Çözüm, keyfi sabitlerin varyasyonunun yöntemidir. Keyfi sabit değişim yöntemi için örnekler

Şimdi doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün
. (2)
Y 1, Y2, .., Y n - çözümlerin temel sistemini ve - ortak karar Karşılık gelen homojen denklem l (y) \u003d 0. İlk sipariş denklemlerinin durumuna benzer şekilde, denklem çözeltisini arayacağız (2)
. (3)
Bu formdaki çözümün var olduğundan emin olun. Bunu yapmak için, işlevi denklemin yerine geçeceğiz. Bu işlevi denklemden değiştirmek için türevlerini bulacaktır. İlk türev eşittir
. (4)
İkinci türevin sağ tarafta (4) hesaplandığında, üçüncü türevi - sekiz terim ve benzeri hesaplanırken dört terim olacaktır. Bu nedenle, daha fazla hesabın rahatlığı için, (4) 'de birinci terim sıfır olması gerekiyordu. Bunu dikkate alarak, ikinci türev eşittir
. (5)
Aynı duruma göre, (5) 'de, birinci terimin sıfıra eşit olduğuna da inanıyoruz. Son olarak, NTH türevi eşittir
. (6)
İlk denklemde elde edilen türev değerlerini yerine koymak,
. (7)
(7) 'deki ikinci terim sıfırdır, çünkü Y j, j \u003d 1,2, .., N işlevleri karşılık gelen homojen denklem l (y) \u003d 0'dur. Önceki biriyle birleştirerek, C "J (x) fonksiyonlarını bulmak için bir cebirsel denklem sistemi elde ediyoruz.
(8)
Bu sistemin belirleyicisi, Yı 1, Y2,. Sonuç olarak, sistemin tek çözümü var (8). Bulduğu, C "J (X), J \u003d 1,2, ..., N ve bu nedenle C J (X), J \u003d 1,2, ..., N'dir. (3) 'de değerler, doğrusal bir homojen olmayan bir denklemin çözümü elde ediyoruz.
Seviyelendirilmiş yöntem, rastgele sabit veya lagrange yöntemi ile varyasyon yöntemi olarak adlandırılır.

Örnek numara 1. Y "+ 4Y" denkleminin genel bir çözeltisini bulun + 3Y \u003d 9E -3 X. İlgili homojen denklemi Y "" + 4Y + 3Y \u003d 0 olarak düşünün. Karakteristik denkleminin kökleri R2 + 4R + 3 \u003d 0 -1 ve - 3. Bu nedenle, homojen bir denklemin temel çözeltilerinin temel sistemi Y 1 \u003d E - X ve Y2 \u003d E -3 x işlevlerinden oluşur. Homojen olmayan denklemin çözeltisi, Y \u003d Cı (x) e - x + c2 (x) e -3 x biçiminde görünmektedir. Türevleri bulmak için C "1, c" 2 Bir denklem sistemi yaparız (8)
C '1 · E -X + C' 2 · E -3X \u003d 0
-C '1 · E -X -3C' 2 · E -3X \u003d 9E -3X
bunu çözmek, bulduk, elde edilen fonksiyonları entegre ediyoruz,
Sonunda olsun

Örnek 2. İkinci siparişin doğrusal diferansiyel denklemlerini sabit katsayılarla, keyfi ayakta varyasyonuyla çözün:

y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3

Karar:
Bu diferansiyel denklem, sabit katsayılarla doğrusal diferansiyel denklemleri ifade eder.
Denklemin çözeltisi Y \u003d e rx olarak imzalanacaktır. Bunu yapmak için, sabit katsayılarla doğrusal bir homojen diferansiyel denklemin karakteristik bir denklemini derleriz:
r 2 -6 R + 8 \u003d 0
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4

