Trigonometrik denklemlerin çarpıma üzerinde ayrışma yoluyla çözümü. Trigonometrik denklemler

Görevinize ayrıntılı bir çözüm sipariş edebilirsiniz !!!

İşareti altında bilinmeyen içeren eşitlik trigonometrik fonksiyon ("Günah x, COS X, TG X` veya` CTG X`) denilen bir trigonometrik denklem denir, biz daha fazla düşüneceğimiz formülleriz.

En basit olan denklemler denir `SIN X \u003d A, COS X \u003d A, TG X \u003d A, CTG X \u003d A`, nerede bulacağınız açıdır,` a` - herhangi bir sayı. Her birinin formül kökleri için yazıyoruz.

1. Denklem `günah x \u003d a`.

`| A |\u003e 1` Çözüm yok.

İle `| a | \\ Leq 1` sonsuz sayıda çözüm var.

Formül kökleri: `x \u003d (- 1) ^ n ARCSIN A + \\ PI N, N \\ in z`

2. Denklem `cos x \u003d a`

`| A |\u003e 1 'ile - Sinüs durumunda olduğu gibi, geçerli numaralar arasında çözüm yoktur.

İle `| a | \\ Leq 1` sonsuz set çözümlerine sahiptir.

Formül kökleri: `x \u003d \\ pm Arccos A + 2 \\ pi n, n \\ in z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. denklem `tg x \u003d a`

'A` yapılan herhangi bir değer için sonsuz bir çözüm kümesi var.

Köklerin Formülü: `x \u003d ARCTG A + \\ PI N, N \\ in z`

4. Denklem `ctg x \u003d a`

Ayrıca, 'a' değeri için sonsuz set çözümleri var.

Formül Kökleri: `x \u003d ARCCTG A + \\ PI N, N \\ 'in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin köklerinin formülleri

Sinüs için:
Kosinüs için:
Teğet ve kotnence için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözme formülleri:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• en basitine dönüştürerek;
• ortaya çıkan en basit denklemi çözmek için, köklerin ve tabloların yukarıdaki yazılı formüllerini kullanarak.

Örneklerdeki temel çözüm yöntemlerini göz önünde bulundurun.

Cebirsel yöntem.

Bu yöntemde, değişken değiştirilir ve ikamesi eşitliğe dönüşür.

Misal. Denklemi çözün: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0``

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

bir değiştirme yapıyoruz: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d Y`, o zaman 2Y ^ 2-3Y + 1 \u003d 0 ',

kökleri buluruz: "Y_1 \u003d 1, Y_2 \u003d 1/2, hangi iki davadan takip ediyor:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 ',` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm Arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Cevap: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktörleşme.

Misal. Denklemi Çözme: `SIN X + COS X \u003d 1 '.

Karar. Eşitliklerin tüm üyelerini terk etti: `Günah x + cos x-1 \u003d 0`. Çarpanlarda dönüştürür ve ayrışırız sol parçası:

`SIN X - 2SIN ^ 2 x / 2 \u003d 0 '

`2Sin X / 2 COS X / 2-2Sin ^ 2 x / 2 \u003d 0 '

`2Sin X / 2 (COS X / 2-SIN X / 2) \u003d 0 '

1. `SIN X / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `COS X / 2-SIN X / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1, `x / 2 \u003d ARCTG 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Cevap: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Homojen bir denklemi getirme

Başlangıçta, bu trigonometrik denklem iki tipten birine getirilmelidir:

`Bir günah x + b cos x \u003d 0 (birinci derecenin homojen denklemi) veya 'bir günah ^ 2 x + b günah x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (ikinci derecenin homojen denklemi).

Ardından, her iki parçayı da "COS X \\ NE 0` - ilk vaka için bölün ve" COS ^ 2 x \\ NE 0` - ikincisi için. Denklemi TG X`: `A TG X + B \u003d 0 ve iyi bilinen yöntemleri çözmeniz gereken" a tg x + b \u003d 0 ve "a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0` alıyoruz.

