Logaritasyonun özellikleri. Logaritma nedir

İzin verilen değerlerin alanı (ODB) Logaritm

Şimdi Hadi Kısıtlamalar hakkında konuşalım (Otz bölgesi İzin verilen değerler değişkenler).

Bunu hatırlıyoruz, örneğin, kare kök Negatif sayılardan çıkarmak imkansızdır; Veya kesirimiz varsa, payda sıfır olamaz. Logaritmalardan benzer kısıtlamalar var:

Yani, argüman ve taban sıfırdan büyük olmalı ve baz eşit olamaz.

Neden?

Basit ile başlayalım: Bunu söyleyelim. Daha sonra, örneğin, numara yapmadığı derecenin, her zaman ortaya çıktığından beri yoktur. Dahası, herhangi biri için mevcut değildir. Ancak aynı zamanda her şeye eşit olabilir (aynı nedenden ötürü, her iki derece de). Bu nedenle, nesne herhangi bir ilgiyi temsil etmemektedir ve basitçe matematikten atılmıştır.

Durumda benzer bir problemimiz var: herhangi bir pozitif derecede, ve negatif olarak sıfıra ayrılacağı için herhangi bir şekilde dikilmeyebilir (size hatırlatalım).

Kesirli bir derecenin yapılması problemiyle karşılaştığımızda (bir kök biçiminde sunulur: örneğin, (yani), ancak hayır.

Bu nedenle, olumsuz nedenler, onlarla uğraşmaktan daha kolaydır.

Temel sadece pozitif bir temel olduğundan, o zaman ya da derecelendirdiğimiz derecenin her zaman kesinlikle olumlu olduğunu her zaman alırız. Böylece argüman pozitif olmalı. Örneğin, yoktur, çünkü hiçbir derecede negatif bir sayı olmayacak (ve hatta sıfır, bu nedenle de mevcut değildir).

Logaritma ile görevlerde, OTZ'yi yazmanız gereken ilk şey. Bir örnek vereceğim:

Denklemi çözüyoruz.

Tanımını hatırlayın: Logaritma, vakfın bir argüman almak için verilmesi gereken bir derecedir. Ve durumun altında, bu derece eşittir:.

Sıradan alıyoruz ikinci dereceden denklem:. Vieta teoremi yardımıyla çözdüm: köklerin miktarı eşittir ve iş. Almak kolay, bunlar sayıdır ve.

Ancak bu numaraların her ikisini de yanıt olarak hemen alır ve kaydederseniz, görev için 0 puan kazanabilirsiniz. Neden? Bu kökleri ilk denklemin içine değiştirirsek olacağını düşünelim mi?

Bu açıkça yanlıştır, çünkü baz negatif olamaz, yani kök "üçüncü taraf" dir.

Bu kadar hoş olmayan mahremiyetleri önlemek için, çözüm denklemi çözmeye başlamadan önce bile OTZ yazmak gerekir:

Sonra kökleri aldıktan ve derhal kökü atıp doğru cevabı yazın.

Örnek 1. (Kendinizi çözmeye çalışın) :

Denklemin kökenini bulun. Kökler biraz varsa, cevabınızda, daha küçük bir tane belirtin.

Karar:

İlk önce, yaz ...

Şimdi LOGARITHM'in ne olduğunu hatırlıyorum: Bir argüman almak için bir nedeni oluşturmanız için ne kadar ihtiyacınız var? Saniyede. Yani:

Küçük kökünün eşit olduğu görülür. Ancak bu şöyle değil: Ost Kök - Üçüncü Tarafa göre, yani, o kadar kökü değil. bu denklemden. Böylece, denklemin sadece bir kökü vardır:.

Cevap: .

Temel Logaritmik Kimlik

Logaritma tanımını genel biçimde hatırlayın:

Logaritma yerine ikinci eşitliğe değiştirin:

Bu eşitlik denir ana logaritmik kimlik. Temel olarak eşitliktir - sadece farklı kaydedildi logaritm'un tanımı:

Bu, almak için inşa etmeniz gereken derecedir.