Karakteristik denklemin kökleri: r 1 \u003d 4, r 2 \u003d 2
Bu nedenle, temel çözümler sistemi fonksiyonlardır: Y 1 \u003d E 4X, Y2 \u003d E 2X
Homojen bir denklemin genel çözümü şekli vardır: Y \u003d C 1 · E 4X + C 2 · E 2X
Keyfi sabit olarak varyasyon yoluyla özel bir çözüm arayın.
C "i türevlerini bulmak için, bir denklem sistemi oluştururuz:
C '1 · E 4X + C' 2 · E 2X \u003d 0
C '1 (4E 4X) + C' 2 (2E 2X) \u003d 4 / (2 + E -2X)
Express C "1 İlk denklemden:
C "1 \u003d -C2 E -2X
ve ikinci için değiştiriyoruz. Sonuç olarak, biz:
C "1 \u003d 2 / (E 2X + 2E 4X)
C "2 \u003d -2E 2X / (E 2X + 2E 4X)
Elde edilen özellikleri C "i'yi entegre ediyoruz:
C1 \u003d 2LN (E -2X +2) - E -2X + C * 1
C 2 \u003d ln (2e 2x +1) - 2x + c * 2

Y \u003d C 1 · E 4X + C 2 · E 2X, ardından elde edilen ifadeleri formda yazın:
C1 \u003d (2LN (E -2X +2) - E -2X + C * 1) E 4X \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4X
C 2 \u003d (LN (2E 2X +1) - 2X + C * 2) E 2X \u003d E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 2 E 2X
Böylece, diferansiyel denklemin genel çözümü:
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4X + E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 2 E 2X
veya
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 1 E 4X + C * 2 E 2X

Sağlanan özel bir çözüm bulacağız:
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3

X \u003d 0'yu değiştirerek, bulunan denklemde, biz:
y (0) \u003d 2 LN (3) - 1 + LN (3) + C * 1 + C * 2 \u003d 3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
Elde edilen genel çözümün ilk türevini buluyoruz:
y '\u003d 2E 2X (2C 1 E 2X + C2 -2X +4 E 2X LN (E -2X +2) + LN (2E 2X +1) -2)
X \u003d 0'yu değiştirdikten sonra:
y '(0) \u003d 2 (2C 1 + C2 +4 LN (3) + LN (3) -2) \u003d 4C 1 + 2C2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3

İki denklem sistemini alıyoruz:
3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
4C 1 + 2C2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3
veya
C * 1 + C * 2 \u003d 2
4C 1 + 2C 2 \u003d 4
veya
C * 1 + C * 2 \u003d 2
2C 1 + C 2 \u003d 2
Yer: C1 \u003d 0, C * 2 \u003d 2
Özel karar olarak kaydedilecektir:
y \u003d 2E 4x · LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X · LN (2E 2X +1) - 2x · E 2X + 2 · E 2X

Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi, homojen olmayan diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılır. Bu ders Zaten daha az ya da çok iyi yönlendirilmiş öğrenciler için tasarlanmıştır. Sadece DU, yani tanışmaya başlarsanız. Sen bir su ısıtıcısın, ilk dersinden başlamasını tavsiye ederim: İlk siparişin diferansiyel denklemleri. Çözüm örnekleri. Ve eğer zaten bitirseniz, lütfen yöntemin karmaşık olduğuna dair olası önyargılı görüşü bırakın. Çünkü o basit.

Hangi durumlarda keyfi sabitlerin varyasyon yöntemidir?

1) Keyfi sabit değişim yöntemi, çözülürken kullanılabilir lineer inhomojen değil du 1-th sipariş. İlk sipariş denklemi yakında olduğundan, sabit (sabit) da yalnızdır.

2) Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi, bazılarını çözmek için kullanılır doğrusal homojen olmayan denklemler ikinci emir. İki kalıcı (sabit) burada değişir.

Dersin iki paragraftan oluşacağını varsaymak mantıklıdır .... Burada bu teklifi yazdım ve 10 dakika düşünce olarak düşünüldü, her ne kadar akıllıca saçma olursa olsun, pratik örnekler. Ancak bir nedenden ötürü, tatilden sonra hiç düşünceler yok, ancak görünmesine rağmen hiçbir şeyle kötüye kullanılmadı. Bu nedenle derhal ilk paragrafa geçiyoruz.

