Види інтегралів та способи їх вирішення. Рішення інтегралів онлайн

Знаходження невизначеного інтеграла дуже частою завданням у вищої математики та інших технічних розділах науки. Навіть вирішення найпростіших фізичних завдань не обходиться без обчислення кількох простих інтегралів. Тому зі шкільного віку нас вчать прийомам та методам вирішення інтегралів, наводяться численні таблиці з інтегралами найпростіших функцій. Однак з часом все це благополучно забувається, або у нас не вистачає часу на розрахунки, або нам потрібно знайти рішення невизначеного інтегралавід надзвичайно складної функції. Для вирішення цих проблем вам буде незамінний наш сервіс, що дозволяє безпомилково знаходити невизначений інтеграл онлайн.

Вирішити невизначений інтеграл

Онлайн сервіс на сайтдозволяє знаходити рішення інтеграла онлайншвидко, безкоштовно та якісно. Ви можете замінити пошук по таблицях необхідного інтеграла нашим сервісом, де швидко ввівши необхідну функцію, ви отримаєте рішення невизначеного інтеграла в табличному варіанті. Не всі математичні сайти здатні обчислювати невизначені інтеграли функцій у режимі онлайн швидко та якісно, особливо якщо потрібно знайти невизначений інтегралвід складної функції або таких функцій, які не включені до загального курсу вищої математики. Сайт сайтдопоможе вирішити інтеграл онлайн та впоратися з поставленим завданням. Використовуючи онлайн рішення інтеграла на сайті сайт, ви завжди отримаєте точну відповідь.

Навіть якщо ви хочете обчислити інтеграл самостійно, завдяки нашому сервісу вам буде легко перевірити свою відповідь, знайти допущену помилку або описку, або переконатися в бездоганному виконанні завдання. Якщо ви вирішуєте завдання і вам як допоміжну дію необхідно обчислити невизначений інтеграл, то навіщо витрачати час на ці дії, які ви, можливо, вже виконували тисячу разів? Тим більше, що додаткові розрахунки інтеграла можуть бути причиною описки або маленької помилки, які згодом призвели до невірної відповіді. Просто скористайтесь нашими послугами та знайдіть невизначений інтеграл онлайнбез будь-яких зусиль. Для практичних завдань знаходження інтегралафункції онлайнцей сервер дуже корисний. Необхідно ввести задану функцію, отримати онлайн рішення невизначеного інтегралата порівняти відповідь з вашим рішенням.

Слово «інтеграл» походить від латинського integralis – цілісний. Цю назву запропонував у 17 ст. учень великого Лейбніца (і також видатний математик) І. Бернуллі. А що таке інтеграл у сучасному розумінні? Нижче ми намагатимемося дати всебічну відповідь на це питання.

Історичні причини виникнення поняття інтеграла

На початку 17 ст. у розгляді провідних учених перебувала велика кількість фізичних (насамперед механічних) завдань, у яких треба було досліджувати залежність одних величин від інших. Найбільш наочними та насущними проблемами були визначення миттєвої швидкості нерівномірного руху тіла в будь-який момент часу та зворотне завдання знаходження величини шляху, пройденого тілом за певний проміжок часу при такому русі. Сьогодні ми вже знаємо, що таке інтеграл від швидкості руху – це і є пройдений шлях. Але розуміння того, як його обчислювати, знаючи швидкість у кожний момент часу, виникло не відразу.

Спочатку з розгляду таких залежностей фізичних величин, наприклад, шляхи швидкості, було сформовано математичне поняття функції y = f(x). Вивчення властивостей різних функцій призвело до зародження математичного аналізу. Вчені активно шукали способи вивчення властивостей різних функцій.

Як виникло обчислення інтегралів та похідних?

