Формула логарифмічної похідної. Похідна функції

Похідна натурального логарифму від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (ln x)′ =.

Похідна логарифма на основі a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a :
(2) (log a x)′ =.

Доказ

Нехай є деяке позитивне число, що не дорівнює одиниці. Розглянемо функцію, яка залежить від змінної x , яка є логарифмом на підставі:
.
Ця функція визначена за . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати такі факти:
А)Властивості логарифму. Нам знадобляться такі формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
В)Значення другої чудової межі:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо властивості (4) та (5).

.

Скористаємося властивістю (7) та другою чудовою межею (8):
.

І, нарешті, застосуємо властивість (6):
.
Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
Тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідної логарифму.

Похідна натуральна логарифма

Ще раз випишемо формулу похідної логарифму на підставі a:
.
Ця формула має найпростіший вид для натурального логарифму, для якого . Тоді
(1) .

Через таку простоту, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізі та інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним обчисленням. Логарифмічні функції з іншими підставами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифму з основи можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи підтвердження похідної логарифму

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідної експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифму з огляду на те, що логарифм є зворотною функцією до експоненти.

Доведемо формулу похідної натурального логарифму, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонент:
.
Її похідна визначається за такою формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9) замінимо змінну x на y:
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Формулу доведено.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифму за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції є зворотними один до одного, то
.
Диференціюємо це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікса дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставимо в (10):
.
Звідси
.

Приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Рішення

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція складена з функцій та:
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми, що похідна залежить від n . Цей результат є цілком природним, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифму від твору:
.
– це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

Відповідь

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції - натурального логарифму від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли у наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
Тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифму на підставі a маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифму

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доказ

Підставимо у формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки , то за n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується за n = k . Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива за n = k + 1 .

Справді, за n = k маємо:
.
Диференціюємо по змінній x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) за n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива за n = k випливає, що формула (14) справедлива за n = k + 1 .

Тому формула (14), для похідної n-го порядку, справедлива будь-яких n .

Похідні вищих порядків логарифму на підставі a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифму на підставі a потрібно виразити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Вам здається, що до іспиту ще багато часу? Це місяць? Два? Рік? Практика показує, що учень найкраще справляється з іспитом у разі, коли почав готуватися щодо нього заздалегідь. У ЄДІ чимало складних завдань, які стоять на шляху школяра та майбутнього абітурієнта до найвищих балів. Ці перепони треба навчитися долати, до того ж робити це нескладно. Вам необхідно зрозуміти принцип роботи з різними завданнями з квитків. Тоді й із новими не виникне проблем.

Логарифми здавалося б неймовірно складними, але за детальному розборі ситуація значно спрощується. Якщо ви хочете здати ЄДІ на вищий бал, вам варто розібратися в поняття, що розглядається, що ми і пропонуємо зробити в цій статті.

Спочатку розділимо ці визначення. Що таке логарифм (log)? Це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати вказане число. Якщо незрозуміло, розберемо елементарний приклад.

У цьому випадку основу, що стоїть внизу, необхідно звести на другий ступінь, щоб отримати число 4.

Тепер розберемося з другим поняттям. Похідна функції у вигляді називається поняття, що характеризує зміна функції у наведеній точці. Втім, це шкільна програма, і якщо ви маєте проблеми з даними поняттями окремо, варто повторити тему.

Похідна логарифма

У завдання ЄДІ з цієї теми можна навести кілька завдань як приклад. Для початку найпростіша логарифмічна похідна. Необхідно знайти похідну наступної функції.

Нам потрібно знайти наступну похідну

Існує спеціальна формула.

І тут x=u, log3x=v. Підставляємо значення нашої функції у формулу.

Похідна x дорівнюватиме одиниці. З логарифмом трохи складніше. Але принцип ви зрозумієте, якщо просто підставите значення. Нагадаємо, що похідною lg x називається похідна десяткового логарифму, а похідна ln х - це похідна від натурального логорифму (на підставі e).

Тепер просто підставте отримані значення формулу. Спробуйте самі, далі звіримо відповідь.

У чому може бути проблема для деяких? Ми запровадили поняття натурального логарифму. Розповімо про нього, а заразом розберемося, як вирішувати завдання з ним. Нічого складного ви не побачите, особливо коли зрозумієте принцип його роботи. До нього вам варто звикнути, тому що він часто використовується в математиці (у вищих навчальних закладах тим більше).