Keyfi sabit değişim yöntemi
doğrusal bir homojen olmayan birinci dereceden denklem için

Keyrek sabit değişim yöntemini göz önünde bulundurmadan önce, makaleye aşina olmak arzu edilir. İlk siparişin doğrusal diferansiyel denklemleri. Bu derste çalıştık Çözmenin ilk yolu İnhomojen du 1 sipariş. Bu ilk çözüm hatırlatıldı, yedek yöntemi veya bernoulli Yöntemi (ile karıştırılmamak bernoulli denklemi!!!)

Şimdi bakacağız İkinci çözme yolu - Keyfi sabit değişim yöntemi. Sadece üç örnek vereceğim ve yukarıda belirtilen derslerden alacağım. Neden bu kadar az? Çünkü gerçekte karar ilk yolda karara çok benzer olacak. Ek olarak, gözlemlerime göre, keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi, değiştirme yönteminden daha az sıklıkla uygulanır.

Örnek 1.

(Örnek no'lu Dersten Diffur Lineer inhomojen değil du 1-th sipariş)

Karar: Bu denklem doğrusal homojendir ve tanıdık bir bakıma sahiptir:

İlk aşamada, daha basit bir denklemi çözmek gerekir:
Yani, aptalca sağ tarafı sıfırlamak yerine - sıfır yazmak yerine.
Denklem arayacağım yardımcı Denklem.

İÇİNDE bu örnek Aşağıdaki yardımcı denklemi çözmek için gereklidir:

Bizden önce ayırma değişkenleri ile denklemKimin kararını (umarım) artık sizin için zorlukları temsil etmiyor:

Böylece:
- Yardımcı denklem için genel çözüm.

İkinci adımda değiştirmek Bazı sabit tekrar iken "X" e bağlı olan bilinmeyen bir fonksiyon:

Dolayısıyla, yöntemin adı - sabit değişir. Alternatif olarak, bir sabit şimdi bulmamız gereken bazı özellikler olabilir.

İÇİNDE kaynak Heterojen denklem Hadi değiştirelim:

Yedek I. denklemde :

Kontrol anı - sol taraftaki iki bileşen azalır. Bu olmazsa, yukarıda bir hata aramalısınız.

Değiştirme sonucunda, ayırma değişkenli bir denklem elde edildi. Değişkenleri paylaşıyoruz ve entegre ediyoruz.

Hangi lütuf, katılımcılar da azalır:

Ayrıca bulunanlara "normal" bir sabit eklerim:

Üzerinde son aşama Değişimizi hatırlıyoruz:

İşlev sadece bulundu!

Böylece, genel çözüm:

Cevap: Yaygın karar:

Çözmenin iki yolu yazdırırsanız, her iki durumda da aynı integralleri bulduğumuzu kolayca fark edeceksiniz. Sadece çözüm algoritmasında fark.

Şimdi daha karmaşık bir şey, ikinci örnek, ben de yorum yapıyorum:

Örnek 2.

Genel bir diferansiyel denklem çözümü bulun
(Örnek Numaradan Diffur, 8 ders Lineer inhomojen değil du 1-th sipariş)

Karar: Denklemi forma veriyoruz :

Sağ tarafı çıkarın ve bir yardımcı denklemi sağlayın:

Yardımcı denklemin genel çözümü:

Homojen olmayan denklemde, değiştireceğiz:

Farklılaşma kuralına göre, iş:

Yedek I. Orijinal homojen olmayan denklemde:

Sol taraftaki iki bileşen azaltılır, doğru yolda olduğumuz anlamına gelir:

Parçaları entegre ediyoruz. Parçalardaki entegrasyon formülünden lezzetli harf zaten çözüme katılmıştır, bu yüzden örneğin, "A" harflerini ve "Be" harflerini kullanıyoruz:

Şimdi değiştirmeyi hatırlayın:

Cevap: Yaygın karar:

Ve bir örnek kendi kendine karar vermek:

Örnek 3.

Belirli bir başlangıç \u200b\u200bdurumuna karşılık gelen bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.