Misal. Denklemi çözün: `2 günah ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '.

Karar. Sağ tarafı `1 \u003d günah ^ 2 x + cos ^ 2 x` olarak yazıyoruz:

`2 günah ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `günah ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 günah ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` Günah ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`Günah ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Bu, ikinci derecenin homojen bir trigonometrik denklemidir, sol ve sağ parçalarını `cos ^ 2 x \\ n (0` için bölüştürürüz, biz:

\\ \\ Frac (günah ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (Sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. "Tg x \u003d t," tg x \u003d t, "tg ^ 2 + t - 2 \u003d 0` nin bir sonucu olarak tanıtıyoruz. Bu denklemin kökleri: `t_1 \u003d -2` ve t_2 \u003d 1 '. Sonra:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, z` n \\ n \\
2. `Tg x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Cevap. `X_1 \u003d ARCTG (-2) + \\ pi n`,` n \\ in z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Yarım köşeye geçiş

Misal. Denklemi Çözme: `11 Günah X - 2 COS X \u003d 10 '.

Karar. Sonuç olarak çift açılı formülleri uygulayın: `22 günah (x / 2) cos (x / 2)" 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 günah ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 günah ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 '

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulamak, biz alırız:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ z`,
2. `Tg x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ z`.

Cevap. `X_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Yardımcı köşe tanıtımı

Trigonometrik denklemde `bir günah x + b cos x \u003d c`, burada A, B, C - katsayılar ve X bir değişkendir, her iki parçayı da ayırıyoruz (a ^ 2 + b ^ 2)`:

\\ \\ FRAC A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) SIN X + `\\ \\ FRAC B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) COS X \u003d` \\ \\ Frac C (SQRT (A ^ 2) + b ^ 2)) `.

Sol kısımdaki katsayılar, sinüs ve kosininin özelliklerine sahiptir, yani 1 ve modüllerine eşit olan karelerinin toplamı 1'den fazla değildir, bunları aşağıdaki gibidir: `\\ frac a (a ^ 2 + b (a ^ 2 + b) ^ 2) \u003d COS \\ Varphi`, `frac b (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d Sin \\ Varphi`,` \\ frac c (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d C `, sonra:

`Cos \\ varphi günah x + sin \\ varphi cos x \u003d c`.

Aşağıdaki örnekte daha ayrıntılı olarak düşünelim:

Misal. Denklemi Çözme: `3 Günah X + 4 COS X \u003d 2 '.

Karar. Her iki eşitliği de `SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2) 'e bölünürüm, biz alırız:

\\ \\ Frac (3 günah x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) + `\\ \\ frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ Frac 2 (SQRT) (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 günah x + 4/5 cos x \u003d 2/5 '.

`3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d Sin \\ Varphi` tarafından belirtir. "Sin \\ varhi\u003e 0,` cos \\ varhi\u003e 0, daha sonra yardımcı bir açı olarak, `\\ varhi \u003d ARCSIN 4/5 'alın. O zaman eşitliğimiz formda yazacak:

`Cos \\ varphi günah x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Sinüs için köşelerin toplamının toplamını uygulayarak, aşağıdaki formda eşitliğimizi yazıyoruz:

`Günah (x + \\ varphi) \u003d 2/5`

`X + \\ varhi \u003d (- 1) ^ n ARCSIN 2/5 + \\ PI N`,` n \\ z`

`X \u003d (- 1) ^ n Arcsin 2/5-` `ARCSIN 4/5 + \\ PI N`,` n \\ in z`.

Cevap. `X \u003d (- 1) ^ n Arcsin 2/5-` `ARCSIN 4/5 + \\ PI N`,` n \\ in z`.

Kesirli-rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar, trigonometrik fonksiyonların sayısalları ve paydalarında fraksiyonlar ile eşitliktir.

