Визначити ранг матриці прикладу. Знайти ранг матриці: способи та приклади

У цій статті йтиметься про таке поняття, як ранг матриці та необхідні додаткові поняття. Ми наведемо приклади та докази знаходження рангу матриці, а також розповімо, що таке мінор матриці, і чому він такий важливий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мінор матриці

Щоб зрозуміти, що таке ранг матриці, необхідно розібратися з таким поняттям як мінор матриці.

Визначення 1

Мінорk-ого порядку матриці - визначник квадратної матриці порядку k×k, яка складена з елементів матриці А, що знаходяться в заздалегідь вибраних k-рядках і k-стовпцях, при цьому зберігається положення елементів матриці А.

Простіше кажучи, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а їх тих елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

З прикладу випливає, що мінори першого порядку матриці А є самі елементи матриці.

Можна навести кілька прикладів мінорів другого порядку. Виберемо два рядки та два стовпці. Наприклад, перший і другий рядок, третій і четвертий стовпець.

За такого вибору елементів мінором другого порядку буде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Іншим мінором 2-го порядку матриці є 0 0 1 1 = 0

Надамо ілюстрації побудови мінорів другого порядку матриці А:

Мінор 3-го порядку виходить, якщо викреслити третій стовпець матриці А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ілюстрація, як виходить мінор 3-го порядку матриці А:

Для цієї матриці мінорів вище 3-го порядку не існує, тому що

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку p×n?

Число мінорів обчислюють за такою формулою:

C p k × C n k , де С p k = p ! k! (p - k)! і C n k = n! k! (n - k)! - Число поєднань з p по k, з n по k відповідно.

Після того, як ми визначилися, що таке мінори матриці А, можна переходити до визначення рангу матриці А.

Ранг матриці: методи знаходження

Ранг матриці - Найвищий порядок матриці, відмінний від нуля.

Позначення 1

Rank (A), Rg(A), Rang(A).

З визначення рангу матриці та мінору матриці ставати зрозуміло, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці відмінний від нуля.

Знаходження рангу матриці за визначенням

Метод перебору мінорів - метод, що базується на визначенні рангу матриці.

Алгоритм дій способом перебору мінорів :

Необхідно знайти ранг матриці А порядку p× n. За наявності хоча б одного елемента, відмінного від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці ( т.к. є мінор 1-го порядку, який не дорівнює нулю).

Далі слідує перебір мінорів 2-го порядку. Якщо всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. При існуванні хоча б одного не рівного нулю мінора 2-го порядку, необхідно перейти до перебору мінорів 3-го порядку, а ранг матриці, в такому разі, дорівнюватиме мінімум двом.

Аналогічним чином надійдемо з рангом 3-го порядку: якщо всі мінори матриці дорівнюють нулю, то ранг дорівнюватиме двом. За наявності хоча б одного ненульового мінору 3-го порядку, то ранг матриці дорівнює мінімум трьох. І так далі, за аналогією.

Приклад 2

Знайти ранг матриці:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Оскільки матриця ненульова, її ранг мінімум дорівнює одиниці.

Мінор 2-го порядку - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 відмінний від нуля. Звідси випливає, що ранг матриці не менше двох.

Перебираємо мінори 3-го порядку: З 3 3 × З 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 шт.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (-1) × 6 × 1 + (-1) × 0 × 4 + (-2) × 2 × 11 - (-2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (-1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (-1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (-2) × 2 × 3 - (-2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (-7) + (-1) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (-2) × 2 × (-7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (-1) × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь : Rank (A) = 2

Знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів

Метод облямівних мінорів - метод, який дозволяє отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Облямовуючий мінор - мінор M o k (k + 1) -го порядку матриці А, який облямовує мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, яка відповідає мінору M o k , «містить» матрицю, яка відповідає мінору М.

Простіше кажучи, матриця, яка відповідає мінеру М, що облямовується, виходить з матриці, що відповідає облямівному мінору M o k , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Приклад 3

Знайти ранг матриці:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для знаходження рангу беремо мінор 2-го порядку М = 2 - 1 4 1

Записуємо всі мінори, що облямовують:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Щоб обгрунтувати метод облямівних мінорів, наведемо теорему, формулювання якої вимагає доказової бази.