,
(4 Numara Dersinden Diffur Lineer inhomojen değil du 1-th sipariş)
Karar:
Bu du doğrusal homojendir. Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemini kullanın. Yardımcı denklemi çözüyorum:

Değişkenleri paylaşıyoruz ve entegre ediyoruz:

Yaygın karar:
Homojen olmayan bir denklemde, değiştireceğiz:

Bir ikame gerçekleştirin:

Böylece, genel çözüm:

Belirtilen başlangıç \u200b\u200bdurumunu karşılayan özel bir çözüm bulacağız:

Cevap: Özel çözüm:

Dersin sonundaki karar, bir görev tanımı için örnek bir örnek olarak hizmet edebilir.

Keyfi sabit değişim yöntemi
doğrusal bir homojen olmayan ikinci derece denklemi için
sabit katsayılarla

Sık sık, ikinci dereceden denklem için keyfi sabitlerin varyasyon yönteminin akciğer olmadığı fikrini duymak gerekiyordu. Ancak aşağıdakileri varsayıyorum: Büyük olasılıkla, yöntem birçok için zor görünüyor, çünkü bu kadar sık \u200b\u200bdeğil. Ancak gerçekte özel bir zorluk yoktur - çözme kursu açık, şeffaf, anlaşılır. Ve güzel.

Yöntemi yönetmek için, homojen olmayan ikinci dereceden denklemleri, sağ kısmın ortaya çıkmasıyla özel bir çözeltinin seçimi yöntemiyle çözebilmesi arzu edilir. Bu yöntem, makalede ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Üniforma Olmayan Du 2. Sipariş. Sabit katsayılı ikinci sıranın doğrusal homojen olmayan denkleminin şöyle olduğunu hatırlıyoruz:

Yukarıdaki derste göz önünde bulundurulan seçim yöntemi, sadece içinde geçer sınırlı sıra Polinomlar, üsler, sinüsler, kostümlerin sağ tarafta olduğunda durumlar. Ama ne yapmalı, ne zaman sağa, örneğin, kesir, logaritma, teğet? Böyle bir durumda, kalıcı değişim yöntemi yardımcı olacaktır.

Örnek 4.

İkinci dereceden diferansiyel denklemin genel bir çözümünü bulun

Karar: Sağ tarafta bu denklemden Bir kesir var, böylece derhal özel bir çözüm seçme yönteminin yuvarlanmadığını söyleyebilirsiniz. Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemini kullanın.

Hiçbir şey fırtınalı yok, kararın başlangıcı tamamen sıradan:

Bulmak ortak karar ilgili Üniforma Denklemler:

Ayrıca karakteristik denklemi de karar vereceğiz:


- Konjugat alındı karmaşık kökler, böylece genel çözüm:

Genel çözümün girişine dikkat edin - eğer parantez varsa, o zaman onları ortaya çıkarın.

Şimdi ilk sipariş denklemine göre neredeyse aynı hileyi yapıyoruz: sabitleri değiştirerek, bilinmeyen fonksiyonlarla değiştiriyoruz. Yani, heterojen genel çözümüdenklemler formda aranacak:

Nerede - tekrar iken Bilinmeyen fonksiyonlar.

Bir çöplük gibi görünüyor evsel atıkAma şimdi her şey sıralandı.

Bilinmeyenler türetilmiş fonksiyonlardır. Amacımız türevleri bulmaktır ve bulunan türevler sistemin birinci ve ikinci denklemini karşılamalıdır.

Irerery nereden geliyor? Stork onları getiriyor. Sonuçta elde edilen önceki çözüme bakıyoruz ve yazıyoruz:

Türevleri bulun:

Sol parçalarla çözüldü. Ne doğru?

- Bu, orijinal denklemin sağ tarafıdır, bu durumda:

Katsayı, ikinci türev ile ilgili bir katsayıdır:

Uygulamada, neredeyse her zaman ve örneğimiz bir istisna değildir.

Her şey ortaya çıktı, şimdi bir sistem oluşturabilirsiniz:

Sistem genellikle karar verir kRAMER formüllerine göreStandart bir algoritma kullanarak. Tek fark, sayıları yerine fonksiyonlarımız var.

