir açının birimi ile tanjantının toplamı, birimin bu açının kosinüsünün karesine oranına eşittir (Formül 5)
Birim artı açının kotanjantı, birini bu açının sinüs karesine bölme bölümüne eşittir (Formül 6)
Aynı açının tanjantının ve kotanjantının çarpımı bire eşittir (Formül 7).

Trigonometrik fonksiyonların negatif açılarını dönüştürün (çift ve tek)

Sinüs, kosinüs veya tanjantı hesaplarken açının derece ölçüsünün negatif değerinden kurtulmak için, trigonometrik fonksiyonların teklik veya teklik ilkelerine dayalı aşağıdaki trigonometrik dönüşümleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz.

Görüldüğü gibi, kosinüs ve sekans eşit işlev, sinüs, tanjant ve kotanjant tek fonksiyonlardır.

Negatif açının sinüsü, aynı pozitif açının negatif sinüsüne (eksi sinüs alfa) eşittir.
Kosinüs "eksi alfa", alfa açısının kosinüsüyle aynı değeri verecektir.
Teğet eksi alfa, eksi tanjant alfaya eşittir.

Çift açı indirgeme formülleri (çift açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı)

Bir açıyı ikiye bölmeniz veya tam tersi durumda çift açıdan tek açıya geçmeniz gerekiyorsa, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:

Çift açı dönüştürme (çift ​​açının sinüsü, çift açının kosinüsü ve çift açının tanjantı) single aşağıdaki kurallara göre oluşur:

Çift açılı sinüs tek bir açının sinüs ve kosinüsünün çarpımının iki katına eşit

Çift açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesi ile bu açının sinüsünün karesi arasındaki farka eşittir

Çift açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesinin iki katı eksi bire eşit

Çift açının kosinüsü tek bir açının bir eksi çift sinüs karesine eşit

Çift açılı teğet payı tek bir açının çift tanjantı olan bir kesre eşittir ve payda bir eksi tek bir açının karesinin tanjantına eşittir.

Çift açılı kotanjant payı tek bir açının kotanjantının karesi eksi bir olan bir kesre eşittir ve payda tek bir açının kotanjantının iki katına eşittir

Evrensel trigonometrik ikame formülleri

Aşağıdaki dönüştürme formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun (sin α, cos α, tan α) argümanını ikiye bölmeniz ve ifadeyi açının yarısına indirmeniz gerektiğinde faydalı olabilir. α değerinden α / 2 elde ederiz.

Bu formüller denir evrensel trigonometrik ikame formülleri... Değerleri, yardımlarıyla trigonometrik ifadenin, hangi trigonometrik fonksiyonlardan bağımsız olarak yarım açının tanjantının ifadesine indirgenmesi gerçeğinde yatmaktadır ( günah çünkü tg ctg) orijinal olarak ifadedeydi. Bundan sonra, açının yarısının tanjantı olan denklemi çözmek çok daha kolaydır.

Yarım açının trigonometrik dönüşümleri

Yarım açının bir tamsayı değerine trigonometrik dönüşümü için aşağıdaki formüller.
Trigonometrik fonksiyon α / 2'nin argümanının değeri, trigonometrik fonksiyon α'nın argümanının değerine indirgenir.

Açı eklemek için trigonometrik formüller

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

günah (α + β) = günah α cos β + günah β cos α

günah (α - β) = günah α cos β - günah β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - günah α günah β

Açıların toplamının tanjantı ve kotanjantı alfa ve beta, aşağıdaki trigonometrik fonksiyon dönüştürme kurallarına göre dönüştürülebilir:

Açıların toplamının tanjantı payı, birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının toplamı olan bir kesre eşittir ve payda, bir eksi birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının çarpımıdır. .

Açı farkı tanjantı payı, indirgenmiş açının tanjantı ile çıkarılan açının tanjantı arasındaki farka eşit olan kesre eşittir ve payda, bir artı bu açıların tanjantlarının ürününe eşittir.

açıların toplamının kotanjantı payı, bu açıların kotanjantlarının çarpımı artı bir olan bir kesre eşittir ve payda, ikinci açının kotanjantı ile birinci açının kotanjantı arasındaki farka eşittir.