Після створення Декартом основ аналітичної геометрії та появи можливості зображати функціональні залежності графічно в осях декартової системи координат, перед дослідниками постали два великі нові завдання: як провести дотичну до кривої лінії у будь-якій її точці та як знайти площу фігури, обмеженої зверху цієї кривої та прямими, паралельними осям координат. Несподіваним чином виявилося, що перша з них еквівалентна знаходженню миттєвої швидкості, а друга – знаходженню пройденого шляху. Адже він за нерівномірного руху зображався в декартових осях координат «відстань» і «час» деякою кривою лінією.

Генієм Лейбніца та Ньютона в середині 17 ст. були створені методи, що дозволили вирішувати ці завдання. Виявилося, що для проведення дотичної до кривої в точці потрібно знайти величину так званої похідної від функції, що описує цю криву, в точці, що розглядається, і ця величина виявляється рівною швидкості зміни функції, тобто стосовно залежності «шлях від швидкості» власне миттєвою швидкістю тіла.

Для знаходження ж площі, обмеженою кривою лінією, слід обчислити певний інтеграл, який давав її точну величину. Похідна та інтеграл – основні поняття диференціального та інтегрального обчислення, що є базисом сучасного матаналізу – найважливішого розділу вищої математики.

Площа під кривою лінією

Отже, як же визначити її точну величину? Спробуємо розкрити процес її обчислення через інтеграл докладно, із самих азів.

Нехай f є безперервною на відрізку функцією. Розглянемо криву у = f(x), зображену малюнку нижче. Як знайти площу області, обмеженою кривою), віссю х і лініями х = а і х = b? Тобто площа заштрихованої фігури малюнку.

Найпростіший випадок, коли f є постійною функцією; тобто, крива є горизонтальною лінією f(X) = k, де k постійна і k ≥ 0, як показано на малюнку нижче.

У цьому випадку область під кривою - лише прямокутник з висотою k і шириною (b - a), так що площа визначається як: k · (b - а).

Області деяких інших простих фігур, таких як трикутник, трапеція та півколо, даються формулами з планіметрії.

Площа під будь-якою безперервною кривою у = f(х) дається певним інтегралом, який записується так само, як звичайний інтеграл.

Риманова сума

Перш ніж поринути у докладну у відповідь питання, що таке інтеграл, виділимо деякі основні ідеї.

По-перше, область під кривою ділиться на деяке число вертикальних смуг n досить малої ширини Δx. Далі кожна вертикальна смуга замінюється вертикальним прямокутником заввишки f(х), шириною Δx, і площею f(х)dx. Наступним кроком є формування суми площ всіх цих прямокутників, званої риманової сумою (дивіться малюнки нижче).

Малюючи наші прямокутники шириною Δx, ми можемо брати їхню висоту, рівну значенню функції на лівому краю кожної смужки, тобто на кривій лежатимуть крайні ліві точки їх верхніх коротких сторін шириною Δx. При цьому на ділянці, де функція зростає, і її крива є опуклою, всі прямокутники виявляються нижчими від цієї кривої, тобто їх сума буде свідомо меншою точної величини площі під кривою на цій ділянці (див. малюнок нижче). Такий спосіб апроксимації називається лівостороннім.

В принципі можна намалювати апроксимуючі прямокутники таким чином, щоб на кривій лежали крайні праві точки їх верхніх коротких сторін шириною Δx. Тоді вони будуть вищими за криву, і наближення площі на цій ділянці виявиться більше її точної величини, як показано на малюнку нижче. Цей спосіб називається правостороннього.

Але ми можемо також взяти висоту кожного з апроксимуючих прямокутників, що дорівнює просто деякому значенню функції у довільній точці x* i всередині відповідної смужки Δx i (див. мал. нижче). При цьому ми навіть не можемо брати однакову ширину всіх смужок.

Складемо Риманову суму:

Перехід від риманової суми до певного інтегралу

У вищій математиці доводиться теорема, яка свідчить, що й при необмеженому зростанні числа n апроксимуючих прямокутників максимальна їх ширина прагне нулю, то Риманова сума A n прагне певному межі A. Число A - те саме за будь-якому способі утворення апроксимуючих прямокутників і за будь-якого вибору точок x* i .

Наочне пояснення теореми дає рисунок нижче.