Похідна натуральна логарифма

По суті, це похідна логарифма на підставі e (це ірраціональне число, яке дорівнює приблизно 2,7). Насправді ln дуже простий, тому часто використовується в математиці загалом. Власне, вирішення завдання з ним також не стане проблемою. Варто запам'ятати, що похідна від натурального логарифму на підставі е дорівнює одиниці поділеної на x. Найпоказовішим буде рішення наступного прикладу.

Уявімо її як складну функцію, що складається з двох простих.

Достатньо перетворити

Шукаємо похідну від u до x

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Нехай
(1)
є функція, що диференціюється від змінної x . На початку ми розглянемо її на безлічі значень x, для яких y набуває позитивних значень: . Надалі ми покажемо, що це отримані результати застосовні й у негативних значень .

У деяких випадках, щоб знайти похідну функції (1), її зручно попередньо прологарифмувати
,
а потім обчислити похідну. Тоді за правилом диференціювання складної функції
.
Звідси
(2) .

Похідна від логарифму функції називається логарифмічною похідною:
.

Логарифмічна похідна функції y = f(x) - це похідна натурального логарифму цієї функції: (ln f(x))′.

Випадок негативних значень y

Тепер розглянемо випадок, коли змінна може набувати як позитивних, і негативні значення. В цьому випадку візьмемо логарифм від модуля та знайдемо його похідну:
.
Звідси
(3) .
Тобто, у випадку, потрібно знайти похідну від логарифму модуля функції .

Порівнюючи (2) та (3) ми маємо:
.
Тобто формальний результат обчислення логарифмічної похідної залежить від того, взяли ми по модулю чи ні. Тому, при обчисленні логарифмічної похідної ми можемо не турбуватися про те, який знак має функція .

Прояснити таку ситуацію можна за допомогою комплексних чисел. Нехай, при деяких значеннях x негативна: . Якщо ми розглядаємо лише дійсні числа, то функція не визначена. Однак, якщо ввести до розгляду комплексні числа, то отримаємо таке:
.
Тобто функції і відрізняються на комплексну постійну:
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю, то
.

Властивість логарифмічної похідної

З такого розгляду випливає, що логарифмічна похідна не зміниться, якщо помножити функцію на довільну постійну :
.
Дійсно, застосовуючи властивості логарифму, формули похідної сумиі похідної постійної, маємо:

.

Застосування логарифмічної похідної

Застосовувати логарифмічну похідну зручно у випадках, коли вихідна функція складається з добутку статечних чи показових функцій. У цьому випадку операція логарифмування перетворює добуток функцій на їх суму. Це полегшує обчислення похідної.

Приклад 1

Знайти похідну функції:
.

Рішення

Логарифмуємо вихідну функцію:
.

Диференціюємо по змінній x.
У таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
;
;
;
;
(П1.1) .
Помножимо на:

.

Отже, ми знайшли логарифмічну похідну:
.
Звідси знаходимо похідну вихідної функції:
.

Примітка

Якщо ми хочемо використовувати тільки дійсні числа, слід брати логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді
;
.
І ми одержали формулу (П1.1). Тож результат не змінився.

Відповідь

Приклад 2

За допомогою логарифмічної похідної знайдіть похідну функції
.

Рішення

Логарифмуємо:
(П2.1) .
Диференціюємо по змінній x:
;
;

;
;
;
.

Помножимо на:
.
Звідси ми отримуємо логарифмічну похідну:
.

Похідна вихідна функція:
.

Примітка

Тут вихідна функція негативна: . Вона визначена за . Якщо не припускати, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу, формулу (П2.1) слід записати так:
.
Оскільки

і
,
це не вплине на остаточний результат.

Відповідь

Приклад 3

Знайдіть похідну
.

Рішення

Диференціювання виконуємо за допомогою логарифмічної похідної. Логарифмуємо, враховуючи що:
(П3.1) .

Диференціюючи, отримуємо логарифмічну похідну.
;
;
;
(П3.2) .

Оскільки , то

.

Примітка

Виконаємо обчислення без припущення, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу. Для цього візьмемо логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді замість (П3.1) маємо:
;

.
Порівнюючи з (П3.2) бачимо, що результат змінився.