Misal. Denklemi çöz. \\ \\ Frac (SIN X) (1 + COS X) \u003d 1-COS X`.

Karar. Eşitliğin sağ tarafını `(1 + cos x)` üzerine çarpın ve bölün. Sonuç olarak, biz:

\\ \\ Frac (günah x) (1 + cos x) \u003d `` frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) `

\\ \\ Frac (günah x) (1 + cos x) \u003d `` frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

\\ \\ Frac (günah x) (1 + cos x) \u003d `` \\ frac (günah ^ 2 x) (1 + cos x) `

\\ \\ Frac (SIN X) (1 + COS X) -RACK (SIN ^ 2 x) (1 + COS X) \u003d 0 '

\\ Frac (günah x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Korominatörün sıfır olmasına eşit olduğunu düşünerek, `1 + COS X \\ NE 0,` COS X \\ NE -1`, `x \\ n \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ z` alıyoruz.

Numarator kesirini sıfıra eşittir: `Günah x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` günah x (1-gün x) \u003d 0`. Sonra `günah x \u003d 0` ya da 1-gün x \u003d 0`.

1. `günah x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ z`
2. `1-gündüz x \u003d 0`,` günah x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`.

"X \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ 'in z`, çözümlerin, X \u003d 2 \\ Pi N, N \\' in z \\ ve` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` olacaktır. , `n \\ in z`.

Cevap. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ içinde z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ n \\.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler, hemen hemen tüm geometri, fizik, mühendislik alanlarında kullanılır. 10. sınıfta incelemek başlar, görevler zorunlu olarak sınav için hazır bulunur, bu nedenle tüm trigonometrik denklemlerin tüm formüllerini hatırlamaya çalışın - kesinlikle sizi kullanacaklar!

Bununla birlikte, onları hatırlamak gerekli değildir, asıl şey özü anlamak ve geri çekebilmektir. Göründüğü gibi zor değil. Videoyu izlediğinizden emin olun.

Trigonometrik denklemin çözeltisi iki aşamadan oluşur: denklemi dönüştür En basitini almak için türler (yukarıya bakın) ve karar en basit trigonometrik denklem.Yedi tane var trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler.

1. Cebirsel yöntem.

(değişken ve ikame değiştirme yöntemi).

2. Çarpanların ayrışması.

PRI ME R 1. Denklemi çözün:günah. x. + COS. x. = 1 .

Sol denklemin tüm üyelerine taşındı:

Günah. x. + COS. x. – 1 = 0 ,

Faktörlerdeki ifadeyi dönüştürür ve ayırırız

Denklemin sol kısmı:

PRI ME R 2. Denklemi çözer:Çünkü. 2 x. + Günah X. · Çünkü. X. = 1.

R e n e. cos 2 x. + Günah x. · Çünkü. x.– sin 2. x. - cos 2. x. = 0 ,

Günah. x. · Çünkü. x.– Sin 2. x. = 0 ,

Günah. x. · (Çünkü. x.– günah. X. ) = 0 ,

PRI M E P 3. Denklemi çözer:cos 2. x.- cos 8. x. + Cos 6. x. = 1.

R e n e. cos 2 x.+ Cos 6. x. \u003d 1 + cos 8 x.,

2 cos 4. x. Cos 2. x. \u003d 2 COS. ² 4. x. ,

Cos 4. x. · (Cos 2. x. - cos 4. x.) = 0 ,

Cos 4. x. · 2 günah 3 x. · GÜNAH x. = 0 ,

bir). Cos 4. x. \u003d 0, 2). Sin 3. x. \u003d 0, 3). günah. x. = 0 ,

4. Yarım köşeye geçiş.

Örnekte bu yöntemi düşünün:

Pri mers Denklemi Çözme: 3günah. x. - 5 COS. x. = 7.