Örneğin:

Daha fazla örnek paylaşın:

Örnek 2.

İfadenin değerini bulun.

Karar:

Kuralları bölümden hatırlayın:, bu, derece dereceye kadar yükseltilirse, göstergeler çarpılır. Uygula:

Örnek 3.

Kanıtla.

Karar:

Logaritma özellikleri

Ne yazık ki, görevler her zaman çok basit değildir - genellikle ifadeyi basitleştirmek, onu her zamanki zihnine yönlendirmek gerekir ve yalnızca değeri hesaplamak mümkün olacaktır. Bunu yapmak en kolay, bilmek logaritma özellikleri. Öyleyse logaritmaların temel özelliklerini öğrenelim. Her birinin kanıtlayacağım, çünkü herhangi bir kuralın nereden alındığını biliyorsanız, hatırlaması daha kolaydır.

Tüm bu özellikler hatırlanmalı, onlar olmadan logaritma ile çoğu görev çözülmeyecek.

Ve şimdi logaritmaların tüm özellikleri hakkında daha ayrıntılı olarak.

Mülk 1:

Kanıt:

Sonra.

Biz:, ppm

Mülkiyet 2: Logaritma

Aynı bazlara sahip logaritmaların miktarı, işin logaritmasına eşittir: .

Kanıt:

Sonra. Sonra.

Misal:İfadenin değerini bulun:.

Karar :.

Yeni öğrenilen formül, farkı değil, bu logaritmalar hemen birleştirilmemesi için logaritmaların miktarını basitleştirmeye yardımcı olur. Ancak aksine yapabilirsiniz - ilk logaritmayı ikiye "parçalamak": ancak söz verilen basitleştirme:
.
Ona neden ihtiyacın var? Peki, örneğin: Eşit nedir?

Şimdi bu açık.

Şimdi kendini basitleştirin:

Görevler:

Yanıtlar:

Mülkiyet 3: Logaritma Farkı:

Kanıt:

Her şey tam olarak 2. paragrafta olduğu gibidir:

Sonra.

Sonra. Sahibiz:

Geçmişten bir örnek şimdi daha kolay hale geliyor:

Bir örnek daha karmaşıktır :. Kendin nasıl çözülecek?

Burada meydanda logaritma hakkında hiçbir formülümüz olmadığı belirtilmelidir. Bu, ifadeye benzer bir şeydir - basitleştirmek kolay değildir.

Bu nedenle, logaritm hakkındaki formülden dikkati dağıtıyoruz ve matematiğin en sık kullandığımızı düşünüyoruz. Hala 7. sınıftan!

O - . Her yerde oldukları gerçeğine alışmalısın! Ve göstericide ve trigonometrikte ve aradıkları irrasyonel görevlerde. Bu nedenle, hatırlanması gerekir.

İlk iki şartlara bakarsanız, bunun açıkça anlaşılır. kare farklılıkları:

Doğrulamaya Cevapla:

Basitleştiricinin kendisi.

Örnek

Yanıtlar.

Mülkiyet 4: Logaritma argümanından İcra Derecesi:

Kanıt:Ve burada da, logaritm tanımını kullanıyoruz: bırak, sonra. Biz:, ppm

Bu kuralı bunun gibi anlayabilirsiniz:

Yani, argüman derecesi logaritma katsayısı olarak iletilir.

Misal:İfadenin değerini bulun.

Karar: .

Kendimi paylaş:

Örnekler:

Yanıtlar:

Mülkiyet 5: Logaritmun tabanından Executive Derecesi:

Kanıt:Sonra.

Biz:, ppm
Unutmayın: dışarı esas Derecesi yapıldı ters Sayı, önceki davanın aksine!

Mülkiyet 6: Logaritm'un temelinden ve argümanından yönetici derecesi:

Veya ölçüde aynı ise :.

Mülkiyet 7: Yeni bir üse geçiş:

Kanıt:Sonra.

Biz:, ppm

Mülkiyet 8: Temel yerlerinin değiştirilmesi ve logaritma argümanı:

Kanıt:Bu, Formula 7'nin özel bir örneğidir: Eğer değiştirirsek, biz alırız:, bt.d.