З нього видно, що чим вже прямокутники, тим ближча площа ступінчастої фігури до площі під кривою. При числі прямокутників n→∞ їх ширина Δx i →0, а межа A суми A n чисельно дорівнює площі, яку шукає. Ця межа і є певний інтеграл функції f(х):

Символ інтеграла, що являє собою модифіковану курсивну літеру S, був введений Лейбніцем. Ставити зверху та знизу позначення інтеграла його межі запропонував Ж. Б. Фур'є. При цьому ясно вказується початкове та кінцеве значення x.

Геометричне та механічне тлумачення певного інтегралу

Спробуємо дати розгорнуту відповідь на питання про те, що таке інтеграл? Розглянемо інтеграл на відрізку від позитивної всередині нього функції f(х), причому вважаємо, що верхня межа більша за нижню a

Якщо ординати функції f(х) негативні всередині, то абсолютне значення інтеграла дорівнює площі між віссю абсцис і графіком y=f(х), а сам інтеграл негативний.

У разі ж одноразового або неодноразового перетину графіком y=f(х) осі абсцис на відрізку , як показано на малюнку нижче, для обчислення інтеграла потрібно визначити різницю, в якій зменшуване дорівнює сумарній площі ділянок, що знаходяться над віссю абсцис, а віднімається - сумарної площі ділянок, що під нею.

Так, для функції, показаної на малюнку вище, певний інтеграл від a до b дорівнюватиме (S1 + S3) - (S2+S4).

Механічне тлумачення певного інтеграла тісно пов'язане із геометричним. Повернемося до розділу «Риманова сума» і уявімо, що наведений на малюнках графік виражає функцію швидкості v=f(t) при нерівномірному русі матеріальної точки (вісь абсцис є віссю часу). Тоді площа будь-якого апроксимуючого прямокутника шириною Δt, який ми будували при формуванні риманової суми, наближено виражатиме шлях точки за час Δt, а саме v(t*)Δt.

Повна сума площ прямокутників на відрізку від t 1 =a до t 2 =b висловить приблизно шлях s за час t 2 - t 1 , а межа її, тобто інтеграл (визначений) від a до b функції v = f(t ) dt дасть точне значення шляху s.

Диференціал певного інтегралу

Якщо повернутися до його позначення, цілком можна припустити, що a = const, а b є конкретним значенням деякої незалежної змінної x. Тоді певний інтеграл з верхньою межею x з конкретного числа перетворюється на функцію від x. Такий інтеграл дорівнює площі фігури під кривою, позначеною точками aABb малюнку нижче.

При нерухомій лінії aA та рухомий Bb ця площа стає функцією f(x̃), причому прирощення Δx̃ як і раніше відкладаються вздовж осі х, а прирощенням функції f(x̃) є прирощення площі під кривою.

Припустимо, що ми дали змінної x = b деяке мале збільшення Δx. Тоді збільшення площі фігури aABb складається з площі прямокутника (заштрихований на малюнку) Bb∙Δx̃ і площі фігури BDC під кривою. Площа прямокутника дорівнює Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, тобто вона є лінійною функцією збільшення незалежної змінної. Площа ж фігури BDC явно менша, ніж площа прямокутника BDCK = Δx̃∙Δy, і при прагненні Δx̃ →0 вона зменшується ще швидше за нього. Отже, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ є диференціал змінної площі aABb, тобто диференціал певного інтегралу

Звідси можна зробити висновок, що обчислення інтегралів полягає в розшуку функцій по заданим виразам їх диференціалів. Інтегральне обчислення якраз і є системою способів розшуку таких функцій за відомими їх диференціалами.

Фундаментальне співвідношення інтегрального обчислення

Воно пов'язує відносини між диференціюванням та інтегруванням і показує, що існує операція, обернена до диференціювання функції, - її інтегрування. Воно також показує, що й будь-яка функція f(х) безперервна, то застосуванням до неї цієї математичної операції можна визначити цілий ансамбль (сукупність, безліч) функцій, первинних нею (чи інакше, знайти невизначений інтеграл від неї).