R E. 6 günah ( x./ 2) · COS ( x./ 2) - 5 COS ² ( x./ 2) + 5 günah ² ( x./ 2) =

7 günah ² ( x./ 2) + 7 cos ² ( x./ 2) ,

2 günah ² ( x./ 2) - 6 günah ( x. / 2) · COS ( x./ 2) + 12 cos ² ( x./ 2) = 0 ,

tan ² ( x./ 2) - 3 tan ( x./ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yardımcı açının tanıtımı.

Görünüm denklemini düşünün:

a. günah. x. + b. Çünkü. x. = c. ,

Nerede A., b., c. - Katsayılar;x. - Bilinmeyen.

Şimdi denklem katsayıları, sinüs ve kosininin özelliklerine sahiptir. yani: Her birinin modülü (mutlak değer) bunların en fazla 1, ve karelerinin toplamı 1'e eşittir.. O zaman tayin edebilirsin buna göre onları gibi Çünkü ve günah (burada - Lafta Yardımcı köşe), BEN.denklemimiz

Trigonometrik denklemleri çözme ana yöntemleri şunlardır: denklemlerin en basitine karıştırma (trigonometrik formüller kullanılarak), yeni değişkenler, çarpanların ayrışması. Örneklerdeki kullanımlarını düşünün. Trigonometrik denklemlerin çözümlerinin kaydedilmesine dikkat edin.

Trigonometrik denklemlerin başarılı bir şekilde çözülmesi için bir önkoşul, trigonometrik formüllerin bilgisidir (çalışma 6'nın 13 teması).

Örnekler.

1. Denklemler en basitine indirgenmiştir.

1) Denklemi Çözme

Karar:

Cevap:

2) denklemin köklerini bulun

(SINX + COSX) 2 \u003d 1 - SINXCOSX, segment'e ait.

Karar:

Cevap:

2. Denklemler kareye düşürüldü.

1) Denklemi çözün 2 Sin 2 x - COSX -1 \u003d 0.

Karar: Kullanma formül günahı. 2 x \u003d 1 - cos 2 x, almak

Cevap:

2) COS 2X \u003d 1 + 4 COSX denklemini çözün.

Karar: COS 2X \u003d 2 COS 2 X - 1 formülünü kullanarak

Cevap:

3) denklemi çözün TGX - 2CTGX + 1 \u003d 0

Karar:

Cevap:

3. Üniforma Denklemler

1) Denklemi Çözme 2Sinx - 3COSX \u003d 0

Çözüm: COSX \u003d 0, ardından 2SINX \u003d 0 ve SINX \u003d 0 olsun - SIN 2 X + COS 2 X \u003d 1. olduğu gerçeğine göre çelişki. Yani COSX ≠ 0 ve COSX denklemine ayrılabilir. Teslim almak

Cevap:

2) Denklemi Çözme 1 + 7 COS 2 X \u003d 3 SIN 2X

Karar:

Formülleri kullanıyoruz 1 \u003d sin 2 x + cos 2 x ve sin 2x \u003d 2 sinxcosx, biz

sIN 2 X + COS 2 X + 7COS 2 X \u003d 6SINXCOSX
SIN 2 X - 6SINXCOSX + 8COS 2 X \u003d 0

COSX \u003d 0'a izin verin, sonra sin 2 x \u003d 0 ve sinx \u003d 0 - Sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 olduğu gerçeğiyle bir çelişki.
Yani COSX ≠ 0 ve COS 2 X denklemine bölünebilir. . Teslim almak

tG 2 X - 6 TGX + 8 \u003d 0
Tgx \u003d y
Y2 - 6 Y + 8 \u003d 0
Y 1 \u003d 4; Y 2 \u003d 2
a) tgx \u003d 4, x \u003d ARCTG4 + 2 K., K.
b) TGX \u003d 2, X \u003d ARCTG2 + 2 K., K. .

Cevap: ARCTG4 + 2. K., ARCTG2 + 2 K, K.