Açı farkı kotanjantı payı bu açıların kotanjantlarının çarpımı eksi bir olan kesre eşittir ve payda toplamına eşittir bu açıların kotanjantları.

Bu trigonometrik kimlikler, örneğin 105 derecelik tanjantı (tg 105) hesaplamanız gerektiğinde kullanmak için uygundur. Bunu tg (45 + 60) olarak temsil ederseniz, açıların toplamının tanjantının verilen özdeş dönüşümlerini kullanabilir ve ardından tanjant 45 ve tanjant 60 derecenin tablo değerlerini değiştirebilirsiniz.

Trigonometrik Fonksiyonlar için Toplam veya Fark Dönüştürme Formülleri

sin α + sin β formunun bir toplamını temsil eden ifadeler, aşağıdaki formüller kullanılarak dönüştürülebilir:

Üçlü açı formülleri - sin3α cos3α tg3α'yı sinα cosα tgα'ya dönüştürün

Bazen açının üçlü değerini dönüştürmek gerekir, böylece α açısı 3α yerine trigonometrik fonksiyonun argümanı olur.
Bu durumda, üçlü açı dönüşüm formüllerini (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz:

Trigonometrik Fonksiyonların Çarpımı İçin Dönüşüm Formülleri

Farklı açılardaki kosinüslerin sinüslerinin çarpımını, hatta sinüs ve kosinüsün çarpımını dönüştürmek gerekirse, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:


Bu durumda, farklı açıların sinüs, kosinüs veya tanjant fonksiyonlarının çarpımı, toplama veya farka dönüştürülür.

Trigonometrik fonksiyon indirgeme formülleri

Cast tablosunu aşağıdaki gibi kullanmanız gerekir. Satırda, bizi ilgilendiren işlevi seçin. Sütun köşeyi içerir. Örneğin, ilk satır ve ilk sütunun kesiştiği noktada açının sinüsü (α + 90), sin (α + 90) = cos α olduğunu öğreniriz.

V özdeş dönüşümler trigonometrik ifadeler aşağıdaki cebirsel teknikler kullanılabilir: aynı terimlerin toplanması ve çıkarılması; parantez içindeki ortak çarpanın çıkarılması; aynı miktarda çarpma ve bölme; kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması; tam bir kare seçimi; bir kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması; dönüşümleri basitleştirmek için yeni değişkenlerin tanıtılması.

Kesirler içeren trigonometrik ifadeleri dönüştürürken orantı, kesirleri küçültme veya kesirleri ortak paydaya dönüştürme özelliklerini kullanabilirsiniz. Ek olarak, kesrin pay ve paydasını ile çarparak kesrin tamsayı kısmının seçimini kullanabilirsiniz. aynı değer, mümkünse pay veya paydanın homojenliğini dikkate alın. Gerekirse, bir kesri birkaç basit kesrin toplamı veya farkı olarak gösterebilirsiniz.

Ayrıca trigonometrik ifadeleri dönüştürmek için gerekli tüm yöntemleri uygularken, sürekli olarak dikkate almak gerekir. izin verilen değerler dönüştürülecek ifadeler.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1.

А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π) hesaplayın / 2) +
+ günah (3π / 2 - x) günah (2x -5π / 2)) 2

Çözüm.

İndirgeme formüllerinden aşağıdaki gibidir:

günah (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

günah (2x - 9π / 2) = -cos 2x; cos (x + π / 2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = günah x; cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x;

günah (3π / 2 - x) = -cos x; günah (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

Buradan, argümanların eklenmesi için formüller ve temel trigonometrik özdeşlik sayesinde elde ederiz.

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = günah 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= günah 2 3x + çünkü 2 3x = 1

Cevap 1.

Örnek 2.

М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ ifadesini bir ürüne dönüştürün.

Çözüm.