Нехай функція F(x) є позначення результату інтегрування функції f(х). Відповідність між цими двома функціями в результаті інтегрування другої з них позначається так:

Як бачимо, при символі інтеграла відсутні межі інтегрування. Це означає, що з певного він перетворений на невизначений інтеграл. Слово «невизначений» означає, що результат операції інтегрування в даному випадку є не одна, а безліч функцій. Адже, крім власне функції F(x), останнім виразам задовольняє будь-яка функція F(x)+С, де З = const. При цьому мається на увазі, що постійний член в ансамблі первісних можна задавати свавілля.

Слід підкреслити, що якщо інтеграл, визначений від функції, є числом, то невизначений є функція, точніше, їх безліч. Термін «інтегрування» застосовується визначення операції розшуку обох видів інтегралів.

Основне правило інтегрування

Воно є повною протилежністю відповідного правила для диференціювання. Які ж беруться невизначені інтеграли? Приклади цієї процедури розглянемо на конкретних функціях.

Давайте подивимося на статечну функцію загального вигляду:

Після того як ми зробили це з кожним доданком у виразі інтегрованої функції (якщо їх кілька), ми додаємо постійну наприкінці. Нагадаємо, що взяття похідної від постійної величини знищує її, тому взяття інтеграла від будь-якої функції дасть нам відновлення цієї постійної. Ми позначаємо її, оскільки постійна невідома - це може бути будь-яке число! Тому ми можемо мати безліч виразів для невизначеного інтеграла.

Давайте розглянемо прості невизначені інтеграли, приклади взяття яких показано нижче.

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції:

f(х) = 4x2 + 2x-3.

Почнемо з першого доданку. Ми дивимося на показник ступеня 2 і збільшуємо його на 1, потім ділимо перший член на результат 3. Отримуємо: 4(x 3) / 3.

Потім ми дивимося на наступний член і робимо те саме. Оскільки він має показник ступеня 1, то результуючий показник буде 2. Отже, ми розділимо це доданок на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Останній член має множник х, але ми не бачимо його. Ми можемо уявити останнє доданок як (-3x 0). Це еквівалентно (-3)∙(1). Якщо ми використовуємо правило інтегрування, додамо 1 до показника, щоб підняти його до першого ступеня, а потім розділимо останній член на 1. Отримаємо 3x.

Це правило інтегрування працює всім значень n, крім n = - 1 (бо ми можемо розділити на 0).

Ми розглянули найпростіший приклад знаходження інтегралу. Взагалі ж рішення інтегралів є справою непростою, і в ній хорошою підмогою вже є накопичений в математиці досвід.

Таблиці інтегралів

У розділі вище бачили, що з кожної формули диференціювання виходить відповідна формула інтегрування. Тому всі можливі їх варіанти вже давно отримані та зведені у відповідні таблиці. Нижченаведена таблиця інтегралів містить формули інтегрування основних функцій алгебри. Ці формули потрібно знати на згадку, заучуючи їх поступово, у міру їхнього закріплення вправами.

Ще одна таблиця інтегралів містить основні тригонометричні функції:

Як вирахувати певний інтеграл

Виявляється, зробити це, вміючи інтегрувати, тобто знаходити невизначені інтеграли дуже просто. І допомагає у цьому формула засновників інтегро-диференціального обчислення Ньютона та Лейбніца.

Згідно з нею, обчислення шуканого інтеграла полягає на першому етапі у знаходженні невизначеного, подальшому обчисленні значення знайденої первісної F(x) при підстановці x, рівного спочатку верхній межі, потім нижній і, нарешті, у визначенні різниці цих значень. При цьому константу можна не записувати. т.к. вона пропадає під час виконання віднімання.

Розглянемо деякі інтеграли із докладним рішенням.

Знайдемо площу ділянки під однією напівхвильовою синусоїдою.

Обчислимо заштриховану площу під гіперболою.