Sistemin ana belirleyicisini buluruz:

"İki ila iki" belirlenmesinin nasıl ortaya çıktığını unuttuysanız, bir dersine danışın. Determinant nasıl hesaplanır? Bağlantı gölge panosuna yol açar \u003d)

Böylece: sistemin tek bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Bir türev bulun:

Ancak bu, sadece bir türev bulana kadar bu kadar değil.
İşlevin kendisi entegrasyonla geri yüklenir:

İkinci fonksiyonla anlıyoruz:

İşte "normal" bir sabit ekliyoruz

Son aşamada, çözümlerin, homojen olmayan denklemin genel çözümünü hangi formda aradık? Böyle:

Gerekli işlevler sadece bulundu!

Bir ikame işlemini gerçekleştirmek ve cevabı yazmak için kalır:

Cevap: Yaygın karar:

Prensip olarak, cevabında braketleri ortaya çıkarmak mümkündü.

Komple Yanıt Kontrolü, Derste dikkate alınan standart şemaya göre yapılır. Üniforma Olmayan Du 2. Sipariş. Ancak doğrulama zor olacak, çünkü hacimli bir ikame bulmak ve gerçekleştirmek için oldukça ağır bir türevler var. Bu, bu tür difüzörleri çözdüğünüzde tatsız bir özelliktir.

Örnek 5.

Diferansiyel denklemi keyfi sabitin varyasyonuyla çözün

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Aslında, sağ kısımda da kesir. Hatırlamak trigonometrik formül Bu arada, çözüm boyunca uygulanması gerekecektir.

Keyfi sabit değişim yöntemi en evrensel yöntemdir. Çözülen herhangi bir denklemi çözebilirler sağ parçanın görünümü ile özel bir çözelti seçimi yöntemi. Soru ortaya çıkıyor ve neden keyfi sabitlerin varyasyon yöntemini kullanmıyorsunuz? Cevap açıktır: Derste dikkate alınan özel bir çözümün seçimi Homojen olmayan ikinci dereceden denklemler, çözümü önemli ölçüde hızlandırır ve kaydı azaltır - belirleyiciler ve integrallerle trakç yok.

İki örneği düşünün cauchy görevi.

Örnek 6.

Belirtilen başlangıç \u200b\u200bkoşullarına karşılık gelen bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.

,

Karar: Yine kesir ve üs İlginç yer.
Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemini kullanın.

Bulmak ortak karar ilgili Üniforma Denklemler:



- Çeşitli geçerli kökler elde edilir, bu nedenle genel çözüm:

Heterojen genel çözümü Denklemler formda görünmektedir: nerede - tekrar iken Bilinmeyen fonksiyonlar.

Bir sistem yap:

Bu durumda:
,
Türevleri bulun:
,

Böylece:

Paletli formüller tarafından çözünür sistem:
Böylece sistemin tek bir çözümü vardır.

İşlevi entegrasyonla geri yükleriz:

Burada kullanılır farkın işareti altında bir fonksiyon toplama yöntemi.

İkinci entegrasyon fonksiyonunu geri yükleriz:

Böyle bir ayrılmaz çözüldü değişkeni değiştirerek:

Değişikten kendisinden, ekspresiz:

Böylece:

Bu integral bulunabilir. tam bir karenin tahsis edilmesi yöntemiAncak difüzörlere sahip örneklerde bir kesir yatmayı tercih ederim yöntem belirsiz katsayılar :

Her iki fonksiyon da bulundu:

Sonuç olarak, homojen olmayan denklemin genel çözümü:

İlk koşulları karşılayan özel bir çözüm bulacağız. .

Teknik olarak, çözeltinin çözeltisi, makalede görüntülenen standart yolla gerçekleştirilir. Homojen olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemler.

Bekletin, şimdi bulunan genel çözümün bir türevini bulacağız:

İşte böyle bir utanç. Bunu basitleştirmek gerekli değildir, derhal bir denklem sistemi yapmak daha kolaydır. İlk koşullara göre :

Temelleri yerine sabitler Genel olarak çözüm:

Cevap olarak, logaritmalar biraz kullanılabilir.

Cevap: Özel çözüm:

Gördüğünüz gibi, integrallerde ve türevlerinde zorluklar meydana gelebilir, ancak rastgele sabitlerin kendisinin de varyasyonunun algoritasyonunda hiçbir şekilde olabilir. Sana savaşmadım, Kuznetsov'un bütün koleksiyonu!