Теорема 1

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнює нулю.

Алгоритм дій :

Щоб знайти ранг матриці, необов'язково перебирати всі мінори, достатньо подивитися на облямовувачі.

Якщо мінори, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг матриці нульовий. Якщо існує хоча б один мінор, який не дорівнює нулю, то розглядаємо мінори, що облямовують.

Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) дорівнює двом. За наявності хоча б одного ненульового оздоблюючого мінору, то приступаємо до розгляду його каймових мінорів. І так далі, аналогічним чином.

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом облямівних мінорів

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 матриці А не дорівнює нулю, візьмемо мінор 1-го порядку. Почнемо шукати мінер, що облямовує, відмінний від нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Ми знайшли облямівний мінор 2-го порядку не рівний нулю 2 0 4 1 .

Здійснимо перебір обрамляючих мінорів - (їх (4 - 2) × (5 - 2) = 6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Відповідь : Rank(A) = 2

Знаходження рангу матриці методом Гауса (за допомогою елементарних перетворень)

Згадаймо, що є елементарними перетвореннями.

Елементарні перетворення:

• шляхом перестановки рядків (стовпців) матриці;
• шляхом множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне ненульове число k;

шляхом додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) елементів, які відповідають іншій стоки (стовпця) матриці, які помножені на довільне число k.

Визначення 5

Знаходження рангу матриці методом Гауса - метод, що ґрунтується на теорії еквівалентності матриць: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливість цього твердження випливає з визначення матриці:

• у разі перестановки рядків чи стовпців матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків або стовпців залишається рівним нулю;
• у разі множення всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k, яке не дорівнює нулю, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, яка помножена на k;

у разі додавання до елементів деякого рядка або стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, які помножені на число k, не змінює його визначника.

Суть методу елементарних перетворень : привести матрицю, чий ранг необхідно знайти, до трапецієподібної за допомогою елементарних перетворень.

Для чого?

Ранг матриць такого виду досить легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, у яких є хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг під час проведення елементарних перетворень не змінюється, це і буде ранг матриці.

Проілюструємо цей процес:

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких більше від числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких менше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bpn , R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• для квадратних матриць А порядку n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 0 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k , k< n

Приклад 5

Знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 відмінний від нуля, необхідно помножити елементи першого рядка матриці А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Додаємо до елементів 2-го рядка відповідні елементи 1-го рядка, які помножені на (-3). До елементів 3-го рядка додаємо елементи 1-го рядка, які помножені на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (-3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (-1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (-7) 2 + 1 2 (-7) - 4 + (-1) (-7) 11 + 3 (-7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент а 22 (2) відмінний від нуля, тому ми множимо елементи 2-го рядка матриці А на А (2) на 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• До елементів 3-го рядка отриманої матриці додаємо відповідні елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 ;
• до елементів 4-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 9 2;
• до елементів 5-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 .

Усі елементи рядків дорівнюють нулю. Таким чином, за допомогою елементарних перетворень ми привели матрицю до трапецеїдального вигляду, звідки видно, що R a n k (A (4)) = 2 . Звідси випливає, що ранг вихідної матриці також дорівнює двом.

Зауваження

Якщо проводити елементарні перетворення, не допускаються наближені значення!

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Рангом матриціназивається найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля. Ранг матриці позначають або .

Якщо всі мінори порядку даної матриці дорівнюють нулю, то всі мінори більш високого порядку даної матриці також дорівнюють нулю. Це з визначення визначника. Звідси випливає алгоритм перебування рангу матриці.

Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то . Якщо хоча б один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то . Причому достатньо переглянути тільки ті мінори другого порядку, які облямовують ненульовий мінор першого порядку. Якщо знайдеться мінор другого порядку відмінний від нуля, досліджують мінори третього порядку, що оточують ненульовий мінор другого порядку. Так продовжують до тих пір, поки не прийдуть до одного з двох випадків: або всі мінори порядку, що облямовують ненульовий мінор-го порядку дорівнюють нулю, або таких мінорів немає. Тоді.