Розглянемо тепер інтеграли з докладним рішенням , використовує у першому прикладі властивість адитивності, тоді як у другому - підстановку проміжної змінної інтегрування. Обчислимо певний інтеграл від дробової раціональної функції:

y=(1+t)/t 3 від t=1 до t=2.

Тепер покажемо, як можна спростити взяття інтеграла запровадженням проміжної змінної. Нехай потрібно вирахувати інтеграл від (x+1) 2 .

Про невласні інтеграли

Ми говорили про певний інтеграл для кінцевого проміжку від безперервної на ньому функції f(х). Але ряд конкретних завдань призводить до необхідності розширити поняття інтеграла на випадок, коли межі (один або обидва) рівні нескінченності або при розривній функції. Наприклад, при обчисленні площ під кривими, що асимптотично наближаються до осей координат. Для поширення поняття інтеграла на цей випадок, крім граничного переходу при обчисленні риманової суми апроксимуючих прямокутників, виконується ще один. За такого дворазового переходу до межі виходить невласний інтеграл. На противагу йому всі інтеграли, про які йшлося вище, називаються власними.

Певним інтегралом від безперервної функції f(x) на кінцевому відрізку [ a, b] (Де ) називається прирощення який-небудь її первісної на цьому відрізку. (Взагалі, розуміння помітно полегшиться, якщо повторити тему невизначеного інтеграла) При цьому використовується запис

Як видно на графіках внизу (прирощення первинної функції позначено), певний інтеграл може бути як позитивним, і негативним числом(Обчислюється як різницю між значенням первісної у верхній межі та її ж значенням у нижній межі, тобто як F(b) - F(a)).

Числа aі bназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, а відрізок [ a, b] - Відрізком інтегрування.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна функція для f(x), то, згідно з визначенням,

(38)

Рівність (38) називається формулою Ньютона-Лейбніца . Різниця F(b) – F(a) коротко записують так:

Тому формулу Ньютона-Лейбніца будемо записувати і так:

(39)

Доведемо, що певний інтеграл не залежить від того, яка первісна підінтегральна функція взята при його обчисленні. Нехай F(x) та Ф( х) – довільні первісні підінтегральні функції. Оскільки це першорідні однієї й тієї функції, вони відрізняються на постійне доданок: Ф( х) = F(x) + C. Тому

Тим самим було встановлено, що у відрізку [ a, b] збільшення всіх первинних функцій f(x) збігаються.

Таким чином, для обчислення певного інтеграла необхідно знайти будь-яку первісну підінтегральну функцію, тобто. спочатку слід знайти невизначений інтеграл. Постійна З з наступних обчислень виключається. Потім застосовується формула Ньютона-Лейбніца: у першорядну функцію підставляється значення верхньої межі b , далі - значення нижньої межі a і обчислюється різницю F(b) - F(a) . Отримане число буде певним інтегралом..

При a = bза визначенням приймається

приклад 1.

Рішення. Спочатку знайдемо невизначений інтеграл:

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца до первісної

(при З= 0), отримаємо

Однак при обчисленні певного інтеграла краще не знаходити окремо первинну, а одночасно записувати інтеграл у вигляді (39).

приклад 2.Обчислити певний інтеграл

Рішення. Використовуючи формулу

Властивості певного інтегралу

Теорема 2.Величина певного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто.

(40)

Нехай F(x) – первісна для f(x). Для f(t) первісної служить та сама функція F(t), в якій лише інакше позначено незалежну змінну. Отже,

На підставі формули (39) остання рівність означає рівність інтегралів

Теорема 3.Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу, тобто.

(41)

Теорема 4.Певний інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій, тобто.

(42)

Теорема 5.Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то певний інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі певних інтегралів його частин, тобто. якщо

(43)

Теорема 6.При перестановці меж інтегрування абсолютна величина певного інтеграла не змінюється, а лише його знак, тобто.

(44)

Теорема 7(Теорема про середнє). Певний інтеграл дорівнює добутку довжини відрізка інтегрування значення підінтегральної функції у певній точці всередині його, тобто.