Rahatlamak için, bağımsız bir çözüm için final, daha basit örnek:

Örnek 7.

Cauchy görevini çöz

,

Bir örnek basit, ancak yaratıcı, ne zaman bir sistem yapılır, karar vermeden önce dikkatlice bakın ;-),




Sonuç olarak, genel çözüm:

İlk koşulları karşılayan özel bir çözüm bulun .



Genel çözümdeki sabitlerin bulundu değerlerini değiştirme:

Cevap: Özel çözüm:

Keyfi sabit değişim yöntemi

Doğrusal bir homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözeltisi oluşturmak için keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi

a. n. (t.)z. (n.) (t.) + a. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + a. 1 (t.)z."(t.) + a. 0 (t.)z.(t.) = f.(t.)

keyfi sabitin değiştirilmesinden oluşur c. k. Genel olarak

z.(t.) = c. 1 z. 1 (t.) + c. 2 z. 2 (t.) + ... + c. n. z. n. (t.)

karşılık gelen homojen denklem

a. n. (t.)z. (n.) (t.) + a. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + a. 1 (t.)z."(t.) + a. 0 (t.)z.(t.) = 0

yardımcı fonksiyonlarda c. k. (t.) Doğrusal cebirsel sistemi sağlayan türetilmiş

Sistemin belirleyicisi (1), fonksiyonların işlevleridir. z. 1 ,z. 2 ,...,z. n. bu açık çözülebilirlik akrabası sağlar.

İlkelseniz, sabit entegrasyonun sabit değerlerinde alınmışsa, sonra işlev

İlk lineer homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Homojen olmayan denklemin, karşılık gelen homojen bir denklemin genel bir çözeltisinin varlığında entegrasyonu, bu nedenle dört katmanlara düşürülür.

Vektör normal formda doğrusal diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerini inşa etmek için keyfi sabit değişim yöntemi

formunda özel bir çözüm (1) inşa etmekten oluşur.

nerede Z.(t.) - Bir matris biçiminde kaydedilen karşılık gelen homojen denklemin çözümlerinin temeli ve keyfi sabitlerin vektörünü değiştirerek bir vektör işlevi, oranı ile belirlenir. İkinci özel çözüm (sıfır başlangıç \u200b\u200bdeğerleriyle t. = t. 0 tür var

Sabit katsayılara sahip bir sistem için, son ifade basitleştirildi:

Matris Z.(t.)Z. - 1 (τ) aranan cauchy matrisi Şebeke L. = A.(t.) .

Kalıcı lagrange değişimine göre sabit katsayılarla yüksek emirlerin doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemlerini çözme yöntemi göz önünde bulunduruldu. Lagrange yöntemi, homojen bir denklemin temel bir çözeltisi sistemi biliniyorsa, herhangi bir doğrusal homojen olmayan denklemin çözülmesi için de geçerlidir.

İçerik

Ayrıca bakınız:

Lagrange yöntemi (sabit değişim)

KeyCary N-Siparişin sabit katsayılarıyla doğrusal bir homojen olmayan diferansiyel denklemi göz önünde bulundurun:
(1) .
Birinci dereceden denklem için bizim tarafımızdan kabul edilen sabit değişim yöntemi, daha yüksek siparişlerin denklemleri için de geçerlidir.

Çözelti iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada, sağ tarafı atıyoruz ve homojen bir denklemi çözelim. Sonuç olarak, r rasel sabitleri içeren bir çözüm elde ediyoruz. İkinci aşamada, sabit değişiyoruz. Yani, bu sabitlerin bağımsız bir değişkenden fonksiyon olduğuna ve bu işlevlerin şeklini bulduğuna inanıyoruz.

Burada sabit katsayılarla denklemleri düşünmemize rağmen, ancak lagrange yöntemi ayrıca herhangi bir doğrusal homojen olmayan denklemleri çözmek için de geçerlidir.. Bununla birlikte, bunun için homojen bir denklemin temel bir çözüm sistemi bilinmelidir.