4. Denklemleri Görüntüle A. Sinx +. B. COSX \u003d. C, S.≠ 0.

1) Denklemi çözün.

Karar:

Cevap:

5. Çarpanların ayrışmasıyla çözülen denklemler.

1) Denklemi çözün SIN2X - SINX \u003d 0.

Denklemin kökü F. ( H.) = φ ( H.) Sadece 0 numaralı olabilir. Kontrol edin:

cOS 0 \u003d 0 + 1 - Eşitlik doğrudur.

0 numara Bu denklemin tek yolu.

Cevap: 0.

Konu:"Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri."

Hedefler dersi:

eğitici:

Trigonometrik denklemler arasında ayrım yapmak için becerileri oluşturur;

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinin derinleştirilmesi;

eğitici:

Eğitim sürecine bilişsel ilgi eğitimi;

Görevi analiz etme yeteneğinin oluşumu;

geliştirme:

Durumu en rasyonel çıkıştan sonraki seçimi ile analiz etme becerisini şekillendirin.

Ekipman: Temel trigonometrik formül, bilgisayar, projektör, ekran ile poster.

Herhangi bir denklemin çözümünün ana alımının tekrarlanmasından bir ders başlatalım: Standart forma azaltın. Dönüşümlerle lineer denklemler AH \u003d IN, kare formuna doğru sürün aX 2 +.bX +.c \u003d 0. Trigonometrik denklemler durumunda, onları en basit şekilde azaltmak gerekir, tip: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, bu da kolayca çözülebilir.

Her şeyden önce, elbette, ana kullanımı gereklidir. trigonometrik formüllerPoster üzerinde sunulur: ek formüller, çift açı formülleri, denklemin çarpışmasını azaltarak. Bu tür denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyoruz. Bazılarını tekrarlıyoruz:

Aynı zamanda, çözümü bazı özel teknikler hakkında bilgi gerektiren denklemler var.

Dersimizin teması, bu tekniklerin dikkate alınması ve trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinin sistematizasyonudur.

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

1. Transformation K. kare denklemi Herhangi bir trigonometrik fonksiyonla ilgili olarak, ardından değişken bir değiştirme.

Listelenen yöntemlerin her birini örneklerle düşünün, ancak son ikisinde daha fazla ayrıntı yapacağız, çünkü ilk ikisinden bu yana denklemleri çözmede kullanılmış.

1. Herhangi bir trigonometrik fonksiyon için kare bir denklemin dönüşümü.

2. Çarpıcılar tarafından ayrışma yoluyla denklemlerin çözümü.

3. Homojen denklemlerin çözümü.

Birinci ve ikinci derecenin tek tip denklemleri, formun denklemleri denir:

buna göre (A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0).

Homojen denklemleri çözerken, (1) denklemler ve COS 2 x (2) için COSX denkleminin her iki kısmı) ulaşılmaktadır. Bu tür bir bölüm mümkündür, çünkü SINX ve COSX aynı anda sıfıra eşit değildir - farklı noktalarda sıfıra döner. Birinci ve ikinci derecenin homojen denklemlerini çözme örneklerini göz önünde bulundurun.

Bu denklemi hatırlayacağız: Bir sonraki yöntemi dikkate alırken - Yardımcı argümanın tanıtılması, başka bir şekilde çözülür.

4. Yardımcı argümanın tanıtımı.

Önceki yöntemle zaten çözülen denklemi düşünün:

Gördüğünüz gibi, aynı sonuç elde edilir.

Başka bir örneği düşünün:

Dikkate alınan örneklerde, genellikle bir yardımcı argümanı tanıtmak için ilk denklemi bölmek için gerekli olduğu anlaşılmıştır. Ancak, hangi bölücünün seçileceği açık olmadığı olabilir. Bunun için şimdi olduğumuz özel bir teknik var ve genel. Denklemin verilmesine izin verin.