Приклад 10 Обчислити ранг матриці.

Мінор першого порядку (елемент) відмінний від нуля. Облямовуючий його мінор теж не дорівнює нулю.

Всі ці мінори рівні нулю, отже.

Наведений алгоритм перебування рангу матриці який завжди зручний, оскільки пов'язані з обчисленням великої кількості визначників. Найбільш зручно користуватися при обчисленні рангу матриці елементарними перетвореннями, за допомогою яких матриця приводиться до такого простого вигляду, що очевидно, до чого дорівнює її ранг.

Елементарними перетвореннями матриціназивають такі перетворення:

Ø множення якогось рядка (стовпця) матриця на число, відмінне від нуля;

Ø додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помноженого на довільне число.

Напівжордановимперетворенням рядків матриці:

з роздільним елементом називається наступна сукупність перетворень з рядками матриці:

Ø до першого рядка додати ю, помножену на число тощо;

Ø до останнього рядка додати ю, помножену на число .

Напівжордановим перетворенням стовпців матриціз роздільним елементом називається наступна сукупність перетворень зі стовпцями матриці:

Ø до першого стовпця додати й, помножений на число і т.д.;

Ø до останнього стовпця додати й, помножений на число.

Після виконання цих перетворень виходить матриця:

Напівжорданове перетворення рядків або стовпців квадратної матриці не змінює її визначника.

Елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Покажемо з прикладу, як обчислити ранг матриці, користуючись елементарними перетвореннями. рядків (стовпців) лінійно залежні.

Нехай задана деяка матриця:

.

Виділимо у цій матриці довільних рядків та довільних стовпців
. Тоді визначник -го порядку, складений із елементів матриці
, розташованих на перетині виділених рядків та стовпців, називається мінором -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.Рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один із них відмінний від нуля, переходити до розгляду мінорів старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом облямівних мінорів).

Завдання 1.4.Методом окаймляючих мінорів визначити ранг матриці
.

.

Розглянемо оздоблення першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямівки другого порядку.

Наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо оздоблення третього порядку.

.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При розв'язанні задачі 1.4 можна помітити, що ряд облямівних мінорів другого порядку відмінні від нуля. У цьому має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінором матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисний мінор). Базисні рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоча б одну з них можна як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, засноване на використанні його визначення є занадто громіздкою операцією. Особливо це стає суттєвим для матриць високих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць та елементарних перетворень.

Визначення 1.15.Дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги дорівнюють, тобто.
.

Якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановка рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю;

Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;

Додавання до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на одне й те саме число
.

Наслідок теореми 1.5.Якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід навести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної форми.

Визначення 1.16.Трапецієподібною будемо називати таку форму уявлення матриці, коли в облямівному мінорі найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, що стоять нижче за діагональні, звертаються в нуль. Наприклад:

.

Тут
, елементи матриці
звертаються в нуль. Тоді форма представлення такої матриці буде трапецієподібною.

Як правило, матриці до трапецієподібної форми наводять за допомогою алгоритму Гауса. Ідея алгоритму Гауса полягає в тому, що, помножуючи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи першого стовпця, розташовані нижче за елемент
, перетворювалися б на нуль. Потім, помножуючи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної форми.

.

Для зручності застосування алгоритму Гауса можна поміняти місцями перший і третій рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченого вигляду можна продовжити перетворення над стовпцями.










.

Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, r A або r.
З визначення слід, що r – ціле позитивне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базовими рядками та стовпцями.
Відповідно до цього визначення, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

Приклад 1 . Дано дві матриці , та їхні мінори , . Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, значить його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), то rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .

Теорема (про базисний мінор). Будь-який рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

1. Будь-які (r+1) стовпчиків (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
2. Якщо ранг матриці менший за кількість її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
3. Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
4. Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножену на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
5. Якщо у матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
6. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
7. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальною кількістю лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2 . Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.