Argümanların eklenmesi için formüllerden ve ilgili gruplandırmadan sonra trigonometrik fonksiyonların toplamının bir ürüne dönüştürülmesi için formüllerden,

М = (cos (α + β) cos γ - günah (α + β) günah γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Cevap: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Örnek 3.

A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ifadesinin bir ve aynı anlamı aldığını gösterin. Bu değeri bulun.

Çözüm.

İşte bu sorunu çözmenin iki yolu. İlk yöntemi uygulayarak, tam bir kare seçerek ve ilgili temel trigonometrik formülleri kullanarak,

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x günah 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

Günah 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Problemi ikinci şekilde çözerek, A'yı R'den x'in bir fonksiyonu olarak düşünün ve türevini hesaplayın. Dönüşümlerden sonra elde ederiz

A´ = -2cos (x + π / 6) günah (x + π / 6) + (günah (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) günah (x) + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) günah (x - π / 6) =

Günah 2 (x + π / 6) + günah ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - günah 2 (x - π / 6) =

Günah 2x - (günah (2x + π / 3) + günah (2x - π / 3)) =

Günah 2x - 2sin 2x çünkü π / 3 = günah 2x - günah 2x ≡ 0.

Dolayısıyla, bir aralıkta türevlenebilen bir fonksiyonun sabitliği kriteri sayesinde, şu sonuca varırız:

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

Cevap: x € R için A = 3/4.

Trigonometrik kimlikleri kanıtlamanın ana yöntemleri şunlardır:

a) kimliğin sol tarafını azaltmak doğru yol uygun dönüşümler;
B) kimliğin sağ tarafının sola indirgenmesi;
v) kimliğin sağ ve sol bölümlerinin aynı türe indirgenmesi;
G) ispatlanan kimliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkın sıfıra indirilmesi.

Örnek 4.

cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) olduğunu kontrol edin.

Çözüm.

Bu özdeşliğin sağ tarafını ilgili trigonometrik formüllere göre dönüştürerek,

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Kimliğin sağ tarafı sola indirgenmiştir.

Örnek 5.

α, β, γ bir üçgenin iç açıları ise sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

α, β, γ'nin bir üçgenin iç açıları olduğunu dikkate alarak, şunu elde ederiz:

α + β + γ = π ve dolayısıyla γ = π - α - β.

günah 2 α + günah 2 β + günah 2 γ - 2 cos α cos β cos γ =

Günah 2 α + günah 2 β + günah 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Orijinal eşitlik kanıtlanmıştır.

Örnek 6.

Üçgenin α, β, γ açılarından birinin 60 ° 'ye eşit olduğunu kanıtlamak için, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.

Çözüm.

Bu problemin koşulu, hem gerekliliğin hem de yeterliliğin kanıtını gerektirir.

Önce ispatlayalım ihtiyaç.

Gösterilebilir ki

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Dolayısıyla, cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0 olduğunu dikkate alarak, α, β veya γ açılarından biri 60 ° ise, o zaman şunu elde ederiz:

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 ve dolayısıyla sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Şimdi kanıtlayalım yeterlilik belirtilen koşul.

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 ise, o zaman cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 ve dolayısıyla

ya cos (3α / 2) = 0 veya cos (3β / 2) = 0 veya cos (3γ / 2) = 0.

Buradan,

veya 3α / 2 = π / 2 + πk, yani. α = π / 3 + 2πk / 3,

veya 3β / 2 = π / 2 + πk, yani. β = π / 3 + 2πk / 3,

veya 3γ / 2 = π / 2 + πk,

onlar. γ = π / 3 + 2πk / 3, burada k ϵ Z.

α, β, γ üçgenin açıları olduğundan,

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Bu nedenle, α = π / 3 + 2πk / 3 veya β = π / 3 + 2πk / 3 veya

γ = π / 3 + 2πk / tüm kϵZ'nin 3'ü sadece k = 0'a uyar.

Buradan ya α = π/3 = 60 ° veya β = π / 3 = 60 ° veya γ = π / 3 = 60 ° çıkar.

Açıklama kanıtlanmıştır.

Hala sorularınız mı var? Trigonometrik ifadeleri nasıl basitleştireceğinizden emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.