Birkaç örnek daha düşünün.

Örnek 4.

İfadenin değerini bulun.

2 numaralı logaritmaların özelliğini kullanıyoruz - aynı üs olan logaritmaların toplamı, işin logaritmasına eşittir:

Örnek 5.

İfadenin değerini bulun.

Karar:

3 ve No. 4 numaralı logaritmaların özelliklerini kullanıyoruz:

Örnek 6.

İfadenin değerini bulun.

Karar:

7 numaralı mülkü kullanıyoruz - Taban 2'ye dönüyoruz:

Örnek 7.

İfadenin değerini bulun.

Karar:

Bir makaleye nasıl ihtiyacınız var?

Bu satırları okursanız, makalenin tamamını okuyun.

Ve havalı!

Şimdi bize nasıl bir makale olduğunu söyle?

Logaritmaları çözmeyi öğrendiniz mi? Değilse, o zaman sorun ne?

Bize aşağıdaki yorumlarda yazın.

Ve evet, sınavlarda iyi şanslar.

Sınav ve Oge ve genel olarak hayatta

(Yunan λόγος - "kelime", "tutum" ve ἀριθμός - "numara") sayısının b. Dayalı a. (Log α. b.) böyle bir sayı olarak adlandırılır c., BEN. b.= aC.yani, girişler girişi α b.=c. ve b \u003d A. C. Eşdeğer. Logaritma, A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0 ise anlamlıdır.

Başka bir deyişle konuşma logaritma sayılar b. Dayalı fakatsayının verilmesi gereken derecenin bir göstergesi olarak formüle edilir a.Bir numara almak için b.(Logaritma sadece pozitif sayılarda bulunur).

Bu formülasyondan x \u003d log α hesaplamasını takip eder. b.denklemi çözme eşdeğeri x \u003d b.

Örneğin:

günlük 2 8 \u003d 3 çünkü 8 \u003d 2 3.

Belirtilen logaritma formülasyonunun hemen belirlemeyi mümkün kıldığını vurguluyoruz. logaritm'un değeriLogaritma tabelasının altındaki sayı bir miktar temel olduğunda. Ve gerçek şu ki, logaritma formülasyonu bunu haklı çıkarmayı mümkün kılar. b \u003d a ilesonra logaritma numaraları b. Dayalı a. Kuzgun dan. Ayrıca logaritasyon temasının konuyla yakından birbirine bağlı olduğu açıktır. sayı derecesi.

Logaritma hesaplaması denir logaritma. Logarithmation, logaritma almanın matematiksel bir çalışmasıdır. Logaritma olduğunda, faktörlerin eserleri üye miktarında dönüştürülür.

Güçlük - Bu, matematiksel bir işlem ters logaritmadır. Potansiyellikte, belirtilen baz, potansiyelliğin yapıldığı ifadenin derecesine bağlanır. Aynı zamanda, üyelerin miktarları faktörlerin çalışmalarına dönüştürülür.

Bases 2 (ikili), eilera numarası E ≈ 2.718 (doğal logaritma) ve 10 (ondalık) ile sık kullanılan gerçek logaritmalar kullanılır.

Bu aşamada göz önünde bulundurulması tavsiye edilir logaritm örneklerigünlük 7 2. , ln. √ 5, LG0.0001.

Ve lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 kayıtları anlam ifade etmiyor, çünkü bunlardan birincisi, ikinci olarak logaritma tabelasının altına negatif bir sayı yerleştirilir - negatif bir sayı Ve üçüncü ve üçüncü ve logaritmin işareti altında bir negatif sayı ve tabanda.

Logaritmayı belirleme koşulları.

Verilen A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 koşullarını göz önünde bulundurmaya değer. logaritm'un tanımı. Bu kısıtlamaların neden alındığını düşünün. X formunun eşitliği \u003d log α bize yardımcı olacak b. , logaritmun yukarıdaki tanımından doğrudan takip eden temel logaritmik kimlik olarak adlandırılır.