(45)

Теорема 8.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і подинтегральная функція неотрицательна (позитивна), те й певний інтеграл неотрицательный (позитивний), тобто. якщо

Теорема 9.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і функції і безперервні, то нерівність

можна почленно інтегрувати, тобто.

(46)

Властивості певного інтеграла дозволяють спрощувати безпосереднє обчислення інтегралів.

Приклад 5.Обчислити певний інтеграл

Використовуючи теореми 4 і 3, а при знаходженні первісних – табличні інтеграли (7) та (6), отримаємо

Певний інтеграл зі змінною верхньою межею

Нехай f(x) - безперервна на відрізку [ a, b] функція, а F(x) – її первісна. Розглянемо певний інтеграл

(47)

а через tпозначено змінну інтегрування, щоб не плутати її з верхньою межею. При зміні хзмінюється і певний інтеграл (47), тобто. він є функцією верхньої межі інтегрування х, яку позначимо через Ф(х), тобто.

(48)

Доведемо, що функція Ф(х) є первісною для f(x) = f(t). Справді, диференціюючи Ф(х), отримаємо

так як F(x) – первісна для f(x), а F(a) - Постійна величина.

Функція Ф(х) – одна з нескінченної множини первісних для f(x), а саме та, яка при x = aзвертається в нуль. Це твердження виходить, якщо в рівності (48) покласти x = aта скористатися теоремою 1 попереднього параграфу.

Обчислення певних інтегралів методом інтегрування частинами та методом заміни змінної

де, за визначенням, F(x) – первісна для f(x). Якщо у підінтегральному вираженні зробити заміну змінної

то відповідно до формули (16) можна записати

У цьому виразі

первісна функція для

Насправді, її похідна, згідно правилу диференціювання складної функції, дорівнює

Нехай α та β – значення змінної t, при яких функція

приймає відповідно значення aі b, тобто.

Але, згідно з формулою Ньютона-Лейбніца, різниця F(b) – F(a) є

Калькулятор вирішує інтеграли з описом дій ДЕТАЛЬНО російською мовою та безкоштовно!

Рішення невизначених інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

Рішення певних інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
Ввести нижню межу для інтеграла
Ввести верхню межу для інтеграла

Вирішення подвійних інтегралів

Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)

Рішення невласних інтегралів

Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
Введіть верхню область інтегрування (або нескінченність)
Ввести нижню область інтегрування (або - нескінченність)

Вирішення потрійних інтегралів

Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
Ввести нижню та верхню межі для першої області інтегрування
Ввести нижню та верхню межу для другої області інтегрування
Ввести нижню та верхню межу для третьої області інтегрування

Цей сервіс дозволяє перевірити свої обчисленняна правильність

Можливості

Підтримка всіх можливих математичних функцій: синус, косинус, експонента, тангенс, котангенс, корінь квадратний та кубічний, ступеня, показові та інші.
Є приклади для введення, як невизначених інтегралів, так невласних і певних.
Виправляє помилки у ведених вами висловлюваннях та пропонує свої варіанти для введення.
Чисельне рішення для певних та невласних інтегралів (у тому числі для подвійних та потрійних інтегралів).
Підтримка комплексних чисел, а також різних параметрів (ви можете вказувати в підінтегральному вираженні не тільки змінну інтеграцію, але й інші параметри)

Інтегральне числення.

Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцієюфункції f(x) на відрізку , якщо в будь-якій точці цього відрізка правильна рівність:

Слід зазначити, що первісних однієї й тієї функції може бути нескінченно багато. Вони відрізнятимуться один від одного на певне постійне число.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Невизначений інтеграл.

Визначення: Невизначеним інтеграломфункції f(x) називається сукупність первісних функцій, визначених співвідношенням:

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на певному відрізку є безперервність функції у цьому відрізку.

Властивості:

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язане головним чином із знаходженням первинної функції. Для деяких функцій це досить складне завдання. Нижче буде розглянуто способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді дуже об'ємними. У них включені різні комбінації функцій, що найчастіше зустрічаються. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками один одного, тому наведемо нижче таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна отримати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Інтеграл	Значення	Інтеграл	Значення

	lnsinx+ C



	ln

Методи інтегрування.