Adım 1. Homojen bir denklemin çözümü

İlk sipariş denklemleri durumunda olduğu gibi, ilk başta, doğru homojen bir denklemin genel bir çözümünü arıyoruz, doğru homojen parçanın sıfıra eşittir:
(2) .
Böyle bir denklemin genel çözümü formu vardır:
(3) .
Burada - keyfi sabit; - n Bu denklemin temel bir çözüm sistemi oluşturan homojen bir denklemin (2) doğrusal olarak bağımsız çözümleri.

Adım 2. Kalıcı Değiştirme - Kalıcı İşlevlerin Değiştirilmesi

İkinci aşamada, kalıcı değişimle ilgileneceğiz. Başka bir deyişle, bağımsız bir değişkenden fonksiyondaki sabiti değiştireceğiz:
.
Yani, aşağıdaki formda ilk denklemin (1) çözeltisini arıyoruz:
(4) .

(4) 'de değiştirirsek (1), N işlevleri için bir diferansiyel denklem elde ediyoruz. Aynı zamanda, bu özellikleri ek denklemlerle ilişkilendirebiliriz. Sonra n işlevlerin belirlenebileceği n denklemleri olacaktır. Ek denklemler derlenebilir farklı yollar. Fakat kararın en basit bir görünüme sahip olması için yapacağız. Bunun için farklılaşma, fonksiyonlardan türevleri içeren sıfır şartlara eşittir. Bunu göstereceğiz.

Tahmini çözeltinin (4) orijinal denklemin (1) yerine ikame etmek için, formda kaydedilen fonksiyonun ilk N siparişlerinin türevlerini bulmamız gerekir (4). Farklılaştırma (4), miktarın farklılaşma kurallarını uygulamak ve işin uygulanması:
.
Üyeleri gruplandırdık. İlk olarak, üyeleri türevli ve daha sonra türevleriyle icat ediyoruz:

.
İşlevler için ilk koşulu sunuyoruz:
(5.1) .
Ardından, yazılımın ilk türevinin ifadesi daha basit bir form olacaktır:
(6.1) .

Aynı şekilde, ikinci türevi buluruz:

.
İkinci durumdan ayrılalım:
(5.2) .
Sonra
(6.2) .
Vb. İÇİNDE ek koşullar, türetilmiş işlevleri içeren üyeleri sıfıra eşittir.

Bu nedenle, aşağıdaki işlevler için aşağıdaki ek denklemleri seçerseniz:
(5.k) ,
Yazılımın ilk türevleri en kolay görünüme sahip olacaktır:
(6.K) .
Buraya .

N-türevi bulduk:
(6.n)
.

İlk denklemin yerine geçiyoruz (1):
(1) ;






.
Tüm fonksiyonların denklemi tatmin ettiğini göz önünde bulunduruyoruz (2):
.
Sonra, içeren üyelerin toplamı sıfır verir. Sonuç olarak, biz:
(7) .

Sonuç olarak, sistemi aldık lineer denklemler Türevler için:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ') .

Bu sistemi çözme, X'ten işlev olarak türevler için ifadeler buluyoruz. Entegre, biz alırız:
.
Burada - artık x sabitine bağımlı değil. (4) 'de değiştirilmesi, kaynak denkleminin genel bir çözümünü elde ediyoruz.

Türevlerin değerlerini belirlemek için, bir yaşladığım katsayıların sabit olduğu hiçbir yerde kullanmadık. bu nedenle lagrange yöntemi herhangi bir doğrusal homojen olmayan denklemleri çözmek için geçerlidir.Homojen bir denklemin (2) temel bir çözüm sistemi biliniyorsa.

Örnek

Denklemleri kalıcı (lagrange) ile çözün.


Örneklerin Çözümü \u003e\u003e\u003e

Ayrıca bakınız: İlk siparişin denklemlerinin kalıcı değişim yöntemiyle çözümü (Lagrange)
Bernoulli tarafından daha yüksek emir denklemlerinin çözümü
Doğrusal homojen olmayan diferansiyel diferansiyel diferansiyel diferansiyel diferansiyel denklemlerin, doğrusal bir ikamenin sabit katsayıları ile