Koşuşturmak a ≠ 1.. Birim birine eşit olduğundan, o zaman eşitlik X \u003d log α b. sadece ne zaman var olabilir b \u003d 1.Ancak aynı zamanda günlük 1 1 gerçek bir sayı olacaktır. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için a ≠ 1..

Durum ihtiyacını kanıtlıyoruz a\u003e 0. İçin a \u003d 0 Logaritma formülasyonu sadece ne zaman b \u003d 0.. Ve buna göre, sonra günlük 0 0.sıfırdan herhangi bir farklı sayı olabilir, çünkü sıfır herhangi bir derecede sıfır sıfırdır. Bu belirsizliği ortadan kaldırın a ≠ 0.. Ve için a.<0 Rasyonel ve irrasyonel göstergeli derecenin rasyonel ve irrasyonel değerlerinin analizini reddetmek zorunda kalacağız, çünkü rasyonel ve irrasyonel bir gösterge derecesi yalnızca negatif olmayan gerekçeler için belirlenir. Bu nedenle durum kabul ettiği bu nedenle a\u003e 0.

Ve son durum b\u003e 0. Eşitsizlikten takip eder a\u003e 0Çünkü x \u003d log α b.ve derecenin değeri pozitif bazın a. her zaman olumlu.

Logaritmaların özellikleri.

Logaritmiya Ayırt edici ile karakterize özellikleriHangi özener hesaplamaların önemli bir rahatlaması için yaygın kullanımına neden olur. "Logaritmaların dünyasına" taşınırken, çarpma, önemli ölçüde kolay bir şekilde bir ilave, bölünme - çıkarma için bölünme ve kök yapımı, derecenin bir göstergesine dönüştürülür ve bölünmeye dönüştürülür.

Logaritmaların ifadesi ve değerlerinin masası (trigonometrik fonksiyonlar için) ilk olarak 1614'te İskoç Mathematican John Gerek tarafından yayınlandı. Diğer bilim adamları tarafından genişletilmiş ve ayrıntılı olarak logaritmik tablolar, bilimsel ve mühendislik bilgisayarlarının uygulanmasında yaygın olarak kullanılmıştır ve ilgili henüz elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar kaldı.

Yani, bizden önce düştü. Alt satırdan bir numara alırsanız, bu numarayı almak için deuce'ın alınması gereken bir dereceyi kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 almak için dördüncü derece oluşturmak için ikiye ihtiyacınız var. Ve 64 almak için, altıncı derecede inşa etmek için ikiye ihtiyacınız var. Bu masadan görülür.

Ve şimdi - aslında, logaritmun tanımı:

X argümanından A tabanındaki logaritma, x sayısını almak için A numarasının alınacağı derecesidir.

TARIŞIM: Bir x \u003d b, nerede bir olduğunda, X bir argümandır, B - aslında logaritma eşit olanı.

Örneğin, 2 3 \u003d 8 ⇒ Günlük 2 8 \u003d 3 (Taban 2'nin 8 numaralı logaritması, 23 \u003d 8'den beri üçdür. Aynı başarı ile log 2 64 \u003d 6, 2 6 \u003d 64'ten beri.

Belirli bir tabanın numarasının logaritmasını bulma işlemi logaritma denir. Yani, masamızı yeni bir dize ile takviyesi:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
günlük 2 2 \u003d 1	günlük 2 4 \u003d 2	günlük 2 8 \u003d 3	günlük 2 16 \u003d 4	günlük 2 32 \u003d 5	günlük 2 64 \u003d 6

Ne yazık ki, tüm logaritmalar çok kolay kabul edilmez. Örneğin, Günlüğü 2'yi bulmaya çalışın. 5 numaralar 5 numaralar tabloda yok, ancak mantık, logaritm'un segmentte bir yere yatacağını öne sürüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем daha fazla derece TWOS, ne kadar fazla sayı çıkacak.

Bu tür numaralar irrasyonel olarak adlandırılır: virgülden sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlamazlar. Logaritma irrasyonel elde edilirse, terk etmek daha iyidir: Log 2 5, Log 3 8, Günlük 5 100.