Розглянемо три основні методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первинної функції з подальшою перевіркою значення диференціюванням. Загалом, зауважимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтегралу . На основі відомої формули диференціювання
можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює
, де З - деяке постійне число. Однак, з іншого боку
. Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Зауважимо, що на відміну диференціювання, де знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, призводили до результату, то при знаходженні первинної доводиться переважно спиратися на знання таблиць похідних та первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна відразу знайти первинну дуже мало. Тому здебільшого застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл
, але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = (t) та dx = (t)dt виходить:

Доказ : Продиференціюємо пропоновану рівність:

За розглянутою вище якістю №2 невизначеного інтеграла:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

що з урахуванням введених позначень є вихідним припущенням. Теорему доведено.

приклад.Знайти невизначений інтеграл
.

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

приклад.

Заміна
Отримуємо:

Нижче буде розглянуто інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної праці:

(uv) = uv + vu

де u та v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, отримуємо:
, а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або
;

Отримали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо їх у ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж докладно розглянути методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I.
ІІІ.

ІІ.
IV.

m, n – натуральні числа (m  2, n  2) та b 2 – 4ac<0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановок t = ax + b.

Розглянемо спосіб інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

приклад.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax 2 + bx + c вираз b 2 – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте його можна інтегрувати вказаним вище способом.

Приклад.

приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду
можна шляхом виділення у знаменнику повного квадрата подати у вигляді
. Зробимо таке перетворення:

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекурентної.Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл
.

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u 2 + sнаводиться до табличного до другого інтегралу застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на складність інтегрування елементарного дробу виду IV, що здається, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, А універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього на ЕОМ.

Приклад:

Інтегрування оптимальних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб, необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо
- правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників (зазначимо, що будь-який багаточлен із дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:

де A i , B i , M i , N i , R i , S i - Деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідного дробу елементарні. Для знаходження величин A i , B i , M i , N i , R i , S i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, Суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього розглянемо на конкретному прикладі.

приклад.

Приводячи до спільного знаменника та прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

приклад.

Т.к. дріб неправильний, то попередньо слід виділити в нього цілу частину:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що за х = 3 знаменник дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Таким чином, 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання та вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу у тому, що у отримане вище вираз підставляються почергово кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, у яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто. у разі – 3, -2, 1/3. Отримуємо:

Остаточно отримуємо:

приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтегралу:

Інтегрування деяких тригонометричних

функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути дуже багато. Більшість цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегровані завжди.

Інтеграл виду
.

Тут R – позначення певної раціональної функції змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки
. Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію на раціональну.

Тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

приклад.

Безперечною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію на раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу та сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдино результативним.

приклад.

Інтеграл виду
якщо

функціяRcosx.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sinx.

Функція
може містити cosx тільки у парних ступенях, а, отже, може бути перетворена на раціональну функцію щодо sinx.

приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна лише непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію, може бути будь-якою, як цілою, так і дробовою.

Інтеграл виду
якщо

функціяRє непарною щодоsinx.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

приклад.

Інтеграл виду

функціяRпарна щодоsinxіcosx.

Для перетворення функції R на раціональну використовується підстановка

t = tgx.

приклад.

Інтеграл твору синусів та косінусів

різних аргументів.

Залежно від типу твору застосовується одна з трьох формул:

приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули зниження порядку функцій.

приклад.

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

приклад.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію на раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми інтегрування різних типів ірраціональних функций.

Інтеграл виду
деn- натуральне число.

За допомогою підстановки
функція раціоналізується.

приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять корені різних ступенів, то як нова змінна раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшому загальному кратному ступеню коренів, що входять у вираз.

Проілюструємо це з прикладу.

приклад.

Інтегрування біномних диференціалів.