Logaritm'un iki değişken (temel ve argüman) ile bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, temelin bulunduğu yerde karıştırılır ve argüman nerededir. Kaçınmak can sıkıcı yanlış anlamalarSadece resme bir göz atın:

Bizden önce logaritma tanımından başka bir şey değil. Hatırlamak: logaritma bir derecedirVakfın bir argüman almak için alınması gerektiği. Bir dereceye dönüşen temeldir - resimde kırmızı renkte vurgulanır. Bazın her zaman alt katta olduğu ortaya çıktı! Bu harika kural Öğrencilerime ilk derste söylerim - ve kafa karışıklığı ortaya çıkmaz.

Tanımla uğraştık - logaritmaları düşünmeyi öğrenmek, yani. "Günlük" işaretinden kurtulun. Başlamak için, iki önemli gerçeklerin tanımından takip ettiğini not ediyoruz:

Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritma tanımının azaltıldığı rasyonel gösterge derecesinin belirlenmesinden kaynaklanmaktadır.
Taban birimden farklı olmalıdır, çünkü birim her iki dereceye kadar hala birlik olmaya devam ediyor. Bu nedenle, "Birimin bir deuuce almak için ne kadar inşa edilmesi gerektiği" sorusu anlamdan yoksundur. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalar denir İzin verilen değerlerin alanı (OTZ). Garip Logaritm'un böyle göründüğü ortaya çıktı: Log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, A\u003e 0, A ≠ 1.

B sayısında (logaritm değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlamanın üst üste gelmediğini unutmayın. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0.5 \u003d -1, çünkü 0.5 \u003d 2 -1.

Ancak, şimdi OTZ logaritmasının gerekli olmadığını bilmek sadece sayısal ifadeleri düşünüyoruz. Tüm kısıtlamalar zaten görev derleyicileri tarafından dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler giderse, OTZ gereksinimleri zorunlu hale gelecektir. Nitekim, baz ve argümanda, çok makul olmayan yapılar ayakta olabilir, bu da yukarıdaki sınırlamalara uygundur.

Şimdi düşünün genel şema Logaritmaların hesaplanması. Üç adımdan oluşur:

Temel a ve argümanı x, büyük bir birim olan minimum miktarda bir dereceye kadar bir dereceye kadar gönderin. Yol boyunca, ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
B Denklemi değişkenine göre çözün: x \u003d a b;
Elde edilen sayı B, cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritma irrasyonel ise, ilk adımda görülebilir. Bazın daha United'in çok önemli olduğu gerekliliği: Hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. S.'ye benzer ondalık kesirler: Hemen onları sıradan aktarırsanız, hatalar zaman daha az olacaktır.

Bu şemanın belirli örneklerde nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev. Logaritm Hesapla: Günlük 5 25

Beş: 5 \u003d 5 1 derecesi olarak temeli ve argümanı sunar; 25 \u003d 5 2;
Bize izin verin ve denklemi çözelim:
lOG 5 25 \u003d B ⇒ (5 1) B \u003d 5 2 ⇒ 5 B \u003d 5 2 ⇒ B \u003d 2;
Cevabı aldı: 2.

Bir görev. Logaritmayı hesapla:

Bir görev. Logaritm Hesapla: Günlük 4 64

TWOS: 4 \u003d 2 2 derecesi olarak temel ve argümanı hayal edin; 64 \u003d 2 6;
Bize izin verin ve denklemi çözelim:
lOG 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒ 2 2B \u003d 2 6 ⇒ 2B \u003d 6 ⇒ B \u003d 3;
Cevabı aldı: 3.

Bir görev. Logaritm Hesapla: Günlük 16 1

İki dereceye kadar olan temel ve argümanı hayal edin: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Bize izin verin ve denklemi çözelim:
lOG 16 1 \u003d B ⇒ (2 4) B \u003d 2 0 ⇒ 2 4B \u003d 2 0 ⇒ 4B \u003d 0 ⇒ B \u003d 0;
Cevabı aldı: 0.

Bir görev. LOGARITHM HESABI: LOG 7 14

Temel ve argümanı yedi dereceye kadar şunlardır: 7 \u003d 7 1; 14 Yedi derecesi şeklinde, 7'den beri görünmüyor,< 14 < 7 2 ;
Önceki noktadan itibaren logaritmun dikkate alınmadığını;
Cevap hiçbir değişiklik değildir: LOG 7 14.

Son örneğe küçük bir açıklama. Numaranın başka bir numaranın tam derecesi olmadığından emin olmak için nasıl? Çok basit - basit faktörler üzerinde ayrıştıracak kadar. Ve eğer bu çarpanlar aynı göstergelerle bir ölçüde monte edilemezse, başlangıç \u200b\u200bnumarası doğru bir derece değildir.

Bir görev. Numaranın kesin derecelerinin olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; on dört.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - Doğru derece, çünkü Çarpan sadece birdir;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Tam bir derece değil, çünkü iki faktör var: 3 ve 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - Doğru derece;
35 \u003d 7 · 5 - Yine doğru bir derece değil;
14 \u003d 7 · 2 - tekrar, tam derece değil;

Ayrıca bunu da unutmayın basit sayılar Her zaman kendilerinin kesin derecedir.

Ondalık logaritma

Bazı logaritmaların çoğu zaman özel bir isim ve atama yaptıkları için karşılaşılır.

X argümanından ondalık logaritma 10, yani 10, yani bir logaritma. Sayı x'i almak için 10 sayısının monte edilmesi gerektiği. Tanım: LG X.

Örneğin, LG 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - vb.

Bundan sonra, ders kitabı "LG 0,01 Bul" gibi ifadeyle karşılaştığında, Bilir: bu bir yazım hatası değil. Bu ondalık bir logaritma. Ancak, böyle bir atama için sıradışısanız, her zaman yeniden yazılabilir:
lg x \u003d log 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık için doğrudur.

Doğal logaritma

Kendi tazı olan başka bir logaritma var. Bir anlamda ondalık için daha da önemlidir. Doğal logaritm hakkında konuşuyoruz.

X argümanından doğal logaritma, E, yani, yani bir logaritmadır. Sayı x numarasını almak için E sayının monte edilmesi gerektiği. Tanımlama: LN X.

Birçoğu soracak: E sayısında başka ne var? o irrasyonel sayıBulmak imkansız, bulmak imkansız. Sadece ilk rakamlarını vereceğim:
e \u003d 2,718281828459 ...

Bunun sayısının ve neden ihtiyacınız olduğunu derinleştirmeyeceğiz. Sadece E'nin doğal logaritmanın temeli olduğunu unutmayın:
ln x \u003d log e x

Böylece, e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - vb. Öte yandan, LN 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Buna ek olarak, elbette birimler: ln 1 \u003d 0.

Doğal logaritmalar için, sıradan logaritmalar için doğru olan tüm kurallar geçerlidir.

BASE A (A\u003e 0, A, A) için pozitif sayı'nın logaritması 1'e eşit değildir) Bu AC \u003d B: LOG Ab \u003d C ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) ile böyle bir sayıyı çağırırlar. , b\u003e 0) & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP

Lütfen dikkat: Yetersiz bir numaradan logaritma tanımlanmamıştır. Ek olarak, logaritmin tabanında, 1'e eşit değil, 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olmalıdır. Örneğin, eğer bir kareden dikilirsek, 4 numarayı elde ediyoruz, ancak bu, tabandaki logaritmun olduğu anlamına gelmez - 2'den 4'tür. 2'dir.

Temel Logaritmik Kimlik

Bir LOG A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) (2)

Bu formülün sağ ve sol kısımlarını belirleme alanlarının farklı olması önemlidir. Sol parçası Sadece B\u003e 0, A\u003e 0 ve A ≠ 1'de belirlenir. Herhangi bir B'de sağ taraf tanımlanır ve A'ya bağlı değildir. Böylece, denklem ve eşitsizliklerin çözülmesinde ana logaritmik "kimliğinin" kullanılması, OTz'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritma tanımının iki bariz sonucu

A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1) (3)
1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) (4)

Nitekim, A numaralı birinci derecede dikildiğinde, aynı numarayı ve sıfır dereceye ayrıldığına bakacağız.

Logaritma işleri ve logaritma özel

Log A (b c) \u003d LOG A B + LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (5)

Bir b c \u003d log a b - LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (6)

Schoolchildren'leri bu formüllerin çözülmesindeki düşüncesizce uygulamasından uyarmak istiyorum. logaritmik denklemler ve eşitsizlikler. Onları kullanırken, "soldan sağa", OTZ'nin daralması var ve logaritmaların tutarındaki veya özelliğin logaritmasına veya özelliğinden veya özelliğinden geçişte - OTZ'nin genişletilmesi.

Aslında, A (F (X) G (X)) İfade Günlüğü iki durumda tanımlanır: Her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya F (x) ve g (x) sıfırdan az olduğunda.

Bu ifadeyi bir f (x) + log a g (x) olarak dönüştürme, sadece f (x)\u003e 0 ve g (x)\u003e 0 olduğunda, yalnızca durumunda sınırlandırmaya zorluyoruz. İzin verilen değerlerin daralma alanı var ve bu kategorik olarak kabul edilemez, çünkü kararlar kaybına neden olabilir. Formül (6) için de benzer bir problem var.

Logaritma işareti için derecelendirilebilir

Log A B P \u003d P Log A B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0) (7)

Ve yine doğruluk çağrısı yapmak istiyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:

LOG A (F (X) 2 \u003d 2 LOG A F (x)

Eşitliğin sol kısmı, açıkçası, sıfır hariç, F (x) tüm değerleri ile belirlenir. Sağ kısım - sadece f (x)\u003e 0! Logarithm'dan bir derece yaptıktan sonra, Otz'u suva ediyoruz. Ters prosedür, izin verilen değerlerin alanını genişletmeye yol açar. Bütün bu yorumlar sadece Derece 2'ye değil, aynı zamanda herhangi bir dereceye kadar da ifade eder.

Yeni bir üsle geçişin formülü

Log a b \u003d log c b log c a (A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

OTZ dönüştürülürken OTZ değişmediğinde nadir durum. Tabanı akıllıca (pozitif ve 1'e eşit olmayan) seçtiyseniz, geçiş formülü yeni bir üs için kesinlikle güvenlidir.

B sayısını seçin, B sayısını seçin, önemli bir formül (8) 'nin önemli bir durumunu alırız:

Bir b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Logaritmalar ile bazı basit örnekler

Örnek 1. Hesapla: LG2 + LG50.
Karar. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Logaritmaların (5) formül toplamını ve ondalık logaritmanın belirlenmesini kullandık.

Örnek 2. Hesapla: LG125 / LG5.
Karar. LG125 / LG5 \u003d LOG 5 125 \u003d 3. Geçişi yeni bir üs (8) kullandık.

Logaritmalarla İlgili Tablo Formülleri

Bir LOG A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1)

A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1)

1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) log

Log A (b c) \u003d LOG A B + LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0)

Bir b c \u003d log a b - Log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Bir B P \u003d P Log A B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0)

Log a b \u003d log c b log c a (A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

Log A B \u003d 1 Log B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1)

Bu makalenin odağı - logaritma. Burada logaritmin tanımını vereceğiz, benimsenen isyanı göstereceğiz, logaritma örnekleri veriyoruz ve doğal ve ondalık logaritmalar hakkında söyleyelim. Bundan sonra, ana logaritmik kimliği düşünün.

Gezinme sayfası.

Logaritm'un tanımı

Logaritma kavramı, sorunu çözerken oluşur. belli bir anlam Derecenin belirli bir değerinin bir göstergesi ve iyi bilinen bir temel bulunması gerektiğinde ters.

Ancak yeterli ön planda, "Logaritma nedir?" Sorusunu cevaplama zamanı. Uygun tanımlamayı sağlayalım.

Tanım.

Logaritma numarası B dayalı, burada bir\u003e 0, ≠ 1 ve b\u003e 0, B'yi almak için A sayısının kurulacağı derecenin bir göstergesidir.

Bu aşamada, "Logarithm" kelimesinin hemen ortaya çıkan soruyu çağırması gerektiğini not ediyoruz: "Sayı nedir" ve "hangi temelde". Başka bir deyişle, olduğu gibi sadece bir logaritma ve bir nedendeki sadece sayıların bir logaritması var.

Hemen tanıtmak logaritm'un belirlenmesi: A'ya dayanan B sayısının logaritması, log a b olarak gösterilir. E (10) tabanına dayanan B ve logaritma sayısının logaritması, sırasıyla, sırasıyla, LNB ve LGB'nin kendi özel atamalarına sahiptir, yani, O log, ancak LNB değil, 10 b ve LGB değil.

Şimdi verebilirsiniz :.
Ve kayıtlar Hiçbir anlam ifade etmiyor, çünkü bunlardan birincisi, logaritmin işareti altında, ikincinde, iktidardaki negatif bir sayı var - ve üçüncü ve üçüncü ve logaritm işareti altında negatif bir sayı var. ve biri tabanda.

Şimdi diyelim ki o. logarovmov okuma kuralları. LOG A B kaydı "Bir A" LOGARITHM B "olarak okunur. Örneğin, LOG 2 3, taban 2'de üçünün bir logaritmasıdır ve beşte iki tamsayı logaritması, beşten beşte üçte ikisinin üçte ikisidir. Logaritma denilen e doğal logaritmaVe LNB kaydı "Doğal Logaritma B" olarak okunur. Örneğin, LN7 yedi doğal bir logaritmadır ve doğal bir logaritma PI olarak okuyacağız. Baz 10'a göre logaritma da özel bir ada sahiptir - ondalık logaritmaVe LGB kaydı "Ondalık Logaritma B" olarak okunur. Örneğin, LG1 bir ondalık logaritma ünitesidir ve LG2,75, iki yetmiş beş yüzde iki ondalık logaritmasıdır.

Logaritma tanımı verildiği A\u003e 0, ≠ 1 ve B\u003e 0 olarak ayrı ayrı buna değer. Bu kısıtlamaların nerede geldiğini açıklayalım. Yukarıdaki logaritmun tanımından doğrudan kalan türlerin eşitliğinin bize eşitliğine yardımcı olacaktır.

≠ 1 ile başlayalım. Ünite birine eşit dereceden herhangi bir dereceye kadar olduğundan, eşitlik yalnızca B \u003d 1'de geçerli olabilir, ancak günlüğü 1 1 geçerli bir sayı olabilir. Bu çok rakipten kaçınmak için ve ≠ 1 kabul edilir.

A\u003e 0 durumunun uygunluğunu haklı bırakalım. A \u003d 0'da, logaritmin tanımı gereği, yalnızca B \u003d 0'da mümkün olan eşitliği olurdu. Ancak, günlüğü 0 0 sıfırdan sıfırdan sıfırdan farklı bir farklı sayı olabilir, sıfır olmayan herhangi bir derece sıfırdır. Bu çok rakipten kaçının ≠ 0 durumuna izin verir. Ve A. ile<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, b\u003e 0 durumu eşitsizliğin A\u003e 0'ı, çünkü bir derecenin değeri ve pozitif bir üs olan değeri her zaman olumludur.

Bu maddenin sonuçlandığında, logaritmin seslendirilmiş tanımının, logaritma tabelasının altındaki sayı bir temel olduğunda, logaritmin değerini derhal belirtmenize izin verdiğini söyleyelim. Nitekim, bir logaritmun tanımı, eğer B \u003d A p ise, A taban A için B sayısının logaritması, p'ye eşittir. Yani, eşitlik günlüğü A p \u003d p geçerlidir. Örneğin, 23 \u003d 8, ardından günlüğe 2 8 \u003d 3 olduğunu biliyoruz. Bu konuda makalede daha ayrıntılı olarak konuşacağız.